Viết phương trình tiếp tuyến của C tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của C tại M cắt C tại hai điểm phân biệt khác M.. q Phần riêng 3,0 điểm: Thí sinh chỉ được làm một trong
Trang 1SỞ GD_ĐT HƯNG YấN đề thi thử đại học lần II năm 201
Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm):
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số
4
3
x
y = - x + 1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2/ Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ x M = a Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a
thì tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M
Câu II (2,0 điểm)
2/ Tìm tất cả các số thực x thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
a) (x2-3 ) 2x x2 -3x -2³ 0 (1)
(6- 27 )x +8.(6+ 27 )x = 3 x+ (2)
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I =
1
2
0
1
sinx
cosx
sinx
p
+
ũ Câu IV (1,0 điểm)
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, A’A = A’B = A’C và mặt phẳng (A’AB) vuông góc với mp(A’AC) Tính V ABC A B C ' ' '
Câu V (1,0 điểm)
Cho p, q là các số tự nhiên lớn hơn 1 và 0;
2
x ộ pự
ẻ ờở ỳ ỷ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = cos x sin x p . q
Phần riêng ( 3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A/ Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (3,0 điểm)
1/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(1;2), đường chéo BD có phương trình:
2x+y + = Điểm M nằm trên đường thẳng AD sao cho M và D nằm về hai phía so với A và AM = AC 1 0
Đường thẳng MC có phương trình: x+y - = Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình bình hành ABCD 1 0
2/ Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0; -2; -6), B(2; 0; -2) và mặt cầu (S) có phương trình:
2 2 2 2 2 2 1 0
x +y +z + x- y+ z - = Viết phương trình mp(P) đi qua hai điểm A, B và (P) cắt (S) theo một
đường tròn có bán kính bằng 1
3/ Trong các số phức z thoả mãn điều kiện: z+ +1 2i = 1 , tìm số phức z có môđun nhỏ nhất
B/ Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (3,0 điểm)
1/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x-1)2+(y -2)2 = Tìm trên đường thẳng 9
D : x+y - = các điểm M sao cho từ M kẻ được tới (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 60 9 0 0 .
2/ Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) và đường thẳng (d):
1
2
= -
ỡ
ù
ớ
ù =
ợ Viết phương trình đường thẳng D đi qua A và cắt đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ B đến D lớn nhất 3/ Tìm môđun của số phức:
3
1 2 (1 )
1
z
i
+ - -
=
www.laisac.page.tl
Trang 2Biểu điểm và đáp án môn toán
Câu I
(2,0 đ )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ( 1,0 đ )
1) Tập xỏc định D=R
2) Sự biến thiên
a) Chiều biến thiên
Ta có y'=2x3-6x=2x x ( 2 - , '3 ) y =0Û x=0,x = ± 3
Trên các khoảng (-Ơ - ; 3) và (0; 3) , 'y < nên hàm số nghịch biến 0
Trên các khoảng (- 3; 0) và ( 3;+Ơ , ') y > nên hàm số đồng biến 0
b) Cực trị
Tại x = , hàm số đạt CĐ: 0 (0) 5
2
CD
y = y = Tại x = ± 3 , hàm số đạt CT: y CT = y (± 3)= - 2
c) Giới hạn: : lim ; lim
đ-Ơ = +Ơ đ+Ơ = +Ơ
d) Bảng biến thiên:
y
3) Đồ thị
* Điểm uốn
Ta có y''=6x 2 - 6
y = Ûx = ±
Do y’’ đổi dấu khi x đi qua 1 ± nên đồ thị có hai điểm uốn U 1 (-1;0) và U 2 (1;0)
* Đồ thị đi qua các điểm ( 2; 3), ( 3; 2), (0; ), ( 3; 2),(2;5 3 )
* Nhận xét:
Đồ thị nhận oy làm trục đối xứng
Đồ thị cắt oy tại (0; )5
2
C
0,25
0,25
0,25
0,25
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M, với giá trị nào của a thì tiếp tuyến của (C) tại
M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M (1,0 đ )
+ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M
Vì
4
2 5
a
Ta có: y'=2x3-6xị y a'( )=2a3 - 6 a
Vậy tiếp tuyến của (C) tại
4
2 5
a
M a - a + có PT:
4
a
y= a - a x a- + - a +
+ Tìm a để tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại hai điểm phân biệt khác M
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và (C) là nghiệm của phương trình:
ờ
ở
ộ
=
- + +
=
=
Û
0
6
3
2 )
( x x 2 ax a 2
g
a
x
0,25
0,25
0,25
Trang 3Yêu cầu bài toán được thoả mãn khi: g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác a
ù
ù
ớ
ỡ
±
ạ
<
Û
ù
ù
ớ
ỡ
ạ
<
-
Û
ù
ù
ớ
ỡ
ạ
-
=
>
-
-
=
D
Û
1
3
1
0
3
0
6
6 ) (
0 )
6
3 (
2
2
2
2
2 '
)
a
a
a
a
a
a
g
a
a
x
g
Câu II
)
Ta có PT(*) Û sin 4 x + cos 4 x + sin 4 (x+
4
p
) + cos 4 (x+
4
p
) 3 4
4
2 sin x
=
Û 1 – 2sin 2 x cos 2 x + 1 – 2sin 2 (x+
4
p
).cos 2 (x+
4
p
) 3 4 4
2 sin x
=
Û 1-
2
1 sin 2 2x +1 -
2
1 sin 2 (2x +
2
p
) 3 4
4
2 sin x
=
Û 2 -
2
1 sin 2 2x -
2
1 cos 2 2x 3 4
4
2 sin x
=
Û
2
3 sin 4 4x =
2
3
Û sin 2 4x = 1
Û cos 4x = 0 Û 4x =
2
p
+ kp Û x =
8
p
+ k 4
p
với k ẻ Z
Vậy PT có các nghiệm là: x =
8
p
+ k 4
p
với k ẻ Z
0,25
0,25
0,25
0,25 2/ Tìm tất cả các số thực x thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau: (1,0 đ )
(x -3 ) 2x x -3x -2 ³ 0 (1) b) (6- 27 )x+8.(6+ 27 )x = 3 x+ 2 (2) a) Giải bất pt: (x2-3 ) 2x x2 -3x -2 ³ 0 (1)
Ta có (1) Û
2
2
2
( 3 ) 0
ờ
ờỡ ù - - >
ờớ
ờù - ³
ở
Û
1
1
2
ị = -Ơ -ỗ ỳ ẩ ẩ +Ơ
b) Giải pt: (6- 27 )x+8.(6+ 27 )x = 3 x+ 2 (2)
Ta có (2) Û (6- 27 )x +8.(6+ 27 )x = 9.3 x
Vì 6 27 6 27 1
=
3
x
t t
= >
PT trở thành: 2
1 ( / )
( / )
8
=
ộ
ờ
ờ =
ở Với t= ị1 x = 0
3
log
t= ịx = +
0,25
0,25
0,25
Trang 42 6 27
3
1
0, log
8
T
+
Vậy số thực thoả mãn đồng thời hai điều kiện trên là: 6 27
3
1 log
8
*Lưu ý: ở điều kiện (1) nếu thiếu TH: 2x2 -3x -2 = 0 sẽ bị mất nghiệm x = 2
Nghĩa là bất PT:
( ) 0
( ) 0
g x
f x
ờ
³ Û ỡ ờ ù >
ớ
ờ
³
ù
ờợ
ở
0,25
Câu III
(1,0 đ )
Tính tích phân: I =
1 sin
2
0
ln
1 sin
x
cosx
dx x
p
+
+
2
0
2
0
2
0
) sin
1 ln(
) cos
1 ln(
sin )
cos
1 ln(
p
p
p
dx
x
dx
x
x
dx
x
I
Chứng minh: I 1 = I 3
Đặt:
2
0
2
0
2
p p
ỡ
= ị =
ù
ớ
ù = ị =
ù
1
ln(1 sin ) ln(1 sin )
ị =ũ + =ũ + Suy ra I 1 - I 3 = 0
2
0
2 sin ln( 1 cos )
p
dx
x
x
I
Đặt: t = 1 + cos x ị dt = - sin xdx : Đổi cận
1
2
= ị =
ỡ
ù
ớ
ù
Khi đó: = ũ
2
1
2 ln tdt
ợ
ớ
ỡ
=
=
dt
dv
t
u ln
ù
ù
ớ
ỡ
=
=
t
v
dt
t
du 1
ị I 2 = t ln t 1 2 - 1 2
2
1
)
ln
( t t t
dt = -
Vậy: I = 2 2 1 ln -
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 5Câu IV
(1,0 đ )
Gọi M là trung điểm của BC và O là trọng tâm tam giác ABC
Vì A’A = A’B = A’C nên A O' ^ (ABC ) do AO^BCị AA ' ^ BC
Gọi I là hình chiếu của B trên A’A ị ịAA'^ (BIC ) ị éBIC = 90 0 và
2 2
Vậy
' ' '
ABC A B C ABC
Kết luận
0,25
0,25
0,5
Câu V
(1,0 đ ) Cho p, q là các số tự nhiên lớn hơn 1 và 0;
2
x ộ pự
ẻ ờở ỳ ỷ Tìm GTLN của biểu thức:
.
Vì T ³ 0 0;
2
x ộ pự
" ẻ ờở ỳ ỷ , nên T đạt GTLN khi 2 ( 2 ) ( 2 )
T = cos x sin x lớn nhất
Xét hàm số: y = ( cos x2 ) (p sin x 2 ) q với 0;
2
x ộ pự
" ẻ ờở ỳ ỷ Đặt t =
2
cos x , xét hàm số:
( ) p(1 ) q
p q
= Û =
+ hoặc t = 0 hoặc t = 1 Bảng biến thiên:
p+ q
1 f’(t) 0 + 0 - 0
Nhìn vào BBT ta thấy
[ ] 0;1 ( ) ( p ) (p q ) q p
Từ đó
Kết luận
* Chú ý: Có thể làm theo cách khác (Sử dụng bất đẳng thức Côsi)
0,25
0,25
0,25
B
A
B
C
M
I
( ) maxf t
Trang 60,25
Câu VIa
(3,0 đ )
1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình bình hành ABCD (1,0 đ )
Vì CẻMCịC t( ;1- Giả sử AC t ) ầBD= I ( 1 3 ; )
ị
Do IẻBDị ị = - ịt 7 C( 7;8),- I ( 3;5) -
Vì éAMC= éACM = éMCB ị MC là phân giác trong ACB é của tam giác ABC
Từ A kẻ AA1^MC A( 1ẻBC G s) / AA1ầMC=J ị ịJ(0;1)ị A 1 ( 1; 0) -
PT của BC: 4x+3y + = 4 0
Vậy ( ; 2) 1
2
B - , ( 7;8) C - , ( 13 ;12)
2
D -
0,25
0,25 0,25
0,25 2) V iết ptmp(P) đi qua A, B và (P) cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 1 (1,0 đ )
Mặt cầu (S) có tâm I( -1; 1; -1) và bán kính R = 2
Mặt phẳng (P) đi qua A(0; -2; -6) nhận véctơ 2 2 2
n a b c a +b +c ạ
r
làm véctto pháp tuyến
có PT: ax by+ +cz+2b+6c = 0
Từ giả thiết:
(2;0; 2) ( )
( ;( )) 3
d I P
- ẻ ỹ
ý
= ù tìm được a, b, c suy ra PT mp(P) Kết luận có hai mặt phẳng: (P 1 ): x + y – z – 4 = 0 và (P 2 ): 7x – 17y + 5z – 4 = 0
0,25
0,5
0,25
3/ Trong các số phức z thoả mãn đ/k: z+ +1 2i = (*) tìm số phức z có môđun nhỏ nhất (1,0 1 đ )
Gọi z = x + yi , ( x y , ẻ R ) và M(x ; y ) l điểm biểu diễn số phức z
Ta có : z+ +1 2i = Û1 (x+1)2+(y +2)2 = 1
Đường trũn (C) : (x+1)2+(y +2)2 = 1 cú tõm (ư1;ư2)
Đường thẳng OI cú phương trỡnh y = 2x
Số phức z thỏa món điều kiện (*) và cú mụdun nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm biểu diễn nú thuộc (C) và
gần gốc tọa độ O nhất, đú chớnh là một trong hai giao điểm của đường thẳng OI và (C)
,
=
Û
- + + - + là số phức thoả mãn yêu cầu bài toán
0,25
0,5
0,25
Câu VIb
(3,0 đ )
1/ Tìm trên đường thẳng (d): x+y - = các điểm M sao cho từ M kẻ được tới (C) hai tiếp 9 0
tuyến tạo với nhau một góc 60 0 (1.0 đ )
Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 2) và bán kính R = 3
Vì Mẻ D ịM m( ;-m + 9)
Giả sử từ M kẻ được tới (C) hai tiếp tuyến MA, MB với A, B là các tiếp điểm
Xét hai trường hợp :
a) éIMB = 30 0
30
IB
IM sin
0,25
0,25
Trang 7Chú ý :
+ Trên đây chỉ là biểu điểm chấm và đáp án vắn tắt, trong bài làm thí sinh phải trình bày lời giải đầy
đủ, chi tiết
+ Nếu thí sinh làm theo cách khác nhưng vẫn đúng thì vẫn cho điểm theo quy định
+ Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25
Từ đẳng thức : IM = 6 2
1
7
m
m
=
ộ
=
ở b) éIMB = 60 0
Trường hợp này không có giá trị nào của m thoả mãn
Kết luận : Vậy có hai điểm M1(1;8), M 2 (7; 2) thoả mãn yêu cầu bài toán
0,25
0,25
3/ Viết phương trình đường thẳng D đi qua A và ( 1,0 đ )
Giả sử D cắt d tại M nên M(1- - + t; 2 t ; 2 ) t
Ta có
2
2
( , )
d B
D =
Xét hàm
2
28
3
11
t
t
= -
ộ
ờ
ờ =
ở BBT
Từ BBT ta thấy maxf t( )=12Û = - ịt 2 d B( , )D max = 12Û = - t 2
Khi đó đường thẳng D có PT: 1 4 2
x- y- z -
0,25
0,25
0,5 3/ Tìm môđun của số phức:
3
1 2 (1 )
1
z
i
+ - -
=
đ )
Ta có :
z
1,
i = - i = - i
i
i
+
+ Vậy
2 2
z = ổ ửỗ ữ +ổỗ ử ữ =
ố ứ ố ứ
Kết luận 5 2
2
z =
0,5
0,5
