Chuyên đề phương trình lượng giác luyện thi THPT Quốc Gia năm 2015

Đây là chuyên đề phương trình lượng giác gồm tóm tắt lý thuyết một số chú ý khi giải phương trình lượng giác , các bài tập trích trong các đề thi đại học cao đẳng từ năm 20022014 kèm theo hướng dẫn giải

Chuyên đề

LƯỢNG GIÁC

Phần 1:CÔNG THỨC

1 Hệ thức LG cơ bản

2

2

sin

tan

1

2 cos

k k







2 2

tan cot 1

cos cot

sin 1

sin

k k









2 Công thức LG thường gặp

Công thức cộng:

sin sinacosb sinbcosa cos cos a cos b sinasinb

tan tan

1 tan tan

a b

a b

a







Công thức nhân:

3

3

3 2

sin 2 2sin cos

cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin

3tan tan tan 3 =

1 3tan

a

a







2[cos(ab)+cos(a+b)]

sina.sinb =1

2[cos(ab)cos(a+b)]

sina.cosb =1

2[sin(ab)+sin(a+b)]

sin( ) tan tan

cos cos

a b



2(1+cos2a) sin2a =1

2(1cos2a)

2

a

t 

3 Phương trìng LG cơ bản

2

u v k



 



* tanu=tanv  u=v+k * cotu=cotv  u=v+k k Z .

4 Một số phương trình LG thường gặp

1 Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

a Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các

cơng thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản

b Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình cĩ dạng

a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các

phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG

2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:

Dạng: asinx+bcosx=c Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là a2b2 c2

C

ách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt b tan

a  , ta được: sinx+tancosx= cos

c

sinxcos+sin cosx= cos c

c

đặt

C

ách 2: Chia hai vế phương trình cho a2b2 , ta được:

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

Đặt: 2a 2 cos ; 2b 2 sin

a b   a b   Khi đĩ phương trình tương đương:

2 2

cos sinx sin cosx c

 hay sinx  2c 2 sin



đặt

Cách 3: Đặt tan

2

x

3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:

Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*).

Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với

2

x k

+ Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0.

Chú ý: 12 tan2 1

2





Cách 2: Áp dụng cơng thức hạ bậc

4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:

Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c.

Cách giải: Đặt t= sinx cosx Điều kiện  t  2

sin cos 2 sin 2 cos

sin cos 2 sin 2 cos

       

       

Lưu y ùcác công thức :

MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Cĩ 3 phương pháp thường được sử dụng, cần chú ý:

1 BIẾN ĐỔI CUNG: Khi cung khác nhau, ta biến đổi về cung giống nhau.

Ta dùng cung nhân đơi, nhân ba, Cụ thể:

Cung nhân đôi, cung nhân ba

3

3

2 2

2 2

2

3 2

tan

1 tan

3tan tan tan3 =

1 3tan

x x

x

x

x









Công thức vạn năng

2 tanx

-sinx t ; cosx t ; tanx t

2 HẠ BẬC: Gặp bậc cao, ta hạ bậc.

Ta dùng công thức hạ bậc hai, bậc ba .

Hạ bậc hai

cos2x =1

2(1+cos2x) sin2x =1

2(1cos2x) 1 2 2 sin cosx x  sin x

cos tan

cos

x x

x







Hạ bậc ba

4 sin x sinx sin x sin x ( sinx sin )x

4 cos x cos x cosx cos x ( cosxcos )x

Hạ bậc bốn, bậc sáu

dạng tích số.

Sau khi hạ bậc, biến đổi về cung giống nhau Ta nghĩ đến việc đem phương trình đã cho

về dạng tích số

 MỘT SỐ VÍ DỤ:

1 Tìm x  [ , ] của phương trình :0 14 cos3x 4cos2x3cosx 40

Giải : Biến đổi cung 3x x x;2  x.Đem về tích số

2 2; ; 2 ; 2

2 Giải phương trình: 2( cosx 1 2)( sinxcos ) sinx  2x sinx

Giải : Biến đổi cung 2x x.Hai vế có thừa số giống nhau.Đem về tích số.

x k  x  l

3 Giải phương trình: sin23x cos24xsin25x cos26x

Giải : Dùng công thức hạ bậc

Đs:

x l ;x m 

sin x  tan x cos x 

Giải : Dùng công thức hạ bậc

4

;

x m  x  m

5 Giải phương trình: 5sinx 2 3 1(  sin )tanx 2x

Giải : Có hàm tanx xem như có mẫu là cosx cần đặt ĐK Dùng công thức biến đổi

2 2

2 1

sin tan

sin

x x

x





x m  x  n 

sin

x



Giải : Có chứa ẩn x ở mẫu đặt ĐK mẫu khác 0 Có các đầu cung khác nhau x;2x;3x Ta đem về một đầu cung

x x 

cos

tan

x

x



Giải : Có bốn hàm số lượng giác khác nhau đem về hàm sin và cos là:

  chứa ẩn x ở mẫu đặt ĐK mẫu khác 0

Đs:

4

x k

2

sin

x

Giải : Có ba hàm số lượng giác khác nhau đem về hàm sin và cos là:

  biến đổi về cung giống nhau.Có chứa ẩn x ở mẫu đặt ĐK

mẫu khác 0

Đs:

3

x n

9 Giải phương trình:

2

0

2 2

(cos sin ) sin cos

sin

x





1 4 cos xsin x  sin x.Có chứa ẩn x ở mẫu đặt ĐK mẫu khác 0

4

x  n 

10 Giải phương trình: 3 5 4

sin cos

cos

x

Giải :Có nhiều cung & bậc cao nhất là 3, nếu hạ bậc 3 thì xuất hiện cung 3x Do

đó đem tất cả về cung x Có chứa ẩn x ở mẫu đặt ĐK mẫu khác 0 Để ý

1cos xsin x Khi một số hạng nào đó trong phương trình có bậc nhỏ hơn bậc của các số hạng còn lại hai đơn vị thì ta dùng phương pháp nâng bậc

Đs: x  

Phần 2:PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

Ph

ươ ng pháp 1 : Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích.

Giải

Phương trình (1) tương đương với: 1 cos 2 1 cos 6 1 cos 4 1 cos8

 cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0

 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0

 2cos5x(cos3x+cosx) = 0

 4cos5x.cos2x.cosx = 0

5

10 5 2

cos5 0

πkπ kπkπ πkπ

x

x















Giải

Ta có (2)  cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x)

 cos2x(sin6x–cos6x) = 0

 cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0

 cos2x = 0

x kπkπ x  k 

Giải

Ta có:

(3) 2 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0

2cos 2cos cos3 2sin 2sin sin 3 2

(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2

2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2

2 cos 2 (1 cos 4 )

2

cos 2 cos 2

4 2

πkπ

Ph

ươ ng pháp 2 : Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:

Ví dụ 4 Giải phương trình lượng giác: 8 8 17

32

x x (4)

Giải

Ta có (4)

Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có 2 2

1

13

2

t

t







 



Vì t[0;1], nên 1 2 1 cos 4 1 1

cos 2

x

cos4x = 0 4 , ( )

x kπkπ x k k 

Giải

Ta có (5)  2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0

 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0

 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0

2sin 2cos 2sin cos 1 0 (*)







Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | | t  2, khi đó phương trình (*) trở thành:











¹i)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

4

πkπ

x nπkπ; x k πkπ 2 , ( , n k )

Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức.

Giải

Điều kiện: x ≥ 0

Do | sin x  nên | 0, πkπ|sin x|πkπ0  , mà |cosx| ≤ 1.1

Do đó

(6)

0

k n

x k πkπ k πkπ n

x









(Vì k, n  Z) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số.

2

x

x

Giải

Đặt

2 ( )= cos

2

x

f x x  Dễ thấy f(x) = f(x),   x , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét với x ≥ 0.

Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0  f(x) đồng biến với x≥0

Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ví dụ 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0;

2

πkπ

  thoả mãn phương trình:sin cos 222

n

n x n x



Giải

Đặt f(x) = sin n x + cos n x, ta cĩ : f’(x) = ncosx.sin n-1 x – nsinx.cos n-1 x.

= nsinx.cosx(sin n-2 x – cos n-2 x)

Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0;

2



 , ta cĩ minf(x) = f

4



 

 

  = 222

n



Vậy x =

4



là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

Bài tập:

1 sinx = 1

2 2 sinx = - 2

2 3 sinx = 3 4 sinx = 1

4

5 sin(x+ ) = -1

3



6 cosx = 0 7.cosx = 3

3 8 cosx = 3

9 cos(5x+ ) = cos5



10 cos(5x-3) = cos 2x 11 sin3x + sin5x = 0

12 sin 0

cos 1

x

x  13 (2 + cosx)(3cos2x-1) = 0 14 cos3x – sin2x = 0

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a 2sinx  3 0 b 2 2cos x c 0 1

3

x   d cotx -3 = 0 Bài 2: Giải các phương trình sau:

a 2sin2x3sinx 1 0 c tan2x  3 0

b cos 22 x 4cos 2x 4 0 d 2cot2x 5cotx 3 0

e 2sin2x 1 0 f 2sin2 x4sinx 1 0

Bài 3: Giải các phương trình sau:

a sin2x (1 3)sin cosx x 3 cos2x0 c sin2x 6sin cosx xcos2x2

4sin x 4sin cosx x3cos x1 d 2 2

6sin x7 3 sin cosx x 8cos x6 Bài 4: Giải các phương trình sau:

a 3 cosxsinx 2 c 2sin 2x 3 cos 2x10

b 5cos 2x12sin 2x13 d sin 3x cos3x1

e sinx + cosx = 2 f 3sinx + 4cosx = 5

Bài 5: Giải các phương trình sau:

a sinx +sin2x = 0 c tan2x -2tanx = 0

b 8sin2x.cos2x.cos4x + 2 = 0 d cos3x – cos4x + cos5x = 0

Bài 6: Giải các phương trình sau:

a 2cos2 x7sinx 5 0 c 3 tanxcotx 1 3 0

b cos2x – 2cosx – 3 = 0 d 2 cos 2xsin4x

Bài 7: Giải các phương trình sau:

a 3sinx + 4cosx = 4 b 4 3sin cos cos 2x x xsin 8x

c 4cos 22 x 2( 3 1) cos 2 x 3 0 d cosx – sinx = cos2x

e 4sin2x3 3 sin 2x 2cos2x4 f cos2x 3sin cosx x1

k tan5x – tanx = 0 l 2tanx -3cotx -2 = 0

m 2 1

sin 2 sin

2

x x n cos2 xsinx 1 0

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2011

KHỐI A

1 2sin 2

x



Giải ĐS:

5

;

x x  .

x

x

4

x k kZ

2

k

x  kZ

4. Giải phương trình: 2 cos 6 sin 6  sin cos

0

2 2sin

x





(Khối A_2006)

Giải ĐS: 5 2  

4

x  k  kZ

x  k x k  x k  kZ

6.

4sin 3

sin

2

x x

x





(Khối A_2008)

x k x k x  k kZ

3





x  k  kZ

8. 1 sin 2 2cos 2

2 sin sin 2

1 cot

x



9. 1 sin cos 2 sin

1

x x





(Khối A_2010)

x  k x k ; x    k 

11. 1 tan x 2 2 sin x

4



12.

KHỐI B

Giải

x k  x k  kZ

sin 2

x

3

x k kZ

Giải ĐS: 2 ; 5 2 , 

x k  x  k  kZ

x  k  x  k kZ

2

x

x x  x 

x k x  k kZ

x k  x  k  x k kZ

x k x  k kZ

20. Giải phương trình: sinx cos sin 2x x 3 cos 3x 2 cos 4 x sin 3x. (Khối B_2009)

k

x   x   k kZ

21. sin 2xcos 2 cosx x2cos 2x sinx0 (Khối B_2010)

Giải ĐS:x4 k2

22. sin 2 cosx xsin cosx xcos 2xsinxcosx (Khối B_2011)

2

xk  xk 

23. 2(cosx 3sin )cosx xcosx 3sinx1 (Khối B_2012)

2

25.

KHỐI D

x x  x  x 

27. sin2 tan2 cos2 0

x



4

x  k  x  k kZ

x k  x  k kZ

x x x   x  

Giải ĐS: ,  

4

x k kZ

3

x  k  x k  kZ

31. Giải phương trình

2

x

(Khối D_2007)

x k  x  k  kZ

x k  x  k  kZ

x  k  x k kZ

x k x   k x  k  k

x k x  k kZ

xk  x  k 

37. sin 2 2cos sin 1

0

x



3



x k ; x   k ; x   k 

MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ CỦA CÁC TRƯỜNG NĂM 2013

40. Giải phương trình : 2sin 2 2 sin 2 5sin 3cos 3

4

Đáp số

41. Giải phương trình sin 4 4sin 5 2 4 sin cos 

2

Đáp số ; 3 2 ; 2

42. Giải phương trình 2 1 2 2 3 6 1 2 3 0

cos

x



2 6

x  k 

44. Giải phương trình 4 2 2 4 3 2 2

6

sin sinx x cos  x  cos sin cosx x x

2 3

x  k

45. Giải phương trình sin tanx 2x 3(sinx 3tan )2x 3 3

x  k

46.

Hết