Bộ đề ôn thi toán pdf

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a và có tâm O... Cho parabol yx2... Cho tam giác ABC nh n.

này vô lý Suy ra    0  Do đó hàm s luôn có c c đai, c c ti u

2 Theo đ nh lý Viet, ta có: x1x2 3sincos ; x x 1 2  4 1 cos2  

1 Ch ng minh r ng: M là trung đi m AB

2 Ch ng minh di n tích tam giác IAB không đ i

3 Tìm t a đ đi m M đ chu vi tam giác IAB nh nh t

19

x y

 

Ch ng minh r ng (P) và (E) c t nhau t i 4 đi m phân bi t A, B, C, D và b n

đi m đó cùng n m trên m t đ ng tròn Xác đ nh tâm và bán kính c a đ ng

tròn đó

2 Cho 3 tia OA, OB, OC đôi m t vuông góc và OA = a, OB = b, OC = c

G i   , , l n l t là các góc c a các m t ph ng (OAB), (OBC) , (OCA) v i

Câu III

1 T a đ giao đi m c a (P) và (E) là nghi m c a h ph ng trình:

2

2

2

2

2

x

9



f x 9x 36x 37x 9

 

f x liên t c trên 

f 1 f 0  657    0 x 1;0 : f x 0

f 0 f 1      9 0 x 0;1 : f x 0

f 1 f 2      5 0 x 1;2 : f x 0

f 2 f 3  405   0 x 2;3 : f x 0

Do PT: f x 0 là PT b c 4 nên có t i đa 4 nghi m V y PT f x 0 có

đúng 4 nghi m phân bi t nên (P) c t (E) t i 4 đi m phân bi t

Gi s    P  E M x ; y 0 0 Khi đó, ta có:

2

2

2

0

0

x

9



C ng v theo v c a hai ph ng trình trên, ta đ c :

    V y 4 giao đi m c a (P) và (E) cùng n m trên

đ ng tròn tâm I 8 4;

9 9

  , bán kính

161 R

9

2

y

C

z

x

O

2 Tìm m đ đ th hàm s (1) có ba đi m c c tr là ba đ nh c a m t tam giác

2 Trong không gian v i h t a đ tr c chu n Oxyz

a) L p ph ng trình t ng quát c a m t ph ng đi qua các đi m M0;0;1,

2 Cho M, N là hai đi m trong m t ph ng ph c bi u di n theo th t các s

D th y ABAC tam giác ABC cân t i A

tam giác ABC vuông cân ch c n AB AC AB.AC 0

nghi m khi và ch khi x0

V y ph ng trình có nghi m duy nh t khi và ch khi m3

2 Ch ng minh r ng t n t i đi m có hoành đ x sao cho ti0 p tuy n v i đ th

t i đó song song nhau v i m i m

3 Ch ng minh r ng trên Parabol   2

P : yx có hai đi m không thu c đ th hàm s v i m i m

4

V y t n t i đi m có hoành đ x0  sao cho ti p tuy n v i đ th t i đó có h 3

s góc k = 0 t c ti p tuy n song song nhau m

2 Ta có: 3 i 2 cos isin ; 1- i = 2 cos i sin

1 Khi n , rõ ràng ph2 ng trình có m t nghi m x2 C n ch ng minh

x  là nghi2 m duy nh t c a ph ng trình Th t v y! Ta có 0 sin 1

i u này ch ng t x 2  không ph i là nghi m c a ph ng trình V y x 2

là nghi m duy nh t c a ph ng trình đã cho

D u b ng x y ra sin a sin b sin c 1

cosa cos b cos c 1

2 Cho hình chóp (S.ABCD) đáy ABCD là hình vuông c nh a và có tâm O SA

vuông góc v i m t ph ng (ABCB), SA = a G i I là trung đi m c a SC, M là

trung đi m c a AB

Ch ng minh IOABCDvà tính kho ng cách t I đ n CM

3 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A 1;2;5  và ph ng trình

hai đ ng trung tuy n :

b 3

2 Tìm m đ  Cm c t tr c hoành t i hai đi m phân bi t và ti p tuy n t i hai

đi m đó vuông góc v i nhau

2 Cho hình l ng tr ABC.A B C1 1 1 có đáy là tam giác đ u c nh a, AA12a và

vuông góc v i m t ph ng (ABC) G i D là trung đi m BB1 , M di đ ng trên

c nh AA Tìm GTLN- GTNN c1 a di n tích MC D 1

3 Trong không gian Oxyz, cho hai đi m A 2;0;0  và J 2;0;0  Gi s  

là m t ph ng thay đ i, nh ng luôn đi qua đ ng th ng AJ và c t các tr c Oy,

1 Tính các góc c a tam giác ABC bi t r ng:  

hai nghi m phân bi t x , x khi và ch khi ph1 2 ng trình x2 2mx m 0 có

7t 12t 9m



1. Theo hình v bên  P chia  C thành hai mi n

ký hi u là S S Ta có: 1, 2

2 2

A A

x x

x x

20101

x

y

y e

y x e

E   T đi m M thu c  C ta k hai ti p tuy n MT và 1 MT 2

đ n trong đó T1, T2 là các ti p đi m Ch ng minh r ng đ ng th ng T T luôn 1 2

22

3 2

Ch n c2 ta có   2 2

2010 03

h c e    Vì th ph ng trình h x 0 có đúng hai nghi m x1 1 , x2  i u đó có ý ngh a là h đã cho có đúng hai 1

G i N x y ; là đi m mà h T T1 2 không đi qua

Khi đó: ph ng trình 2010sin2 2010cos2 1

2

Vì th S 10

1 Cho parabol yx2 M t góc vuông đ nh O c t Parabol t i A và 1 A Hình 2

chi u c a A1 , A2 lên Ox là B1, B2 Ch ng minh r ng: OB OB1 2 const

Vì D là đi m b t kì thu c  S nên d D ,maxd D 1, ,d D2, 

D u b ng x y ra khi và ch khi D trùng v i m t trong hai đi m D ho1 c D 2

k n

Hay 2 2 2 2 2 cos cos 0

2 Gi i h ph ng trình:

2 3

2 3

1 cos sin cos

1 Trên các c nh AB, BC, CD, DA c a hình vuông ABCD l n l t cho 1, 2, 3

và n đi m phân bi t khác A, B, C, D Tìm n s tam giác có 3 đ nh l y t n6

D D



        ta đ c các c nh:

1:x   , y 3 0 2:x   , y 3 0 3:x   , y 3 0 4:x   y 3 0

D D

x x

2 3

1 Kh o sát s bi n thiên và v đ thi hàm s khi m1

2 Tìm m đ  C m c t tr c hoành t i 3 đi m phân bi t l p thành m t c p s

2 Trong không gian Oxy cho các đi m A3;5; 5 , B 5; 3;7     và m t ph ng

1 Cho tam giác ABC nh n Ch ng minh r ng n u

Th và h , gi i ra đ c B 3; 2 , C 1;0 , A   1;2

2 ng th ng AB qua A3;5; 5  nh n 1  

2; 2;34

b) G i H là trung đi m c a đo n th ng AB Theo công th c đ dài trung tuy n

MH c a tam giác MAB ta có: 2 2 2 2

 1 cot BcotC  1 cot CcotA 1 cot AcotB

t acot cot , b = cotBcotC , c = cotCcotAA B thì a  b c 1

C x  y  x y Tìm t a đ đi m M thu c đ ng th ng d mà qua

đó k đ c hai đ ng th ng ti p xúc v i đ ng tròn  C t i A và B sao cho

A   Tìm đi m M thu c đ ng th ng  đ di n tích tam

giác AMB đ t giá tr nh nh t

13

V y di n tích tam giác AMB nh nh t khi 1; 2; 3

a) Ch ng minh r ng M0 là trung đi m MN

b) Ch ng minh r ng di n tích tam giác OMN không ph thu c vào v trí M 0

12

2 Trong không gian Oxyz, l p ph ng trình m t ph ng   ch a đ ng

0

sin6

n x

x x

L i vì M, N và M0 là 3 đi m th ng hàng nên M0 là trung đi m MN

b) D dàng ch ng minh đ c tam giác OMN vuông t i O nên ta có:

Khi đó   ti p xúc v i  S khi và ch khi d I ,   R

Câu III

1 Cho hyperbol  H : x22 y22 1

a  b  Ch ng minh r ng tích các kho ng cách t

M b t k trên  H đ n hai ti m c n không đ i

2 Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho ba đi m

1;0; 1 , B 2;3; 1 , C 1;3;1    

4 0

x y d

b) Vi t ph ng trình tham s c a đ ng th ng d qua tr c tâm H c a tam giác

ABC và vuông góc v i m t ph ng ABC



M t ph ng ABC qua A1;0; 1  nh n  AB AC,   6; 2;3 

làm vect pháp tuy n nên có ph ng trình: 6x 1 2y3z  1 0 6x2y3z 3 0

V y có hai đi m D và D th a mãn yêu c u bài toán D1;0;5 , D 5;6; 7   

b) ng th ng  đi qua tr c tâm H c a tam giác ABC và vuông góc v i m t

ph ng (ABC) là giao tuy n c a m t ph ng qua A- vuông góc v i đ ng th ng

BC v i m t ph ng qua B-vuông góc v i đ ng th ng AC ( c ng là giao tuy n

v i m t ph ng qua C, vuông góc v i đ ng th ng AB)

M t ph ng qua A1;0; 1  nh n BC  1;0;2

làm vect pháp tuy n nên có

ph ng trình:   x 1 2 z   1 0 x 2z 3 0

này nghi m đúng v i m i m khi và ch khi x y 3

Do đó, đ ng th ng  luôn đi qua đi m c đ nh A 3;3

Vì IA 5   nên đi m A n m trong đ ng tròn 3 R  C Nh v y  luôn

c t đ ng tròn  C t i hai đi m phân bi t Ngh a là h ph ng trình đã cho

luôn có hai nghi m phân bi t

2 G i  là đ ng th ng đi qua g c to đ O và có h s góc b ng m V i giá

tr nào c a m thì  c t  C t i ba đi m phân bi t

3 V i đi u ki n c a k tìm đ c câu 2, hãy xác đ nh giá tr c a k đ hình

1 Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho đ ng th ng :x2y 2 0 và

hai đi m A  1;3 , B 3; 2  Tìm M trên  sao cho MAMB đ t giá tr l n

2 ng th ng  đi qua g c to đ O và có h s góc b ng k nên có ph ng

trình: y mx Ph ng trình hoành đ giao đi m c a  C và  là:

ng th ng  c t (C) t i 3 đi m phân bi t  Ph ng trình (1) có 3 nghi m

phân bi t  Ph ng trình (2) có 2 nghi m phân bi t khác 0, t c là:

2 3

m i m khi x1, y = 2 ngh a là:  luôn đi qua đi m c đ nh A 1;2 và A n m

trong  C Do đó  luôn c t  C t i hai đi m phân bi t

N







1 t F x y ;  x 2y2 Do F  1;3 F 3; 2    15 0 nên A và B n m v

hai phía khác nhau đ i v i 

G i d là đ ng th ng qua A vuông góc v i  Khi đó d nh n n  1;2

lên m t ph ng   To đ đi m H ng v i tham s t là nghi m c a ph ng

3 1

2

21

1 Trong m t ph ng Oxy, cho parabol: 2  

y x P và đ ng th ng

 

1

y mx d Ch ng minh r ng khi m thay đ i, đ ng th ng  d luôn c t

parabol  P t i hai đi m phân bi t M và N Hãy tìm qu tích tâm đ ng tròn

ngo i ti p tam giác OMN khi m thay đ i

2 Trong không gian Oxyz, cho hai đi m A1;2;3 , B 4;4;5  

a) Tìm giao đi m P c a đ ng th ng AB v i m t ph ng (xOy) Ch ng minh

r ng v i m i đi m Q thu c (xOy), bi u th c QA QB có giá tr l n nh t khi

G i x1, x2 là hoành đ đi m c c đ i, c c ti u tho mãn: 1 2

1 2

21

Suy ra: OM ON hay tam giác OMN vuông t i O hay I là tâm đ ng tròn

ngo i ti p tam giác OMN V i , y= 2 2

kh m t hai ph ng trình này ta đ c: 2

y  x  ây c ng chính là qu tích tâm đ ng tròn ngo i

ti p tam giác OMN

2 a) ng th ng AB qua A1;2;3 nh n AB3;2; 2

làm vect ch ph ng nên có ph ng trình:

b) G i d là đ ng th ng qua A, vuông góc v i m t ph ng (xOy) Khi đó d

nh n vect pháp tuy n c a (xOy) làm vect ch ph ng nên có ph ng trình:

123

x y

2 2

11

21

2 Gi i h ph ng trình;

11

hai đ ng th ng d và 1 d chéo nhau 2

b) Tìm đi m C thu c d sao cho tam giác ABC có di1 n tích nh nh t Tính

1 G i x, y, z là kho ng cách t đi m M thu c mi n trong c a tam giác ABC

có 3 góc nh n đ n các c nh BC, CA, AB Ch ng minh r ng:

   , a, b, c là đ dài c nh c a tam giác, R là bán

kính đ ng tròn ngo i ti p D u “=” x y ra khi nào?

 

 2  

1

11

2 21

x

kx a x

k x

Suy ra: uv   u v

D u “=” x y ra khi và ch khi

1

1 , k > 0 1 3

1

3

u v

101

10

0

x y

33

x

x y

y x

B  

2

a) ng th ng d qua 2 A5;4;3 nh n AB1;3; 1 

làm vect ch ph ng nên có ph ng trình tham s :

5

4 33

Câu I

Cho hàm s : 3

1

x y x

đó có th k đ c 2 ti p tuy n v i (C) sao cho góc gi a hai ti p tuy n đó b ng

z

z  z   z

Câu V

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đ ng chéo

AC = 2 3a, BD = 2a và c t nhau t i O; hai m t ph ng (SAC) và (SBD) cùng

vuông góc v i m t ph ng (ABCD) Bi t kho ng cách t đi m O đ n m t

2 Cho a, b, c 0 và 2 2 2

3

a b c  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

4 21

V y x y 1 là nghi m duy nh t c a ph ng trình đã cho

Câu III

1. ng tròn  C có tâm O 0;0 , bán kính R Gi1 s trên đ ng th ng

ym t n t i hai đi m P, P t m i đi m đó k đ c hai ti p tuy n đ n (C)

D th y P và P đ i x ng nhau qua tr c Oy G i A, B là các ti p đi m c a hai

K t h p (1) và (2) ta đ c t p h p m i giá tr c a m sao cho cho trên đ ng

th ng ym t n t i đúng hai đi m mà t m i đi m đó k đ c hai ti p tuy n

b) Giao tuy n c a (Q) và (S) là đ ng tròn có bán kính l n nh t khi và ch

khi (Q) ch a tâm I c a m t c u (S) (Q) l i ch a đ ng th ng d nên vect pháp

tuy n n

c a (Q) vuông góc v i vect ch ph ng u

đ ng th i vuông góc v i vect IM0 , M 3;0; 50   d , IM0 2; 2; 8  

Ph ng trình hoành đ giao đi m c a chúng là:

2 Nh n xét z=0 không là nghi m c a ph ng trình đã cho V y z 0

Chia hai v PT đã cho cho z2

2

1 )

1 ( ) 1

2

z

z z

2   

z z

Ph ng trình (1) có d ng : t2

-t+ 0 2

2

9 9 2

9 6 8 16 ) 3 1 (  i    i  ii  i

, z =

2

1 4

) 3 ( ) 3 1

9 6 8 16 ) 3 1 (  i    i  ii  i

,z=

2

1 4

) 3 ( ) 3 1 (  i  i  i

V y PT đã cho có 4 nghi m : z = 1+i ; z = 1i ; z =

2 1



i

; z =

2 1

T gi thi t AC = 2 a 3; BD = 2a và AC ,BD vuông góc v i nhau t i trung

đi m O c a m i đ ng chéo

Ta có tam giác ABO vuông t i O và AO = a 3; BO = a , do đó  0

60

A DB  hay tam giác ABD đ u

T gi thi t hai m t ph ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i m t ph ng

(ABCD)nên giao tuy n c a chúng là SO  (ABCD)

Do tam giác ABD đ u nên v i H là trung đi m c a AB, K là trung đi m c a

G i I là hình chi u c a O lên SK ta có OI  SK; AB  OI  OI  (SAB) ,

hay OI là kho ng cách t O đ n m t ph ng (SAB)

Tam giác SOK vuông t i O, OI là đ ng cao  12 12 12

2

a SO

1 1

2 1

2 2

4

2 2 2

3

b b

a b

1 1

2 1

2

2 2

2 2

3

c c

b c

1 1

2 1

2

2 2

2 2

a

c a

6 3

6

2 16

3 2 16

3 2 16



6 2 2 2

9 ) (

2 2 2

3 2

3 2 2

9 2 2

3 2