Bài tập toán cao cấp Tập 1 part 2 docx

Biˆe’u th´u.c trong dˆa´u ngo˘a.c vuˆong l`a cˆa´p sˆo´ nhˆan... Gia’i c´ac phu.o.ng tr`ınh sau dˆay... sˆo´ cao nhˆa´t.. Da th´u.c Qz chia hˆe´t cho nhi... Do d´o Nhu.

T`u d´o thu du.o c

z2 =p

2(1 + cos ϕ)

hcos

(

√

3 + i)126 = 2126

hcos126π

6 + i sin

126π

6i

= 2126[cos π + i sin π] = −2126.

2) Ta c´o

w = z4 − z2 = cos 4ϕ + i sin 4ϕ − [cos 2ϕ − i sin 2ϕ]

= cos 4ϕ − cos 2ϕ + i(sin 4ϕ + sin 2ϕ)

= −2 sin 3ϕ sin ϕ + 2i sin 3ϕ cos ϕ

= 2 sin 3ϕ[− sin ϕ + i cos ϕ].

(i) Nˆe´u sin 3ϕ > 0 (t´u.c l`a khi 2kπ

Ta t`ım da.ng lu.o ng gi´ac cu’a v = sin ϕ − i cos ϕ Hiˆe’n nhiˆen |v| = 1.

= 1

2 +

sinπ92

2) Tu.o.ng tu nhu trong 1) ta k´y hiˆe.u

S = cos ϕ + cos(ϕ + α) + · · · + cos(ϕ + nα),

T = sin ϕ + sin(ϕ + α) + · · · + sin(ϕ + nα),

z = cos α + i sin α, c = cos ϕ + i sin ϕ.

hcosα − π

2 + i sin

α − π

2i

2

i.

T`u d´o so s´anh phˆ` n thu c v`a phˆaa ` n a’o ta thu du.o c kˆe´t qua’ N

B˘a`ng phu.o.ng ph´ap tu.o.ng tu ta c´o thˆe’ t´ınh c´ac tˆo’ng da.ng

a1 sin b1 + a2 sin b2 + · · · + a n sin b n , a1 cos b1 + a2 cos b2 + · · · + a n cos b n

nˆe´u c´ac acgumen b1, b2, , b n lˆa.p nˆen cˆa´p sˆo´ cˆo.ng c`on c´ac hˆe sˆo´

a1, a2, , a n lˆa.p nˆen cˆa´p sˆo´ nhˆan

V´ ı du 5 T´ınh tˆo’ng

1) S n = 1 + a cos ϕ + a2cos 2ϕ + · · · + a n cos nϕ;

2) T n = a sin ϕ + a2sin 2ϕ + · · · + a n sin nϕ.

Gia’i Ta lˆa.p biˆe’u th´u.c S n + iT n v`a thu du.o c

Σ = S n + iT n = 1 + a(cos ϕ + i sin ϕ) + a2(cos 2ϕ + i sin 2ϕ) +

+ 1

2) Biˆe’u diˆ˜n tuyˆe´n t´ınh sine 5

ϕ qua c´ac h`am sin cu’a g´oc bˆo.i cu’a ϕ.

3) Biˆe’u diˆe˜n cos4

ϕ v`a sin4ϕ · cos3ϕ qua h`am cosin cu’a c´ac g´oc bˆo.i

Gia’i 1) V`ı tg5ϕ = sin 5ϕ

cos 5ϕ nˆen ta cˆ` n biˆe’u diˆea ˜n sin 5ϕ v`a cos 5ϕ qua sin ϕ v` a cos ϕ Theo cˆong th´u.c Moivre ta c´o

cos 5ϕ + i sin 5ϕ = (cos ϕ + i sin ϕ)5 = sin5ϕ + 5i cos4ϕ sin ϕ

− 10 cos3ϕ sin2ϕ − 10i cos2ϕ sin3ϕ + 5 cos ϕ sin4ϕ + i sin5ϕ.

T´ach phˆ` n thu c v`a phˆaa ` n a’o ta thu du.o c biˆe’u th´u.c dˆo´i v´o.i sin 5ϕ v`a

cos 5ϕ v`a t`u d´o

tg5ϕ = 5 cos

4

ϕ sin ϕ − 10 cos2ϕ sin3ϕ + sin5ϕ

cos5ϕ − 10 cos3ϕ sin2ϕ + 5 cos ϕ sin4ϕ

(chia tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ cho cos5

ϕ)

= 5tgϕ − 10tg

3ϕ + tg5ϕ

1 − 10tg2ϕ + 5tg4ϕ ·

2) D˘a.t z = cos ϕ + i sin ϕ Khi d´o z−1 = cos ϕ − i sin ϕ v`a theo

cˆong th´u.c Moivre:

z k = cos kϕ + i sin kϕ, z −k = cos kϕ − i sin kϕ.

3) Tu.o.ng tu nhu trong phˆa` n 2) ho˘a.c gia’i theo c´ach sau dˆay



e 4iϕ + 4e 2iϕ + 6 + 4e −2iϕ + e −4iϕ

= 18

he 4ϕi + e −4ϕi

2

i+12

he 2ϕi + e −2ϕi

2

i+ 38

dˆ`u l`a nghiˆe.m thu c kh´ac nhau.e

Gia’i 1) Gia’i phu.o.ng tr`ınh

1+ Chia hai vˆe´ cu’a phu.o.ng tr`ınh cho (x − 1) n

= sinψ2

hcosψ

2 + i sin

ψ

2i

.

T`u d´o suy ra

sinψ2

hcosψ

2 + i sin

ψ

2i

2) Ta x´et vˆe´ pha’i cu’a phu.o.ng tr`ınh d˜a cho Ta c´o

1 + ai 1 − ai

R˜o r`ang d´o l`a nh˜u.ng nghiˆe.m thu c kh´ac nhau N

V´ ı du 8 Biˆe’u diˆ˜n c´ac sˆo´ ph´e u.c sau dˆay du.´o.i da.ng m˜u:

Gia’i 1) D˘a.t z1 = − √ 3 + i, z2 = cos π

12 − i sin

π

12, z3 = 1 − i v`abiˆe’u diˆ˜n c´ac sˆo´ ph´e u.c d´o du.´o.i da.ng m˜u Ta c´o

√ 2e iπ

2) Tru.´o.c hˆe´t biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c z1 =

( π

6+2kπ)4

= 4

√ 2e i(12k+1)π24 , k = 0, 3. N

Gia’i Phu.o.ng ph´ap tˆo´t nhˆa´t dˆe’ t´ınh gi´a tri c´ac c˘an th´u.c l`a biˆe’u

diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i dˆa´u c˘an du.´o.i da.ng lu.o ng gi´ac (ho˘a.c da.ng m˜u) rˆo` i

´

ap du.ng c´ac cˆong th´u.c tu.o.ng ´u.ng

1) Biˆe’u diˆ˜n z = −2 + 2i du.´o.i da.ng lu.o ng gi´ac Ta c´oe

Do d´o

w k =3

q√8

hcos

√

2hcos11π

√

2

hcos19π

√

2

cos3π

√

2cos5π

√

2

cos7π

V´ ı du 10 1) T´ınh tˆo’ng mo.i c˘an bˆa.c n cu’a 1.

2) T´ınh tˆo’ng 1 + 2ε + 3ε2+ · · · + nε n−1, trong d´o ε l`a c˘an bˆa.c n

cu’a do.n vi

3) T´ınh tˆo’ng c´ac lu˜y th`u.a bˆa.c k cu’a mo.i c˘an bˆa.c n cu’a sˆo´ ph´u.c α.

Gia’i 1) Dˆ` u tiˆen ta viˆe´t c´ac c˘an bˆa.c n cu’a 1 Ta c´oa

=

cos2π

n + i sin

2π n

2) Ta k´y hiˆe.u tˆo’ng cˆa` n t´ınh l`a S Ta x´et biˆe’u th´u.c

3) Gia’ su.’ β0 l`a mˆo.t trong c´ac gi´a tri c˘an cu’a α Khi d´o (v´o.i

α 6= 0) mo.i c˘an bˆa.c n cu’a α c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n du ´o.i da.ng t´ıch β0εk,

k

=cos 2π

n + i sin

2π n

mk!

= β0kh

1 + ε k1 + ε 2k1 + · · · + ε (n−1)k1 i

.

Biˆe’u th´u.c trong dˆa´u ngo˘a.c vuˆong l`a cˆa´p sˆo´ nhˆan Nˆe´u ε k1 6= 1, t´u.c l`a

k khˆong chia hˆe´t cho n th`ı

Nˆe´u ε k1 = 1 t´u.c l`a k chia hˆ e´t cho n, k = nq th`ı

3 + i sin

2π

3

)2)

12 + i sin

23π

12

i)

12 + i sin

19π

12

i)

2 Biˆe’u diˆ˜n c´ac sˆo´ ph´e u.c sau dˆay du.´o.i da.ng lu.o ng gi´ac

1) − cos ϕ + i sin ϕ (DS cos(π − ϕ) + i sin(π − ϕ))

2) − sin ϕ + i cos ϕ (DS cosπ

2 + ϕ



+ i sin π

2 + ϕ))

3) cos ϕ − i sin ϕ (DS cos(−ϕ) + i sin(−ϕ))

4) − cos ϕ − i sin ϕ (DS cos(π + ϕ) + i sin(π + ϕ))

B˘a`ng c´ach d˘a.t α = θ + 2kπ, trong d´o 0 6 θ < 2π, ta c´o:

5) 1+cos α+i sin α (DS 2 cos θ

2

hcosθ

2+i sin

θ

2

iv´o.i 0 6 θ < π;

−2 cos θ

2

hcosθ + 2π

2 + i sin

θ + 2π

2

iv´o.i π 6 θ < 2π) 6) 1 − cos α + i sin α (DS 2 sin θ

2

hcosπ − θ

2 + i sin

π − θ

2

i)

7) sin α + i(1 + cos α)

(DS 2 cosθ

2

hcosπ − θ

2 + i sin

π − θ

2

iv´o.i 0 6 θ < π;

−2 cos θ

2

hcos3π − θ

2 + i sin

3π − θ

2

iv´o.i π 6 θ < 2π) 8) − sin α + i(1 + cos α)

(DS 2 cosθ

2

hcosπ + θ

2 + i sin

π + θ

2

iv´o.i 0 6 θ < π;

−2 cos θ

2

hcos3π + θ

2 + i sin

3π + θ

2

iv´o.i π 6 θ < 2π)

(DS

√

22

hcos

5 H˜ay biˆe’u diˆe˜n c´ac h`am sau dˆay qua sin ϕ v`a cos ϕ

1) sin 3ϕ (DS 3 cos2ϕ sin ϕ − sin3ϕ)

2) cos 3ϕ (DS cos3ϕ − 3 cos ϕ sin2ϕ)

3) sin 4ϕ (DS 4 cos3ϕ sin ϕ − 4 cos ϕ sin3ϕ)

4) cos 4ϕ (DS cos4ϕ − 6 cos2ϕ sin2ϕ + sin4ϕ)

6 H˜ay biˆe’u diˆe˜n c´ac h`am sau qua tgx

1) tg4ϕ (DS 4tgϕ − 4tg

3ϕ

1 − 6tg2ϕ + tg4ϕ)2) tg6ϕ (DS 6tgϕ − 20tg

su.’ du.ng cˆong th´u.c nhi th´u.c Newton rˆo` i so s´anh phˆa` n thu c v`a phˆa` n

a’o c´ac sˆo´ thu du.o c

5 + cos

4π

5 = −

124) cos2π

Chı’ dˆa˜n Vˆe´ tr´ai l`a tˆo’ng cˆa´p sˆo´ nhˆan v´o.i cˆong bˆo.i b˘a`ng α x.

14 Gia’ su.’ n ∈ N, n > 1, c 6= 0, c ∈ R Gia’i c´ac phu.o.ng tr`ınh sau

dˆay

1) (x + c) n − (x − c) n= 0 (DS x = −ccotg kπ

n , k = 1, n − 1) 2) (x + ci) n − (x − ci) n= 0 (DS x = −cicotg kπ

n , k = 1, n − 1) 3) (x + ci) n + i(x − ci) n= 0

(DS x = −cicotg (3 + 4k)π

4n , k = 0, n − 1) 4) (x + ci) n − (cos α + i sin α)(x − ci) n = 0, α 6= 2kπ.

16 1) Biˆe’u diˆ˜n cos 5x v`a sin 5x qua cos x v`a sin x.e

2) T´ınh cos2π

5 v`a sin

2π

5 .

(DS 1) cos 5x = cos5x − 10 cos3x sin2x + 5 cos x sin4x,

sin 5x = 5 cos4x sin x − 10 cos2x sin3x + sin5x.

D - a th´ u.c v` a h` am h˜ u.u ty ’

2.1 D - a th´ u.c 44

2.1.1 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c C 45

2.1.2 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu c R 46

2.2 Phˆ an th´ u.c h˜ u.u ty ’ 55

2.1 D - a th´ u.c

Da th´u.c mˆo.t biˆe´n v´o.i hˆe sˆo´ thuˆo.c tru.`o.ng sˆo´ P du.o c biˆe’u diˆe˜n do.n tri.

du.´o.i da.ng tˆo’ng h˜u.u ha.n

Q(x) = a0z n + a1z n−1 + · · · + a n−1 z + a n (2.1) trong d´o z l`a biˆe´n, a0, a1, , a n l`a c´ac sˆo´; v`a mˆo˜i tˆo’ng da.ng (2.1) dˆe`u l`a da th´u.c

K´y hiˆe.u: Q(z) ∈ P[z].

Nˆe´u a0, a1, , a n ∈C th`ı ngu.`o.i ta n´oi r˘a`ng Q(z) l`a da th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c: Q(z) ∈ C[z] Nˆ e´u a0 , a1, , a n ∈ R th`ı Q(z) l`a da th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu c: Q(z) ∈ R[z].

Nˆe´u Q(z) 6= 0 th`ı bˆ a.c cu’a n´o (k´y hiˆe.u degQ(z)) l`a sˆo´ m˜u cao nhˆa´t

cu’a mo.i lu˜y th`u.a cu’a c´ac sˆo´ ha.ng 6= 0 cu’a da th´u.c v`a hˆe sˆo´ cu’a sˆo´

ha.ng c´o lu˜y th`u.a cao nhˆa´t d´o go.i l`a hˆe sˆo´ cao nhˆa´t

Nˆe´u P (z) v` a Q(z) ∈ P[z] l`a c˘a.p da th´u.c v`a Q(z) 6= 0 th`ı tˆo` n ta.i

c˘a.p da th´u.c h(z) v`a r(z) ∈ P[z] sao cho

1+ P = Qh + r,

2+ ho˘a.c r(z) = 0, ho˘a.c degr < degQ.

D- i.nh l´y B´ezout Phˆa`n du cu’a ph´ep chia da th´u.c P (z) cho nhi th´u.c

z − α l`a h˘a`ng P (α) (r = P (α)).

2.1.1 D - a th´ u.c trˆ en tru.` o.ng sˆ o ´ ph´ u.c C

Gia’ su.’ Q(z) ∈ C[z] Nˆe´u thay z bo.’ i sˆo´ α th`ı ta thu du.o..c sˆo´ ph´u.c

Q(α) = a0α n + a1α n−1 + · · · + a n−1 α + a n

D- i.nh ngh˜ıa 2.1.1 Nˆe´u Q(α) = 0 th`ı sˆo´ z = α du.o c go.i l`a nghiˆe.m

cu’a da th´u.c Q(z) hay cu’a phu.o.ng tr`ınh da.i sˆo´ Q(z) = 0.

D- i.nh l´y Descate Da th´u.c Q(z) chia hˆe´t cho nhi th´u.c z − α khi v`a

chı’ khi α l`a nghiˆe.m cu’a da th´u.c P (z) (t´u.c l`a P (α) = 0).

D- i.nh ngh˜ıa 2.1.2 Sˆo´ ph´u.c α l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c Q(z)

nˆe´u v`a chı’ nˆe´u Q(z) chia hˆ e´t cho (z − α) m nhu.ng khˆong chia hˆe´t cho

(z − α) m+1 Sˆo´ m du.o c go.i l`a bˆo.i cu’a nghiˆe.m α Khi m = 1, sˆo´ α go.i

l`a nghiˆe.m do.n cu’a Q(z).

Trong tiˆe´t 2.1.1 ta biˆe´t r˘a`ng tˆa.p ho p sˆo´ ph´u.c C du.o c lˆa.p nˆen b˘a`ng

c´ach gh´ep thˆem v`ao cho tˆa.p ho p sˆo´ thu c R mˆo.t nghiˆe.m a’o x = i cu’a

phu.o.ng tr`ınh x2 + 1 = 0 v`a mˆo.t khi d˜a gh´ep i v`ao th`ı mo.i phu.o.ng

tr`ınh da th´u.c dˆ`u c´o nghiˆe.m ph´u.c thu c su Do d´o khˆong cˆae ` n pha’i

s´ang ta.o thˆem c´ac sˆo´ m´o.i dˆe’ gia’i phu.o.ng tr`ınh (v`ı thˆe´ C c`on du.o c go.i

l`a tru.`o.ng d´ong da.i sˆo´)

D - i.nh l´y Gauss (di.nh l´y co ba’n cu’a da.i sˆo´).

Mo i da th´u.c da i sˆo´ bˆa c n (n > 1) trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c dˆ`u c´e o ´ıtnhˆa´t mˆo t nghiˆe.m ph´u.c.

T`u di.nh l´y Gauss r´ut ra c´ac hˆe qua’ sau

1+

Mo.i da th´u.c bˆa.c n (n > 1) trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c dˆe`u c´o d´ung n

nghiˆe.m nˆe´u mˆo˜i nghiˆe.m du.o c t´ınh mˆo.t sˆo´ lˆa` n b˘a`ng bˆo.i cu’a n´o, t´u.c l`a

Q(x) = a0(z − α1) m1(z − α2) m2· · · (z − α k)mk, (2.2)trong d´o α i 6= α j ∀ i 6= j v` a m1 + m2 + · · · + m k = n.

Da th´u.c (2.1) v´o.i hˆe sˆo´ cao nhˆa´t a0 = 1 du.o c go.i l`a da th´u.c thu

go n.

2+ Nˆe´u z0 l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c Q(z) th`ı sˆo´ ph´u.c liˆen ho p

v´o.i n´o z0 l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c liˆen ho p Q(z), trong d´o da

th´u.c Q(z) du.o c x´ac di.nh bo.’i

Q(z) def = a0z n + a1z n−1 + · · · + a n−1 z + a n (2.3)

2.1.2 D - a th´ u.c trˆ en tru.` o.ng sˆ o ´ thu c R

Gia’ su.’

Q(z) = z n + a1z n−1 + · · · + a n−1 z + a n (2.4)

l`a da th´u.c quy go.n v´o.i hˆe sˆo´ thu c a1, a2, , an

Da th´u.c n`ay c´o t´ınh chˆa´t d˘a.c biˆe.t sau dˆay

D- i.nh l´y 2.1.1 Nˆe´u sˆo´ ph´u.c α l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c (2.4) v´o.i

hˆe sˆo´ thu c th`ı sˆo´ ph´u.c liˆen ho p v´o.i n´o α c˜ung l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a

da th´u.c d´o

Su.’ du.ng di.nh l´y trˆen dˆay ta c´o thˆe’ t`ım khai triˆe’n da th´u.c v´o.i hˆe

sˆo´ thu c Q(z) th`anh t´ıch c´ac th`u.a sˆo´ Vˆe` sau ta thu.`o.ng chı’ x´et dath´u.c v´o.i hˆe sˆo´ thu c v´o.i biˆe´n chı’ nhˆa.n gi´a tri thu c nˆen biˆe´n d´o ta k´yhiˆe.u l`a x thay cho z.

D- i.nh l´y 2.1.2 Gia’ su.’ da th´u.c Q(x) c´o c´ac nghiˆe.m thu c b1, b2, , bm

v´o.i bˆo i tu.o.ng ´u.ng β1, β2, , β m v`a c´ac c˘a p nghiˆe.m ph´u.c liˆen ho p a1

v`a a1, a2 v`a a2 , , a n v`a a n v´o.i bˆo i tu.o.ng ´u.ng λ1 , λ2, , λ n Khi d´o

Dˆo´i v´o.i da th´u.c v´o.i hˆe sˆo´ h˜u.u ty’ ta c´o

D - i.nh l´y 2.1.4 Nˆe´u phˆan sˆo´ tˆo´i gia’n `

m (`, m ∈ Z, m > 0) l`a nghiˆe.mh˜u.u ty’ cu’a phu.o.ng tr`ınh v´o.i hˆe sˆo´ h˜u.u ty’ a0xn +a1x n−1 +· · ·+a n−1 x+

a n = 0 th`ı ` l`a u.´o.c cu’a sˆo´ ha ng tu. do a n v`a m l`a u.´o.c cu’a hˆe sˆo´ cao

2+ Gia’ su.’ P (z) ∈ R[z] Khi d´o

P (z) = a0z n + a1z n−1 + · · · + a n−1 z + a n

= a0z n + a1z n−1 + · · · + a n−1 z + a n

= a0(z) n + a1(z) n−1 + · · · + a n−1 z + a n

= a0(z) n + a1(z) n−1 + · · · + a n−1 z + a n = P (z).

T`u d´o c˜ung thu du.o c P (z) = P (z) v`ı P (z) = P (z) N

V´ ı du 2 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u a l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c

P (z) = a0z n + a1z n−1 + · · · + a n−1 z + a n , a0 6= 0

th`ı sˆo´ ph´u.c liˆen ho p a l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c

P (z) = a0z n + a1z n−1 + · · · + a n−1 z + a n

(go.i l`a da th´u.c liˆen ho p ph´u.c v´o.i da th´u.c P (z)).

Gia’i T`u v´ı du 1 ta c´o

V`ı a l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a P (z) nˆen

P (z) = (z − a) m Q(z), Q(a) 6= 0 (2.7)trong d´o Q(z) l`a da th´u.c bˆa.c n − m T`u (2.6) v`a (2.7) suy ra

P (z) = P (z) = (z − a) m Q(z) = (z − a) m Q(z). (2.8)

Ta c`on cˆ` n ch´a u.ng minh r˘a`ng Q(a) 6= 0 Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u Q(a) = 0 th`ı

b˘a`ng c´ach lˆa´y liˆen ho p ph´u.c mˆo.t lˆa` n n˜u.a ta c´o

Q(a) = Q(a) = 0 ⇒ Q(a) = 0.

Diˆ`u n`ay vˆo l´e y B˘a`ng c´ach d˘a.t t = z, t`u (2.8) thu du.o c

P (t) = (t − a) m Q(t), Q(a) 6= 0.

D˘a’ng th´u.c n`ay ch´u.ng to’ r˘a`ng t = a l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c

P (t) N

V´ ı du 3 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u a l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a da th´u.c v´o.i

hˆe sˆo´ thu c P (z) = a0zn + a1z n−1 + · · · + a n (a0 6= 0) th`ı sˆo´ ph´u.c liˆen

ho..p a c˜ung l`a nghiˆe.m bˆo.i m cu’a ch´ınh da th´u.c d´o.

Ta c`on cˆ` n ch´a u.ng minh Q(a) 6= 0 Thˆ a.t vˆa.y v`ı Q(a) 6= 0 nˆen

Q(a) 6= 0 v`a do d´o Q(a) 6= 0 v`ı dˆo´i v´o.i da th´u.c v´o.i hˆe sˆo´ thu c th`ı

Q(t) = Q(t) N

V´ ı du 4 Gia’i phu.o.ng tr`ınh z3

− 4z2 + 4z − 3 = 0.

Gia’i T`u di.nh l´y 4 suy r˘a`ng c´ac nghiˆe.m nguyˆen cu’a phu.o.ng tr`ınh

v´o.i hˆe sˆo´ nguyˆen dˆe`u l`a u.´o.c cu’a sˆo´ ha.ng tu do a = −3 Sˆo´ ha.ng tu do

a = −3 c´o c´ac u.´o.c l`a ±1, ±3 B˘a`ng c´ach kiˆe’m tra ta thu du.o c z0 = 3l`a nghiˆe.m nguyˆen T`u d´o

V´ ı du 5 Biˆe’u diˆ˜n da th´e u.c P6(z) = z6− 3z4+ 4z2 − 12 du.´o.i da.ng:

1+ t´ıch c´ac th`u.a sˆo´ tuyˆe´n t´ınh;

2+ t´ıch c´ac th`u.a sˆo´ tuyˆe´n t´ınh v´o.i tam th´u.c bˆa.c hai v´o.i hˆe sˆo´thu c

Gia’i Ta t`ım mo.i nghiˆe.m cu’a da th´u.c P (z) V`ı

T`u d´o

1+P6 (z) = (z − √ 3)(z + √ 3)(z − 1 − i)(z − 1 + i)(z + 1 − i)(z + 1 + i)

2+B˘a`ng c´ach nhˆan c´ac c˘a.p nhi th´u.c tuyˆe´n t´ınh tu.o.ng ´u.ng v´o.i c´acnghiˆe.m ph´u.c liˆen ho p v´o.i nhau ta thu du.o c

P6(z) = (z −

√ 3)(z +

√ 3)(z2− 2z + 2)(z2+ 2z + 2). N

V´ ı du 6 T`ım da th´u.c hˆe sˆo´ thu c c´o lu˜y th`u.a thˆa´p nhˆa´t sao cho c´ac

sˆo´ z1 = 3, z2 = 2 − i l`a nghiˆe.m cu’a n´o

Gia’i V`ı da th´u.c chı’ c´o hˆe sˆo´ thu c nˆen c´ac nghiˆe.m ph´u.c xuˆa´t hiˆe.n

t`u.ng c˘a.p liˆen ho..p ph´u.c, ngh˜ıa l`a nˆe´u z2 = 2 − i l`a nghiˆe.m cu’a n´o th`ı

z2 = 2 + i c˜ung l`a nghiˆe.m cu’a n´o Do d´o

Nhu vˆa.y P (x) l`a da th´u.c bˆa.c n − 1 v´o.i hˆe sˆo´ cao nhˆa´t b˘a`ng 2n Dˆo´i

v´o.i da th´u.c n`ay ta d˜a biˆe´t (§1) nghiˆe.m cu’a n´o:

Khi phˆan t´ıch da th´u.c trˆen tru.`o.ng P th`anh th`u.a sˆo´ ta thu.`o.ng

g˘a.p nh˜u.ng da th´u.c khˆong thˆe’ phˆan t´ıch th`anh t´ıch hai da th´u.c c´o bˆa.c

thˆa´p ho.n trˆen c`ung tru.`o.ng P d´o Nh˜u.ng da th´u.c n`ay du.o c go.i l`a da

th´u.c bˆa´t kha’ quy

Ch˘a’ng ha.n: da th´u.c x2− 2 l`a kha’ quy trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu c v`ı:

x2− 2 = (x −

√ 2)(x +

√

2)

nhu.ng bˆa´t kha’ quy trˆen tru.`o.ng sˆo´ h˜u.u ty’ Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u

v`a

√

2 l`a sˆo´ h˜u.u ty’ Vˆo l´y

V´ ı du 8 Phˆan t´ıch da th´u.c x n − 1 th`anh t´ıch c´ac da th´u.c bˆa´t kha’quy trˆen R

Gia’i Dˆ` u tiˆen ta khai triˆe’n da th´a u.c d˜a cho th`anh t´ıch c´ac th`u.a

sˆo´ tuyˆe´n t´ınh

2+ Nˆe´u n l`a sˆo´ ch˘a˜n (n = 2m) th`ı nghiˆe.m ε k chı’ thu c khi k = 0

v`a k = m Do d´ o ε0 = 1, ε m = −1 Dˆo´i v´o.i c´ac gi´a tri k c`on la.i ε k

khˆong l`a sˆo´ thu c Dˆo´i v´o.i c´ac gi´a tri k n`ay ta c´o

5 T`ım da th´u.c hˆe sˆo´ thu..c c´o lu˜y th`u.a thˆa´p nhˆa´t sao cho sˆo´ z1 = i l`anghiˆe.m k´ep v`a z2 = −1 − i l`a nghiˆe.m do.n cu’a n´o.



z − 1 − i

√

32



(DS (z −

√ 2(1 + i))(z −

√ 2(1 − i))(z +

√ 2(1 + i))(z +

√ 2(1 − i))) 7) z4 + 8z3+ 8z − 1



z − 1 − i

√

72

)

7 Phˆan t´ıch c´ac da th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu c th`anh c´ac da th´u.c bˆa´tkha’ quy trˆen c`ung tru.`o.ng d´o

√ 17)(x + 4 +



(x2+ x + 3)) 5) x10− 2x5 + 2 (DS

4Q

6) x4 + x3+ x2+ x + 1

2 .1 D - a th´ u.c 44

2 .1. 1 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c C 45

2 .1. 2 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu c R 46

2. 2 Phˆ an...

12

i)

12 + i sin

19 π

12

i)

2 Biˆe’u diˆ˜n c´ac sˆo´ ph´e u.c sau dˆay du.´o.i da.ng lu.o ng gi´ac

1) −... class="text_page_counter">Trang 21 < /span>

D- i.nh l´y 2 .1. 2 Gia’ su.’ da th´u.c Q(x) c´o c´ac nghiˆe.m thu c b1, b2, , bm

v´o.i