lˆe.ch tˆam cu˙’a biˆen... do c´ac hˆe.
Trang 1chu tuyˆe´n l`a mˆo.t xˆa´p xı˙’ thˆo cu˙’a d¯ˆo d`ai V´o.i d¯u.`o.ng cong d¯u.o c m˜a x´ıch c´o khoa˙’ng c´ach bˇa`ng d¯o.n vi theo ca˙’ hai hu.´o.ng th`ı tˆo˙’ng sˆo´ c´ac th`anh phˆa` n ngang, d¯´u.ng v`a
√ 2
lˆ` n sˆa o´ c´ac th`anh phˆ` n ch´eo cho d¯ˆa o d`ai ch´ınh x´ac
diam(B) := max{d(p, q) | p, q ∈ B},
trong d¯´o d(p, q) l`a khoa˙’ng c´ach gi˜u.a hai pixel p v` a q K´y hiˆe.u a, b l`a hai d¯iˆe˙’m m`a gi´a
tri n`ay d¯a.t d¯u.o c; t´u.c l`a
d(a, b) = diam(B).
Ta go.i d¯u.`o.ng thˇa˙’ng nˆo´i hai d¯iˆe˙’m a, b l`a tru.c ch´ınh cu˙’a biˆen D-u.`o.ng k´ınh v`a tru.c ch´ınh
l`a nh˜u.ng miˆeu ta˙’ h˜u.u ´ıch cu˙’a biˆen
cu˙’a d¯u.`o.ng biˆen ch´ınh x´ac l`a rˆa´t kh´o v`ı c´ac d¯u.`o.ng biˆen vˆ` mˇe a.t d¯i.a phu.o.ng thu.`o.ng gˆo` ghˆ` Tuy nhiˆen su.e ˙’ du.ng hiˆe.u sˆo´ gi˜u.a c´ac hˆe sˆo´ g´oc cu˙’a hai d¯oa.n biˆen kˆe` nhau (khi c´ac
d¯oa.n n`ay d¯u.o c biˆe˙’u diˆe˜n bˇa`ng c´ac d¯oa.n thˇa˙’ng) l`a mˆo.t miˆeu ta˙’ cu˙’a d¯ˆo cong ta.i giao
d¯iˆe˙’m cu˙’a hai d¯oa.n c´o thˆe˙’ h˜u.u ´ıch Chˇa˙’ng ha.n c´ac d¯ı˙’nh cu˙’a c´ac d¯u.`o.ng biˆen trong H`ınh
??(b) v`a (d) x´ac d¯i.nh d¯ˆo cong ta.i d¯´o V`ı d¯u.`o.ng biˆen d¯u.o c duyˆe.t theo chiˆe`u kim d¯ˆo`ng
hˆ`, ta n´o oi d¯iˆe˙’m p thuˆ o.c mˆo.t d¯oa.n lˆo `i nˆe´u hiˆe.u sˆo´ thay d¯ˆo˙’i cu˙’a hˆe sˆo´ g´oc l`a khˆong ˆam;
ngu.o. c la.i p go.i l`a thuˆo.c d¯oa.n l˜om Miˆeu ta˙’ d¯ˆo cong ta.i mˆo.t d¯iˆe˙’m c´o thˆe˙’ l`am tˆo´t ho.n
bˇa`ng c´ach su.˙’ du.ng pha.m vi thay d¯ˆo˙’i cu˙’a hˆe sˆo´ g´oc Chˇa˙’ng ha.n, p gˆa` n d¯oa.n thˇa˙’ng nˆe´u thay d¯ˆo˙’i nho˙’ ho.n 100 hoˇa.c l`a g´oc nˆe´u thay d¯ˆo˙’i vu.o t qu´a 900 Tuy nhiˆen nh˜u.ng miˆeu ta˙’ n`ay cˆ` n d¯u.o.a c su˙’ du.ng mˆo.t c´ach cˆa˙’n thˆa.n do ´y ngh˜ıa cu˙’a ch´ung phu thuˆo.c v`ao d¯ˆo.. d`ai cu˙’a t`u.ng d¯oa.n so v´o.i d¯ˆo d`ai to`an thˆe˙’ cu˙’a d¯u.`o.ng biˆen
8.2.2 Sˆ o´ mˆ a ˜u
Nhu d¯˜a gia˙’i th´ıch trong Phˆ` n 8.1.1, hiˆe.u th´u nhˆa´t cu˙’a d¯u.`o.ng biˆen d¯u.o c m˜a x´ıch phu.a thuˆo.c v`ao d¯iˆe˙’m xuˆa´t ph´at Sˆo´ mˆa˜u cu˙’a d¯u.`o.ng biˆen n`ay du a trˆen m˜a x´ıch 4−hu.´o.ng cu˙’a H`ınh 8.1(a) l`a hiˆe.u th´u nhˆa´t cu˙’a sˆo´ nho˙’ nhˆa´t Sˆo´ c´ac ch˜u sˆo´ biˆe˙’u diˆe˜n sˆo´ mˆa˜u go.i
sˆo´ tˆo´i d¯a c´ac mˆa˜u kh´ac nhau H`ınh 8.7 chı˙’ ra tˆa´t ca˙’ c´ac mˆa˜u c´o bˆa.c 4, 6 v`a 8 c`ung v´o.i c´ac biˆe˙’u diˆ˜n m˜a x´ıch, hiˆe.u th´u nhˆa´t v`a sˆo´ mˆa˜u tu.o.ng ´u.ng Ch´u ´y rˇa`ng hiˆe.u th´u.e nhˆa´t d¯u.o. c t´ınh bˇa`ng c´ach coi c´ac m˜a x´ıch nhu d˜ay kh´ep k´ın (xem Phˆa` n 8.1.1) Mˇa.c d`u hiˆe.u th´u nhˆa´t cu˙’a m˜a x´ıch khˆong phu thuˆo.c v`ao ph´ep quay, n´oi chung c´ac d¯u.`o.ng
Trang 2M˜a x´ıch:
Hiˆe.u:
Sˆo´ mˆa˜u:
.
• 0 0 3 3 2 2 1 1 3 0 3 0 3 0 3 0 0 3 0 3 0 3 0 3
.
0 3 0 3 2 2 1 1 3 3 1 3 3 0 3 0 0 3 0 3 3 1 3 3 •
0 0 0 3 2 2 2 1 3 0 0 3 3 0 0 3 0 0 3 3 0 0 3 3 • Bˆa.c 8 M˜a x´ıch: Hiˆe.u: Sˆo´ mˆa˜u:
.
0 3 2 1 3 3 3 3 3 3 3 3 • Bˆa.c 4
.
0 0 3 2 2 1
3 0 3 3 0 3
0 3 3 0 3 3
•
Bˆa.c 6
H`ınh 8.7: C´ac kha˙’ nˇang cu˙’a biˆen v´o.i bˆa.c 4, 6 v`a 8 C´ac hu.´o.ng tu.o.ng ´u.ng H`ınh 8.1 v`a dˆa´u chˆa´m d¯´anh dˆa´u d¯iˆe˙’m xuˆa´t ph´at
biˆen d¯u.o. c m˜a ho´a phu thuˆo.c v`ao hu.´o.ng cu˙’a lu.´o.i khi lˆa´y mˆa˜u Phu.o.ng ph´ap chuˆa˙’n ho´a hu.´o.ng cu˙’a lu.´o.i nhu sau
Nhˇa´c la.i rˇa`ng tru.c ch´ınh cu˙’a d¯u.`o.ng biˆen l`a d¯oa.n thˇa˙’ng nˆo´i hai d¯iˆe˙’m xa nhˆa´t trˆen biˆen Tru c phu l`a d¯oa.n thˇa˙’ng vuˆong g´oc v´o.i tru.c ch´ınh v`a c´o d¯ˆo d`ai nho˙’ nhˆa´t sao cho h`ınh ch˜u nhˆa.t du a trˆ. en c´ac tru.c n`ay ch´u.a to`an bˆo biˆen Tı˙’ sˆo´ gi˜u.a tru.c ch´ınh v`a
tru.c phu go.i l`a d¯ˆo lˆe.ch tˆam cu˙’a biˆen H`ınh ch˜u nhˆa.t n´oi trˆen go.i l`a h`ınh ch˜u nhˆa.t co.
x´ıch su.˙’ du.ng lu.´o.i c´o c´ac ca.nh song song v´o.i c´ac ca.nh cu˙’a h`ınh ch˜u nhˆa.t co so.˙’
Trong thu. c tˆe´, v´o.i n nguyˆen du.o.ng cho tru.´o.c, ch´ung ta t`ım h`ınh ch˜u nhˆa.t bˆa.c
n m`a tˆam cu˙’a n´o xˆa´p xı˙’ tˆo´t nhˆa´t v´o.i tˆam cu˙’a h`ınh ch˜u nhˆa.t co so.˙’ v`a su.˙’ du.ng h`ınh ch˜u nhˆa.t m´o.i d¯ˆe˙’ ta.o k´ıch thu.´o.c cu˙’a lu.´o.i Chˇa˙’ng ha.n v´o.i n = 12 th`ı tˆa´t ca˙’ c´ac h`ınh
ch˜u nhˆa.t bˆa.c 12 (t´u.c l`a d¯ˆo d`ai chu vi cu˙’a n´o l`a 12) l`a 2 × 4, 3 × 3, v`a 1 × 5 Nˆe´u h`ınh
Trang 3ch˜u nhˆa.t 2 × 4 d¯ˆo´i s´anh tˆo´t nhˆa´t v´o.i tˆam cu˙’a h`ınh ch˜u nhˆa.t co so.˙’ cu˙’a d¯u.`o.ng biˆen d¯˜a cho, ch´ung ta ta.o mˆo.t lu.´o.i 2 × 4 du a trˆen h`ınh ch˜u nhˆa.t co so.˙’ v`a su.˙’ du.ng phu.o.ng ph´ap trong Phˆ` n 8.1.1 d¯ˆe˙’ t`ım m˜a a x´ıch Nhu trˆen, sˆo´ mˆa˜u suy tru. c tiˆe´p t`u hiˆe.u th´u. nhˆa´t cu˙’a m˜a n`ay Mˇa.c d`u bˆa.c cu˙’a sˆo´ mˆa˜u thu.`o.ng bˇa`ng n do c´ach ta.o lu.´o.i, d¯u.`o.ng
biˆen sau khi lˆa´y mˆa˜u d¯ˆoi khi c´o bˆa.c cu˙’a sˆo´ mˆa˜u l´o.n ho.n n Trong tru.`o.ng ho p n`ay,
ch´ung ta x´et h`ınh vuˆong bˆa.c thˆa´p ho.n n v`a lˇa.p la.i thuˆa.t to´an cho d¯ˆe´n khi thu d¯u.o c
bˆa.c cu˙’a sˆo´ mˆa˜u l`a n.
V´ ı du 8.2.1 X´et d¯u.`o.ng biˆen trong H`ınh 8.8(a) v`a gia˙’ thiˆe´t n = 18 D- ˆe˙’ t`ım sˆo´ mˆa˜u v´o.i bˆa.c tu.o.ng ´u.ng, ta ´ap du.ng c´ac bu.´o.c nˆeu trˆen Bu.´o.c d¯ˆa`u tiˆen l`a t`ım h`ınh ch˜u nhˆa.t co so.˙’ (H`ınh 8.8(b)) H`ınh ch˜u nhˆa.t gˆa`n nhˆa´t c´o bˆa.c 18 l`a 3 × 6 v`a do d¯´o ta c´o ph´ep phˆan hoa.ch nhu trong H`ınh 8.8(c) C´ac hu.´o.ng cu˙’a m˜a x´ıch d¯u.o c gˇa´n do.c theo lu.´o.i Cuˆo´i c`ung, nhˆa.n d¯u.o c m˜a x´ıch v`a su.˙’ du.ng hiˆe.u d¯ˆa`u tiˆen d¯ˆe˙’ t´ınh sˆo´ mˆa˜u nhu trong H`ınh 8.8(d)
8.2.3 Miˆ eu ta˙’ Fourier
H`ınh 8.9 minh ho.a d¯u.`o.ng biˆen sˆo´ gˆo`m N pixel sˇa´p ngu.o c chiˆe`u kim d¯ˆo`ng hˆo` xuˆa´t ph´at
t`u (x0, y0) :
(x0, y0), (x1, y1), , (x N −1 , y N −1 ).
C´ac to.a d¯ˆo n`ay c´o thˆe˙’ biˆe˙’u diˆe˜n du.´o.i da.ng x(k) = x k , y(k) = y k Khi d¯´o d¯u.`o.ng biˆen l`a d˜ay c´ac to.a d¯ˆo s(k) = (x(k), y(k)), k = 0, 1, , N − 1 Ho.n n˜u.a ta c´o thˆe˙’ ph´u.c ho´a
s(k) = x(k) + iy(k).
v´o.i k = 0, 1, , N − 1 T´u.c l`a tru.c ho`anh xem nhu tru.c thu c v`a tru.c tung xem nhu tru.c a˙’o Mˇa.c d`u ph´u.c ho´a, nhu.ng ba˙’n chˆa´t cu˙’a d¯u.`o.ng biˆen khˆong thay d¯ˆo˙’i D˜ı nhiˆen
d¯iˆ` u n`e ay tiˆe.n lo i do ta d. ¯u.a viˆe.c nghiˆen c´u.u hai chiˆe` u thu. c vˆ` mˆe o.t chiˆe` u (ph´u.c) Biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier r`o.i ra.c cu˙’a s(k) ta d¯u.o c
N
N −1X
k=0
s(k) exp[−2πiuk/N ]
v´o.i u = 0, 1, , N − 1 C´ac hˆe sˆo´ a(u) go.i l`a miˆeu ta˙’ Fourier cu˙’a biˆen Biˆe´n d¯ˆo˙’i
Fourier ngu.o. c cu˙’a a(u) phu.c hˆ `i s(k) :o
s(k) =
N −1X
u=0
a(u) exp[2πiuk/N ]
Trang 4(c)
.
(d) M˜a x´ıch: Hiˆe.u: Sˆo´ mˆa˜u: 0 0 0 0 3 0 0 3 2 2 3 2 2 2 1 2 1 1 3 0 0 0 3 1 0 3 3 0 1 3 0 0 3 1 3 0 0 0 0 3 1 0 3 3 0 1 3 0 0 3 1 3 0 3
.
(b)
H`ınh 8.8: C´ac bu.´o.c ta.o ra sˆo´ mˆa˜u
v´o.i k = 0, 1, , N − 1 Nˆe´u gia˙’ thiˆe´t chı˙’ c´o M hˆe sˆo´ d¯ˆa` u tiˆen trong tˆa´t ca˙’ c´ac hˆe sˆo´
ˆ
s(k) =
M −1X
u=0
v´o.i k = 0, 1, , N − 1 Nˆe´u sˆo´ c´ac d¯iˆe˙’m trˆen biˆen l´o.n, ta thu.`o.ng cho.n M l`a l˜uy th`u.a cu˙’a 2 d¯ˆe˙’ tiˆe.n viˆe.c t´ınh to´an trong biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier Nhˇa´c la.i rˇa`ng, c´ac th`anh phˆa` n tˆ` na
sˆo´ cao tu.o.ng ´u.ng chi tiˆe´t nˆo˙’i, trong khi nh˜u.ng th`anh phˆ` n tˆa ` n sˆa o´ thˆa´p x´ac d¯i.nh d´ang
d¯iˆe.u to`an cu.c Do d¯´o khi M nho˙’ th`ı nh˜u.ng chi tiˆe´t trˆen biˆen s˜e biˆe´n mˆa´t
C´o thˆe˙’ su.˙’ du.ng mˆo.t sˆo´ miˆeu ta˙’ Fourier d¯ˆe˙’ gi˜u la.i h`ınh da.ng chu˙’ yˆe´u cu˙’a biˆen T´ınh chˆa´t n`ay l`a ho. p lˆe do c´ac hˆe sˆo´ n`ay mang thˆong tin cu˙’a h`ınh d´ang Do d¯´o ch´ung c´o thˆe˙’ su.˙’ du.ng nhu co so.˙’ d¯ˆe˙’ phˆan biˆe.t su kh´ac nhau gi˜u.a c´ac h`ınh d´ang biˆen (xem Chu.o.ng 9)
Trang 5
. .
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Tru.c thu c.
x
Tru.c a˙’o
√
−1y
H`ınh 8.9: D- u.`o.ng biˆen sˆo´ v`a biˆe˙’u diˆe˜n da.ng d˜ay sˆo´ ph´u.c C´ac d¯iˆe˙’m (x0, y0) v`a (x1, y1) l`a hai d¯iˆe˙’m (tu`y ´y) d¯ˆ` u tiˆen trong d˜a ay
Ch´ung ta d¯˜a mˆo.t v`ai lˆa` n d¯ˆe` cˆa.p d¯ˆe´n vˆa´n d¯ˆe` t`ım miˆeu ta˙’ ´ıt nha.y ca˙’m nhˆa´t c´o thˆe˙’ d¯ˆo´i v´o.i c´ac ph´ep quay, ti.nh tiˆe´n v`a co gi˜an Trong nh˜u.ng tru.`o.ng ho p m`a c´ac kˆe´t qua˙’ phu thuˆo.c nh˜u.ng d¯iˆe˙’m d¯u.o c xu.˙’ l´y, ta cˆa`n thˆem r`ang buˆo.c d¯ˆe˙’ c´ac miˆeu ta˙’ ´ıt nha.y ca˙’m v´o.i d¯iˆe˙’m xuˆa´t ph´at C´ac miˆeu ta˙’ Fourier nha.y ca˙’m gi´an tiˆe´p v´o.i c´ac ph´ep biˆe´n
d¯ˆo˙’i h`ınh ho.c n`ay, nhu.ng nh˜u.ng thay d¯ˆo˙’i d¯´o c´o thˆe˙’ liˆen quan d¯ˆe´n c´ac ph´ep biˆe´n d¯ˆo˙’i
d¯o.n gia˙’n Chˇa˙’ng ha.n, d¯ˆo´i v´o.i ph´ep quay ta biˆe´t rˇa`ng quay mˆo.t d¯iˆe˙’m quanh gˆo´c to.a
d¯ˆo trong mˇa.t phˇa˙’ng ph´u.c mˆo.t g´oc θ d¯u.o c thu c hiˆe.n bˇa`ng c´ach nhˆan d¯iˆe˙’m n`ay v´o.i
miˆeu ta˙’ Fourier
a r (u) = 1
N
N −1X
k=0
= a(u)e iθ
v´o.i u = 0, 1, , N − 1 N´oi c´ach kh´ac, ph´ep quay a˙’nh hu.o.˙’ ng d¯ˆe´n tˆa´t ca˙’ c´ac hˆe sˆo´
bˇa`ng c´ach nhˆan v´o.i c`ung mˆo.t hˇa`ng sˆo´ e iθ
Ba˙’ng 8.1 tˆo˙’ng kˆe´t c´ac miˆeu ta˙’ Fourier cu˙’a d˜ay s(k) qua ph´ep quay, ti.nh tiˆe´n,
co gi˜an v`a thay d¯ˆo˙’i d¯iˆe˙’m xuˆa´t ph´at K´y hiˆe.u ∆xy = ∆x + i∆y; do d¯´o kh´ai niˆe.m