Một số bài toán chọn lọc về đồ thị hàm đạo hàm

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Những năm gần đây, trong đề thi THPT Quốc gia, đề thi thử của Sở GD&ĐTThanh Hóa, một số trường trên toàn quốc đã xuất hiện những bài toán liên qua đến đồ thị của hàm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

THANH HOÁ NĂM 2019

MỤC LỤC

PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU 2

1.1 Lý do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 2

1.4 Nhiệm vụ nghiên cứu

1.5 Phương pháp nghiên cứu………

1.6 Đóng góp của đề tài………

2 2 2 PHẦN II NỘI DUNG SKKN

2.1 Cơ sở lí luận của SKKN 2

2.2 Giải pháp để giải quyết vấn đề 4

Dạng 1: Các bài toán về khoảng đơn điệu của hàm số 4 Dạng 2: Các bài toán về cực trị của hàm số 8 Dạng 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 10 Dạng 4: Liên quan đến đồ thị của hàm số y= f x y( ); = f x y'( ); = f x''( ). 14 Dạng 5: Một số dạng toán chứa tham số liên quan đến đồ thị hàm số ( ) ' y= f x 17 2.3 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục……… 19

PHẦN III KẾT LUẬN 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 22

PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI :

Những năm gần đây, trong đề thi THPT Quốc gia, đề thi thử của Sở GD&ĐTThanh Hóa, một số trường trên toàn quốc đã xuất hiện những bài toán liên qua đến

đồ thị của hàm đạo hàm Nó được thể hiện qua rất nhiều bài toán khác nhau, liênquan đến nhiều dạng câu hỏi, bài tập, cùng với những hình thức hỏi rất đa dạng

Vì tính quan trọng và ứng dụng của đồ thị hàm đạo hàm nên tôi thấy cần cómột hệ lý thuyết, phương pháp và phân dạng bài tập đối với loại toán này Do đó

tôi chọn đề tài ‘Một số bài toán chọn lọc về đồ thị hàm đạo hàm ’.

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU :

Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số y= f x'( ) với các vấn

đề của hàm số y= f x( ) Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quảcao trong các kì thi, đặc biệt là kì thi TN THPT QG 2018-2019

1.3 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU :

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là: Các bài toán về khoảng đơn điệu, cực trị,giá trị lớn nhất, nhỏ nhất , các bài toán chứa tham số liên quan đến đồ thị hàm đạohàm trong chương trình SGK 12, đề thi TN THPT QG 2017-2018, đề thi thử của

Sở GD& ĐT thanh hóa và một số trường năm học 2018-2019 trên toàn quốc đểgiải quyết các dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số y= f x'( ).

1.4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU :

Đưa ra những cơ sở lí luận cần thiết Từ đó mô tả, phân tích và định hướng đểtìm ra biện pháp dạy cho học sinh cách vận dụng vào giải các dạng toán này

1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHÍNH :

Sử dụng các phương pháp của giải tích, hình học , đặc biệt là kiến thức , kỷnăng đọc đồ thị hàm số

1.6 ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

Trình bày một cách hệ thống, khoa học các dạng toán liên qua đến đồ thị hàmđạo hàm với các ví dụ minh họa, cùng lời giải chi tiết

PHẦN II NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1.1  1 Sự tương giao giữa đồ thị hàm số y= f x( ) và trục hoành.Giao điểm của đồ thị hàm số y= f x( ) với trục hoành là nghiệm củaphương trình hoành độ giao điểm f x( )= 0.

 1

bảng biến thiên.

Bảng 1:

Hàm số y= f x( ) đạt cực đại tại điểm x=x0.

Bảng 2:

Hàm số y= f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x=x0.

2.1.3  1 Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến thiên.

Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị ( )C Khi đó, với số k>0 ta có:

Hàm số y= f x( )+k có đồ thị ( )C1 là tịnh tiến ( )C theo phương của Oy lên trên k đơn vị

Hàm số y= f x( )- k có đồ thị ( )C2 là tịnh tiến ( )C theo phương của Oy xuốngdưới k đơn vị

Hàm số y= f x k( + ) có đồ thị ( )C3 là tịnh tiến ( )C theo phương của Ox qua trái k đơn vị

Hàm số y= f x k( - ) có đồ thị ( )C4 là tịnh tiến ( )C theo phương của Ox qua phải k đơn vị

+ Giữ nguyên phần đồ thị ( )C nằm trên Ox.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị ( )C nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị( )C nằm dưới Ox

2.2 GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.

Dạng 1:  1 Các bài toán về khoảng đơn điệu của hàm số

y= f x y= f x k y± = f x ±kx y= ë ûf u xé ù

Thí dụ 1. 3 Cho hàm số f x  có đạo hàm f x'  xác định,

liên tục trên  và f x'  có đồ thị như hình vẽ bên

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Thí dụ 3. 3 Cho hàm số yf x  có đồ thị của hàm số yf x  như hình vẽ

bên Hàm số y2f3 2 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

x

y

O

-4 -1 3

1

A

1

; 2

 

Lời giải Chọn D

x x

Ta cóy 10 2  xf10 2  x  2 ln 2x f10 2  x

çççè ¥ + ÷÷ø

5 2;

A

1

; 2 2

y= f x¢ có đồ thị như hình vẽ bên Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số yf x  đạt cực đại tại điểm x 1.

B Hàm số yf x  đạt cực tiểu tại điểm x 1.

C Hàm số yf x  đạt cực tiểu tại điểm x  2.

D Hàm số yf x  đạt cực đại tại điểm x  2

x y

Giá trị của hàm số yf x  đổi dấu từ âm sang dương khi qua x 2

Thí dụ 10.  3 Cho hàm số f x  có đồ thị f x  của nó trên khoảng K

như hình vẽ Khi đó trên K, hàm số yf x  có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải Chọn A

Đồ thị hàm số f x cắt trục hoành tại 1 điểm

Thí dụ 11.  3 Cho hàm số yf x  có đạo hàm liên tục trên  Đồ thị

hàm số yf x  như hình vẽ sau Số điểm cực trị của hàm số

  2

yf x  x là

Lời giải Chọn B

Xét hàm số g x  f x 2x Ta có g x  f x 2 Từ đồ thị hàm số

 

f x

ta thấy:

+ g x  0  f x 2  

1 0

Dựa vào đồ thị hàm số y=f x'( ) suy ra phương trình f x'( - 2019)=2020 có 1

nghiệm đơn duy nhất Suy ra hàm số g x( ) có 1 điểm cực trị

Dạng 3: Các bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số

y= f x y= f x a y± = f x ±ax y= ë ûf u xé ù

Thí dụ 13.  3 Cho hàm số yf x  xác định và liên tục trên 2;2, có đồ

thị của hàm số yf x  như hình bên Tìm giá trị x0 để hàm số yf x đạt giá trị lớn nhất trên 2;2

A x 0 2 B x 0 1 C x 0 2 D x 0 1

O

1

 2

x y

Lời giải Chọn D Từ đồ thị ta có  

1 (nghiem kep) 0

Lời giải Chọn A Cách 1: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị:

Ta suy ra đồ thị hàm số

3 2

x

y f   

  từ đồ thị hàm số yf x  bằng cách thực hiện phép dãn theo trục hoành với hệ số dãn 2 Sau đó thực hiện phép dãn theo trục tung với hệ số dãn

3 2

x x

Thí dụ 15.  3 Người ta khảo sát gia tốc a t  của một vật thể chuyển động

(t là khoảng thời gian tính bằng giây từ lúc vật thể chuyển động) từ giâythứ nhất đến giây thứ 10 và ghi nhận được a t  là một hàm số liên tục có

đồ thị như hình bên dưới Hỏi trong thời gian từ giây thứ nhất đến giâythứ 10 được khảo sát đó, thời điểm nào vật thể có vận tốc lớn nhất?

A giây thứ 7 B giây thứ nhất C giây thứ 10.D giây thứ 3.

Lời giải Chọn D

Phương pháp: a t  v t  Từ đồ thị ta có bảng biến thiên sau:

Thí dụ 16.  3 Cho hàm số f x  có đạo hàm là f x  Đồ thị của hàm số

 

yf x

được cho như hình vẽ bên Biết rằng f  0  f  3 f  2 f  5 Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của f x  trên đoạn 0;5 ?

A mf  0 ,M f  5 B mf  2 ,M f  0

C mf 1 ,M f  5 D mf 2 ,M f  5

Lời giải Chọn D

 3

y

4 2

Dạng 4: Liên quan đến đồ thị của hàm số

( ); '( ); ''( ).

y= f x y= f x y= f x

Thí dụ 18.  3 Cho đồ thị của ba hàm số yf x , yf x  , yf x 

được vẽ mô tả ở hình dưới đây Hỏi đồ thị các hàm số yf x , yf x 

và yf x  theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?

A   C3 ; C2  ; C1 .B C2    ; C1 ; C3 .C C2    ; C3 ; C1 .D     C1 ; C3 ; C2

Lời giải Chọn A

Trong khoảng 0;  thì C2 nằm trên trục hoành và  C3 “đi lên”

Trong khoảng  ;0 thì C2 nằm dưới trục hoành và  C3 “đi xuống”

được vẽ mô tả ở hình dưới đây Hỏi đồ thị các hàm số yf x , yf x 

và yf x  theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?

A   C3 ; C2  ; C1 .B C2    ; C1 ; C3 .C C2    ; C3 ; C1 .D   C1 ; C2  ; C3

Lời giải Chọn D Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị C2 cắt trục Ox tại 3 điểm là 3 điểm cực trịcủa của đồ thị hàm số  C1 Đồ thị  C3 cắt trục Ox tại 2 điểm là 2 điểm cựctrị của của đồ thị hàm số C2.

Thí dụ 20.  5 Cho đồ thị của ba hàm số yf x , yf x  , yf x 

được vẽ mô tả ở hình dưới đây Hỏi đồ thị các hàm số yf x , yf x 

và yf x  theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?

Thí dụ 21.  5 Một vật chuyển động có đồ thị của hàm quãng đường, hàm

vật tốc và hàm gia tốc theo thời gian t được mô tả ở hình dưới đây Hỏi

đồ thị các hàm số trên theo thứ tự là các đường cong nào?

A b c a, , B c a b, , C a c b, , D c b a, ,

Lời giải Chọn D

Thí dụ 22.  5 Cho đồ thị của ba hàm số yf x , yf x  , yf x 

được vẽ mô tả ở hình dưới đây Hỏi đồ thị các hàm số yf x  , yf x 

và yf x  theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào?

A   C3 ; C2  ; C1 .B C2    ; C1 ; C3 .C C2    ; C3 ; C1 .D     C1 ; C3 ; C2

Lời giải Chọn B

Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị ( )C1 cắt trục Ox tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của

của đồ thị hàm số ( )C2 ; đồ thị ( )C3 cắt trục Ox tại 2 điểm là 2 điểm cực

trị của của đồ thị hàm số ( )C1 .

Dạng 5: Một số dạng toán chứa tham số liên quan đến đồ thị hàm số y= f x'( ).

Thí dụ 23.  3 Cho hàm số f x  xác định trên R và hàm số

 '

yf x có đồ thị như hình bên dưới:

Xét các khẳng định sau:

(I) Hàm sốyf x có ba cực trị

(II) Phương trình f x  m 2018 có nhiều nhất ba nghiệm

(III) Hàm sốyf x 1nghịch biến trên khoảng 0;1

Số khẳng định đúng là:

Lời giải Chọn B

Phương pháp: Từ đồ thị hàm số yf x'  lập BBT của đồ thị hàm số

 

yf x và kết luận

=> (III) đúng Vậy có hai khẳng định đúng.

Thí dụ 24.  3 Cho hàm số yf x  xác định trên R và hàm số yf x' 

có đồ thị như hình bên dưới và f x '  0 với mọi x     ; 3, 4  9;.Đặt g x  f x  mx5 Có bao nhiêu giá trị dương của tham số m đểhàm số g x  có đúng hai điểm cực trị?

Lời giải Chọn D





   

 Khi đó m0;1;2;3;4;5;10;11;12 Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài

Thí dụ 25.  3 Cho hàm số yf x  xác định trên R và hàm số yf x' 

có đồ thị như hình bên dưới Đặt g x f x m   Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m để hàm số g x  có 5 điểm cực trị?

Lời giải Chọn D

Từ đồ thị hàm số f x¢( ) ta thấy f x¢( ) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độdương (và 1 điểm có hoành độ âm)

Thí dụ 26.  3 Cho hàm số f x có đồ thị hàm f x'  như trong hình bên

Có bao nhiêu số nguyên m  10 để hàm số yf x m  nghịch biến trênkhoảng 0;2

Lời giải

Suy ra, hàm số yf x m  nghịch biến trên khoảng   ; m1và

1  m; 4  m Theo giả thiết bài toán ta có

Vậy, có 9 giá trị nguyên của m thỏa mãn

2.3 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục

Trong năm học 2018 - 2019, tôi được nhà trường phân công giảng dạy ở lớp12C3;12C4; 12C5 là lớp học Ban Khoa học tự nhiên; có chất lượng đầu vào củahọc sinh không được tốt Trong quá trình giảng dạy, tôi đã mạnh dạn đưa một sốbài tập thuộc các dạng đã nêu trong đề tài cùng với định hướng phân tích tìm lờigiải như đã nêu và trong một số tiết ôn tập , các buổi ôn thi THPTQG, phần ôn tập

đề thi tổng hợp như hệ thống bài tập về nhà

Qua thực tiễn áp dụng đề tài, tôi nhận thấy đa số học sinh nắm được cácdạng toán này và giải quyết được một cách triệt để các bài toán liên quan đến đồthị hàm đạo hàm trong các kỳ thi Cụ thể như sau:

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ III.1 Kết luận

Đề tài đã nêu được phương hướng áp dụng đồ thị hàm đạo hàm vào một số

dạng toán cụ thể mà tôi đã nêu ra trong đề tài Việc sử dụng phương pháp đã nêu

phần nào giúp cho bản thân tôi một số định hướng mới trong quá trình dạy toán

cũng như góp phần phát huy tính tích cực, sáng tạo và ham học của học sinh

Đề tài cũng có thể được dùng làm tài liệu tham khảo ôn thi THPT Quốc gia cho

đồng nghiệp, học sinh lớp 12

III.1 Kiến nghị

Qua quá trình dạy học nhiều năm, bản thân tôi nhận thấy việc phân phối

chương trình dạy học toán trong trường phổ thông còn nhiều chỗ chưa hợp lí Một

số phần, chương có lượng kiến thức không nhiều, bài tập không có tính phát huy tư

duy học sinh lại phân phối nhiều thời lượng, nhiều tiết bài tập Trong khi đó các

phần, các chương cần có nhiều tiết bài tập để học sinh phát huy tốt khả năng tư duy

tích cực của bản thân thì thời lượng cũng như số tiết bài tập bị hạn chế Vì thế, tôi

đề nghị cần chỉnh sửa phân phối chương trình toán trung học phổ thông cho hợp lí

hơn

XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Hậu lộc, ngày 25 tháng 4 năm 2019

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết , không sao chép nội dung

của người khác

Phạm Văn Bình

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO

 1

Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)  Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên)  Nguyễn Xuân

Liêm-Nguyễn Khắc Minh- Đặng Hùng Thắng, Đại số và Giải tích 12 Nâng cao,

Nhà xuất bản Giáo dục

 2 Đề thi THPT Quốc gia năm 2018

 3 Đề thi thử THPT Quốc gia , năm 2017-2018,năm 2018-2019 của Sở GD& ĐTThanh hóa và một số trường trên toàn quốc

 4 Tham khảo một số sáng kiến kinh nghiệm của các đồng nghiệp

 5 Tham khảo một số nguồn tài liệu trên internet