Bao lˆ ` i o
Trong Phˆ` n 8.1.4 ta biˆe´t rˇa a`ng bao lˆo`i l`a mˆo.t trong nh˜u.ng d¯ˇa.c tru.ng h˜u.u ´ıch cu˙’a d¯ˆo´i tu.o. ng Phˆ` n n`a ay tr`ınh b`ay thuˆa.t to´an h`ınh th´ai ho.c d¯ˆe˙’ x´ac d¯i.nh bao lˆo`i C(A) cu˙’a tˆa.p
A D - ˇa.t B i
, i = 1, 2, 3, 4, l`a bˆo´n phˆ` n tu.a ˙’ cˆa´u tr´uc Ta d¯i.nh ngh˜ıa
X k i = (X ∗ B i ) ∪ A, i = 1, 2, 3, 4, v` a k = 1, 2, (8.5)
trong d¯´o X0i = A Nˆ e´u xa˙’y ra X k i = X k−1 i th`ı d`u.ng v`a d¯ˇa.t D i = X k i Khi d¯´o bao lˆ`io
cu˙’a A l`a
N´oi c´ach kh´ac, thuˆa.t to´an thu c hiˆ. e.n ph´ep biˆe´n d¯ˆo˙’i hit-or-miss tˆa.p A v´o i B1 cho d¯ˆe´n khi d¯u.o. c a˙’nh khˆong thay d¯ˆo˙’i; sau d¯´o ho. p A v´o.i kˆe´t qua˙’ D i Tiˆe´p tu.c v´o.i B2 cho d¯ˆe´n khi khˆong thay d¯ˆo˙’i a˙’nh v`a vˆan vˆan Ho. p cu˙’a bˆo´n tˆa.p D i cho ta bao lˆ`i cu˙’a A.o
L` am g` ay
L`am g`ay tˆa.p A bo˙’ i phˆ. ` n tu.a ˙’ cˆa´u tr´uc B, k´y hiˆe.u bo˙’ i A ⊗ B, c´. o thˆe˙’ d¯i.nh ngh˜ıa theo ph´ep biˆe´n d¯ˆo˙’i hit-or-miss:
A ⊗ B = A \ (A ∗ B)
D- ˆe˙’ l`am g`ay A mˆo.t c´ach d¯ˆo´i x´u.ng hiˆe.u qua˙’ ho.n, ta du a v`ao d˜ay c´ac phˆa`n tu.˙’ cˆa´u
tr´ uc:
{B} = {B1, B2, , B n }, (8.8)
trong d¯´o B i nhˆa.n d¯u.o c t`u B i−1 qua ph´ep quay quanh tˆam cu˙’a n´o V´o.i kh´ai niˆe.m n`ay,
ta d¯i.nh ngh˜ıa ph´ep l`am g`ay bo˙’ i mˆ. o.t d˜ay c´ac phˆa` n tu.˙’ cˆa´u tr´uc theo cˆong th´u.c
A ⊗ B = ((· · · ((A ⊗ B1) ⊗ B2) · · · ) ⊗ B n ). (8.9)
N´oi c´ach kh´ac, qu´a tr`ınh l`am g`ay A bo ˙’ i B1, kˆe´t qua˙’ d¯u.o. c l`am g`ay bo.˙’ i B2 v`a vˆan vˆan, cho d¯ˆe´n khi a˙’nh khˆong thay d¯ˆo˙’i
L` am b´ eo
Ph´ep to´an l`am b´eo l`a d¯ˆo´i ngˆa˜u (h`ınh th´ai ho.c) cu˙’a ph´ep l`am g`ay v`a d¯i.nh ngh˜ıa bo.˙’i
Trang 2trong d¯´o B l`a phˆ` n tu.a ˙’ cˆa´u tr´uc d¯u.o. c cho.n th´ıch ho p d. ¯ˆe˙’ l`am b´eo Nhu trˆen, l`am b´eo c´o thˆe˙’ d¯i.nh ngh˜ıa nhu mˆo.t d˜ay c´ac ph´ep to´an
A {B} = ((· · · ((A B1) B2) · · · ) B n ). (8.11)
C´ac phˆ` n tu.a ˙’ cˆa´u tr´uc d¯u.o. c su˙’ du.ng d¯ˆe˙’ l`am b´eo c´o c`ung da.ng nhu. trong H`ınh
??(a) nhu.ng ho´an d¯ˆo˙’i 0 cho 1 v`a ngu.o. c la.i Tuy nhiˆen, mˆo.t thuˆa.t to´an chı˙’ d¯ˆe˙’ l`am b´eo
´ıt khi d¯u.o. c su˙’ du.ng trong thu c tˆe´ Thay v`ao d¯´o, ta thu.`o.ng l`am g`ay nˆe. ` n ch´u.a tˆa.p d¯`oi ho˙’i v`a sau d¯´o lˆa´y phˆ` n b`a u N´oi c´ach kh´ac, d¯ˆe˙’ l`am b´eo tˆa.p A ta d¯ˇa.t C = A c , l`am g`ay
C v`a sau d¯´o lˆa´y phˆ` n b`a u C c
T` ım bˆ o khung
Trong Phˆ` n 8.1.5 ch´a ung ta d¯˜a d¯ˆ` cˆe a.p d¯ˆe´n kh´ai niˆe.m bˆo khung v`a c´ach t´ach n´o ra kho˙’i
mˆo.t d¯ˆo´i tu.o ng Phˆa`n n`ay tiˆe´p cˆa.n theo c´ach h`ınh th´ai ho.c d¯ˆe˙’ t´ach bˆo khung t`u d¯ˆo´i tu.o. ng.
Lantu´ejoul (xem [18]) d¯˜a ch´u.ng minh rˇa`ng bˆo khung cu˙’a mˆo.t tˆa.p (v`ung) A c´o
thˆe˙’ biˆe˙’u diˆ˜n theo thuˆa.t ng˜u c´ac ph´ep to´an co v`a mo.˙’ T´u.c l`a, nˆe´u k´y hiˆe.u S(A) l`a bˆo.e khung cu˙’a tˆa.p A th`ı
S(A) =
K
[
k=0
trong d¯´o
S k (A) =
K
[
k=0 {(A kB) \ [(A kB) ◦ B]} (8.13)
v`a B l`a phˆ` n tu.a ˙’ cˆa´u tr´uc, (A kB) l`a ph´ep co liˆen tiˆe´p k lˆ ` n trˆen A; t´a u.c l`a
(A kB) = ((· · · (A B) · · · ) B
k lˆ` n, v`a a K l`a bu.´o.c lˇa.p cuˆo´i c`ung tru.´o.c khi A bi ˇan m`on th`anh tˆa.p trˆo´ng; n´oi c´ach
kh´ac
K = max{k | (A kB) 6= ∅}.
Nhu tru.´o.c, (◦) d¯u.o. c su˙’ du.ng d¯ˆe˙’ k´y hiˆe.u ph´ep to´an mo.˙’ trong Phu.o.ng tr`ınh (8.13)..
Cˆong th´u.c d¯u.o. c cho trong c´ac phu.o.ng tr`ınh (8.12) v`a (8.13) khˇa˙’ng d¯i.nh rˇa`ng
bˆo khung S(A) c´o thˆe˙’ nhˆa.n d¯u o c t`u ho p cu˙’a c´ac bˆo khung con S k (A) C´o thˆe˙’ ch´u.ng
Trang 3minh rˇa`ng A c´o thˆe˙’ xˆay du. ng la.i t`u c´ac tˆa.p con n`ay bˇa`ng c´ach su˙’ du.ng phu.o.ng tr`ınh.
A =
K
[
k=0
trong d¯´o (Sk (A) ⊕ kB) k´y hiˆe.u k lˆa` n d˜an no.˙’ tˆa.p S k (A); t´u.c l`a
(Sk(A) ⊕ kB) = ((· · · ((Sk (A) ⊕ B) ⊕ B) ⊕ · · · ) ⊕ B
k lˆ` n v`a a gi´o.i ha.n K cu˙’a tˆo˙’ng d¯u.o c lˆa´y nhu tru.´o.c
Ph´ ep tı˙’a
C´ac phu.o.ng ph´ap tı˙’a (pruning) l`a mˆo.t bˆo˙’ sung cˆa` n thiˆe´t cu˙’a c´ac thuˆa.t to´an l`am g`ay v`a t`ım bˆo khung do c´ac thu˙’ tu.c n`ay d¯ˆe˙’ la.i nh˜u.ng th`anh phˆa`n cˆa`n loa.i bo˙’ (go.i l`a k´y
sinh).
Ba˙’ng 8.2 tˆo˙’ng kˆe´t c´ac ph´ep to´an h`ınh th´ai ho.c d¯u.o c tr`ınh b`ay trong phˆa`n n`ay H`ınh 8.17 t´om tˇa´t c´ac phˆa` n tu.˙’ cˆa´u tr´uc d¯u.o. c su˙’ du.ng (C´ac sˆo´ La m˜a trong dˆa´u ngoˇa.c.
d¯o.n tham chiˆe´u d¯ˆe´n c´ac phˆ` n tu.a ˙’ cˆa´u tr´uc d¯u.o. c su˙’ du.ng trong qu´a tr`ınh xu.˙’ l´y h`ınh. th´ai ho.c (xem H`ınh 8.17))
Trang 4Ph´ep to´an Phu.o.ng tr`ınh Ch´u th´ıch
Ti.nh tiˆe´n (A)x = {a + x | x ∈ A} Ti.nh tiˆe´n A theo vector x.
Lˆa´y d¯ˆo´i x´u.ng B = {x | − x ∈ B}ˆ Lˆa´y d¯ˆo´i x´u.ng B qua gˆo´c to.a
d¯ˆo
Phˆ` n b`a u A c = {x | x / ∈ A} Tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m khˆong thuˆo.c
A.
Hiˆe.u A \ B = {x | x ∈ A, x / ∈ B} Tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m thuˆo.c A
nhu.ng khˆong thuˆo.c B.
Ph´ep d˜an A ⊕ B = {x | ( ˆ B) x ∩ A 6= ∅ “Mo.˙’ rˆo.ng” biˆen cu˙’a A (I)
Ph´ep co A B = {x | (B) x ⊂ A} “Co” biˆen cu˙’a A (I)
Ph´ep mo.˙’ A ◦ B = (A B) ⊕ B L`am tro.n d¯u.`o.ng biˆen, ngˇa´t
c´ac eo, loa.i bo˙’ c´ac v`ung nho˙’ v`a c´ac m˜ui nho.n (I)
Ph´ep d¯´ong A • B = (A ⊕ B) B L`am tro.n d¯u.`o.ng biˆen, ho. p
nhˆa´t chˆo˜ n´u.t nho˙’ v`a c´ac hˆo´ he.p d`ai, khu˙’ bo˙’ c´. ac lˆo˜ nho˙’ (I)
Ph´ep biˆe´n d¯ˆo˙’i
Hit-or-Miss
A ∗ B = (A B1) ∩ (A c B2)
= (A B1) \ (A ⊕ ˆ B2)
Tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m (c´ac to.a d¯ˆo.) xa˙’y ra d¯ˆ`ng th`o o.i B1 c´o mˆo.t
d¯ˆo´i s´anh (“hit”) trong A v`a
B2 c´o mˆo.t d¯ˆo´i s´anh trong
A c
T`ım biˆen ∂A = A \ (A B) Tˆa.p c´ac d¯iˆe˙’m trˆen biˆen cu˙’a
A (I)
Tr´am v`ung X0 = {p} v`a v´o.i k = 1, 2, d¯ˇa.t Tr´am mˆo.t v`ung ch´u.a trong
Trang 5Ph´ep to´an Phu.o.ng tr`ınh Ch´u th´ıch
T`ım th`anh phˆ` na
liˆen thˆong
X0 = {p} v`a v´o.i k = 1, 2, d¯ˇa.t
X k = (Xk−1 ⊕ B) ∩ A
T`ım th`anh phˆ` n liˆen thˆa ong
cu˙’a A ch´u.a d¯iˆe˙’m p (I)
Bao lˆ`io
X0i = A, i = 1, 2, 3, 4, v`a d¯ˇa.t
X k i = (X k−1 i ∗ B i ) ∪ A, k ≥ 1
D i = Xconvi , C(A) = ∪4i=1 D i
T`ım bao lˆ`i C(A) cu˙’a A,o trong d¯´o “conv” k´y hiˆe.u hˆo.i
tu theo ngh˜ıa X k i = X k−1 i
(III)
L`am ma˙’nh A ⊗ B = A \ (A ∗ B)
= A ∩ (A ∗ B) c
L`am ma˙’nh tˆa.p A Hai
phu.o.ng tr`ınh d¯ˆ` u l`a a d¯i.nh ngh˜ıa cu˙’a ph´ep to´an l`am ma˙’nh Hai phu.o.ng tr`ınh sau l`a qu´a tr`ınh l`am ma˙’nh
bo.˙’ i mˆo.t d˜ay c´ac phˆa` n tu.˙’
cˆa´u tr´uc Phu.o.ng ph´ap n`ay thu.`o.ng d`ung trong thu. c tˆe´ (IV)
L`am b´eo
A {B} = ((· · · ((A B1) B2)
· · · ) B n)
L`am b´eo tˆa.p A (Xem ch´u
th´ıch tru.´o.c) Su.˙’ du.ng (IV) nhu.ng ho´an d¯ˆo˙’i vai tr`o 0 v`a 1
Bˆo khung S(A) = ∪K
k=0 S k (A)
S k(A) = ∪ K
k=0 {(A kB)
\[(A kB) ◦ B]}
A = ∪K k=0 (Sk (A) ⊕ kB)
T`ım bˆo khung S(A) cu˙’a tˆa.p
A Phu.o.ng tr`ınh cuˆo´i chı˙’
ra tˆa.p A c´o thˆe˙’ xˆay du ng. t`u c´ac bˆo khung con S k (A).
Trong tˆa´t ca˙’ ba phu.o.ng
tr`ınh, K l`a sˆo´ bu.´o.c lˇa.p m`a sau d¯´o co thˆem mˆo.t lˆa` n n˜u.a
th`ı A = ∅ K´y hiˆe.u (A kB)
c´o ngh˜ıa thu. c hiˆe.n co k lˆa` n trˆen A bo.˙’ i phˆ` n tu.a ˙’ cˆa´u tr´uc
B (I)
... c´. o thˆe˙’ d¯i.nh ngh˜ıa theo ph´ep biˆe´n d¯ˆo˙’i hit-or-miss:A ⊗ B = A \ (A ∗ B)
D- ˆe˙’ l`am g`ay A mˆo.t c´ach d¯ˆo´i x´u.ng hiˆe.u qua˙’ ho.n, ta du... d¯ˆe˙’ k´y hiˆe.u ph´ep to´an mo.˙’ Phu.o.ng tr`ınh (8. 13)..
Cˆong th´u.c d¯u.o. c cho c´ac phu.o.ng tr`ınh (8. 12) v`a (8. 13) khˇa˙’ng d¯i.nh rˇa`ng
bˆo khung... uc:
{B} = {B1, B2, , B n }, (8. 8)
trong d¯´o B i nhˆa.n d¯u.o c t`u B i−1 qua