Xác suất căn bản - Chương 1 docx

CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢNPHÉP THỬ – KHÔNG GIAN MẪU – BIẾN CỐ Phép thử ngẫu nhiên :.. Ω={ } là không gian mẫu C: xuất hiên mặt chẳn C không phải là biến cố sơ cấp VD: Một gia đình có hai ngườ

C.1 XÁC SUẤT CĂN BẢN

I PHÉP ĐẾM

II CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN

III KHÁI NIỆM XÁC SUẤT

IV CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT CĂN BẢN

V XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

I.PHÉP ĐẾM

NGUYÊN LÝ CỘNG

VD:

Chương trình TV tối thứ bảy có:

3 kênh chiếu phim

2 kênh ca nhạc

1 kênh cải lương

Chọn duy nhất một kênh để xem.

Như vậy có : 3+2+1=6 cách chọn một kênh để xem

TỔNG QUÁT:

Nếu có cách chọn đối tượng ,i=1,2, ,k và nếu cách chọn đối tượng không trùng với cách chọn đối tượng nào khi i≠j, thì có

cách chọn một trong k đối tượng trên.

m1 + 2 + +

NGUYÊN LÝ NHÂN

HD:

Có 6 cách chọn áo

Có 5 cách chọn quần

Có 2 cách chọn giày

Vậy có tất cả : 6.4.2=48 cách đóng bộ khác nhau.

TỔNG QUÁT:

Một công việc gồm k giai đoạn,

giai đoạn thứ i có cách thực hiện, i=1,2, ,k như vậy có:

cách thực hiện công việc trên.

i

m

k

m m

m1. 2

HOÁN VỊ

Một tập hợp gồm n phần tử đôi một khác nhau ( n ≥ 1) Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử trên vào n vị trí khác nhau được gọi là một

VD :

Bộ sách Cuốn theo chiều gió có 4 tập

Bộ sách Đông Chu liệt quốc có 5 tập

được sắp lên giá sách có 9 chỗ, có bao nhiêu cách sắp:

a) tùy ý.

b) các tập sách được sắp theo bộ.

c) các tập sách được sắp xen kẻ.

a) Mỗi cách sắp là một hoán vị 9 phần tử,

vậy có tất cả: 9! cách sắp.

b) Xem 4 tập CTCG là một phần tử

và 5 tập ĐCLQ là một phần tử, có 2! cách 4 tập CTCG đổi chỗ cho nhau, có 4! cách 5 tập ĐCLQ đổi chỗ cho nhau, có 5! cách Vậy có tất cả: 2!4!5!=5760 cách

c) Hai bộ sách được sắp xen kẻ, vị trí sẽ là:

D1, C1, D2, C2, D3, C3, D4, C4, D5.

Các tập CTCG đổi chỗ với nhau có 4! cách

Các tập ĐCLQ đổi chỗ với nhau có 5! cách

Vậy có tất cả : 4!5!=2880 cách sắp

CHỈNH HỢP

VD:

Một công ty liên doanh cần tuyển 3 nhân

viên vào các chức vụ: Kế toán trưởng, Trưởng tiếp thị, Trợ lý giám đốc.

Có 50 người dự tuyển

Có bao nhiêu cách tuyển được 3 nhân viên Biết rằng mọi nguời đều có cơ hội như nhau để được tuyển và không có sự kiêm nhiệm.

TỔNG QUÁT :

Một tập hợp có n phần tử đôi một khác nhau Chỉnh hợp chập k từ n phần tử là một bộ được sắp thứ tự gồm k phần tử đôi một khác nhau chọn từ tập n phần tử trên ( 1≤ k ≤ n )

Công thức:

NX:

Hai chỉnh hợp khác nhau do thứ tự sắp xếp

hoặc có ít nhất một phần tử khác nhau.

EXCEL

Hàm PERMUT(n,k)

)!(

!)

1) (

2)(

1(

),

(

k n

n k

n n

n n A

k n

−

=+

TỔ HỢP

VD:

Các đội bóng đá tham dự chung kết Wordcup được chia thành từng bảng, mỗi bảng 4 đội thi đấu vòng tròn một lượt Như vậy ở mỗi bảng có bao nhiêu trận đấu được tổ chức.

NX:

Một trận đấu là một nhóm gồm 2 đội được

chọn ra trong 4 đội.

Nhóm này không quan tâm đến thứ tự vì đội

A gặp đội B hay đội B gặp đội A cũng chỉ là

một trận đấu.

Vậy số trận đấu của mỗi bảng là:

6

! 2

! 2

! 4

! 2

) 2 , 4 (

! 2

2

A

TỔNG QUÁT

Tổ hợp chập k từ n phần tử là một bộ (không để ý đến tính thứ tự) gồm k phần tử đôi một khác nhau được chọn từ n phần tử (1≤ k ≤ n) Công thức:

(

! )

,

(

k k

n

n k

n

C

−

=

Một lô hàng có 30 sản phẩm, trong đó có 5 sản

phẩm chất lượng kém Một người mua 4 sản phẩm Có bao nhiêu trường hợp:

b) trong số sp mua có ít nhất 1 sp chất lượng kém

c) trong số sp mua có nhiều nhất 2 sp chất lượng

kém

VD:

Lớp có 40 sinh viên ( 18 nữ ), bầu ban cán sự gồm:

1Lớp trưởng, 1Lớp phó học tập,1Lớp phó văn nghệ,

mỗi SV của lớp có cơ hội như nhau để được bầu và không có sự kiêm nhiệm chức vụ.

Hỏi có bao nhiêu cách bầu ban cán sự sao cho trong ban cán sự có :

a) ít nhất một nữ b) hai nữ

II CÁC KHÁI NIỆM CĂN BẢN

PHÉP THỬ – KHÔNG GIAN MẪU – BIẾN CỐ

Phép thử ngẫu nhiên :

Điều kiện thực hiện phép thử như nhau

Kết quả xảy ra có thể khác nhau hoặc

giống nhau.

Không gian mẫu

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra được gọi là không gian mẫu.

Ký hiệu là Ω

Tung một con súc sắc.

xuất hiện mặt i chấm, i=1,2, ,6.

NX:

là các biến cố sơ cấp.

Ω={ } là không gian mẫu

C: xuất hiên mặt chẳn

C không phải là biến cố sơ cấp

VD:

Một gia đình có hai người con.

Không gian mẫu là:

:

i

A

6 5

4 3

2

1, A , A , A , A , A

A

6 5

4 3

2

1 , A , A , A , A , A A

} ,

, ,

{ T1T2 T1G2 G1T2 G1G2

= Ω

PHÉP TOÁN CỦA BIẾN CỐ

Quan hệ kéo theo: A xảy ra thì B xảy ra.

Ký hiệu:

.Hợp của 2 biến cố: A xảy ra hay B xảy ra ( có ít nhất một biến cố xảy ra).

Ký hiệu: hay

.Giao của 2 biến cố: A xảy ra và B xảy ra.

Ký hiệu: hay

.Biến cố xung khắc: A và B không đồng thời xảy ra Kýhiệu: hay

.Biến cố đối của A xảy ra khi A không xảy ra.

Một thí sinh dự thi vào ĐHKTTC

A: thí sinh này trúng tuyển

B: thí sinh này đậu thủ khoa

Thì

A

B ⊂

B A

B A

C = ∪ = +

B A B

A

Tung một con súc sắc

xuất hiện mặt i chấm, i=1,2,… ,6

C : xuất hiện mặt chẵn

L : xuất hiện mặt lẻ

4 3

2

1; A ; A ; A ; A ; A A

VÀI TÍNH CHẤT CỦA BIẾN CỐ

i

i

A A

B A

B A

A A

B A

B A

A A

A

A A

A

1 1

1 1

.

.

;

;

= Ω

∪

Φ

= Φ

∩

= Ω

∩

KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT

HƯỚNG TIẾP CẬN CỔ ĐIỂN

Có một phép thử

Không gian mẫu Ω có n phần tử (n biến cố sơ cấp đồng khả năng)

A là một biến cố trong phép thửû, có k trường hợp thuận lợi cho biến cố A (k biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A).

Thì tỷ số k/n được gọi là:

xác suất của biến cố A ký hiệu:

n

k card

A

card A

Ω

=

) (

)

( )

(

2 , 20 ( )

1 , 30 ( ).

2 , 20 (

) 3 , 50 ( )

3 , 50 (

Combin Combin

C C

k

Combin C

0 )

( = =

n

k A

P

Một công ty cần tuyển 3 nhân viên vào các chức vụ: KTT,TTT,TLGĐ

Có 50 người dự tuyển ( 20 nữ ).

Tính xác suất trong 3 người được tuyển:

CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT CĂN BẢN

CÔNG THỨC XÁC SUẤT CỘNG

i) A, B xung khắc

ii) A,B,C xung khắc từng đôi

suy ra

iii) A, B bất kỳ

iv) A,B, C bất kỳ

)()

()

(A B P A P B

) ( )

( )

( )

( A B C P A P B P C

)(

)()

()

(A B P A P B P A B

) (

) (

) (

) (

) ( )

( )

( )

(A B C P A P B P C P AB P BC P CA P ABC

) ( 1

) ( A P A

Khảo sát 100 thí sinh dự thi vào đại học có:

70 thí sinh dự thi vào khối A, 50 ts dự thi vào khối B, 35 ts dự thi cả hai khối A và B Chọn ngẫu nhiên một ts trong số 100 thí sinh trên Tính xác suất thí sinh này dự thi

a) vào ít nhất một khối trên.

b) không phải hai khối trên

HD:

A: thí sinh được chọn dự thi vào khối A

B: thí sinh được chọn dự thi vào khối B

a)

b)

) (

) (

) (

)

% 85 85

.

0 100

35 100

50 100

70

=

=

− +

=

% 15 )

( 1

) (

) ( A ∩ B = P A ∪ B = − P A ∪ B =

P

Một hãng nước ngọt thăm dò thị hiếu người

tiêu dùng về 2 loại nước giải khát A, B Trong số 100 người được hỏi có 60 người thích loại A,

50 người thích loại B, 30 người thích cả 2 loại A và B Chọn ngẫu nhiên 1 người trong số được thăm dò

Tính xác suất người này

a) thích ít nhất một loại nước giải khát trên.

b) không thích loại nước nào cả.

XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

A và B là 2 biến cố trong cùng phép thử.Xác

suất của biến cố B được tính trong trường hợp biến cố A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A.

ký hiệu: P ( B | A )

)

| ( ).

( )

| (

).

( )

(

0 )

(

; )

(

)

( )

| (

0 )

(

; )

(

)

( )

| (

B A

P B

P A

B P A

P B

A P

B

P B

P

B A

P B

A P

A

P A

P

A B

P A

B P

CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT

i) là 3 biến cố bất kỳ

ii) là n biến cố bất kỳ

3 2

1; A ; A A

)

| (

).

| (

).

( )

( )

(A1 A2 A3 P A1A2A3 P A1 P A2 A1 P A3 A1A2

n

A A

A1; 2; ;

)

| (

)

| (

) (

P 

Có 5 SV nhưng chỉ có 3 vé xem bóng đá

Phải tổ chức bắt thăm:

có 5 lá thăm trong đó có 3 lá có dấu X và 2 lá có dấu 0 Năm SV lần lượt bắt thăm, ai bắt được lá thăm có dấu X thì được vé xem

bóng đá.

Theo A/C bắt thăm trước hay bắt thăm sau lợi thế.

) (

) (

) (

5

3 )

(

2 1 2

1 2

1 2

1 2

1

A A P A

A P A

A A

A P A

P

A P

).

( )

| (

12 4

3 5

2 4

2 5

=

5

3 )

( )

( )

( A3 = P A4 = P A5 =

P

Lâu ngày không gặp nhau, nhân dịp Tết anh A đến thăm gia đình bạn Anh chỉ biết gia đình bạn có 2 người con nhưng không biết trai gái thế nào.

a) Trong khi ngồi trong phòng khách chờ bạn, có một bé gái bưng nước mời khách, anh A dự đoán bạn có 1 người con gái

Tính xác suất bạn có 1 người con gái.

G : bạn có một người con gái

b) Bé gái được bạn giới thiệu: đây là con gái của tôi Tính xác suất bạn có một người con gái

} ,

, ,

{

4

2 )

(

2 1 2

1 2

1 2

1T T G G T G G T

G

Bạn chắc chắn có con gái)=2/3

c) Bạn giới thiệu đây là con gái út của tôi Tính xác suất bạn có 1 người con gái.

Bạn có con gái út) = 1/2

|(

},

,

G P

G G T

G G

T

|(

},

G P

G G G

T

BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu biến cố A có xảy ra hay không xảy ra không ảnh hưởng đến việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố B và ngược lại.

P(B|A)=P(B) P(A|B)=P(A)

CHÚ Ý: A, B độc lập thì :

độc lập độc lập độc lập

) ( ).

( )

P ∩ =

B A

B A

B A

, , ,

b) hai sp cùng loại.

c) hai sp khác loại

HD:

chọn được sp loại A ở lô i, i=1,2

chọn được sp loại B ở lô j, j=1.2

0 20

12 15

10 )

( ).

( )

P

53 , 0 ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

(A1A2 ∪ B1B2 = P A1A2 + P B1B2 = P A1 P A2 + P B1 P B2 =

P

47 ,

0 20

12 15

5 20

8 15

10 )

( )

( )

(A1B2 ∪ B1A2 = P A1B2 + P B1A2 = + =

P

a) Đội tuyển thắng ít nhất một trận.

b) Đội tuyển thắng 2 trận

c) Sinh viên C thua, biết rằng đội tuyển thắng hai trận.

HD:

A: SV A thắng

B: SV B thắng

C: SV C thắng

T: đội tuyển thắng ít nhất 1 trận

D: đội tuyển thắng 2 trận.

a) NX:

b)

c)

994 ,

0 )

( ).

( ).

( 1

) ( 1

) ( 1

) (

.

B A P T

P T

P

C B A C

B A

T

C B

A T

398 ,

0 )

( )

( )

( )

(

.

.

.

= +

A P C

AB P

D P

C B A C

B A C

B A D

14 ,

0 )

(

) ( ) ( ) ( )

(

) (

) (

)

( )

|

D P

B P A P C P D

P

AB C

P D

P

D C

P D

C

P

BÀI TẬP:( Kiểm tra đầu giờ)

Một công ty điện tử quảng cáo sản phẩm

thông qua hai phương tiện: báo chí và TV

Được biết trong số khách hàng có: 30% biết

thông tin về sản phẩm của công ty qua báo

chí, 50% biết qua TV, 20% biết qua báo chí và

TV

Chọn ngẫu nhiên một khách hàng.

Tính xác suất khách hàng này biết thông tin về sản phẩm của công ty:

a) thông qua ít nhất một phương tiện trên.

b) không phải thông qua 2 phương tiện trên

c) thông qua chỉ một phương tiện là TV.

CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ

là một hệ đầy đủ các biến cố

F là một biến cố bất kỳ trong phép thử

Ta có:

n

A A

A

j i

A A

1

;

) (

).

| (

) (

).

| ( )

( ).

| ( )

F

P

1

) (

)

| (

F: SV được chọn đậu XSTK

M: SV được chọn là nữ

N: SV được chọn là nam

M, N là một hệ đầy đủ các biến cố.

Ta có:

P(M)=0,45 P(N)=0,55 P(F|M)=0,80 P(F|N)=0,75 Sử dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:

P(F)=P(F|M).P(M)+P(F|N).P(N)=0,7725

Một công ty may có 3 phân xưởng,PX1 sản

xuất 50% sản phẩm của công ty, PX2 sản xuất 30% sp của công ty, PX3 sản xuất 20% sp của công ty Tỷ lệ sp loại A do từng PX sản xuất lần lượt là: 95%, 90%, 85%

Một người mua một sp của công ty.

Tính xác suất mua được sản phẩm loại A.

HD:

F: mua được sp loại A

sp do PXi sản xuất, i=1,2,3

là một hệ đầy đủ các biến cố

1, A , A

A

85 0 )

| (

; 90 , 0 )

| (

; 95 , 0 )

| (

20 , 0 )

(

; 30 , 0 )

(

; 50 , 0 )

(

3 2

1

3 2

P A

F P A

F P

A P A

P A

P

)(

)

|()

()

|()

()

|()

CÔNG THỨC BAYES

là hệ đầy đủ các biến cố

F là một biến cố bất kỳ trong phép thử.

Ta có:

n

A A

A1, 2, ,

) (

)

| (

)

| (

)

( )

| (

A P

A F

P

A F

P A

P F

Một bộ đề thi có 30 câu hỏi, SV giỏi sẽ giải

đúng cả 30 câu, SV khá giải đúng 25 câu, SV trung bình giải đúng 15 câu, SV kém giải đúng

5 câu Một SV bắt thăm 3 câu.

a) Tính xác suất anh ta giải đúng cả 3 câu.

b) Biết rằng anh ta giải đúng cả 3 câu

Tính xác suất anh ta là SV trung bình.

Cho biết tỷ lệ SV giỏi, khá, trung bình, kém

của lớp lần lượt là: 20%, 30%, 40%, 10%.

HD:

F: SV giải đúng cả 3 câu bắt thăm được.

G: SV thuộc loại giỏi K: SV thuộc loại khá

T: SV thuộc loại tb Y: SV thuộc loại kém

G, K, T, Y là một hệ đầy đủ

0 ) 3 , 30 (

) 3 , 5 ( )

| (

1121 ,

0 ) 3 , 30 (

) 3 , 15 ( )

| (

5665 ,

0 ) 3 , 30 (

) 3 , 25 ( )

| (

1 ) 3 , 30 (

) 3 , 30 ( )

| (

F P

C

C T

F P

C

C K

F P

C

C G

F P

) (

)

| ( )

( )

|

(

F P

T F P T

P F

T

) ( )

| ( )

( )

| ( )

( )

| ( )

( )

| ( )

(F P F G P G P F K P K P F T P T P F Y P Y

Có hai chuồng gà:

chuồng 1 có: 15 trống và 10 mái

chuồng 2 có: 12 trống và 8 mái.

Có hai con gà chạy từ chuồng 1 sang chuồng

2 Sau đó từ chuồng 2 chạy ra một con.

a) Tính xác suất con gà chạy ra từ chuồng 2 là

con gà trống.

b) Biết rằng con gà chạy ra từ chuồng 2 là con

gà trống Tính xác suất hai con gà chạy từ chuồng 1 sang chuồng 2 là hai con gà

trống.

c) Biết rằng con gà chạy ra từ chuồng 2 là con

gà trống Theo Anh Chị hai con gà chạy từ chuồng 1 sang chuồng 2 là hai con gà

thuộc loại gì.

Có ba lô hàng, mỗi lô có 30 sp, số sp loại A có trong mỗi lô hàng lần lượt là: 20, 24, 26 Bên mua chọn ngẫu nhiên không hoàn lại từ mỗi lô hàng 3 sp, nếu lô nào cả 3 sp đều là loại A thì nhận mua lô hàng đó.

Tính xác suất:

a) Lô 1 được mua.

b) Có ít nhất một lô hàng được mua.

c) Có nhiều nhất hai lô hàng được mua.

d) Có hai lô hàng được mua.

Một cửa hàng thời trang có hai lô hàng:

lô 1 có: 16 sp loại A và 14 sp loại B.

lô 2 có: 20 sp loại A và 12 sp loại B.

Người chủ chọn ngẫu nhiên 2 sp từ lô 1đem

trưng bày, sau đó cho những sp còn lại của lô

1 sang lô 2 đem bán.

Một người mua một sp.

a) Tính xác suất sp mua được là sp loại A.

b) Biết rằng sp mua được là sp loại A Tính xác suất trong hai sản phẩm đem trưng bày có 1

sp loại A.