Hai thu.˙’ nghiˆe.m sau cho ta mˆo´i liˆen hˆe... Thuˆa.t to´an nhu.
Trang 1D- ˇa.c biˆe.t, biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier cu˙’a f ⊗ f l`a phˆo˙’ cˆong suˆa´t cu˙’a f.
(ii) C´ac ph´ep to´an t´ıch chˆa.p v`a tu.o.ng quan chı˙’ kh´ac nhau bo.˙’i mˆo.t ph´ep quay 1800
(hay pha˙’n xa.) cu˙’a g(α, β) Nˆe´u h`am g(α, β) d¯ˆo´i x´u ng tu.o.ng ´u.ng qua c´ac tru.c α v`a β
th`ı c´ac ph´ep to´an n`ay l`a nhu nhau C´ac ph´ep to´an t´ıch chˆa.p v`a tu.o.ng quan thu.`o.ng
d¯u.o. c su˙’ du.ng d¯ˆe˙’ nˆang cao chˆa´t lu.o ng a˙’nh v`a phu.c hˆo. `i a˙’nh hay d¯ˆo´i s´anh a˙’nh Chˇa˙’ng ha.n, ´u.ng du.ng cu˙’a tu.o.ng quan trong xu.˙’ l´y a˙’nh l`a d¯ˆo´i s´anh mˆa˜u (template/prototype
matching), o.˙’ d¯´o vˆa´n d¯ˆ` ch´ınh l`e a t`ım mˆo.t so s´anh chˇa.t ch˜e nhˆa´t gi˜u.a mˆo.t a˙’nh chu.a biˆe´t f v`a mˆo.t tˆa.p c´ac a˙’nh d¯˜a biˆe´t f0, f1, , f n−1 : Tru.´o.c hˆe´t t´ınh tu.o.ng quan f ⊗ f i
cu˙’a a˙’nh f chu.a biˆe´t v`a c´ac a˙’nh f i d¯˜a biˆe´t A˙’ nh d¯u.o c d¯ˆo´i s´anh tˆo´t nhˆa´t l`a a˙’nh f i v´o.i gi´a tri kf ⊗ f ik l´o.n nhˆa´t Nhu trong tru.`o.ng ho. p cu˙’a t´ıch chˆa.p r`o.i ra.c, su.˙’ du.ng biˆe´n
d¯ˆo˙’i Fourier nhanh cho ph´ep t´ınh tu.o.ng quan hiˆe.u qua˙’ ho.n
3.3.9 T´ınh chˆ a´t cu˙’a phˆ o˙’
Trong nhiˆ` u tru.`e o.ng ho. p phˆo˙’ Fourier cu˙’a a˙’nh l`a h`am sˆo´ gia˙’m rˆa´t nhanh khi c´ac biˆe´n
tˆ` n sˆa o´ tˇang V`ı vˆa.y, ta thu.`o.ng hiˆe˙’n thi h`am
D(u, v) := log(1 + kF (u, v)k)
thay cho h`am kF (u, v)k.
Hai thu.˙’ nghiˆe.m sau cho ta mˆo´i liˆen hˆe gi˜u.a phˆo˙’ v`a g´oc pha d¯ˆo´i v´o.i thˆong tin cu˙’a˙’nh
Thu ˙’ nghiˆ e.m 1
Bu.´ o.c 1 Biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier 2D cu˙’a a˙’nh f (x, y).
Bu.´ o.c 2 T´ınh c´ac g´oc pha
ϕ(u, v) = tan−1
I(u, v) R(u, v)
,
trong d¯´o I(u, v), R(u, v) l`a c´ac gi´a tri a˙’o v`a thu c cu˙’a biˆ. e´n d¯ˆo˙’i Fourier cu˙’a f.
Bu.´ o.c 3 Biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier ngu.o. c 2D cu˙’a d˜u liˆe.u
cos[ϕ(u, v)] + i sin[ϕ(u, v)].
Trang 2Thu ˙’ nghiˆ e.m 2
Bu.´ o.c 1 Biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier 2D cu˙’a a˙’nh f.
Bu.´ o.c 2 T´ınh phˆo˙’ Fourier
kF (u, v)k =p
I2(u, v) + R2(u, v).
Bu.´ o.c 3 Biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier ngu.o. c 2D cu˙’a d˜u liˆe.u
kF (u, v)k + i0.0.
Hai thu.˙’ nghiˆe.m trˆen chı˙’ ra rˇa`ng, trong hˆa` u hˆe´t c´ac tru.`o.ng ho. p, thˆong tin cu˙’a a˙’nh d¯u.o. c ch´u.a trong g´oc pha; v`a do d¯´o v´o.i c´ac b`ai to´an nˆang cao chˆa´t lu.o. ng a˙’nh, ch´ung ta cˆ` n tr´a anh ph´a hu˙’y d¯ˇa.c tru.ng pha
H`ınh 3.2: Thu.˙’ nghiˆe.m 1
H`ınh 3.3: Thu.˙’ nghiˆe.m 2
Cuˆo´i c`ung, do phˆo˙’ Fourier cu˙’a a˙’nh gia˙’m rˆa´t nhanh khi tˆ` n sˆa o´ tˇang nˆen theo d¯i.nh l´y lˆa´y mˆa˜u cu˙’a Whittaker v`a Shannon [] ta c´o thˆe˙’ tˇang d¯ˆoi k´ıch thu.´o.c a˙’nh Thuˆa.t to´an nhu sau
Trang 3H`ınh 3.4: A˙’ nh gˆo´c f v`a phˆo˙’ Fourier cu˙’a f.
Bu.´ o.c 1 X´ et a˙’nh f (x, y) c´o k´ıch thu.´o.c M × N Biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier 2D
F (u, v) := F
(−1)x+y f (x, y)
Bu.´ o.c 2 D- ˇa.t
G(u, v) :=
F (u − M2 , v − N2) nˆe´u M2 ≤ u < M + M2 , N2 ≤ v < N + N2,
0 nˆe´u ngu.o. c la.i, trong d¯´o u = 0, 1, , 2M − 1, v` a v = 0, 1, , 2N − 1.
Bu.´ o.c 3 Biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier ngu.o. c cu˙’a G(u, v) ta c´ o a˙’nh g d¯u.o. c tˇang k´ıch thu.´o.c gˆa´p
d¯ˆoi
H`ınh 3.4-3.5 minh ho.a c´ac kˆe´t qua˙’
3.4 Biˆ e´n d ¯ˆ o˙’i Fourier nhanh
Sˆo´ c´ac ph´ep nhˆan v`a cˆo.ng ph´u.c cˆa`n thiˆe´t trong Phu.o.ng tr`ınh (3.1) tı˙’ lˆe v´o.i N2
Trong
phˆ` n n`a ay ta chı˙’ ra rˇa`ng, bˇa`ng viˆe.c phˆan t´ıch (3.1), sˆo´ c´ac ph´ep to´an nhˆan v`a cˆo.ng ph´u.c c´o thˆe˙’ gia˙’m v`a tı˙’ lˆe v´o.i N log2N Phu.o.ng ph´ap phˆan t´ıch n`ay d¯u.o. c go.i l`a thuˆ a.t to´ an biˆ e´n d ¯ˆ o˙’i Fourier nhanh, k´y hiˆe.u FFT
3.4.1 Thuˆ a t to´ an FFT
Tru.´o.c hˆe´t x´et ph´ep biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier r`o.i ra.c mˆo.t chiˆe` u
F (u) = 1
N
N −1
X
x=0
f (x)W N ux ,
Trang 4H`ınh 3.5: A˙’ nh g v`a phˆo˙’ Fourier cu˙’a g.
trong d¯´o W N := e −2πi/N v`a N = 2 n , n ∈ N V`ı N = 2M, nˆen
F (u) = 1
2M
2M −1X
x=0
f (x)W 2M ux
= 1 2
"
1
M
M −1X
x=0
f (2x)W 2M u(2x)+ 1
M
M −1X
x=0
f (2x + 1)W 2M u(2x+1)
#
.
Nhu.ng W 2M u(2x) = W ux
M Do d¯´o
F (u) = 1
2
"
1
M
M −1X
x=0
f (2x)W M ux+ 1
M
M −1X
x=0
f (2x + 1)W M ux W 2M u
#
= 1
2[Feven(u) + Fold(u)W
u 2M ] ,
(3.11)
Feven(u) := 1
M
PM −1 x=0 f (2x)W ux
M ,
Fold(u) := 1
M
PM −1 x=0 f (2x + 1)W ux
v´o.i u = 0, 1, , M − 1 Mˇ a.t kh´ac, do W M u+M = W u
M v`a W 2M u+M = −W u
2M nˆen
F (u + M ) = 1
2[Feven(u) − Fold(u)W
u
C´ac d¯ˇa˙’ng th´u.c (3.11)-(3.13) chı˙’ ra rˇa`ng ph´ep biˆe´n d¯ˆo˙’i N d¯iˆe˙’m
{f (0), f (1), , f (N )}
Trang 5th`anh N d¯iˆe˙’m
{F (0), F (1), , F (N )}
c´o thˆe˙’ d¯u.o. c t´ınh bˇa`ng c´ach t´ach biˆe˙’u th´u.c gˆo´c th`anh hai phˆ` n nhu trong (3.11) v`a a (3.12) D- ˆe˙’ t´ınh nu.˙’a d¯ˆa` u tiˆen, F (u), u = 0, , N/2 − 1, ta cˆ` n hai ph´ep biˆe´n d¯ˆa o˙’i trˆen
N/2 d¯iˆe˙’m nhu trong (3.12) Sau d¯´o c´ac gi´a tri Feven(u) v` a Fold(u) thay v`ao d¯ˆe˙’ nhˆa.n
d¯u.o. c F (u) v´ o.i u = 0, 1, , (N/2 − 1) Nu.˙’ a th´u hai, F (u), u = N/2, , N, suy tru. c
tiˆe´p t`u (3.13)
Kˆe´ tiˆe´p ta x´et tru.`o.ng ho. p hai chiˆ` u Nhˇe a´c la.i l`a
F (u, v) = 1
M N
M −1X
x=0
"N −1 X
y=0
f (x, y)e −2πivyN
#
e −2πiuxM
M
M −1X
x=0
G(x, v)e −2πiuxM,
(3.14)
trong d¯´o
G(x, v) := 1
N
N −1X
y=0
f (x, y)e −2πivyN, (3.15)
v´o.i x = 0, 1, , M − 1, v` a v = 0, 1, , N − 1.
Phu.o.ng tr`ınh (3.15) c´o thˆe˙’ khai triˆe˙’n nhu sau
G(0, v) =
N −1X
y=0
f (0, y)e −2πivyN,
G(1, v) =
N −1X
y=0
f (1, y)e −2πivyN,
G(M − 1, v) =
N −1X
y=0
f (M − 1, y)e −2πivyN.
Mˆo˜i biˆe˙’u th´u.c trˆen l`a biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier r`o.i ra.c mˆo.t chiˆe` u cu˙’a mˆo.t h`ang trong a˙’nh
f (x, y).