Để cung cấp một số kiến thức cần nhơ và một số kiến thức có phần nâng cao về một mảng toán khó trong chương toán ở cấp 3. Tài liệu trên được sưu tầm từ nhiều nguồn tài liệu. từ đó cho thấy hệ thống kiến thức có phần chặt chẽ và hữu ích cho các đọc giả khi lưu tâm đến những nội dung trong tài liệu này. lưu ý tài liệu trên là dành cho các bạn có năng khiếu trong Toán học hay các bạn học lớp chuyên Toán.
Trang 1BẤT ĐẲNG THỨC
Toán học cũng như trong đời sống thường ngày, đôi khi ta sẽ gặp phải những vấn đề khó giải
quyết, nên ta cần phải biết: Linh hoạt xử lý các tình huống và lựa chọn những phương án tối ưu
khi cần thiết.
Một vấn đề mà học sinh thường quan tâm đó là làm thế nào để học được tốt môn toán, có những ý kiến nói rằng muốn học giỏi toán là phải giải và xem lời giải thật nhiều, thật nhanh và phải cố gắng nhớ chúng Theo tôi suy nghĩ đó không hay
Học toán là phải bắt đầu học từ những điều cơ bản nhất để nắm vững nền tảng một cách chắc chắn, rồi từ đó giúp cho ta có cách tư duy và lập luận chặt chẽ khi giải toán Đó cũng là một lý do
mà toán học luôn đòi hỏi ở những người đam mê môn học này Vì thế nên người ta mới nói: “
Cần chậm khi đang học để thêm phần nhanh và chắc chắn khi đi thi”.
Toán có rất nhiều lĩnh vực mà trong đó bất đẳng thức là một nhóm toán khó đối với hầu hết những
ai yêu thích và nghiên cứu toán đặc biệt là đối với học sinh Mặc dù được thầy cô, các quyển sách tham khảo cung cấp nhiều công cụ khi giải bất đẳng thức nhưng mọi học sinh đều cảm thấy lúng túng và có cảm giác thiếu tự tin khi đối diện với những bài toán mới
Vấn đề đặt ra là làm sao để tự tin và tìm ra được những phương án giải cho một bài toán bất đẳng thức ? Theo một số giáo viên để đỡ cảm thấy bối rối khi phải lựa chọn một trong nhiều phương pháp, ta nên hướng chúng đến những điều cơ bản trong việc chứng minh bất đẳng thức, đó là luôn đưa bài toán về những dạng đúng đã được chứng minh trước đó:
+ Giảm bớt số biến trong bài toán
+ Tìm cách thay thế chúng bằng những biểu thức đơn giản hơn
Vậy việc áp dụng nhiều phương pháp giải vào một bài toán nào đó đều có chung một mục đích đó
là đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng cơ bản và đơn giản hơn
Lưu ý: Tài liệu này dành cho những học sinh có tinh thần tự học, kiên nhẫn khi giải toán.
Trang 2Phần 1: BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ ÁP DỤNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT TRONG CHỨNG MINH.
I Lược sử về nhà Toán học Cauchy.
Cauchy sinh ngày 21 tháng 8 năm 1789 Nhà Toán học đầy óc sáng tạo này có rất nhiều công trình toán học, chỉ thua Euler mà thôi Ông được mệnh danh là một thiên tài Toán học với khả năng sáng tạo vô cùng tận Có người nói rằng nhà Toán học người Pháp này chỉ trong năm phút
có thể đưa ra được một định lý Năm 1813, ông bỏ nghề kỹ sư để theo đuổi sự nghiệp Toán học và ông từng là một giảng viên của Hàn lâm viện Khoa học Pháp Với tài năng của mình ông đã tạo nên một tiêu chuẩn riêng của mình trong Toán để nghiên cứu về sự Hội tụ của các dãy trong Toán học Vào ngày 25 tháng 5 năm 1857 ông đột ngột qua đời tại Paris
II Bất đẳng thức Cauchy - Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân.
_ Với n số không âm a 1 , a 2 , a 3 , , a n ta có:
_ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Khi
mọi số hạng a bằng nhau ta gọi đó là điểm rơi của
a1+ 2+ + ≥ 1 2
n
n a
a
1
11
2 1
2 2
1
n
a a
a1, 2, , và 1, 2, ,
2
2 1 2 2
2
2 1
2 2
2 1
a b
n
n n
n
b b
b
a a
a b
a b
a b
a
+++
+++
≥+++
2 1
2 2
1 2
2 2
2
2 2 2 1 2 1
Trang 3Hệ quả: với các số Ta có:
IV Một số kết quả thường gặp:
1 Với hai số dương a, b ta có:
Nhân hai vế cho 3, rồi chứng minh tương tự kết quả trên
+ Chứng minh đơn giản
3 Với 4 số a,b,c,d thỏa, ta có:
ab b a b a
11
22
2
2 2
ab b a b
22
2 2
ab b a b a ab
ab b
a
ab ab
b a
=
≥+
22
2
22
22
2
2 2
b a b
411
ca bc ab c b
a2+ 2+a=2 ≥b=c+ +
( ) (a b) (b c) (c a) (đúng)
ca bc ab c
b a
0
2222221
2 2
2
2 2 2
≥
−+
−+
−
⇔
++
≥++
91
11
4
=++
=++
ab
4
≤++
4
44
3 2
2 2
d c b a d c b a d c b a d c b a d a c b
c b d a d a c b c b ad d a bc dab cda bcd abc
+++
≤++++
++
≤++++
+
≤
+
+++
+
≤+++
=+++
Trang 4Lưu ý: Với cách chứng minh tương tự như trên ta có kết quả tổng quát như sau:
Với bốn số dương a,b,c,d có tổngta có:
V Kỹ thuật ước lượng qua một nhị thức bậc nhất:
Bài toán: Chứng minh bất
đẳng thức có dạng:, T là một hằng số Ta tìm nhị thức bậc nhấtsao cho
Từ đó ta được:(hay ngược lại)
Nếu có:thì ta được:(hay ngược lại)
Ví dụ 1: Cho ba số không âm a,
b, c CmR :.
2
2 2
2 2
=+
+
c ab
Τ
=++
abc
64
4 2 2
i i
n
x x
x x
1:
cóTa 1,0
1 1
1 2
1 1
2 2
2 1
1
1
11
11
1
11
1
1
11
x x
x x
x
x x n
x x
x x n
x
x x
x x
x
n
n n
n
n
n n
n
+
=+
−
≤++
−
⇒
++
−
=+
−
−
n n
n n
n x x x x x
x x
x x
x x x n
1
1
1
11
11
11
2 1 2
1
2 1
−
≤
⇒++
+
≤++
+
−
n n
i i
a
a x x
x a
+
=
⇒+
=
11
1
1+a +b +c ≥ + abc
Trang 5Cách 1: Nhân hai vế của (1)
cho Sau đó khai triển các biểu thức, chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp tương đương,
ta được:
Cách 2: Áp dụng giả thuyết
hai lần lần bằng tính chất: Sau đó khai
triển hai vế của bất đẳng thức mới, rồi chứng minh bằng phương pháp tương đương, ta được:
11
111
3
2 2 2 3
3
abc c
b
abc c
b a abc c
b a
+
≥+++
⇔
++
+
≥+++
⇔
c b a b
ca a
bc c
ab
++
≥++
22
22
22
22
2 2 2
⇒++
=
≥+
=
≥+
c b a b
ca a
bc c ab
a bc
bc a c
ab b ca
c ab
abc b
ca a bc
b ca
c ab a
bc c
ab
2
++
+++
+++
+++
<
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a a
2,
1
b d
d b a d
d d
c b a
d a
c
c a d c
c d
c b a c
d b
b d c b
b d
c b a
b c
a
a c b a
a d
c b a a
+
<
++
<
++++
<
++
<
+++
+
<
++
<
++++
<
++
<
+++
1
=+++
+++
>
++
+++
+++
++++
++++
++++
>
++
+++
+++
+
+
+
d c b a
d c b a b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b
a
a
d c b a
d d
c b a
c d
c b a
b d
c b a
a b
a d
d a
d c
c d
c b
b c
+++
+
<
+
++
++
++
<
++
+++
+++
++
d b c a
c a b d
d a c
c d b
b a c
a b a d
d a
d c
c d
c b
b c
+++
+++
+++
<
b a d
d a
d c
c d
c b
b c
b a
a
ca bc ab c b
a2+b 2+c 2 ≥abc+(a b+ c)
ca bc ab c b
a2+ 2+ 2 ≥ + +
2 2
a + ( + ) ( đpcm)
4 4
d b c a d c
b a
>
Trang 6a c c b b a
a c c b b a
a c c b b a
b a c c a b c b a
abc c ab bc a c b a abc
4 4 4
4 4 4 4 4 4
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2
VP
22
2VPVP
2
22
2VP
22
2VP
VP
++
≤
⇔
++
++
+
≤
⇔
++
≤
⇔
++
≤
⇔
++
++
+
≤
⇔
++
=++
=
(a b c)
abc c
b
1 và
0,,b c> a+b+c=
a
301111
2 2
91
11
(đpcm)
30131
71
9VT
7c
ba
9VT
72
22a
9VT
71
1a
1VT
91
1111
VT
2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
=+
≥
⇔
++
+++
≥
⇔
++
++++++
≥
⇔
++
+++
+++
+++
≥
⇔
++
+++
≥+++++
=
ca bc ab
ca bc ab ca bc ab c
b
ca bc ab ca bc ab ca bc ab c b
ca bc ab c b a ca bc ab c b a
+++
+
2
311
1
2 2 2
2
2
2 2
2
1
2 2
2
VT
a c
c c b
c b a
c a c
b c b
b b a
b a c
a c b
a b a
a
+
++
++
++
++
++
++
++
++
=
4
,4
,4
a c c b b
a c a a
c a c
a a c b
c b a c
b c b
a a b a
b a a b
=+
+
≥
+++
=+
2 2
2 2
b a c
b b c b c b
b b b a b a
+
≥
+++
≥
+++
2 2
2
,4
,
a c a c
c c c b c b
c c b a b a
+
≥
+++
≥
++
2 2
2
( )42
44
4
2 2
2
2 2
2
c b a a c
c c b
b b a a
c b a a c a c
c c
b c b
b b
a b a a
++
≥+
++
++
⇔
++
5 2
2 2
2 2
2
c b
c b a
b a c
a c
b a b a
c a c
b c b
+
++
++
++
≥+
++
++
( ) ( ) ( )4 + 5 + 6 ⇒đpcm
31
11
11
11
1 và0,,
+
++
++
++
>
d c b a d
c b a
81
1
≤
abcd
Trang 7minh rằng:.
Giải: Từ giả thiết, ta có:
TH1: Áp dụng bất đẳng
thức cô-si cho ba số không
âm ở vế phải ta được:
−+
−+
−
=
111
111
111
1
(1 )(1 )(1 ) ( ) 1
31
1
3
d c b
bcd
d c
c b
+
=+
1
3
d d c
1111
811
111
1
≤
⇔
++++
≥++++
abcd
d c b a
abcd d
c b a
( )n n
n a a a
1
1
2 1
−
≤
0,,b c>
11
14333
++
≥++
a c c b b a ca bc ab
44
4111
8
81
*
c b b a b a a c a c c b ca bc ab
a c c b b a
a c c b b a ca bc ab
a c c b b a
c b a abc
c b a
a c c b b a abc
++
+++
+++
≥++
⇔
+++
+++++
≥++
⇔
+++
++
≥++
⇔
+++
41
,41
a c ca c b
( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( ) 2
111
2 2
b a ca bc
+++
+++
++
++
++
≥+
+
b a a c a c c b c b b a a c c b b a ca
bc
ab
22
21
11
433
3
2 2
2
2 2
2 2
111hay 222111
z y x zx
yz xy z y x
2
11
14333
++
≥++
a c c b b a ca bc ab
Trang 8Cộng ba kết quả trên ta được:
Cách 2: Giả thiết :.Khi
Giải: Ta có: Tương tự ta được:.
Cộng theo vế các kết quả trên ta
Ví dụ 11: Cho hai dãy với n số dương: a 1 , a 2 , ,a n và b 1 , b 2 , , b n Chứng minh rằng:
Giải: Vì các số trong mỗi dãy đều dương nên ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng:
1
≥++++++++
zx
x z yz
z y xy
y
xy y
x y
1+ 3+ 3 ≥ 3 3 3 =
xy xy
y
≥++
zx zx
x z yz
yz
z
và3
≥++
≥++
(đpcm)
33VT
13.3VT
1113VT
6
2 2 2
≥
z y x
zx yz xy
z xy xyz=13⇔ 3 =1 2 2 3 2 3 3
3
1
1
y z x z z y x z xy
y x
++
=++
=++
xy xy
z xy z y
x z xy
y
33
z z
y x x
y y
x y x xy
y x
33
131
3 3 3 2
2 2 2
3 3
=
=
≥++
=++
y zx
x z x
yz
z y
3
1,3
≥++
≥++
(đpcm)
3VT
3.3VT
3z3y3xVT
≥
xyz
2 2 2 2 3 2 3 2 3
1112
22
z y x x z
z z
y
y y
x
+
++
++
xy y x
x xy
x y
+
⇒
≥+
zx x z
z yz z y
,12
2 3 2
≤
( )2111111
2 2
x zx yz
n n
n n
n
a b a b
2 1 1 1
1
2 2
2 1 1
n n
n n
n n
n
b a
b b
a
b b a
b b
a
a b
a
a b a
a
++++
++
+++++
++
≥
n
x x
x1, 2, , và 1, 2, ,
Trang 9Áp dụng bài học cô-si cho n
Suy luận: bài toán trên thể hiện
nhiều tổng của các số hạng tuy
nhiện với dạng toán trên cách giải
Lưu ý: bài giải của bài
toán trên nhìn thì đơn giản nhưng việc sự dụng giả thiết một cách có tư duy không phải là chuyện
2 1 2
++
≤++++
+
n
n n
n
b a
a b
a
a b a
a n b a
a b
a
a b a
a
1
2 2
2 1
1
1 2
2
2 1 1 1
++
≤++++
+
n
n n
n
b a
a b
a
a b a
a n b a
b b
a
b b a
b
1
2 2
2 1
1
1 2
2
2 1 1
1
n b a
b a b
a
b a b a
b a
+++
+
*
2 2
2 2 1 1
1 1
3
2 2
3 3
2
3 2
2
a ca c
c c
bc b
b b
ab a
++
+++
+++
2 2
3 2
2
3 2
2
3
a ca c
c c
bc b
b b
ab a
a
++
+++
+++
=Ρ
2 2
3 2
2
3 3
2
3
a ca c
a c
bc b
c b
ab a
b
++
+++
+++
=Μ
Μ
=Ρ
⇒
=
−+
−+
−
−+++
−+
++
−
=Μ
−Ρ
⇒
0
2 2
3 3 2
2
3 3 2
2
3 3
a c c b b a
a ca c
a c c
bc b
c b b
ab a
b a
3 3
2
2 2
3 3
1
2 2
3 3
2
a ca c
a c c
bc b
c b b
ab a
b a
++
++++
++
++
+
=Ρ
=Μ+Ρ
⇒
( )13
31
333
0242
02
2 2
3 3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
b a b ab a
b a
b ab a
b ab a
b ab a b ab a
b ab a
b ab a
+
≥++
+
⇔
≥++
+
−
⇔
++
≥+
−
⇔
≥+
−
⇔
≥+
+
≥+++
33
23
2
3 3
2 2
3 3
a c a ca c
a c
c b c bc b
c b
3
2
2 2
3 3 2
2
3 3 2
2
3
a ca c
a c c
bc b
c b b
ab a
b
++
++++
+++++
(đpcm)
c b a
c b a
3
3
22
++
≥Ρ
⇔
++
≥Ρ
⇔
3
2 2
3 2
2
3 2
2
a ca c
c c
bc b
b b
ab a
++
+++
+++ abc+2(1+a a+2+b b+2c++c ab2 =+1bc+ca)≥0
n d b m c a n m
d c
b a
⇒ >
11
11
111
1
1nên
2 2
2 2
2 2
c b a c
b
a c
b a
( )101
01
11
01
;01
;01
≥++++
=++
⇒
≥+++
⇒
≥+
≥+
≥+
⇒
abc ca bc ab c b a
c b a
c b
a
( )2 01
02
21
01
2 2 2
2
≥++++++
⇔
≥+++++++++
⇔
≥+++
ca bc ab c b a
ca bc ab c
b a c b a
c b a
⇒
Trang 10dễ vì vậy học sinh nên xem kỹ các ví dụ trước đó vì cũng đã có bài đã thể hiện cách giải như trên.
HD: dựa vào tính chất của phân số tương tự như ví dụ 3.
1.2 Cho hai số không
âm a, b và Áp dụng
giả thiết hãy chứng minh rằng:
3 3
3
3 3
3
3
≥++
+++
++
c a
c b
b c
b a a
2 3 3 3
1 3 3 3
11
1
VT
c
b a c b
a c b a
c b
a
++
+++
+++
=
2
111
11
2 2
2
x x x
2
1
1
2
11
11
c b a a a
c b a
c c
b a
b
++
≥+
+
≥
[ ]0;1,
,b c∈
11
++
+++
++
c c
b
b b
a a
11
11
1
1111
11
c b a c
b a a c
c c c
b a c b
b b c
b a b a
a a
c b a
c b a c b a a
c
c c
b
b b a
−+
++++
−+
+++
+
−
⇔
++
++
≤
−
−
−+++
+++
++
c c c
c b a
b a b
a
b a b a b
a b a
++
−
−
1
1.111
1
11
1
113
1111
11
3
a c
b b b
b a c c
b
a a a
a c b
++
1.111
⇒
3
++
++++
++++
++++
+
<
b a d
a d a d c
d c d c b
c b c b a
b a
2 2 3
Trang 11HD: Áp dụng giả thiết:hiển
nhiên Chứng minh tương tự cho các nhóm còn lại
1.3 Cho hai số thực x, y thỏa:
Chứng minh rằng:
HD: sử dụng bất đẳng thức cô-si cho ba số Lưu ý sử dụng tốt giả thiết
1.4 Cho Chứng minh:.
HD: thêm bớtcho nhóm (1)
của vế trái, thu gọn rồi áp
dụng bất đẳng thức cô-si cho mẫu số rồi cho tử số Tương tự cho các nhóm còn lại ta được đpcm
đẳng thức trong tam giác cho độ dài ba cạnh: , sau đó sử dụng bất đẳng thức cô-si cho tổng của
ba kết quả trên ta được một bất đẳng thức (1) Bình phương giả thiết khai triển các biểu thức rồi kết hợp với (1) ta được chiều bất đẳng thức (k) Chiều còn lai áp dụng bất đẳng thức phụ:khai triển ta được đpcm
Nhóm bài tập không hướng dẫn
1.10 Cho Chứng
3a +b4(a≥3+a b3b)≥+(ab a+b≥)3a+b
40
,3
0≤x≤ ≤y≤
(3−x)(4−y)(2x+3y)≤36
4
và0,,,b c d > a+b+c+d =
a
21
11
1
4
2 3
2 2
2 1
+
++
++
+
d a d
c d c
b c b
a
c
ab2
0,,,b c d >
a
3 2 2 2 2
44
cda bcd abd abc d
c b
1 và0,,y z> xyz=
x
2
31
1
2 2
2
≥+
++
+
z z
y y x
4
1,4
1,4
1+y +z +x
0,,b c>
++
++
++
+
c b
a
c a c
b a
c
b c b
a c
b a
1
và0,,y z> x+y+z=
x
xyz
xyz zx
yz xy
+
≥++
y
c b a
3
44
23
a
32
22
4 3
3
4 3
3
4 3
3
a d
d d
c
c c
b
b b
a
+
++
++++
Trang 121 Dùng chiều trung bình cộngtrung bình nhân:(1)
Khi dùng chiều (1) ta chỉ tìm được giá trị nhỏ nhất của tổng các hàm f(x 1 ) và f(x 2 ) khi thỏa mãn
đồng thời các điều kiện:
_ trên miền đang xét
_ là hằng số
_ Phương trìnhbắt buộc phải có nghiệm
Khi đó ta thu được hàm:
Đẳng thức xảy ra khilà nghiệm của
phương trình
Kết luậnkhi và chỉ khi
Lưu ý:
a) Khi tích số hai hàm không là
một hằng số nữa thì ta chỉ thu được: Đẳng thức xảy ra tạilà nghiệm của phương trình
khi này để tìm giá trị nhỏ nhất của u ta
phải tiếp tục tìm giá trị nhỏ nhất của:
Cụ thể: đều có đẳng thức khivà
b) Nếu bài toán đòi hỏi phải tìm giá trị của
mọiđể u(x) đạt giá trị nhỏ nhất thì bắt buộc phải tìm hết các nghiệm của phương trình, nếu không
đòi hỏi ta chỉ cần:
_ Chứng minh phương trìnhcó nghiệm
_ Tìm nghiệm đặc biệt nào đó của phương trình Điều kiện này dùng khi bất đẳng thức không chỉ
là một phương trình mà là hệ các điều kiện phức tạp
2 Dùng chiều trung bình nhântrung bình cộng:
và0,,y z> x+y+z≤
2 2
x a,b,c>0
188
+
++
+
c ca
b
b bc
a
a
1
và0,,b c> a+b+c=
a
333
3
+
++
+
b a bc
a b
a c ab
c a
c b
0,,b c>
u= 1f+( ) ( )x x=k g2 x≥2
( )x h
v 2=
m v
Trang 13Dùng chiều này chỉ để tìm giá trị lớn nhất của tích hai hàm f(x 1 ), f(x 2 ) khi thoa3man4 đồng thời
các điều kiện sau:
_ f(x 1 ), f(x 2 ) là các hàm không âm trên miền X đang xét
Suy nghĩ: các số đã cho đều dương nên chắc chắn sẽ dùng bất đẳng thức cô-si cho các số trên để
tìm maxN Tuy nhiên xét riểng giả thiết ta thấy không thể chỉ để nguyên biểu thức N mà cần có sự biến đổi
Giải: Ta có: Để ý kĩ ta thấy đây là
chiểu thứ hai của giả thiết
Suy nghĩ: ta thấy tử số có thể đơn giản bớt với mẫu số nên ta biến đổi biểu thức về dạng tổng của
ba phân số từ đó suy ra maxN sẽ bằng tổng max của ba phân số Sau đó áp dụng bất đẳng thức
cô-si cho ba phân số ta được kết quả
có và42
2 2
2 2 1
2 1
k x u x u k
x f x f x f x f x
1( )2 ( )2 2
4
1max
maxu x = u x k = Μ
4
≥+y x
y
y x
=Ν
28
8
12
14
214
32
4
43
2 2
2
3
y x
x y y x
x y
y x
=+++
=
++
+
=Ν
1
1.42
1
x
x x
x
4
38
.8
1388
1
3 2
y
y y
y x+y≥4⇔ x+2y ≥2
2
924
31minΑx==+y=2+ =
0,,,y z t>
2x+Νxy=+x z2y+2yzt z2t =
yzt z xy x t
z y
2
1
2 2
=Ν
2
14
22
1 2.2
2
2
1,1,2,2
x
2 và4,
bc c
=Ν
Trang 14Giải: Ta có:.
Theo suy luận ta
áp dụng bất đẳng thức cô-si cho ba phân số ở biểu thức vừa biến đổi:
dài ba cạnh của một tam
giác Tìm GTNN của biểu thức:
Suy luận: nếu quan sát kĩ ta thấy nếu áp dụng bất đẳng thức cô-si cho bài trên thì chỉ áp dụng
được cho mẫu số mà khi áp dụng sẽ ngược dấu của bất đẳng thức so với yêu cầu đề bài nên phải biến đổi
Giải: Đặt:.
Do tính chất của ba cạnh tam giác nên x, y, z dương.
Cộng ba vế trên ta được Từ đây cho
Vì các số trên dương nên
áp dụng bất đẳng thức cô-si cho mẫu của các phân số ở biểu thức trên:
, có đẳng thức khi
, có đẳng thức khi
b
b a
a c
c abc
b ca a
bc c
=Ν
22
12
22.2
12
22
c c
c c
c
8
14,32
a
84
4
;63
3
;42
2=c− ⇔c= =a− ⇔a= =b− ⇔b=
4,8,6khi8
132
122
1maxΝ= + + a= b= c=
c b a
c b
a c
b c
c b
a
−+
+
−+
+
−+
=Ν
222
22
2
z c b a y b a c x a c
z y x c b
1,2231
32
22
9
1
222
22
291
z
x x
z y
z z
y x
y y x
z
z y x y
y x z x
x z y
y x x
y y
x + ≥2khi y= z y
z z
y + ≥2khiz =x z
x x
z+y ≥z2khia b= c
19.9
1 =
=
1 và
0,,y z> xy+ yz+ zx =
x
x z
z z y
y y x
x
+
++
++
−+
+
−+
+
−
=Ν
x z
zx z z y
yz y y x
xy x
xy x
xy
xy x y x
xy x
yz y
yz
yz y z y
yz y
Trang 15Suy luận: nếu áp dụng BĐT cô-si thì sẽ làm dấu của bất đẳng thức ngược so với mong muốn nên
phải biến đổi biểu thức đã cho thành những cặp số mà khi áp dụng BĐT cô-si sẽ khử được mẫu
Giải: Ta biến đổi biểu thức như sau:
zx
zx z x z
zx z
=+
+
−++
≥
1
=++
≥+
x
2
12
1
1− =
≥Ν
0,y> x+y≤
x
xy xy y
11
2
+
=Ν
xy xy y
x y
1164
4
2 2 2
2 2
+
≥++
1
xy
xy xy
xy
4
11
x y
y x
1
14
4
12
1≥x+y≥ xy⇒xy≤ ⇒− xy≥−
y
x=
7148
4+ − − =
≥Ν
211
412
1
2 2
=
=+
y x
y x
y x xy
y x
2
1khi
7minΝ= x= y=
1
2 2
x
y
zy x
yz z
=Ν
3
x+ + =y z
z y x zx yz
xy+ + +3+3+3
=Ν
zx x
=Ν
Trang 162.4 Cho ba số dương x, y, z thoả
thỏa Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
Phần 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO
Bài 1:(ĐH An Ninh Hà Nội
1999) Cho CmR:
Suy luận: để ý kĩ phần giả thiết Vì khi các số trên nằm trong đoạn này thì có một tính chất đặc
biệt nhưng lại dễ nhận thấy đó là lập phương sẽ nhỏ hơn hoặc bằng bình phương Hãy quan sát kĩ bài giải
Lưu ý:Bài tập trên không quá khó nhưng quan trọng việc nhìn ra được tính chất mà đề bài gợi ý
Bài 2:(Trích luận văn Thạc sĩ của thầy Đặng Văn Hiếu) Cho CmR:
Suy luận: với bài toán trên ta
cần nhớ một trong những hằng
bất đẳng thức cơ bản:
xyz z
y
x2+ 2+ 2 =
xy z
z zx y
y yz x
x
+
++
++
=
1
;0,,b c> abc=
a
32
13
2
13
2
1
2 2 2
2 2
=Ν
a c c
b b
a
1,2
1,3
1 > >
12
223
1,
x
01
;0
b
a, , >0 và + + =
16
332
13
2
13
2
++
+++
++
≤
a
114
11hay 114
( + ) (+ + ) ≤ + + ( + )≤ + + +
=+
12
1114
14
12
11
4
12
13
2
1