n`ay o.˙’ d¯ˆay trong khung ca˙’nh h`ınh th´ai ho.c to´an ho.c mathematical morphology nhu.. mˆ o.t cˆong cu.. khung v`a bao lˆo`i.. Theo ngh˜ıa thˆ... mˆo.t mˇa.t na.
Trang 18.4 H`ınh th´ ai ho.c
Thuˆ a.t ng˜u h`ınh th´ai ho.c (morphology) d¯u.o c su.˙’ du.ng trong sinh ho.c d¯ˆe` cˆa.p d¯ˆe´n qu´a
tr`ınh nghiˆ en c´ u.u h`ınh da.ng v`a cˆa´u tr´uc cu˙’a d¯ˆo.ng vˆa.t v`a thu c vˆ . a.t Ch´ung ta su ˙’ du.ng . tu.o.ng tu thuˆ a.t ng˜u n`ay o.˙’ d¯ˆay trong khung ca˙’nh h`ınh th´ai ho.c to´an ho.c (mathematical
morphology) nhu mˆ o.t cˆong cu d¯ˆe˙’ t´ach ra c´ac th`anh phˆa ` n cu˙’a a˙’nh cho ph´ep biˆe˙’u diˆe ˜n v` a miˆ eu ta˙’ h`ınh da.ng cu˙’a v`ung, nhu biˆen, bˆo khung v`a bao lˆo`i Ch´ung ta c˜ung quan
tˆ am d ¯ˆ e´n c´ ac phu.o.ng ph´ ap h`ınh th´ ai ho.c trong tiˆe´n tr`ınh tiˆe ` n xu ˙’ l´ y a˙’nh nhu lo.c h`ınh th´ ai ho.c, l`am g`ay (thinning) v`a ph´ep tı˙’a (pruning).
Ngˆ on ng˜ u cu˙’a h`ınh th´ ai (to´ an) ho.c l`a l´y thuyˆe´t tˆa.p ho p Theo ngh˜ıa thˆ . ong thu.` o.ng, h`ınh th´ ai ho.c cung cˆa´p mˆo.t c´ach tiˆe´p cˆa.n thˆo´ng nhˆa´t v`a c´o a˙’nh hu o.˙’ng l´o.n
d ¯ˆ e´n mˆ o.t sˆo´ c´ac b`ai to´an xu ˙’ l´ . y a˙’nh C´ ac tˆ a.p ho p trong h`ınh th´ . ai ho.c biˆe˙’u diˆe˜n h`ınh da.ng cu˙’a c´ac d¯ˆo´i tu o ng trong a˙’nh Chˇa˙’ng ha.n, tˆa.p tˆa´t ca˙’ c´ac pixel d¯en trong a˙’nh nhi phˆan l`a mˆo.t miˆeu ta˙’ d¯ˆa ` y d¯u˙’ cu˙’a a˙’nh Trong c´ ac a˙’nh nhi phˆan, c´ac tˆa.p d¯u o c x´et thu.` o.ng l` a tˆ a.p con cu˙’a Z 2 (xem Phˆ ` n 2.2.1), trong d¯´ a o mˆ o ˜i phˆa ` n tu ˙’ cu˙’a tˆ a.p l`a cˇa.p to.a
d ¯ˆ o (x, y) cu˙’a pixel (chˇa˙’ng ha.n) d¯en trong a˙’nh C´ac a˙’nh sˆo´ gi´a tri x´am c´o thˆe˙’ biˆe˙’u
diˆ e ˜n l`a c´ac tˆa.p con cu˙’a Z 3
Trong tru.` o.ng ho p n` ay, hai th` anh phˆ ` n d¯ˆ a ` u tu.o.ng ´ a u.ng to.a
d ¯ˆ o trong a˙’nh v`a th`anh phˆa ` n th´ u ba tu.o.ng ´ u.ng cu.` o.ng d ¯ˆ o s´ang cu˙’a n´o ta.i d¯´o C´ac tˆa.p trong khˆ ong gian c´ o sˆ o´ chiˆ ` u cao ho.n c´ e o thˆ e˙’ ch´ u.a nh˜ u.ng thuˆ o.c t´ınh kh´ac cu˙’a a˙’nh nhu . m` au sˇ a ´c hay c´ac th`anh phˆa ` n thay d¯ˆ o˙’i theo th` o.i gian.
Trong phˆ ` n tiˆe´p theo ch´ a ung ta tr`ınh b` ay c´ ac kh´ ai niˆ e.m quan tro.ng trong h`ınh th´ ai ho.c v`a trˆen co so.˙’ d¯´o t`ım c´ac d¯ˇa.c tru.ng cu˙’a a˙’nh, chˇa˙’ng ha.n bˆo khung v`a biˆen cu˙’a v` ung s˜ e d ¯u.o c x´ ac d ¯i.nh thˆong qua c´ac ph´ep to´an h`ınh th´ai ho.c Nhiˆe ` u ph´ep to´ an c´ o thˆ e˙’ d ¯u.o c ph´ at biˆ e˙’u trong khˆ ong gian Euclid n chiˆ ` u, tuy nhiˆen ch´ e ung ta vˆ a ˜n tˆa.p trung chu˙’ yˆ e´u v` ao c´ ac a˙’nh nhi phˆan m`a c´ac th`anh phˆa ` n cu˙’a n´ o l` a c´ ac phˆ ` n tu a ˙’ cu˙’a Z 2 .
Viˆ e.c mo ˙’ rˆ . o.ng d¯ˆo´i v´o i c´ac a˙’nh gi´a tri x´am s˜e d¯u.o c d¯ˆe` cˆa.p d¯ˆe´n trong Phˆa`n 8.4.5.
8.4.1 Ph´ ep d˜ an v` a ph´ ep co
Tru.´ o.c hˆ e´t ch´ ung ta x´ et hai ph´ ep to´ an co ba˙’n nhˆ a´t trong c´ ac ph´ ep to´ an h`ınh th´ ai ho.c:
ph´ ep d˜ an (dilation) v` a ph´ ep co (erosion).
Trang 2C´ ac d ¯i.nh ngh˜ıa
Gia˙’ su ˙’ A v` a B l` a c´ ac tˆ a.p con cu˙’a Z 2
Ti.nh tiˆe´n cu˙’a A theo vector x, k´y hiˆe.u (A) x , x´ ac
d ¯i.nh bo ˙’ i .
(A) x := {a + x | x ∈ A}.
D - ˆo´i x´ u.ng cu˙’a B (qua gˆ o´c), k´ y hiˆ e.u ˆ B, x´ ac d ¯i.nh bo ˙’ i .
ˆ
B := {−x | x ∈ B}.
Phˆ ` n b` a u cu˙’a tˆ a.p A l`a
A c := {x | x / ∈ A}.
Hiˆ e.u cu˙’a hai tˆa.p A v`a B, k´y hiˆe.u A \ B, x´ac d¯i.nh bo ˙’ i .
A \ B := {x | x ∈ A, x / ∈ B}.
Ph´ ep d˜ an
Gia˙’ su ˙’ A v` a B l` a hai tˆ a.p con cu˙’a Z 2 Ph´ ep d˜ an cu˙’a A bo. ˙’ i tˆ a.p B, k´y hiˆe.u A ⊕ B, x´ac
d ¯i.nh nhu sau
A ⊕ B := {x | A ∩ ( ˆ B) x 6= ∅}.
Dˆ ˜ d`ang ch´ e u.ng minh rˇ a `ng
A ⊕ B = {x | [A ∩ ( ˆ B) x ] ⊂ A}.
Tˆ a.p B thu `o.ng go.i l`a phˆa`n tu.˙’ cˆa´u tr´uc.
Ngo` ai d ¯i.nh ngh˜ıa trˆen cu˙’a ph´ep d˜an, ch´ung ta c`on hai d¯i.nh ngh˜ıa tu o.ng d¯u.o.ng kh´ ac Tuy nhiˆ en, d ¯i.nh ngh˜ıa n`ay tiˆe.n du.ng ho n v`ı n´o tru c quan ho.n khi phˆa`n tu.˙’ cˆa´u tr´ uc d ¯u.o c xem nhu mˆo.t mˇa.t na t´ıch chˆa.p Mˇa.c d`u ph´ep d˜an du a trˆen c´ac ph´ep to´an
tˆ a.p ho p trong khi d . ¯´ o t´ıch chˆ a.p du a v` . ao c´ ac ph´ ep to´ an sˆ o´ ho.c nhu ng c´o su tu.o.ng tu gi˜ u.a hai ph´ ep to´ an n` ay: “lˆ a.t” B qua gˆo´c to.a d¯ˆo v`a sau d¯´o di chuyˆe˙’n ˆ B liˆ en tiˆ e´p trˆ en
tˆ a.p (a˙’nh) A tu o.ng tu v´o.i qu´a tr`ınh xu.˙’ l´y t´ıch chˆa.p.
V´ ı du 8.4.1 H`ınh 8.11(a) l` a tˆ a.p A v`a H`ınh 8.11(b) l`a phˆa ` n tu ˙’ cˆ a´u tr´ uc c´ o t´ınh chˆ a´t
d ¯ˆ o´i x´ u.ng qua gˆ o´c (t´ u.c l` a ˆ B = B) C´ ac d ¯u.` o.ng n´ et d ¯´ u.t trong H`ınh 8.11(c) l` a a˙’nh gˆ o´c (de˙’ tiˆ e.n tham kha˙’o), v`a d¯u `o.ng liˆe ` n n´et l` a a˙’nh sau khi d˜ an H`ınh 8.11(d)-(e) l` a mˆ o.t
Trang 3
• d d/4 d/4 d/4 ˆ B = B ˆ B = B d d A d d/8 d/8 | | | | d d/8 d/8 | | | | − − − − d/2 d/2 d A ⊕ B A ⊕ B (a) (b) (c) (d) (e) .
•
H`ınh 8.11: (a) A ˙’ nh ban d¯ˆa`u A; (b) phˆa`n tu.˙’ cˆa´u tr´uc c´o t´ınh d¯ˆo´i x´u.ng qua gˆo´c to.a d¯ˆo.;
(c) d˜ an A bo ˙’ i B (phˆ ` n x´ a am); (d) phˆ ` n tu a ˙’ cˆ a´u tr´ uc d ¯u.o c k´ eo d` ai; (e) d˜ an A su. ˙’ du.ng phˆ ` n tu a ˙’ cˆ a´u tr´ uc n` ay.
Trang 4Ph´ ep co
Gia˙’ su ˙’ A v` a B l` a hai tˆ a.p con cu˙’a Z 2 Ph´ ep co cu˙’a A bo. ˙’ i tˆ a.p B, k´y hiˆe.u A B, d¯i.nh
ngh˜ıa nhu sau:
A B := {x | (B) x ⊂ A}.
Tu.o.ng tu ph´ ep d˜ an, c` on c´ o hai d ¯i.nh ngh˜ıa tu o.ng d¯u.o.ng kh´ac cu˙’a ph´ep co (xem B`ai
tˆ a.p ??), tuy nhiˆen d¯i.nh ngh˜ıa trˆen cho ph´ep dˆe˜ t´ınh to´an ho n.
V´ ı du 8.4.2 Tˆ a.p A trong H`ınh 8.12(a) d¯u o c co bo.˙’i phˆa`n tu.˙’ cˆa´u tr´uc (H`ınh 8.12(b)):
kˆ e´t qua˙’ trong H`ınh 8.12(c) (phˆ ` n x´ a am, d ¯u.` o.ng d ¯´ u.t n´ et d ¯ˆ e˙’ tham kha˙’o) H`ınh 8.12(e) l` a kˆ e´t qua˙’ khi co A bo. ˙’ i phˆ ` n tu a ˙’ cˆ a´u tr´ uc d ¯u.o c k´ eo d` ai (H`ınh 8.12(d)).
T´ ınh chˆ a ´t 8.4.3 Ph´ ep d˜ an v` a ph´ ep co l` a d ¯ˆ o´i ngˆ a ˜u nhau qua ph´ep lˆ a´y phˆ ` n b` a u v` a d ¯ˆ o´i x´ u.ng; t´ u.c l` a
(A B) c = A c ⊕ ˆ B.
Ch´ u.ng minh Thˆ a.t vˆa.y ta c´o
(A B) c = {x | (B) x ⊂ A} c Nhu.ng (B) x ⊂ A tu.o.ng d ¯u.o.ng v´ o.i (B) x ∩ A c = ∅ Do d ¯´ o
(A B) c = {x | (B) x ∩ A c = ∅} c
Vˆ a.y
{x | (B) x ∩ A c = ∅} c = {x | (B) x ∩ A c 6= ∅}
= A c ⊕ ˆ B.
2
8.4.2 Ph´ ep mo ˙’ v` a ph´ ep d ¯´ ong
Nhu d ¯˜ a biˆ e´t, ph´ ep d˜ an mo ˙’ rˆ o.ng a˙’nh, trong khi ph´ep co r´ut go.n la.i Trong phˆa ` n n` ay ch´ ung ta x´ et hai ph´ ep to´ an h`ınh th´ ai ho.c kh´ac: ph´ep mo ˙’ v` . a ph´ ep d ¯´ ong Ph´ ep mo ˙’
thu.` o.ng l` am tro.n chu tuyˆ e´n cu˙’a a˙’nh, loa.i bo˙’ c´ac eo v`a nh˜u ng phˆa`n nhˆo ra c´o k´ıch thu.´ o.c nho˙’ Ph´ ep d ¯´ ong c˜ ung l` am tro.n c´ ac d ¯oa.n biˆen cu˙’a chu tuyˆe´n nhu ng ngu.o c v´o.i ph´ ep mo ˙’ , ph´ep to´ an n` ay thu.` o.ng ho p nhˆ a´t c´ ac chˆ o ˜ gˆa˜y he.p v`a c´ac hˆo´ sˆau he.p, loa.i bo˙’
Trang 5
• • d/4 d/4 d/4 d A B B A B A B | | | | 3d/8 d/8 d/8 | | | | 3d/8 d/8 d/8 d/2 − − (a) (b) (c) (d) (e)
H`ınh 8.12: (a) A ˙’ nh ban d¯ˆa`u A; (b) phˆa`n tu.˙’ cˆa´u tr´uc B; (c) co A bo.˙’i B (phˆa`n x´am);
(d) phˆ ` n tu a ˙’ cˆ a´u tr´ uc d ¯u.o c k´ eo d` ai; (e) co A su. ˙’ du.ng phˆa ` n tu ˙’ cˆ a´u tr´ uc n` ay.