Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận, định thức và ma trận ngịch đảo (2019)

Bài giảng Toán cao cấp - Chương 1: Ma trận, định thức và ma trận ngịch đảo cung cấp cho người học các kiến thức: Ma trận, các loại ma trận, phép toán ma trận, cộng, trừ, nhân vô hướng, nhân hai ma trận, ma trận nghịch đảo, ứng dụng ma trận. Mời các bạn cùng tham khảo.

1 2 3 4 5

4 5

MA TRẬN TAM GIÁC TRÊN

Ma trận vuôngCác phần tử dưới đường chéo chính bằng 0

Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0

Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0

MA TRẬN BẬC THANG – STAIRCASE MATRIX

Phần tử cơ sở của hàng: phần tử khác 0 đầu tiên củamột hàng kể từ bên trái

Không là bậc thang

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN HÀNG

1 Đổi chỗ hai hàng với nhau

2 Thay một hàng bởi hàng đó nhân với một số khác 0

3 Thay một hàng bởi hàng đó cộng với hàng khác nhân với

Thực hiện phép biến đổi ma trận sau:

Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương hàng với ma trận A

Định lý Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang

bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng

Chú ý Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng ta

thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau

',

elementary row operations

Nhân hai ma trận

Hai ma trận phải cùng cấp

CỘNG HAI MA TRẬN

Cộng các phần tử tương ứng với nhau

Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp

Scalar multiplication

PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN - INTRO

peanuts soda hot dogs

Phần tử cij= (hàng i của A).(cột j của B)

Q Điều kiện để hai ma trận nhân được với nhau?

0121

210102102

1 1.1+2.1 3 4 1 2

-1 -2 -1 0 -2 0 2 -4

-1 -2 -1 0 -2 0 2

1 4 3

QUI TẮC NHÂN HAI MA TRẬN

Phần tử nằm ở vị trí ijcủa ma trận mới bằnghàng icủa

ma trận đầu nhân vớicột jcủa ma trận sau

Ví dụ Muốn tìm phần tử c23 ta lấy hàng 2 của A nhận với

cột 3 của B (giống nhân tích vô hướng các vecto)

ij

0 0 3 3 5D=

Ký hiệu: r(A) hay rank(A)r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc thang E

Định nghĩa Cho A là một ma trận vuông A, ma trận B

được gọi là ma trận nghịch đảo (inverse) của ma trận A

.

VÍ DỤ

CHÚ Ý

Chỉ ma trận vuông mới có thể khả nghịch (khả đảo)

Không phải bất kỳ ma trận vuông A nào cũng khả nghịch

Có rất nhiều ma trận vuông không khả nghịch

Ma trận khả nghịch được gọi là ma trận không suy biến

Ma trận không khả nghịch được gọi là ma trận suy biến

Ma trận thu được từ ma trận đơn vị I bằng đúng 1 phép

biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp

Một phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận A đồng nghĩa với nhân bên phải A với ma trận sơ cấp tương ứng

Ta có:

1 1

ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG CẤP 1, 2

Ma trận vuông cấp 1:

Ma trận vuông cấp 2:

1

11

22

2

21 2 2

a

A

a

a

a

11 1 1

11 22 21 12

11 12

11 22 21 12

21 22

ĐỊNH THỨC (MA TRẬN VUÔNG) CẤP 3

𝐴 =

det(A) =

+a.det 𝑒 𝑓

ℎ 𝑖 -b.det

𝑔 𝑖 +c.det

𝑑 𝑒

𝑔 ℎ

= aei – afh – (bdi – bgf) + cdh – cge

+ - +

QUY TẮC TÍNH ĐỊNH THỨC CẤP 3

Ta có quy tắc Sarrus

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

11 22 33 12 23 31 13 21 32

31 22 13 32 23 11 33 21 12

det

A a a a a a a a a a a a a a a a a a a 10/10/2019 81 VÍ DỤ Tính các định thức sau bằng quy tắc Sarrus 1 2 3 1 2 1 0 5 7 0 1 0 1 2 8 2 2 2 5 7 6 0 1 1 1 2 5 1 2 2 0 3 9 3 3 A C m m m B D m 10/10/2019 82 ĐỊNH THỨC CẤP N TỔNG QUÁT Dùng phần bù đại số và khai triển theo hàng (cột) Ký hiệu Mijlà ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j Phần bù đại số (cofactor) của phần tử aij ký hiệu và xác định như sau: 11 12 1 21 22 2 1 2

n n

A

1i jdet 1i j

Cho ma trận:

4 4

A

VÍ DỤ 1

M23=??? Cofactor(a23)= A23=???

Đây là khai triển theo dòng 1.

Ta có thể khai triển dòng bất kỳ hoặt cột bất kỳ

11 11 12 12 1 1det A a A a A a A n n

1det

i=1detA = a A + a A + a A = a A

Khai triển theo dòng 1:

Khai triển theo cột 1

Nên chọn cột có nhiều số 0 để khai triển

2 8

ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC

DETERMINANT = a11.a22…ann

ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN TAM GIÁC

Ví dụ Tính định thức của hai ma trận sau:

ELEMENTARY OPERATIONS AND DETERMINANTS

Cho A là ma trận cấp mxn Chọn các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A ta được một ma trận vuông cấp k Định thức của ma trận vuông cấp k này ta gọi là định thức con cấp k của A.

Hỏi Có bao nhiêu định thức con cấp k trong 1 ma trận A

Nếu rank(A)=r thì:

a) Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 của A b) Mọi định thức con của A cấp lớn hơn r (nếu có) thìphải bằng 0

ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH & TÍNH CHẤT

A

MA TRẬN PHỤ HỢP (CONJUGATE MATRIX)

Ma trận phụ hợp của ma trận A, ký hiệu adj(A) hay PA

Là ma trận chuyển vị của ma trận chứa các phần bù đại

Lưu ý: nên nhập qua Shift +4 +1 để đỡ bị lỗi

GIẢI TOÁN MA TRẬN BẰNG FX570 ES

2 Tính định thức

Thao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4

(Matrix)  7 (Det)  Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  =

3 Tìm ma trận nghịch đảo

Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của MatA:

Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  x-1

(x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode)

4 Giải phương trình: AX = B

Thao tác theo các bước bên trên để tính: MatA  x -1  x

 MatB để cho kết quả của X.