Khảo sát sự biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị , C biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận của C một tam giác có bán kính đường tròn nội
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2011
Môn thi: TOÁN – Khối A, B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2
,
1
x
y
x
-
= + có đồ thị là ( ). C
1. Khảo sát sự biến thiên của hàm số và vẽ đồ thị ( ). C
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ), C biết tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận của ( ) C một tam
giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.
Câu II (2,0 điểm)
(tan cot 2 1)sin(4 ) (sin cos ).
2. Giải hệ phương trình
ï
í
ï
î
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
2
2
1
1
1
x
+
=
ò
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có A ABC '. là hình chóp tam giác đều, AB = a Gọij
là góc giữa mặt phẳng ( ' A BC ) và mặt phẳng ( ' ' C B BC ). Tính theo a thể tích khối chóp A BCC B ' ' ',
.
3
c os j =
Câu V (1,0 điểm) Cho ba số dương a b c , , Chứng minh rằng
3
2
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B.
A. Theo chương trình cơ bản
Câu VIa (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip
2 2
8 2
E + = Viết phương trình đường thẳng d cắt ( ) E tại
hai điểm phân biệt có toạ độ là các số nguyên.
2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình thoi ABCD có diện tích bằng 12 2, đỉnh A thuộc trục Oz, đỉnh
:
d = = + và B có hoành độ dương.
Tìm toạ độ A B C D , , ,
Câu VIIa (1,0 điểm) Cho số phức z thoả mãn 7
2
z
z
z
- + =
- Tính
2
.
z i
z i
+
-
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn ( C1 ) : ( x - 1)2+ ( y + 2)2 = 5 và
2
( C ) : ( x + 1) + ( y + 3) = 9. Viết phương trình đường thẳng D tiếp xúc với ( C 1 ) và cắt ( C 2 ) tại hai
điểm A, B thoả mãn AB = 4.
2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2
:
d - = + = và mặt phẳng ( ) : P x + 2 y - - = z 3 0. Viết phương trình đường thẳng D thuộc (P), vuông góc với d và có khoảng cách giữa d và D bằng 2.
Câu VIIb (1,0 điểm) Tìm m để hàm số
2
2
y
x
+ +
=
+ có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM 2011
Môn: TOÁN; Khối A,B
(Đáp án thang điểm gồm 04 trang)
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
1. (1,0 điểm) Khảo sát…
Tập xác định D =¡ \ { 1}. - Ta có:
2
3
( 1)
x
= > " Î
Giới hạn:
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥ -; 1), ( 1;- +¥ Hàm số không có cực trị. )
0,25
Đồ thị:
0,25
2. (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến …
Phương trình tiếp tuyến d có dạng 0
0
2
2
3
x
-
+ + ( x là hoành độ tiếp điểm). 0
Gọi I là giao hai tiệm cận; A và B là giao của d với hai tiệm cận.
0
0
5 ( 1;1), ( 1; ), (2 1;1).
1
x
x
-
+
0,25
0
0
6
1
x
Bán kính
.
r
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi IA=IBÛx 0 = - ± 1 3.
0,25
I
(2,0 điểm)
Vậy có hai tiếp tuyến thoả mãn là: y=x +2- 2 3 và y=x +2+ 2 3. 0,25
1. (1,0 điểm) Giải phương trình
Điều kiện: sin 2x ¹ 0. Phương trình đã cho tương đương với
s inx.cos 2 sin 2 cos 1
os4 (1 2 sin os )
-
II
(2,0 điểm)
2
2
os4 1 sin 2
c x
y' + +
y
+¥
1
1
-¥
y
x
O
2
2 –1
1
Trang 3Câu Đáp án Điểm
Đặt t=cos2 , 1x- < < t 1. Ta có phương trình t3-7t2 + + =t 5 0Û Ît {1;3- 14;3+ 14} , đối chiếu điều
kiện ta được 3 14 1 arccos(3 14) ,
2
2. (1,0 điểm).Giải hệ phương trình……
Hệ đã cho tương đương với
ï
í
ï
î
0,25
Th1: y= Þ0 x = 0.
Th2: y ¹ 0, đặt t x x ty
y
= Û = thay vào hệ:
(2 1) (3 ) (1) ( 3) ( 2) (2)
ï
í + - = -
ï
î
0,25
Từ (1) và (2) ta được: 33 7 2 3 7 0 { 1;1; }. 7
3
Hệ có bốn nghiệm (0;0);(1;1); ( 1;1); (7 ; 3 ).
43 43
Tính tích phân………
I =ò x+ x- x - dx=òx x+ dx-ò x+ x - dx I= - I 0,25
1
I =ò x+ - x+ dx=ò x+ dx-ò x+ dx= x+ - x + = - 0,25
III
(1,0 điểm)
Đặt t= x - 1,
1
2
2
t t
I =ò x+ x- dx=ò t + t tdt = + =
Vậy 8 3 4 2 26 .
5 15 15
0,50
Tính thể tích khối chóp …
Gọi x là độ dài cạnh bên, O là tâm tam giác ABC, I và M lần lượt là trung điểm
BC và B’C’.
Ta có
2
2
3
A O^ ABC A M =AI= A I= x - IM = x
0,25
( ' ),
'
AI BC
BC A AIM
A I BC
^
ì
í
^
î
suy ra j = Ð A IM ' hoặc j =180o - Ð A IM ' . 0,25
TH1: j = Ð A IM ' , ta có:
2
2
2
a
x
ï
ï ³
î
3
a
0,25
IV
(1,0 điểm)
TH1: j =180o - Ð A IM ' , ta có:
2
2
2
a
x
ï
ï £
î
0,25
C
O
C’
I •
M
•
Trang 4Câu Đáp án Điểm
3
a
Chứng minh rằng…
Giả sử x=max{ , , }x y z Þ ³x 1;yz £ 1. Khi đó:
2
y z yz
0,25
VT
V
(1,0 điểm)
x
2 2 1
1
t
f t
t
- -
- , suy ra ( ) f t
đồng biến trên (0; ], 1
2 do đó
1 3 ( ) ( )
2 2
f t £ f = Vậy 3
2
VT £ Dấu bằng xảy ra khi a=b = c
0,25
1. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng cắt elip…
Gọi M x y ( ; ) ( ), Î E với x΢,y Î ¢ Ta có: .
2
2
8 2
x y
y
2
Kết hợp với y Î ¢ ta được , y Î {0;1; 1}. -
0,25
Với y = 0, ta được x = ± 8 Ï ¢ (loại); với y = ± ta được 1, x = ± 2. 0,25
Bốn điểm thuộc (E) có toạ độ nguyên là M1(2;1);M2(2; 1);- M3( 2;1);- M 4 ( 2; 1). - - 0,25
Có 6 đường thẳng thoả mãn là: x=2;x= -2;y=1;y= -1;x-2y=0;x+2y = 0. 0,25
2. (1,0 điểm) Tìm toạ độ A, B, C, D.
Gọi (0; 0; ); ( ; ;0). A a C b c Ta có: uuur AC=( ; ;b c - a ),
d có vectơ chỉ phương u = r (1;1; 2),
toạ độ trung điểm I của AC là ( ; ; ).
2 2 2
b c a
Ta có AC u . 0 a b c 2,
I d
ì =
ï
Û = = =
í
Î
ï
uuur r
do đó (0;0; 2); (2; 2; 0) A C và (1;1;1). I 0,25
Diện tích hình thoi 1 12 2,
2
S= AC BD = mà AC = 2 3 suy ra BD=4 6ÞIB = 2 6. 0,25
VI.a
(2,0 điểm)
( ; ; 1 2 ), 0.
BÎdÞB t t - + t t > Khi đó: IB=2 6Û = Þt 3 B(3;3;5);D ( 1; 1; 3). - - - 0,25
Tính môđun …….
Điều kiện z ¹ 2. Từ giả thiết ta có: z2 -2z + = 5 0 (1). 0,25
2
4 20 16 (4 ) ; i
D = - = - = phương trình (1) có nghiệm z= - 1 2 i và z = + 1 2 i 0,25
Với z= - 1 2 , i ta được: 2 1 1 1 .
z i
+
VII.a
(1,0 điểm)
Với z= + 1 2 , i ta được: 2 1 4 1 4 17 .
1 3 1 3 10
i
+
1. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng….
VI.b
(2,0 điểm)
(C có tâm ) I (1; 2) - và bán kính R = 5; (C ) có tâm I - - ( 1; 3) và bán kính R = 3. 0,25
Trang 5Câu Đáp án Điểm
Ta có: d I ( ; )1 D = 5 (1).
Gọi h=d I ( ; ), 2 D ta có: 2 2
2
Từ (1) và (2) suy ra D song song với I I hoặc 1 2 D đi qua trung điểm (0; 5 )
2
M - của I I 1 2 0,25
Vì M nằm trong (C nên không xảy ra khả năng1 ) D qua M, do đó D / /I I1 2 , suy ra phương trình D
có dạng x-2y+m = 0, khi đó: ( ; )1 5 5 5 0 10.
5
m
2. (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng thuộc (P) và vuông góc với d….
(2;1;1);
d
u =
uur
( ) P (1; 2; 1),
n uuur = -
do đó D có vectơ chỉ phương là 1 ( ) , (1; 1; 1).
3 P d
u = én u ù = - -
D
uur uuur uur
0,25
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa D và song song với d, ta có: ( ) 1 , (0;1; 1).
3
n = - éu u ù = -
ë D û uuur uur uur
Phương trình (Q): y- +z m = 0. Chọn A=(1; 2;0)- Î ta có: ( , ( ))d , d A Q = 2Ûm= Ú0 m = 4.
0,25
Với m = 0, vì D =( )P Ç( ) Q nên D đi qua B = (3;0; 0), phương trình : 3
= =
- -
Với m = 4, vì D =( )P Ç( ) Q nên D đi qua C = (7;0; 4), phương trình : 7 4 .
x- y z -
= =
Tìm m để hàm số
Hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu khi và chỉ khi đồ thị hàm số không cắt trục hoành
VII.b
(1,0 điểm)
………….Hết………….
