Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị C của hàm số.. Hai mặt phẳng SAB, SAD cùng vuụng gúc với đỏy.. Xỏc định tõm và bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ACD.. II/PHẦN RIấNG 3,0 điểmThớ s
Trang 1Sở GD&đt HƯNG YÊN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 2 NĂM HỌC 2010 – 2011
Thời gian làm bài : 180 phỳt(khụng kể thời gian giao đề) I/PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)
Cõu I(2,0 điểm): Cho hàm số: 1
2( 1)
x
y
x
-
= +
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tỡm những điểm M trờn (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giỏc cú
trọng tõm nằm trờn đường thẳng 4x + y = 0.
Cõu II(2,0 điểm) 1. Giải phương trỡnh : cos 4 2 cos2 sin(3 ) sin( ) 1
2.Giải hệ phương trỡnh :
x
y
ỡ
ù
ớ
ợ
. (với xẻ R )
Cõu III(1,0 điểm) Tớnh tớch phõn
2 5
2 ( 1) 5
xdx
I
=
Cõu IV(1,0 điểm): Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang vuụng tại A, B. Hai mặt phẳng
(SAB), (SAD) cùng vuụng gúc với đỏy. Biết AB = 2a, SA = BC = a, CD = 2a 5 . Tớnh thể tích khối
chóp S.ABCD. Xỏc định tõm và bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ACD.
Cõu V(1,0 điểm). Cho 2 số thực x, y thỏa món : x+y= 2 x- + 2 y + + 1 1 .
Tỡm GTLN, GTNN của F = ( ) ( ) 2(1 )
xy x y
x y
+ .
II/PHẦN RIấNG (3,0 điểm)Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A/Theo chương trỡnh Chuẩn:
Cõu VIa (2,0điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A , cạnh BC nằm trên đường thẳng có phương trình x+2y-2= 0 Đường cao kẻ từ B có phương trình: x-y+4=0, điểm
M(-1;0) thuộc đường cao kẻ từ C Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác
2. Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho3 điểm A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) và H là hình chiếu của O lên mp(ABC) Gọi D là điểm đối xứng với H qua O Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ABCD
Câu VIIa: (1điểm)Gọi z z 1; 2 là cỏc nghiệm phức của phương trỡnh: 2
4 5 0
z - z + =
(z - 1) + (z - 1)
B/Theo chương trỡnh Nõng cao:
Cõu VI b(2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hỡnh thoi ABCD cú tõm I(2;1) và AC = 2BD.
Điểm M (0; ) 1
3 thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD. Tỡm tọa độ đỉnh B biết B cú
hoành độ dương.
2.Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng : 1
1 : 2
1
x t
z
= +
ỡ
ù
= -
ớ
ù =
ợ
; 2 : 2 1 1
d - = - = +
Viết phương trỡnh mp(P) song song với d 1 và d 2 , sao cho khoảng cỏch từ d 1 đến (P) gấp hai lần khoảng cỏch
từ d đến (P). 2
Cõu VII.b( 1,0điểm). Giải hệ phương trỡnh: 2
log ( 2 8) 6
8x 2 3x y 2.3 x y
y x
+
- + =
ỡ
ớ
ù
HẾT !
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu.Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm.
Họ và tờn thớ sinh:……….Số bỏo danh:………
www.laisac.page.tl
Trang 2ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM
ĐỀ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ 2
MÔN TOÁN KHỐI A
I
(2,0đ)
1. (1,0đ)
TXĐ: D = R\{ } - 1
Chiều biến thiên: ,
2
1
0 ( 1)
y
x
= >
+ , với " Î x D
Þhàm số đồng biến trên mỗi khoảng :( -¥ - ; 1 ) và ( - +¥ 1; )
Cực trị: hàm số không có cực trị
Giới hạn, tiệm cận :
1
2
x
limy
®+¥
2
x lim y
®-¥ = ;
( 1)
x
lim y
+
® -
= -¥ ,
( 1)
x
lim y
-
® -
= +¥
2
y = là tiệm cận ngang; x = - 1 là tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên:
Đồ thị: đi qua các điểm (0; 1
2
- ) ; (2; 3
2 ) Nhận giao điểm của hai tiệm cận I(1; 1
2 ) làm tâm đối xứng
2. (1,0đ)
0,25
0,25
0,25
0,25
1
2
2
-¥
1
-
x
,
y
y
1
2
-1
I
O
y
x
Trang 3(2,0đ)
Ý 1
0
0
1
; 2( 1)
x
x
x
- + ) Î ( ) C là điểm cần tìm Gọi D tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình
0 0
0
1 ( )( )
2( 1)
x
y f x x x
x
-
0
0
2
0
0
1
1 ( )
2( 1)
1
x
x
x
-
+ +
Gọi A = D Çox ÞA(
2
0 2 0 1
2
x - x -
B = D ÇoyÞ B(0;
2
0 0
2
0
2 1 2( 1)
x x
x
- - + ). Khi đó Dtạo với hai trục tọa độ DOAB
có trọng tâm là: G(
2
0
;
x
-
+
.
2
0
x
+
Û
( 0 ) 2
1
4
1
x
=
0 2 0 1 0
x - x - ¹ )
1
1
ê + = - ê = -
x = - ÞM -
1. (1,0đ)
PtÛ cos4x + cos2x + sin(3x
3
p
) + sin(x
3
p
) = 0
3
p
). cosx = 0
3
cos 0 os3 sin(2 ) 0
3
x
=
é
ê
Û
ë
2 k
p
p +
Với cos3x + sin(2x
3
p
6
6
6
p
p
p
p
é
= + +
ê
Û ê
ê = - - +
ê
2
6
2
30 5
p
p
p p
é
= +
ê
Û ê
ê = - +
ê
. kÎZ
2. (1,0đ)
(1,0đ) Từ gt Þx³ 2;y ³ - 1 .
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 4(1,0đ)
VIa .2
(1,0đ)
VIIa
2. x- 2 1 + y+ 1 Ê 2 + 1 x- + 2 y + 1 Û 2 x- 2 + y+ Ê 1 5(x+y - 1) .
Nờn từ x+y= 2 x- + 2 y + + 1 1
5( 1) 1
ị + Ê + - + Đặt t = x + y , ta cú: t- Ê 1 5(t- 1) Û Ê Ê 1 t 6
( )
2 x+ y + x+ y =2 t + t .
( )
2
f t t
t
t t
= - ³ " ẻ
[ ] 1;6
5 ( ) (1)
2
t
Min f t f
ẻ
[ ] 1;6
2
ax ( ) (6) 18
6
t
M f t f
1
x
t
y
=
ỡ
= Û ớ
= -
ợ
6
0
x
y
=
ỡ
Û ớ
=
ợ
Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn
3 3 3
x y z
x y z
+ + = Û + + - =
Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với mp(ABC).Phương trình d là:
x t
y t
z t
=
ỡ
ù
=
ớ
ù =
ợ
H là hình chiếu của O lên mp(ABC),suy ra toạ độ H là nghiệm của
3 0
x t
y t
H
z t
x y z
=
ỡ
ù =
ù
ị
ớ
=
ù
ù + + - =
ợ
D là điểm đối xứng với H qua O suy ra D(-1;-1;-1)
Gọi (S) : x 2 +y 2 +z 2 +2ax+2by+2cz+d=0 là phương trình mặt cầu (a 2 +b 2 +c 2 - d>
0) Vì A ẻ ( ) S ta có 9+6a+d=0
Vì B ẻ ( ) S ta có 9+6b+d=0
Vì C ẻ ( ) S ta có 9+6c+d=0
Vì D ẻ ( ) S ta có 3-2a-2b-2c+d=0
2
Vậy (S):x 2 +y 2 +z 2 -x-y-z-6= 0 là PT mặt cầu cần tìm
4 5 1 i
D = - = - = 1
2
2
2
= -
ộ
ị ờ = +
ở
Khi đú: ( z1 - 1) 2011+( z2 - 1) 2011=( 1 -i) 2011+( 1 + i ) 2011
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0.25 0.25
Trang 5(1,0đ)
VIIb
(1,0đ)
(1 i) (1 é i) ù 1 i é (1 i ) ù
= - ë - û + + ë + û =( 1 -i)( - 2i) 1005+( 1 + i)( ) 2 i 1005
2 i(1 i) 2 i(1 i) 2 i(1 i 1 i ) 2
2.(1,0đ)
Ta có : d 1 đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là : u 1 ( 1; 1; 0 )
®
= -
2
d đi qua điểm B (2; 1; 1) và vtcp là: u 2 ( 1; 2; 2 )
®
= -
Gọi n
®
là vtpt của mp(P), vì (P) song song với d 1 và d 2 nên
n
®
= [ u u 1; 2
® ®
] = (2 ; 2 ; 1) Þ pt mp(P): 2x + 2y + z + m = 0
d( d 1 ;(P)) = d(A ; (P)) = 7
3
m
+
; d( d2 ; ( )) P = d( B;(P)) = 5
3
m
+
vì d( d 1 ;(P)) = 2. d( d2 ; ( )) P Û 7 +m =2 5 + m
+ = +
é
Û ê + = - +
ë
3
17
3
m
m
= -
é
ê
Û
ê = -
ë
Với m = 3 Þmp(P) : 2x + 2y + z – 3 = 0
Với m = 17
3 Þmp(P) : 2x + 2y + z 17
3 = 0
Pt đầu Ûy – 2x + 8 = ( ) 6
2 Û y= 2 x
thế vào pt thứ hai ta được:
2 3
8x+ 2 3x x = 2.3 x Û 8x+ 18x = 2.27 x 8 18 2
27 27
æ ö æ ö
Ûç ÷ +ç ÷ =
è ø è ø
3
2
æ ö æ ö
Ûç ÷ +ç ÷ =
è ø è ø
Đặt: t = 2
3
x
æ ö
ç ÷
è ø , (đk t > 0 ) , ta có pt: t3 + -t 2 = 0 Û( t- 1) ( t2 + +t 2) = 0
0
1
0
x
t
y
=
ì
Û = Þ í
=
î
0.25 0.25
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
0,25 0,25
0,25
Trang 6x
y
ì
ï
í
ï
î
. (với xÎ R )
B là giao điểm của đường cao qua B
và đt BC nên toạ độ điểm B là nghiệm 0.25
2 2 0
x y
B
x y
- + =
ì
Þ -
í + - =
î
0.25
§K:
3x+ 3 0 (*)
0
x y
x y
y
- ³
ì
ï
- ³
í
ï ¹
î
(1) 2(3x y) 3y 3x y 2(3x 2 y ) 3 3 x y (3)
-
0.25
§Æt t= 3x y
y
-
Phương trình (3) có dạng 2t 2 t3=0
1
3
2
t
t
= -
é
ê
Û
ê =
ë
0.25
Với t=1 ta có: 3x y
y
-
y
x y y
x y y
<
ì
Û - = - Û í
= +
î
Thế (3) v o (2) ta được
(L)
2
y
= - Þ =
é
ê
ê =
ë
0.25
0
3
4
y
x y
x y y
>
ì
ï
Thế (4) vào (2) ta được 9 2 5 9 2
4 y +2y = 2 y + y - Đặt u= 9 2 5
, u 0
4 y +2 y ³
Ta có PT :2u 2 2u4=0 1 (L)
2 (t/m)
u
u
= -
é
Û ê =
ë Với u=2 ta có
(t/m)
2 (L)
y
é
= Þ =
ê
ê
= -
ë
KL HPT đã cho có 2 cặp nghiệm (4;4) , ( ; ) 8 8
9 9
3
y
t
t y
é
=
ê
ê
= -
ë
0.25
A
M(-1;0)
x+2y-2=0
N
I
H E
Trang 7Qua M kẻ đt song song với BC cắt đường cao kẻ từ B tại N.Gọi I là giao điểm của MN với đường cao kẻ từ A thì I là TĐ của MN.§êng th¼ng MN //BC nên
(MN) :x 2y 1 0
N là giao điểm của đường cao qua B và đt MN nên toạ độ điểm N là nghiệm
x y
x y
+ + =
ì
í
- + =
î
Gọi E là TĐ của BC .Do tam giác ABC cân tại A nên IE là trung trực của BC
mà BC : x+2y2=0 ÞIE: 2x-y+m = 0.
E là giao điểm của đường cao IE và đt BC nên toạ độ điểm E là nghiệm của
x y
x y
+ - =
ì
í
- + =
î
.
CA đi qua C và vuông góc với BN mà BN xy+4=0 suy ra (AC):x+y+m=0
5 =0
A là giao điểm của đường cao IE và đt AC nên toạ độ điểm A là nghiệm của
hệ
13 19 ( ; )
3
10 10
0
5
x y
A
x y
- + =
ì
-
ï
Þ
í + - =
ï
0.25
N
D
I
B N'
M
Gọi N’ là điểm đối xứng của N qua I thì N’ thuộc AB, ta có :
'
'
ì
í
= - = -
î
0.25
Phương trình đường thẳng AB:
Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB:
2 2
4.2 3.1 1
2
4 3
d = + - =
+
VIb.1
(1 điểm)
AC = 2. BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x trong tam giác vuông ABI
có:
2 2 2
4
Trang 8Nếu thí sinh làm theo các cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa.
Hết
Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn
Tọa độ B là nghiệm của hệ: 4x 3y – 1 2 2 0
(x 2) (y 1) 5
ì
í
î
0.25
B có hoành độ dương nên B( 1; 1)
IV
(1 điểm) Qua C kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t AD t¹i E suy ra tø gi¸c ABCE lµ HCN
nªn AE =a vµ D CED vu«ng t¹i E Theo Pitago cã
DE =CD -CE = a - a = a ÞDE= a
AD là đáy lớn của hình thangn AE =a+4a=5a
6
BC AD AB a a a
a
3
a ABCD
S
Tam giác ACD vuông ở C, trong mp(SAD) gọi O là giao của đường thẳng vuông góc
với SA tại trung điểm I của SA và đường thẳng vuông góc với AD tại trung điểm J
của AD suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ACD (O lµ trung ®iÓm cña SD)
2
26
2
2
a
AI
OI
OA
R = = + =
0.25
0.25
0.25
0.25
A
B
D
C
J
a
2a 5
a
R
E
S
//
//
\\
\\
