Chương III : CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN XUNG QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH §1.. Một số liên kết thông dụng giữa hai vật rắn: @ Cho hai vật rắn S và Σ tiếp xúc nhau và cùng chuyển động trong
Trang 1Chương III :
CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN XUNG QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
§1 Một số liên kết thông dụng giữa hai vật rắn:
@ Cho hai vật rắn (S) và (Σ) tiếp xúc nhau và cùng chuyển động trong hệ quy chiếu (R) Tác động cơ từ (Σ) lên (S) tại chỗ tiếp xúc khi thu gọn về điểm tiếp xúc A bất kỳ thuộc (S) gồm: Lực thu gọn RG và momen thu gọn:
,
A tiepxuc
MG
@ Tổng công suất của các tác động cơ từ (Σ) lên (S) và từ (S) lên (Σ) tại chỗ tiếp xúc bằng :
S
P=P +PΣ
với: P = R v (A )S G G S +MGA tiepxuc, ΩGS P = - R v (A )Σ G G Σ −MGA tiepxuc, ΩGΣ
AS và AΣ lần lượt là các điểm thuộc (S) và (Σ) trùng nhau tại điểm A; v (A )G S
, lần lượt là vận tốc của điểm và A thuộc (S) và (Σ);
v (A )G Σ S
A Σ ΩGS, ΩGΣ lần lượt là véctơ quay của (S) và (Σ) trong (R)
@ Liên kết giữa (S) và (Σ) được gọi là lý tửởng (parfait) (không có ma sát) nếu như :
0
S
P=P +PΣ =
@ Thông thường, chúng ta nghiên cứu chuyển động của vật rắn (S) trong hệ quy chiếu ( )RΣ gắn liền với (Σ) ((Σ) đóng vai trò gia đỡ và (S) dịch chuyển trên đó) Khi đó tác động cơ từ lên tại chỗ tiếp xúc không sinh công vì(
( )S
( )Σ Σ) cố định ⇒ Tổng công suất P của các tác động cơ tiếp xúc bằng công suất P S của tác động cơ từ ( )Σ lên ( )S tại chỗ tiếp xúc :
P = P = R v (A )G G RΣ +MGA tiepxuc.ΩGS RΣ với : , vectơ quay của (S) và vận tốc của điểm A thuộc (S) trong hệ quy chiếu
/
S RΣ
ΩG v (A )G S /RΣ
RΣ
RG
g
Σ
ΩG
RG
,
A tiepxuc
MG
Hình 1 : Ví dụ về liên
lề (liên kết trụ quay)
Trang 21) Liên kết trượt (liên kết kiểu lăng trụ, liên kết tịnh tiến):
@ Hai vật rắn (S) và (Σ) được gọi là coï liên kết trượt (liason glissière) với nhau nếu (S) chỉ
chuyển động tịnh tiến thẳng song song với một trục gắn liền với (Σ) (Hình 1)
@ Liên kết trượt là lý tưởng (không có ma sát trượt) nếu lực thu gọn RG
vuông góc với phương
chuyển động của (S) trên (Σ)
Do (S) tịnh tiến trong hệ quy chiếu RΣ gắn liền với (Σ) nên tất các các điểm thuộc (S) có cùng vận tốc và bằng vận tốc trượt vGg
của (S) trên( )Σ : v (A )G S /RΣ =vGg Mặt khác : M A tiepxuc, =0 (ma sát lăn và ma sát xoay không xuất hiện) Công suất của tác động cơ từ lên tại chỗ tiếp xúc :
P .v(A )=RGG RΣ =RG.vG = (do 0 R vG ⊥Gg)
2) Liên kết bản lề (liên kết trụ quay, liên kết quay):
@ Hai vật rắn (S) và (Σ) được gọi là có liên kết bản lề (liason pivot) với nhau nếu (S) chỉ chuyển
động quay xunh quanh một trục (∆) gắn liền với (Σ) (Hình2)
@ Liên kết bản lề là lý tưởng (không có ma sát) nếu thành phần trên trục quay (∆) của momen thu
gọn MGA tiepxuc, về một điểm A thuộc trục quay (∆) bằng 0, nghĩa là nếu :
A tiepxuc
MG ⊥ ∆ Khi đó, công suất của tác động cơ từ ( )Σ lên (S) tại chỗ tiếp xúc: P 0S =
vì: MGA tiepxuc, ⊥ ΩGS R/ Σ và v(G A S)/RΣ =0
§2 Nghiên cứu chuyển động quay (Liên kết bản lề):
1) Áp dụng định lý về động lượng và momen động lượng :
Xét một vật rắn (S) quay xung quanh một trục cố định Oz trong hệ quy chiếu R O x y z( ; , , ) giả sử là Galilée Giả sử rằng liên kết giữa (S) và
giá cố định (liên kết bản lề) là lý tưởng
(không có ma sát)
z
Goiü R O x S( ; S,y z S, S) là hệ quy chiếu gắn
liền với (S), sao cho khối tâm G của (S)
nằm trong mặt phẳng (OxSz)
Chuyển động quay của (S) trong hệ quy
chiếu (R) được xác định bằng góc quay JJ JJJJ
S
= (Ox, Ox )
θ JG G
R
(S) chịu tác động của các ngoại lực: Tác
động cơ tiếp xúc do các bản lề tác động
lên trục quay, khi thu gọn về điểm O
gồm: Lực thu gọn G
và momen thu gọn: MGO tiepxuc, ⊥OzJJG (do liên kết không có ma sát); các ngoại lực khác biết trước (như trọng lượng, ngẫu lực cùa động cơ ) tác động lên (S), khi thu gọn về điểm O gồm: Lực thu gọn và momen thu gọn:
FG
O
MG
B
A
θ
y
s
y
s
x
a
Hình 3
θ
O
b
G
x
Để nghiên cứu chuyển động của vật rắn (S) có thể áp dụng định lý về động lượng, định lý về momen động lượng và định lý về động năng
Trang 3@ Áp dụng định lý về động lượng cho vật rắn (S) trong hệ quy chiếu (R)
i
dP
ma G F
dtG = G =∑ G ⇒ ma GG( )= +FG RG
Gọi a và b là tọa độ của G trong cơ sở (e , e , e )G G Gxs ys zs
, ta có:
2
a GG = −aθ eG +a eθG
m −aθ eG +a eθG = +FG RG
Chiếu lên các trục: Ox Oy Oz s; s; sta có:
2
0
ma F R
F R
θ
θ
⎪
⎨
⎪ = +
⎩
@ Aïp dụng định lý về momen động lượng của vật rắn (S) đối với điểm O cố định :
O
dL
( ) dt
e
i
M F
=∑
G
,
⊥
với: MGO tiepxuc, ⊥Oz
,
⊥
⊥
,
dL
⊥
⊥
G
(2) Với LGOz;MGOz là thành phần của và của
O
LG
O
MG song song với trục Oz
Với LGO⊥;MGO⊥ là thành phần của và của
O
LG
O
MG vuông góc với trục Oz
Và : dLOz
dt =M Oz
G G Mà: LGOz =J OzΩ =G J Ozθ eGz
Suy ra : J OzθeGz =MGOz Hay: J Ozθ=M Oz (3)
2) Nghiên cứu chuyển động của vật rắn (S):
@ Nếu cần xác định quy luật chuyển độngθ θ của vật rắn (S) có thể áp dụng định lý về = (t)
momen động lượng đối với trục Oz cố định :
dL
( ) dt
e Oz
Oz i i
M F
=∑
G
⇒ J OzθeGz =MGOz ⇒ J Ozθ=M Oz (4)
Đây chính là phương trình vi phân của chuyển động quay của (S)
@ Có thể viết phương trình vi phân của chuyển động quay của (S) bằng cách áp dụng định lý
dt
ext k
i
=∑ +∑ i Với : ext và lần lượt là công suất của ngoại lực
i
và
nội lực FGi i tác động lên (S) ⇒ d 1 2
dt 2⎛⎜ Jθ ⎞ =⎟ P tiepxuc+P khac
Trang 4Trong đó: là công suất của tác động cơ lên (S) tại chỗ tiếp xúc, là công suất của các ngoại lực khác tác động lên (S)
tiepxuc
Do liên kết bản lề là lý tưởng: P tiepxuc = 0
Mặt khác : P khac =FG.v( )G O +MGOθeGz =M Ozθ ⇒ J Ozθθ=M Ozθ⇒ J Ozθ=M Oz (5)
3) Tác động cơ tiếp xúc:
Khi biết quy luật chuyển động θ θ , có thể xác định được tác động cơ = (t) lên (S) tại chỗ tiếp xúc nhờ các phương trình (1), (2)
, (R, )G GM O tiepxuc
4) Định luật bảo toàn momen động lượng đối với trục quay:
Khi các ngoại lực tác dụng lên vật rắn quay xung quanh một trục cố định có momen đối với trục
quay bằng 0, momen động lượng của vật rắn đối với trục quay được bảo toàn
Thật vậy, theo định lý về momen động lượng: dLOz
( ) dt
e
Oz i i
M F
=∑
G
Mà: Oz( i e) 0.Suy ra:
i
∑ G G dLOz
0
dt =
G
Hay: LGOz =constJJJJJG
Tµi liÖu tham kh¶o :
[1] C¬ hôc vỊt r¾n, N¨m thø hai, MP-MP*-PC-PC*-PT-PT*, Hachette SupÐrieure, Nxb Gi¸o
dôc Hµ Nĩi 2002
[2] MÐcanique des solides, DeuxiÌme annÐe, MP-MP*-PC-PC*-PT-PT*, Hachette SupÐrieure,
1999
[3] L−¬ng Duyªn B×nh (chñ biªn), VỊt lý ®¹i c−¬ng, TỊp I : C¬- NhiÖt, Nxb Gi¸o dôc Hµ Nĩi
1998