Xác suất căn bản - Chương 1 pot

2.1.ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT CỔ ĐIỂN Giả sử  là một phép thử có n biến cố đồng khả năng xuất hiện.. A là một biến cố trong phép thử, có m biến cố đồng khả năng thuận lợi cho biến cố A... n

C.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA XÁC SUẤT

1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

2.ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT

3.CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT

4.XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN-CÔNG THỨC NHÂN 5.CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

6.CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ-BAYES

 Hệ đầy đủ các biến cố:

A A

A

j i

A A

; 2

1

1.6.CÁC PHÉP TOÁN CỦA BIẾN CỐ

) (

2.1.ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT CỔ ĐIỂN

Giả sử  là một phép thử có n biến cố đồng

khả năng xuất hiện

A là một biến cố trong phép thử, có m biến cố đồng khả năng thuận lợi cho biến cố A Thì tỷ số n

m

được gọi là xác suất của biến cố A

n

m A

P ( ) 

Định nghĩa này dựa trên hai điều kiện:

 Các biến cố trong phép thử phải đồng khả năng

 Số các biến cố đồng khả năng khi thực hiện phép thử phải hửu hạn

VD: Một số điện thoại gồm 8 chử số, bắt đầu bằng các chữ số 38393… , ba chữ số cuối bị xóa nhòa

Tính xác suất để ba chữ số bị xóa

a) Khác nhau và khác các chữ số đầu

b) Trùng nhau và khác các chữ số đầu

VD: Một công ty cần tuyển 3 nhân viên vào các chức vụ: kế toán trưởng, giám đốc tiếp thị, giám đốc nhân sự Có 50 người dự tuyển, trong đó có 20 nữ Tính xác suất trong 3 người được tuyển có

a) Kế toán trưởng là nữ

b) Hai người là nam

 Tính chaát:

i)

1 )

(  

P

2.2.Đ.N XÁC SUẤT THEO TẦN SUẤT

Tiến hành phép thử  nhiều lần trong cùng điều

kiện như nhau

 Nếu trong n lần thực hiện phép thử  có k lần

xuất hiện biến cố A, thì tỷ số:

n

k A

được gọi là tần suất xuất hiện A

 Khi số phép thử tăng lên vô hạn thì tần suất

)

( A

f n dao động chung quanh một giá trị ổn định, giá trị đó được gọi là xác suất của biến cố A

VD:Tại một địa phương khảo sát ngẫu nhiên

1000 em bé chào đời trong năm 2008, thì có 560 bé trai

Gọi A là biến cố sinh trai tại địa phương

Thì tần suất sinh trai la:ø f n ( A)  1000560  0,56  56%

Vậy xác suất sinh trai tại địa phương được xấp

xỉ bằng 56%, P(A)=56%

3.1.CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT

3.1.1.TRƯỜNG HỢP CÁC BIẾN CỐ XUNG KHẮC

i) A và B là hai biến cố xung khắc

P(A B)  P(A)  P(B)

P( A  A)  P( A)  P( A)  P( A)  1 P( A)

ii) A1, A2 , , A n xung khắc từng đôi

P(A1  A2   A n )  P( A1)  P( A2 )   P( A n )

3.1.2.TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT

i) A và B là hai biến cố bất kỳ

P ( A  B )  P ( A )  P ( B )  P ( A  B )

ii) A, B, C là ba biến cố bất kỳ

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

) (

C B

A P

A C

P C

B P

B A

P C

P B

P A

P

C B

iii) A1, A2 , , An là các biến cố bất kỳ

)

()

1

(

)(

)(

)(

)(

2 1

1

n n

k j

k j i

i j

j i

i n

i

n

i

i i

A A

A P

A A

A P

A A P

A P

A P

VD:Khảo sát 100 thí sinh nộp đơn dự thi vào đại học có 70 thí sinh nộp đơn dự thi vào khối A, 50 thí sinh nộp đơn dự thi vào khối B, 35 thí sinh nộp đơn dự thi cả hai khối A và B Chọn ngẫu nhiên một thí sinh trong số 100 thí sinh trên Tính xác suất thí sinh này nộp đơn dự thi

a) Vào ít nhất một khối trên

b) Không phải hai khối trên

GIẢI:

Đặt A: thí sinh dự thi vào khối A

B: thí sinh dự thi vào khối B

a) P ( A  B )  P ( A )  P ( B )  P ( A  B )

b) P ( A . B )  P ( A  B )  1  P ( A  B )  15 %

4.1.XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Giả sử có phép thử  , A và B là hai biến cố

trong cùng phép thử Xác suất của biến cố A được tính trong trường hợp biết rằng biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A vớiù điều kiện B

Ký hiệu: P ( A / B )

) (

)

( )

/

(

B P

B A

P B

)

( )

/

(

A P

B A

P A

B



; P ( A )  0

4.2.CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT

i) A và B là hai biến cố bất kỳ, ta có:

) /

( ).

( )

/ (

).

( )

( A B P A P B A P B P A B

ii) A1, A2 , , An là n biến cố bất kỳ, ta có:

)

/ (

)

/ (

).

/ (

).

(

) (

)

(

1 2

1 2

1 3

1 2

1

1

2 1

n

i

i n

A A

A A

P A

A A

P A

A P

A P

A P

A A

A

VD:Khoa T đượcphân phối 3 lô đất, ưu tiên cho 3 nhân viên chưa có nhà riêng, nhưng có 5 nhân viên chưa có nhà riêng, điều kiện công tác tốt đều như nhau Tổ chức bắt thăm, trong 5 lá thăm có 3 lá thăm có dấu X, 2 lá thăm có dấu

O Năm người lần lượt bắt thăm, ai bắt được thăm có dấu X thì được nhận một lô đất.Theo anh chị bắt thăm trước hay sau có lợi thế hơn

GIẢI:

Đặt A i :người bắt thăm ở lần thư ùi được lô đất,

5

3 )

( A1 

P

) (

) (

) (

) ( A2 P A1 A2 A1A2 P A1 A2 P A1 A2

) ( A3 P A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3

5 3



Lập luận tương tự tính được:

5

3 )

( A4 

P

5

3 )

( A5 

P

Kết luận: sự bắt thăm là công bằng, bắt thăm trước hay sau đều như nhau

VD:

Lâu ngày không gặp nhau, nhân dịp Tết anh A đến thăm gia đình bạn, anh chỉ biết bạn có hai người con, nhưng không biết trai gái thế nào

a) Trong khi ngồi trong phòng khách chờ bạn, có một bé gái bưng nước mời khách, anh A dự đoán bạn có một người con gái

G: gia đình bạn có một người con gái

4

2 )

P (G / bạn chắc chắn có con gái) 3

2



(T1G2;G1T2;G1G2 )

c) Bé gái được bạn giới thiệu: đây là con gái út của tôi, anh A dự đoán bạn có một người con gái

/

(G

P con út của bạn là con gái)  12

(T1G2 ;G1G2 )

VD:

Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm xấu Chọn lần lượt không hoàn lại mỗi lần một sản phẩm, đến khi phát hiện đủ hai sản phẩm xấu thì dừng Tính xác suất dừng lại ở lần chọn thứ tư

GIẢI:

Đặt X i :chọn được sp xấu ở lần chọn thứ i,i=1 20

D: dừng ở lần chọn thứ tư Ta có:

4 3

2 1

4 3

2 1

4 3

2

1 X X X X X X X X X X X X

D   

) /

( ).

/ (

).

/ (

).

( )

1 )

(X1X 2 X 3X 4 

P

1 )

(X1 X 2 X3 X 4 

P

Vậy: P(D)  1903

5.1.HAI BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu biến cố A có xảy ra hay không xảy ra không ảnh hưởng đến sự xảy ra hay không xảy

ra của biến cố B và ngược lại

 A và B độc lập thì

) (

) /

) (

) /

(

B P

A P

B A

P

B P

A B

P







 A và B độc lập thì

A; B độc lập A; B độc lập A; B độc lập

5.2.ĐỘC LẬP TOÀN THỂ

Các biến cố A1, A2, , A n được gọi là độc lập với nhau (độc lập toàn thể) nếu việc xảy ra hay không xảy ra của một nhóm bất kỳ k biến cố

(1  k  n) không có ảnh hưởng đến việc xảy ra hay không xảy ra các biến cố còn lại

Nếu A1, A2 , , A n độc lập thì:

) (

)

( ).

( )

( )

A A

CHÚ Ý:

 A1, A2, , A n độc lập

thì A1, A2 , , A n độc lập từng đôi

 A1, A2 , , A n độc lập từng đôi

thì chưa chắc A1, A2 , , A n độc lập

VD:

Một tứ diện đều được sơn như sau:

Mặt một sơn màu đỏ

Mặt hai sơn màu xanh

Mặt ba sơn màu vàng

Mặt bốn sơn ba màu đỏ, xanh, vàng Tung khối tứ diện

Đặt:

D: xuất hiện mặt có màu đỏ

X: xuất hiện mặt có màu xanh

V: xuất hiện mặt có màu vàng

Ta có:

4

2 )

(D 

P P(X )  42 P(V )  42

2

1 )

/ (

) /

P

1 )

/ (

) /

(V D  P V X 

P

1 )

( )

/ (

) /

(D X  P D V  P D 

P

1 )

( )

/ (

) /

(X D  P X V  P X 

P

2

1 )

( )

/ ( )

/

(V D  P V X  P V 

P

Suy ra: D, V, X độc lập từng đôi

Nhưng D, V, X không độc lập vì: P(D| XV)  1  P(D)

VD:Đội tuyển bóng bàn của trường ĐHKT có ba

sinh viên tham dự giải bóng bàn sinh viên thành

phố Mỗi sinh viên thi đấu một trận, xác suất

thắng trận của ba sinh viên A, B, C lần lượt là:

70%, 80%, 90% Tính xác suất: a) Đội tuyển thắng ít nhất một trận

b) Đội tuyển thắng hai trận c)Sinh viên C thua,

biết rằng đội tuyển thắng hai trận

GIẢI: A: sinh viên A thắng; B: sinh viên B thắng C: sinh viên C thắng

T: tuyển thắng ít nhất một trận

D: tuyển thắng hai trận

a) P(T)  P(A B C)

) (

) (

) (

) (

) ( )

( )

Nhận xét: T  A  B C  A.B.C

Suy ra:

) (

).

( ).

( )

( )

8 , 0 )(

7 , 0 ( )

(

) (

) (

)

( )

/

D P

C AB P

D P

D C

P D

C P

6.1.CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ

Giả sử có một phép thử 

Các biến cố A1, A2, , A n là một hệ đầy đủ các biến cố F là một biến cố của phép thử

Ta có:

) /

( ).

(

) /

( ).

( )

/ (

).

( )

P

VD:

Sinh viên K34 ĐHKT dự thi môn Xác suất thống kê, trong đó có 30% là nữ Xác suất đậu của sinh viên nữ là 80%, xác suất đậu của sinh viên nam là 75% Chọn ngẫu nhiên một sinh viên K34 Tính xác suất sinh viên này đậu môn Xác suất thống kê

GIẢI:

Đặt F: SV được chọn đậu môn XSTK â

M: sinh viên được chọn là nữ

N: sinh viên được chọn là nam

Nhận xét:

M, N là một hệ đầy đủ các biến cố

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:

)

|(

)

()

|(

)

()

VD:

Có hai lô hàng.Lô một có 15 sản phẩm loại A và 5 sản phẩm loại B.Lô hai có 20 sản phẩm loại A và 8 sản phẩm loại B

Chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ lô một cho sang lô hai Sau đó từ lô hai chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm Tính xác suất sản phẩm chọn từ lô hai là sản phẩm loại B

0 , B , B

B là một hệ đầy đủ các biến cố

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:

)

| (

).

( )

| (

).

( )

| (

).

( )

(F P B0 P F B0 P B1 P F B1 P B2 P F B2

với:

38

21 )

20

2 15

0  

C

C B

P

15 )

20

1 5

1 15

C

C

C B

P

2 )

20

2 5

2  

C

C B

P

30

8 )

6.2.CÔNG THỨC BAYES

Giả sử có phép thử 

n

A A

A1, 2, , là một hệ đầy đủ các biến cố

F là một biến cố trong phép thử

k

k k

A F

P A

P

A F

P A

P F

)

(

)

|(

)

()

|(

k  1 , n

VD:Một công ty sản xuất bóng đèn có ba phân xưởng Phân xưởng thứ nhất sản xuất 20% sp của công ty, px2 sản xuất 30% sp, px3 sản xuất 50% sp Tỷ lệ sản phẩm xấu của các phân xưởng lần lượt là: 3%, 2%, 1%.Một người mua một sản phẩm.Biết rằng sản phẩm mua là sản phẩm tốt Tính xác suất sản phẩm này do phân xưởng hai sản xuất

( )

|

1

2 2

2

i i

i P F A A

P

A F

P A

P F

5 , 0 ( )

98 , 0 )(

3 , 0 ( )

97 , 0 )(

2 , 0 (

) 98 , 0 )(

3 , 0 (







VD:

Một hộp có 15 quả bóng bàn, trong đó có 9 bóng mới và 6 bóng cũ Lần đầu chọn ra 3 bóng để sử dụng, sau đó cho 3 bóng đó vào lại hộp Lần thứ hai chọn ra 3 bóng

Tính xác suất trong 3 bóng chọn lần đầu có 2 bóng mới Biết rằng 3 bóng chọn lần hai là 3 bóng mới

GIẢI:

Đặt F: ba bóng chọn lần hai là 3 bóng mới

:

i

M trong 3 bóng chọn lần đầu có i bóng mới, i  0 , 3

Nhận xét: M 0 ,M1 ,M 2 ,M3 là một hệ đầy đủ

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

)

| (

).

(

)

| (

).

( )

/ (

i

i

i P F M M

P

M F

P M

P F

M P

Với:

3 15

3 6

0 )

(

C

C M

15

2 6

1 9

15

1 6

2 9

15

3 9

3 )

(

C

C M

3 15

3 9

F

15

3 6

F

Suy ra:

P(M2 | F)  0 , 40  40 %