Tiêp tuyên cua đồ thị hàm số

Tiêp tuyên cua đồ thị hàm số

Ôn thi đại Học 7/11-21/11/2013

Bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số Dạng 1: Viết phơng trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị hàm số

1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm M0(x0;y0) ∈ (C) Viết phờng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(x0;y0)

2.Ph ơng pháp:

Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M0(x0;y0)có dạng : y−y0 = f' (x0)(x−x0)

Dạng 2: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trớc

1.Bài toán: Cho đồ thị (C) : y = f(x) và điểm A(a; b) Viết phờng trình tiếp tuyến của

(C) đi qua điểm A

O

y0

x

x0

M0

y

x O

A(a; b)

2 Ph ơng pháp :

Cách 1: Viết phơng trình trình thẳng qua A(a; b) với hệ số góc k dới dạng:

y = k(x - a) + b (d)

Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ sau:







=

+

−

=

k x

f

b a x k x

f

)

(

'

) ( )

(

có nghiệm

Giải phơng trình f(x) = f' (x)(x−a) +b⇒x∈{x0;x1; ;x n } tính ki = f’(xi) với i=0;n,

thay vào (d) suy ra các tiếp tuyến

Cách 2: Tìm tiếp điểm M(x0,y0)

Phơng trình tt tai M có dạng: y=f’(x0)(x-x0)+y0

Tiếp tuyến đi qua A(a;b) nên b=f’(x0)(a -x0)+y0 Từ đó tìm x0 với y0=f(x0)

* L ưu ý : Đối với bài toán này chúng ta thờng lầm hai khái niệm tiếp tuyến đi qua và

tiếp tuyến tại điểm từ đó dẫn đến việc xác định thiếu tiếp tuyến của đồ thị (C) Vì vậy chún ta cần phân biệt rõ hai loại tiếp tuyến này có sự khác nhau.

Dạng 3: Viết phơng trình tiếp tuyến biết hệ số góc

1 Bài toán:

Cho hàm số y = f(x) (C) và số k ∈R

2 Ph ơng pháp:

Cách 1 : Tìm tọa độ tiếp điểm M(x0,y0)

Giải phơng trình f’(x0) = k Giả sử đợc các nghiệm x1; x2; ;xn

Tính yi = f(xi) Pttt tại xi là: y =k(x−x i) +y i

Cách 2 : Phơng trình tiếp tuyến có dạng y=kx+m

Hệ phơng trình ( )

'( )

y f x kx m

f x k



Từ đó tìm m và viết pttt

3.Các dạng biểu diễn hệ số góc k:

7

3

; 3

; 1

;

5 = ± = ± = ±

k

*) Tiếp tuyến tạo với chiều dơng của trục Ox một góc α , với

3

; 3

2

; 45

;

30

;

15 0 0 0













*) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (d): y = ax + b Khi đó hệ số góc k = a

*) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng (d): y = ax + b

a k

ka=−1⇔ = −1

*) Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng (d): y = ax + b một góc α Khi đó: tan α

+

−

ka

a k

Dạng 4: Tìm điểm trên (d) hoặc (C) để từ đó có thể kẻ đợc 1,2,3… tiếp tuyến đến (C)

Phơng pháp:

Cách 1: M(xM,yM) ( )∈ d hoặc (C)

Phơng trình đờng thẳng qua M hệ số góc k: y=k(x-xM)+yM

Hệ ( ) (1)

'( ) (2)



Số tiếp tuyến kẻ từ M là số nghiệm x của phơng trình y=f(x) = f’(x)(x-xM)+yM (3)

Cách 2: Từ điều kiện nghiệm kép của pt (1) ta suy ra một phơng trình đối với ẩn k Số

tiếp tuyến là số nghiệm đối với ẩn k

Cách 2 thờng đợc sử dụng nhiều hơn!`

Dạng 5: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ đợc 2 tiếp tuyến với (C) và 2 tiếp

tuyến đó vuông góc với nhau Phơng pháp: Gọi M(xM,yM) là điểm cần tìm

Phơng trình đờng thẳng qua M hệ số góc k là: y=k(x-xM)+yM

Tơng tự dạng 4 ta suy ra từ M kẻ đợc 2 tiếp tuyến thì pt (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Hai tiếp tuyến vuông góc  f’(x1).f(x2)= -1 Từ đó tìm đợc M

Chú ý:

1) Trong những trờng hợp pt(3) phức tạp ta thờng sử dụng điều kiện nghiệm kép của pt(1) để tìm ra phơng trình đối với ẩn k(chú ý khi pt có ẩn ở mẫu) Khi đó

pt đối với ẩn k có 2 nghiệm k 1 , k 2 sao cho k 1 k 2 = -1

2) Qua M kẻ đợc 2 tiếp tuyến nằm về 2 phía trục hoành thì (3) có 2 nghiệm phân biệt sao cho f(x 1 ).f(x 2 ) < 0

Bài 1:

Cho hàm số

1 2

2 1

−

− +

=

x x

y (C) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại A(0; 3)

Bài 2:

Cho hàm số: ( 1 )

1

1 2

+

−

=

x

x

y Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y = 3x

Bài 3:

Viết pttt của đồ thị hàm số: y= x3 − 3x2 + 2 tại điểm có hoành độ x = 3

Bài tập 4:

Cho hàm số y= x3 + 3x2 − 4 (C) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với

đ-Bài 5:

Cho hàm sốy= −x3 + 3x2 − 4 (C) Viết pttt của (C) tại điểm A(1; -2)

Bài 6: (Dự bị khối B-2002)

Cho hàm số

3

4 2 2

1 3

1 3 + 2 − −

y (C) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó song song với đờng thẳng y= 4x+ 2

Bài 7: (ĐH Khối B- 2006).

Cho hàm số

2

1

2 +

− +

=

x

x x

y (C) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của đồ thị (C)

Bài 8: (ĐH khối B – 2008).

Cho hàm số y =4x3−6x2 +1 (C) viết pttt của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua M(-1; -9)

Bài 9:

Cho hàm số

1

2

+

=

x

x

y (C) Tìm toạ độ điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại

M cắt hai trục toạ độ Ox và Oy tại A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng

4

1

Bài 10:

Cho hàm số y= x4 −2x2 (C) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành

độ x = -2

Bài 11; y x= − +3 x2 1 Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ lần lợt tại A, B và tam giác OAB cân tại O

Bài 12:

1

x y

x

=

− Tìm tọa độ M trên đồ thị, biết tiếp tuyến của đồ thị tại M vuông

góc với đờng thẳng đi qua M và I(1;1)

Bài 13: 2 1

1

x y

x

−

=

− (C) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là điểm thuộc (C)

Tiếp tuyến tại M của (C ) cắt các tiệm cân tại A, B Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi

Bài 14: 2 1

1

x y

x

−

=

a) Tìm M thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M với đờng thẳng đi qua M

và giao của 2 tiệm cận có tích hệ số góc là -9

b) Tìm M sao cho khoảng cách từ I(-1;2) tới tiếp tuyến của đồ thị tại M là lớn nhất

Bài 15: 2 3

2

x y

x

−

=

− Tìm trên đồ thị những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của đồ

thị cắt 2 tiệm cận tại A, B sao cho AB ngắn nhất