Xác suất căn bản - Chương 2 doc

2.4 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN LIÊN TỤC Nếu X là ĐLNN liên tục, có hàm mật độ là fx, thì hàm phân phối xác suất của X là:... Giải : Bảng phân phối xác suất E KL: thu nhập trung bì

CHƯƠNG 2

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

-0 -

1.KHÁI NIỆM ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

1.1 ĐLNN RỜI RẠC

 X chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị,

hoặc một số vô hạn đếm được các giá trị

1.2 ĐLNN LIÊN TỤC

 Tập hợp các giá trị có thể có của X lấp đầy một khoảng của trục số hoặc toàn bộ trục số

* P(X  a)  0 ( xác suất tại môït điểm bằng 0 )

2.QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN

2.1 BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

VD: Một lô hàng có 25 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu

Một người mua 3 sản phẩm, gọi X là số sp tốt trong 3 sp mua , lập bảng phân phối xác suất của X

NX: X là một ĐLNN, X nhận các giá trị : 0, 1, 2, 3

002463,

0)

30

2 5

369458,

0)

2

30

1 5

P

X 0 1 2 3

P 0,00246 0,061576 0,369458 0,566502

VD: Một trò chơi :

Tung một con xúc xắc 3 lần,

nếu xuất hiện 3 mặt 1 thì được 100 ngàn đồng,

nếu xuất hiện 2 mặt 1 thì được 50 ngàn đồng,

nếu xuất hiện 1 mặt 1 thì được 10 ngàn đồng,

nếu không có mặt 1 xuất hiện thì mất 20 ngàn đồng Gọi X là số tiền được,thua trong trò chơi trên

Tìm quy luật phân phối xác suất của X

X nhận các giá trị : -20 ; 10 ; 50 ; 100 (ngàn đồng)

216

1)

2.2 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN RỜI RẠC

ĐN : Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X là

F ( x )  P ( X  x )

Nếu X là ĐLNN rời rạc :

)(

)(

i

i

x X P x

X P x

F

VD : X ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất như sau

i

i

x X

P x

X P x

F



( )

2.3 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT

Hàm số f(x) xác định trên toàn trục số,

được gọi là hàm mật độ của ĐLNN liên tục X nếu

i) f(x) 0  x  R

ii)  f ( x ) dx  1

a f x dx b

X a

CHÚ Ý: X là ĐLNN liên tục : P ( X  a )  P ( X  b )  0

) (

) (

) (

)

VD:

Cho X là ĐLNN liên tục, có hàm mật độ

0 nếu x    0 , 2 f(x)=

VD: Cho X là ĐLNN liên tục, có hàm mật độ :

P  

2.4 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN LIÊN TỤC

Nếu X là ĐLNN liên tục, có hàm mật độ là f(x),

thì hàm phân phối xác suất của X là:

Thì hàm phân phối xác suất của ĐLNN liên tục X là:

x , lim ( )  0





x F

x

iv) Nếu X là ĐLNN liên tục thì F (x) là hàm liên tục

3 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐLNN

VD: Thăm dò thu nhập của 100 công nhân của 1 xí nghiệp, được số liệu như sau :

X (triệu đồng)/thg 1,2 1,5 2,0 2,5

Số công nhân 20 40 30 10

Tính thu nhập trung bình của công nhân xí nghiệp trên

Giải : Bảng phân phối xác suất

E

KL: thu nhập trung bình của CNXN là 1,69 triệu đồng

VD: X(phút): thời gian chờ đợi đèn đỏ tại một ngã tư, là một ĐLNN liên tục,có hàm mật độ là:

ax3 nếu x    0 , 3

f(x)=

0 nếu x    0 , 3

a/ tìm a

b/ tính thời gian chờ đợi trung bình

c/ tính xác suất phải chờ từ 1đến 2 phút

3 0

E

15 81

4 )

2 1

Tính chất của kỳ vọng :

( )

( )

Var

1

2

) ( )

VD: Kiểm tra 100 gói mì ăn liền nhãn hiệu A và

100 gói mì ăn liền nhãn hiệu B được số liệu như sau:

a/ Tính kỳ vọng , phương sai của X , Y

b/ Theo A/C nên mua mì nhãn hiệu nào ? Giải:

suy ra : Var ( Y )  E ( Y 2)   E ( Y ) 2  2 , 54

NX: trọng lượng trung bình của một gói mì của cả 2 nhãn hiệu bằng nhau, nhưng Var(X) < Var(Y) ,

nên trọng lượng một gói mì nhãn hiệu A ổn định hơn Vậy nên mua mì gói nhãn hiệu A

Tính chất của phương sai :

 i) Var ( C )  0 nếu C là ĐLNN hằng

 ii) Var ( CX )  C2Var ( X )

 iii) Var ( X  C )  Var ( X )

nếu X,Y là hai ĐLNN độc lập

3.3 ĐỘ LỆCH CHUẨN

Độ lệch chuẩn của ĐLNN X :  X  Var ( X )

Được sữ dụng để đánh giá sự phân tán của ĐLNN X

so với kỳ vọng

3.4 MỐT ( Mod(X) )

 Nếu X là ĐLNN rời rạc :

Mốt của ĐLNN X là giá trị xo ,

mà tại đó xác suất tương ứng lớn nhất

( x0 còn được gọi là giá trị tin chắc nhất )

P(X  x o)  P(X  x i)i

 Nếu X là ĐLNN liên tục :

Mốt của ĐLNN liên tục X là giá trị x o ,

mà tại đó f (x) đạt cực đại, f (x ) là hàm mật độ của ĐLNN X Mod(X)= xo

Vậy : Mod(X)=2,2 ; Mod(X)=2,6

4 CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG DÙNG 4.1 PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

* Xét một phép thử 

* A là một biến cố của phép thử , P(A)=p không đổi

* Tiến hành n phép thử  độc lập

* Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong n phép thử

Thì X là một ĐLNN có quy luật phân phối nhị thức

Ký hiệu: X ~ B( n, p )

k

k n

k n k

k n

p p

C k

X P

p p

C k

X P

(

) 1

( )

(

p n k BINOMDIST k

X P

p n k BINOMDIST k

X P

VD:

Tại một địa phương tỷ lệ cử tri bầu cho ứng cử viên B là 65%, Thăm dò 15 cử tri,tính xác suất :

a/ có 10 cử tri bầu cho ucv B

b/ có nhiều nhất 12 cử tri bầu cho ucv B

c/ theo Anh Chị có bao nhiêu cử tri bầu cho ucv B ?

10 (X C

15 ( 0 , 65 ) ( 0 , 35 ) )

12 (

sử dụng Excel : P(X12)= BINOMDIST(12,15,65%,1)=0,938266

VD:

Xác suất một khách hàng đồng ý mua bảo hiểm của công ty bảo hiểm A, khi được nhân viên công ty này chào mời là 20%, a/ Tính xác suất trong 15 người được nhân viên chào mời

có ít nhất hai người đồng ý mua bảo hiểm của công ty

b/ Theo A/C số người tin chắc nhất sẽ mua là bao nhiêu?

Giải: a/ X : số người đồng ý mua bảo hiểm

4.2 PHÂN PHỐI POISSON

NX :

 Số cuộc gọi điện thoại đến tổng đài điện thoại trong 1 phút

 Số tai nạn giao thông xảy ra tại 1 giao lộ trong 1 tuần

 Số lỗi trong 1 trang sách của 1 cuốn sách

 Số khách hàng đến giao dịch tại 1 ngân hàng trong 10 phút

Các ĐLNN rời rạc trên có quy luật phân phối POISSON

*Gọi  là số lần trung bình một biến cố A xảy ra trong một khoảng

thời gian t ( hay một miền,một vùng không gian s )

X là số lần biến cố A xảy ra trong khoảng thời gian t ( chu kỳ t ), tại một thời điểm bất kỳ Thì X có quy luật phân phối POISSON

VD: Tại một công ty liên doanh,theo số liệu các năm vừa qua, Trung bình 1 năm có 4 vụ đình công

Tính xác suất năm nay có :

a/ 3 vụ đình công

b/ có ít nhất 2 vụ đình công

Giải: Gọi X là số vụ đình công trong năm nay,

Số vụ đình công trung bình là  = 4

Thì X có quy luật phân phối POISSON : X~ P(4 )

4

k

e k

e k

X P

4 ) 3 (

4 3





 e

X P

Sử dụng Excel : P(X=3)=POISSON(3,4,0)=0,195367

b/ P(X 2)=1- P(X 1 ) =1 - POISSON(1,4,1)=0,908422

VD:

Tại một Lãnh sự quán,

trung bình 1 giờ có 12 người được phỏng vấn

Tính xác suất có ít nhất 3 người được phỏng vấn trong 10 phút Giải: Gọi X là số người được phỏng vấn trong 10 phút

 Nếu n khá lớn và p gần 0 ( hoặc gần 1)

Thì có thể tính xấp xỉ P(X=k) bởi phân phối POISSON,với   n p

 Thông thường n≥ 50 , n.p < 5 , có thể sử dụng xấp xỉ

VD:

Một lô hàng điện tử có tỷ lệ phế phẩm là 3%,

bên mua sẽ đồng ý mua lô hàng nếu kiểm tra 100 sản phẩm có nhiều nhất 1 phế phẩm

Giải: Gọi X là số phế phẩm trong 100 sp, thì X~B(100,3%)

A : đồng ý mua lô hàng

P(A)=P(X≤1)= BINOMDIST(1,100,3%,1)=0,194622

Sử dụng tính xấp xỉ bởi POISSON :

X~P ( 3 ) ,   np  100 . 3 %  3

P(A)=P(X≤1)= POISSON(1,3,1)=0,199148

4.3 PHÂN PHỐI SIÊU BỘI

Một tổng thể có N lớn phần tử, trong đó có M phần tử loại A Chọn ngẫu nhiên không hoàn lại n phần tử

Gọi X là số phần tử loại A có trong n phần tử chọn ra,

thì X là một ĐLNN rời rạc có quy luật phân phối siêu bội

Ký hiệu : X~H(N,M,n)

N

k n M N

k M k

C

C

C k

X P p

M

N N

M n X

Var

X

Excel : P(X=k)=HYPGEOMDIST(k,n,M,N)

VD:

Một công ty có 100 công nhân,

trong đó có 30 cn có thâm niên trên 10 năm

Chọn ngẫu nhiên 5 cn Tính xác suất có:

a/ 3 cn có thâm niên trên 10 năm

b/ có nhiều nhất 2 cn có thâm niên trên 10 năm

0

5 100

5 70

30

k

k k

C

C C

=0,842394 CHÚ Ý: X ~H(N,M,n)

 Nếu n rất nhỏ so với N, thì có thể tính xấp xỉ : P(X=k) bởi

Phân phối Nhị thức X ~B(n,p) , với p= M N

VD: Một lô hàng linh kiện điện tử có 10.000 sản phẩm, Trong đó có 200 phế phẩm, một cửa hàng nhận về 100 sp Tính xác suất trong 100 sp nhận về có ít nhất 3 phế phẩm Giải: Gọi X là số phế phẩm trong 100 sp cửa hàng nhận về, Thì X ~H(10.000,200,100)

NX : n=100 < < N=10.000 , tính gần đúng bởi PP Nhị thức

X ~B(100,2%)

NX : n lớn , p=2% , tính gần đúng bởi PP POISSON

X ~P(2)

P(X≥3)=1- P(X≤2)=1 - POISSON(2,2,1)=0,323324

VD:

Một khách sạn có 5 chiếc xe gắn máy để cho du khách thuê, vào ngày cuối tuần, trung bình có 4 xe được cho thuê Tính

xác suất vào ngày cuối tuần của tháng 12:

a/ Tất cả 5 xe đều được thuê

b/ Khách sạn không đáp ứng được yêu cầu

c/ Khách sạn cần ít nhất bao nhiêu xe để xác suất không đáp ứng đủ nhu cầu thuê xe bé hơn 3%

Giải:

Gọi X là số xe được thuê, X~P(4)

a/ P(X=5)=POISSON(5,4,0)=0,156293

b/ P(X>5)=1 – P(X≤ 5)= 1 – POISSON(5,4,1)=0,21487 c/ P(X>k) < 0,03  1  P ( X  k )  0 , 03

CHÚ Ý:

Nếu X~P(  ) , Y~P(1  ) , X và Y độc lập thì X+Y~P(2  1   2)

VD:

Một cửa hàng bán điện thoại di động,

số lượng điện thoại hiệu NOKIA và MOTOROLA bán được trong ngày đều có phân phối Poisson, và độc lập với nhau Trung bình mỗi ngày bán được 4 NOKIA và 3 MOTOROLA Tính xác suất để một ngày cửa hàng bán được

a/ 5 điện thoại

b/ Ít nhất 8 điện thoại

HD:

X~P(4) , Y~P(3) , X và Y độc lập  X+Y~P(7)

a/ P(X+Y=5)=POISSON(5,7,0)=0,127717

b/ P(X+Y ≥ 8)=1- P(X≤7)=1 - POISSON(7,7,1)=0,401286

VD:

Một cầu thủ đá thành công quả 11m , với xác suất 60%, Theo A/C khi cầu thủ này thực hiện đá :

 6 quả vào 3 quả

 10 quả vào 5 quả

Công việc nào dể thực hiện

HD:

X : số quả đá thành công trong 6 quả , X~B(6,60%)

Y : số quả đá thành công trong 10 quả , Y~B(10,60%) P(X=3)=BINOMDIST(3,6,60%,0)=0,27648

P(Y=5)=BINOMDIST(5,10,60%,0)=0,200658

KL : đá 6 vào 3 dể thực hiện hơn

4.4 PHÂN PHỐI CHUẨN

4.4.1 PHÂN PHỐI CHUẨN TẮC

ĐN : X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ

2

2

1 )

(

x

e x

0 x

Hàm phân phối của X là

dt t f x

2

2

1 )

( )

(



)(

;)

2

1 )

2

1 )

CHÚ Ý:

 NORMSDIST(x)=NORMDIST(x,0,1,1)

 X~N(0,1) thì từ P(| X | x )    x  NORMSINV( 1 2 )

VD: X~N(0,1) , tính P(1<X<2) , P(X>2,58), P(|X|<1,65) i) Sử dụng hàm LA PLACE

VD:

X~N(1,4) ,tính P(1<X<3) , P(X<2) , P(|X|<2) , P(|X|>2)

i) Sử dụng hàm LA PLACE

1498 , 0 1915 , 0 3413 ,

0 ) 5 , 0 ( )

1 ( )

2 ( )

3 ( )

3 2

) 0 , 5 ( 0 , 5 ) 0 , 5 0 , 1915 0 , 6915

2 ( 5

, 0 ) 2 (           





X P

1 2 ( ) 2

1 2 ( )

2 2

( 2

| (| X   P   X               

P

P(| X | 2 )  1 P(| X | 2 )  1 0 , 6247  0 , 3753

ii) Sử dụng EXCEL

149882 ,

0 ) 1 , 2 , 1 , 2 ( )

1 , 2 , 1 , 3 ( )

3 2

P

691462 ,

0 ) 1 , 2 , 1 , 2 ( )

2 (X   NORMDIST 

P

624655 ,

0 ) 1 , 2 , 1 , 2 ( )

1 , 2 , 1 , 2 ( )

2 2

( )

2

| (| X   P   X   NORMDIST  NORMDIST  

P

375345 ,

0 624655 ,

0 1 ) 2

| (|

1 ) 2

| (| X    P X    

P

VD:

X(kwh) là lượng điện một hộ dân sử dụng trong một tháng,

) ) 40

( , 60

* ) 70 (

70

70

; 1

*



X X

X X

Y

; 1

*



X X

X

X Y

% 18 , 9 091848 ,

0 ) 1 , 40 , 60 , 100 ( )

1 , 40 , 60 , 120 (

) 1 ( )

5 , 1 (

) 40

60 100

(

) 40

60 120

( )

100 ( )

120 (

) 120 100

( )

220 140

3 160 ( )

220 160

X P

X P

Y P

, 0 ) 1 , 40 , 60 , 70 ( 1

) 70 (

1 ) 70 (

) 70 140

3 ( )

P X

P Y

4.4.2.TÍNH XẤP XỈ PHÂN PHỐI NHỊ THỨC BỞi PHÂN PHỐI CHUẨN

X~B(n,p)

 Nếu n lớn ( n≥ 30 )

 p không gần 0 hoặc không gần 1

Có thể xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối chuẩn

p n

p

n

)

1 (

, ( )

1 , ,

, (

) (

) (

) (

1 2

1 2

2 1

npq np

k NORMDIST npq

np k

NORMDIST

npq

np

k npq

np k

k X

k P

VD:

Theo một khảo sát về mức độ hài lòng của người dân với các dịch vụ công, tỷ lệ dân than phiền về dịch vụ cấp chủ quyền nhà là 40%, tính xác suất trong 100 hộ được hỏi có: a/ từ 40 đến 50 hộ than phiền

b/ ít nhất là 50 hộ than phiền

c/ nhiều nhất là 60 hộ than phiền

Giải:

X : số hộ than phiền , thì X~B(100; 40% )

a/

 P( 40  X  50 )  BINOMDIST ( 50 , 100 , 40 %, 1 ) BINOMDIST ( 40 , 100 , 40 %, 1 )  44 %

 NX: n=100 lớn, p=0,40 (không gần 0,không gần 1)

tính xấp xỉ bởi phân phối chuẩn

% 94 , 47 )

1 , ,

, 40 ( )

1 , ,

, 50 (

)

40 ( )

50 ( )

50 40

NORMDIST npq

np NORMDIST

npq

np npq

np X

, 50 ( )

1 , ,

, 100 (

)

50 ( )

100 ( )

50 (

NORMDIST npq

np NORMDIST

npq

np npq

np X

1 , ,

, 0 ( )

1 , ,

, 60 (

)

0 ( )

60 ( )

60 (

NORMDIST npq

np NORMDIST

npq

np npq

np X

P

VD: X: độ dài của một trục xe đạp có phân phối chuẩn,

với độ lệch chuẩn là   0 , 2cm Sản phẩm được xem là đạt

tiêu chuẩn,nếu độ dài sai lệch với độ dài trung bình không

quá 0,3cm

a/ Tính xác suất chọn ngẫu nhiên một sản phẩm thì được

sản phẩm đạt yêu cầu

b/ Một cửa hàng nhận về 100 sp, tính xác suất có ít nhất 90

sp đạt yêu cầu

c/ Trong quá trình kiểm tra có thể bị nhầm lẩn:

i) Nếu sp tốt mà bị loại thì mắc phải sai lầm loại 1 ii) Nếu sp xấu mà được nhận thì mắc phải sai lầm loại 2, Xác suất mắc sai lầm loại 1 là 1%

Xác suất mắc sai lầm loại 2 là 2%

Tính xác không bị nhầm lẩn trong 1 lần kiểm tra

d/ Tính xác suất :

khi kiểm tra 100 sp co ùnhiều nhất 10 lần bị nhầm lẩn

Giải:

a/

 : độ dài trung bình của sản phẩm,  X ~ N(, 2  ( 0 , 2cm) 2 )

A : sản phẩm đạt yêu cầu

Thì: P ( A )  P (| X   |  0 , 3 )  P (| Z |  1 , 5 )

% 64 , 86 866386

, 0 1 ) 5 1 (

* 2

) 5 , 1 (

* 2 ) 5 , 1

| (|

) 3 , 0

|

| ( )

3 , 0

| (|

X P X

 P( 1YBINOMDIST90 )  1 P(X( 89, 100 89 ) ,86 . 64 %, 1 )  20 , 32 %

 NX: n=100 lớn , p=86,64% , tính xấp xỉ bởi phân phối chuẩn

% 16 , 16 )

1 , ,

, 90 ( )

1 , ,

, 100 (

)

90 ( )

100 ( )

90 (

NORMDIST npq

np NORMDIST

npq

np npq

np Y

P

c/ F : bị nhầm lẩn trong một lần kiểm tra

ta có :

11336 ,

0 2 , 0

* 1336 ,

0 1 , 0

* 8664 ,

0 ) / ( ).

( )

/ ( ).

( )

(F  P A P F A  P A P F A   

P

suy ra:

% 66 , 88 88664

, 0 11336 ,

0 1 ) ( 1

) (F   P F    

P

d/ Z : số lần bị nhầm lẩn trong 100 lần kiểm tra,

thì Z~B(100; 11,34%)

 P(Z  10 )  BINOMDIST ( 10 , 100 , 11 34 %, 1 )  41 , 06 %

 Tính xấp xỉ bởi phân phối chuẩn:

3

34 , 11

1 , ,

, 0 ( )

1 , ,

, 10 (

)

0 ( )

10 ( )

10 (

NORMDIST npq

np NORMDIST

npq

np npq

np Z

~

) , (

~

2 2 2 2

2 1 1 1

1 2

1  X N      

X

4.5 PHÂN PHỐI CHI BÌNH PHƯƠNG

4.5.1 ĐN : X là ĐLNN Liên tục có hàm mật độ là

Var

k X

E

2 ) (

)

(2

 Tra bảng:

( ) 0 , 99 0 2 , 99 2 , 56

2 99 ,

2 95

X

4.5.2 ĐỊNH LÝ

k

X X

X1 , 2 , là các ĐLNN độc lập có phân phôi chuẩn tắc,

2

2

1 X X k X

~

) (

~

2

2 2

1

2 1

k X

4.6 PHAÂN PHOÁI STUDENT

f

k

) 2 (

) 1

)(

2

1 (

)

(

2

) 1 ( 2

0 ) (

2

k

k X

Var

X E





dt e t

(

CHUÙ YÙ:

y

1   

x

t 

P ( T  ) t  

X ~ T ( k )

 Sử dụng bảng kê số phân phối STUDENT :

P

90 , 0 10

, 0 1 ) 372 , 1 (

1 ) 372 , 1

P

 Excel :

025005886 ,

0 )

1 , 10 , 228 2 ( )

228 , 2

P

899972329 ,

0 ) 1 , 10 , 372 1 ( 1

) 372 , 1 (

1 ) 372 , 1

P

5 ĐLNN HAI CHIỀU

5.1 KHÁI NIỆM

5.1.1 ĐLNN HAI CHIỀU RỜI RẠC

5.1.2 ĐLNN HAI CHIỀU LIÊN TỤC

5.2 BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN HAI CHIỀU RR

ij

p

p

y Y

x X

P p

1 1

1

0

) ,

(

P(X  x i,Y  y j)  P(X  x i).P(Y  y j / X  x i )  P(Y  y j).P(X  x i /Y  y j)