Cơ học đại cương - Phần 1 Cơ học vật rắn - Chương 2 pot

Chúng có thể tiếp xúc theo một mặt, theo một đường hay theo một điểm Tại mỗi thời điểm t, luôn luôn có ít nhất một điểm IS của S trùng với một điểm IΣ của Σ tại điểm tiếp xúc I.. Tác đ

Chương 2 :

TIẾP XÚC GIỮA HAI VẬT RẮN - ĐỊNH LUẬT VỀ MA SÁT

§1 Nghiên cứu động học:

(R)

y (Σ)

(S)

(Σ) I

Hình 1:

S / R

v(I )G v(I )G ∑ / R =vGxe

g

v (I) G

z

1) Vận tốc trượt:

• Xét hai vật rắn (S) và (Σ) luôn luôn tiếp xúc

với nhau, và cùng chuyển động trong hệ quy

chiếu R (Hình 1)

Chúng có thể tiếp xúc theo một mặt, theo một

đường hay theo một điểm Tại mỗi thời điểm

t, luôn luôn có ít nhất một điểm IS của (S) trùng

với một điểm IΣ của (Σ) tại điểm tiếp xúc I

⇒

Vận tốc trượt vKg

của (S) trên (Σ) tại điểm I vào thời điểm t :

v ( )Kg I =v(K I S)R −v(K I∑) R

Vận tốc trượt của (S) trên (Σ) tại điểm I cũng chính là vận tốc của điểm IS của (S) (hình trụ) trong hệ quy chiếu (R∑) gắn liền với (Σ) (xe cam nhông) :

v ( ) Kg I = v( K IS)/R∑

g

v (I) G (P)

( )∑ (S)

Hình 2

• Thông thường, chúng ta nghiên cứu chuyển động của

vật rắn (S) trên một giá đỡ (Σ) cố định trong hệ quy chiếu

R : Khi đó hệ quy chiếu (R∑) trùng với hệ quy chiếu R

• Trong trường hợp giữa hai vật rắn (S) và (Σ) tồn tại

một tiếp diện chung (P), vận tốc trượt vKg

sẽ nằm trong mặt phẳng (P) (Hình 2)

• (S) được gọi là không trượt trên (Σ) khi vận tốc trượt bằng 0 tại mọi điểm tiếp xúc I :

v ( )Kg I =0G

2) Chuyển động lăn và xoay của (S) đối với (Σ):

• Trong hệ quy chiếu R, gọi ΩKS và ΩK∑ là vectơ quay của vật rắn (S) và (Σ) Véctơ quay tương

đối Ω K S/∑ của (S) so với (Σ), tức là véctơ quay của (S) trong hệ quy chiếu (R∑) gắn liền với (Σ):

/

S ∑ S

Ω K = Ω − Ω K K∑ có thể được phân thành hai thành phần (Hình 3)

+ Véctơ pháp ΩKNvuông góc với tiếp diện chung(P) tại I của (S) và (Σ).ΩKN được gọi là vectơ quay của chuyển động xoay

+ Véctơ tiếp ΩKT nằm trong tiếp diện chung (P) ΩKT được gọi là vectơ quay của chuyển động lăn

(P) (Σ)

(S)

I

N

Ω G

T

Ω G

/

S ∑

Ω G

Hình 3:

Hình 5: Hình trụ (S) chuyển động

lăn so với giá đỡ

T

Ω = Ω K K ( ) ∑

( ) S I

N

Ω = Ω K K ( ) ∑

( ) S I

Hình 4 : Khối vuông (S) chuyển

động xoay so với giá đỡ

• Trong toàn bộ phần Cơ học vật rắn, chúng ta chỉ nghiên cứu các chuyển động đơn giản của vật rắn (S) trên giá đỡ cố định ( )∑ với:

+ Các vectơ ΩKN và ΩKT không thay đổi phương trong qúa trình chuyển động

+ (S) lăn không xoay (Ω =KN 0) hay xoay không lăn (Ω =KT 0), hoặc không lăn không xoay (chuyển động tịnh tiến) trên( )∑

§2 Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc:

1) Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc của hai vật rắn:

( ) ∑

( ) S

I

i

R G

@ Hai vật rắn (S) và (Σ) có thể tiếp xúc nhau theo mặt

(khối vuông tiếp xúc với mặt phẳng), theo đường (hình

trụ tiếp xúc với mặt phẳng) hay theo điểm (hình cầu

tiếp xúc với mặt phẳng) Tuy nhiên, trên thực tế, do có

biến dạng đàn hồi, (S) và (Σ) luôn tiếp xúc nhau theo

một mặt nào đó (diện tích tiếp xúc có thể khá nhỏ)

Hình 6:

Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc giữa (S) và (Σ) gây ra bởi tương tác giữa các phân tử của (S) và (Σ) trên bề mặt tiếp xúc, và có tầm tác dụng rất ngắn Nói chung, đây là một hệ lực không gian phân bố (Hình 6)

@ Tác động cơ từ (Σ) lên (S) tại chỗ tiếp xúc, khi thu gọn về một điểm tiếp xúc I, bao gồm:

i

R = G ∑RG

• Momen thu gọn: MI, tiepxuc I( i

i

)

Theo định luật III Newton, (S) sẽ tác dụng lên (Σ) một hệ lực, khi thu gọn về I cũng bao gồm: G

• Lực thu gọn: - R

• Momen thu gọn: - MG I, tiepxuc

Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc là ẩn số của bài toán phân tích lực

@ Tác động cơ do (Σ) tác dụng lên (S) tại chỗ tiếp xúc được phân thành các thành phần (Hình 7) :

I, tiepxuc

• Đối với hợp lực : RG

+ Thành phần TG n òm tại I trong tiếp diện chung (P) tại I của (S) và (Σ)

+ Thành phần NG n òm tại I theo phương pháp tuyến tại I với (P)

R = T + NG G G

với: T G ⊥ NG

• Đối với momen MG I, tiepxuc:

+ Thành phần MGI,t nằm trong tiếp diện chung (P)

+ Thành phần MG I,n nằm theo phương pháp tuyến với (P)

MG = MG t +MG n với : MG I,t ⊥MGI,n

NG

được gọi là áp lực (phản lực pháp tuyến); TG

được gọi là lực ma sát trượt bởi vì nó chống lại

chuyển động trượt của (S) trên (Σ); MGI,t

được gọi là momen ma sát lăn bởi vì nó chống lại

chuyển động lăn của (S) trên (Σ); MGI,n

được gọi là momen ma sát xoay bởi vì nó chống lại

chuyển động xoay của (S) trên (Σ)

@ Trong chương này, chúng ta sẽ bỏ qua ma sát xoay và ma sát lăn Bởi vì chúng ta chỉ nghiên cứu các

trường hợp đơn giản :

+ Hoặc: (S) chuyển động tịnh tiến trên giá đỡ (Σ) như hình 9, momen ma sát xoay và momen ma sát lăn không xuất hiện

+ Hoặc : (S) tiếp xúc với giá đỡ (Σ) theo điểm (hình cầu tiếp xúc với mặt phẳng - hình 10, hay trường hợp tiếp xúc theo đường trong bài toán phẳng : Bánh xe lăn trên mặt đất - hình 11), chúng ta bỏ qua ma sát lăn và ma sát xoay

I, n

MG

(P) ( )

Hình 8:

Σ

(S)

I, tiepxuc

MG

I, t

MG

NG

(P)

RG

(S)

( )Σ Hình 7:

( )S

I (Σ)

(S)

Hình 11

I

x O

y

Hình 10

Hình 9

Khi đó, tác động cơ tại chỗ tiếp xúc từ vật rắn (Σ) lên vật rắn (S) chỉ còn lại hợp lực R = T + NG G G

đi qua điểm tiếp xúc I.

2) Định luật Coulomb về ma sát trượt (khô) :

Khi nghiên cứu chuyển động của vật rắn, phải kể thêm vào các ẩn số của bài toán các lực ma sát trượt TG

và áp lực Các định lý cơ bản không cho ta đủ số phương trình để xác định tất cả các ẩn số ⇒ Do vậy, cần phải biết thêm quan hệ giữa và

NG

TG

NG Bằng thực nghiệm, Coulomb đã tìm được mối quan hệ giữa lực ma sát trượt TG và áp lực

NG

a) Tính chất của áp lực NG :

• Đối với liên kết một phía, ví dụ khi (S) được đặt trên giá đỡ (Σ)

(Hình 12), áp lực từ (Σ) tác dụng lên (S) luôn luôn hướng từ (Σ)

về (S)

NG

(S)

Hình 12

(Σ)

I

NG

NG

(S)

O

Hình 13

(S) và (Σ) không tiếp xúc với nhau nữa khi: N = 0G

• Đối với liên kết hai phía, ví dụ hình trụ rỗng (S) lồng qua một

thanh hình trụ (Σ) (Hình 13), cắt trục OO của hình trụ, nhưng

chưa thể kết luận gì về phương, chiều của

NG

NG

G

b) Tính chất của lực ma sát trượt T:

• Tùy theo (S) trượt hay không trượt trên (Σ) mà TG

có các tính chất khác nhau Gọi vGg vận tốc trượt của (S) trên (Σ)

+ Nếu (S) trượt trên (Σ): vGg ≠0: TG

và vGg

song song và ngược chiều nhau: T vG ×Gg =0 và T vG Gg <0

Suất (mođun) của TG tỉ lệ với suất của

NG : TG = f N G với f là hệ số tỉ lệ và được gọi là hệ số ma sát trượt (f > 0)

+ Nếu (S) không trượt trên (Σ), mà chỉ có xu hướng trượt trên (Σ): vGg =0: cùng phương và ngược chiều với chiều của xu hướng trượt

TG

Suất của TG và của thỏa mãn biểu thức:

NG

TG ≤ f NG Trong cả hai trường hợp, giá trị cực đại của TG

bằng f N G

• Khi f = 0, tiếp xúc giữa (S) và (Σ) được gọi là tiếp xúc

không có ma sát Khi đó: T = 0G và hợp lực

R = T + N = NG G G G

vuông góc với tiếp diện chung (P) tại điểm tiếp xúc I của

(S) và (Σ)

• Ví dụ, khi hình khối chữ nhật (S) được đặt nằm yên trên

mặt phẳng nghiêng (Σ) (Hình 14), (S) có xu hướng trượt

xuống trên mặt phẳng nghiêng (Σ) theo phương chiều x'xJJJG

hướng lên theo phương chiềuxx'

JJG

NG

gG

mgG

TG

y x’

x

Hình 14

Khi hình khối chữ nhật (S) cân bằng, ta có :

0=TeGx+NeGy+mgG

Từ đó : T = −mgsinα <0 và N =mgcosα >0 (T và N là các gía trị đại số của lực ma sát và của áp lực)

c) Tính chất của hệ số ma sát trượt f:

• Hệ số ma sát trượt f phụ thuộc vào:

+ Bản chất của các vật rắn tiếp xúc (vật liệu các bề mặt tiếp xúc), ví dụ khi vật rắn bằng thép tiếp xúc với

vật rắn bằng gỗ, hệ số ma sát f sẽ khác với trường hợp vật rắn bằng thép tiếp xúc với vật rắn bằng cao su

+ Trạng thái các bề mặt tiếp xúc, ví dụ khi hai bề mặt tiếp xúc gồ ghề, f sẽ lớn Khi hai bề mặt tiếp xúc

được phủ một lớp chất bôi trơn, f sẽ giảm xuống

+ Tăng theo thời gian tiếp xúc ban đầu (thời gian có áp lực NG

nhưng chưa có trượt tương đối hay xu hướng trượt tương đối)

• Hệ số ma sát trượt f không phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc và hầu như không phụ thuộc vào vận tốc trượt

Ghi chú: Định luật Coulomb chỉ phản ánh gần đúng quy luật ma sát trượt khô, tuy nhiên vẫn có thể áp

dụng nó trong nhiều bài tính kỹ thuật Trên thực tế, f không phải là hoàn toàn độc lập với vận tốc trượt: Trường hợp (S) không trượt trên (Σ), f lớn hơn trong trường hợp (S) trượt trên (Σ), do vậy người ta phân biệt hệ số ma sát động fđ khi (S) trượt trên (Σ) và hệ số ma sát tĩnh ft khi (S) không trượt trên (Σ) Trong

đa số trường hợp: f đ < f t

2) Một số hệ quả của định luật Coulomb:

@ Hệ ngoại lực tác dụng lên vật rắn (S) khi thu

gọn về điểm A nào đó bao gồm lực thu gọn F Ge xt

Rg giả sử là hệ quy chiếu Galilée, vật rắn (S) cân

bằng khi :

A, ext

MG

e xt

FG =0; MGA, ext =0 và nếu vật rắn

đứng yên tại thời đểm ban đầu

Ngoài ra, nếu (S) chịu tác động cơ (R, MG G I, tiepxuc)

tại điểm tiếp xúc I, thì hệ lực (R, MG GI, tiepxuc) này phải tuân theo định luật Coulomb

FG

x’

I

NG

TG G

(S)

O x

H

Hình 15

@ Ví dụ: Khối chữ nhật (S) tiếp xúc với mặt đất (Σ) (Hình 15) Hệ ngoại lực tác dụng lên (S) bao gồm: Trọng lượng mgG; lực kéo

FG

và tác động cơ tiếp xúc từ (Σ) lên (S) :(R, MG GI, tiepxuc)

NG

Hình 16

TG

RG α

ϕ

( , )N R

α = G G

( )Σ

Nón (N)

(S)

Dưới tác dụng của , giả sử vật rắn (S) có xu hướng chuyển

động so với (Σ) theo phương chiều xx’ (nhưng chưa chuyển

động tương đối so với (Σ)) hướng theo chiều x’x Ta

có:

FG

⇒ TG

• N = - mgG G; T =

- F

(S) không trượt trên mặt đất: TG ≤f NG ⇒ F G ≤ fmg

• IGJJG×mgG+ × + ×IHJJG FG IIJJG (TG+NG)+MGI tiepxuc, =0G

b) Nón ma sát và hiện tượng tự hãm:

@ Hình nón ma sát : Gọi là tác động cơ tiếp

xúc từ (Σ) lên (S) Xét một hình nón tròn xoay (N), đỉnh I,

trục song song với áp lực , nửa góc ở đỉnh là ϕ với tg ϕ =

f (f: hệ số ma sát trượt) Hình nón (N) nói trên được gọi là

hình nón ma sát (Hình 16)

I, tiepxuc

NG

( , )N RG G =ϕ ⇒ α ϕ= ⇒ RG

nằm trên mép nón ma sát (N)

• Khi (S) không trượt trên (Σ) (mà chỉ có xu hướng trượt):

T≤ f N ⇒ T ≤tgϕ.N ⇒ ( , )N RG G ≤ϕ ⇒ α ϕ≤ ⇒ RG

nằm bên trong nón ma sát (N) (Trường

hợp giới hạn, RG

nằm trên mép nón (N))

( )Σ

NG

TG

(S)

RG

FG α

x

@ Hiện tượng tự hãm : Xét vật rắn (S) khối lượng m, đặt trên một mặt phẳng nằm ngang cố

định (Σ) Tác dụng vào (S) một lực đẩyFG

nghiêng đi một góc α so với phương thẳng đứng (Điểm đặt của

G

nằm tại vị trí sao cho (S) không bị lật quanh một cạnh) (Hình 17)

F

Tác động cơ tiếp xúc từ (Σ) lên (S) khi thu gọn về điểm I : R = T + NG G G

(giả sử bỏ qua momen ma sát) T song song, ngược chiều với Ox

G

NG song song, cùng chiều với Oy

i

dP

dtG = G =∑ G và chiếu lên hai trục Ox và Oy, ta có : sin

α α

= − +

⎧

⎨ = −

⎩



(6) Với T và N là giá trị của T G và

NG

• Khi (S) đứng yên ⇒ x=0; T≤ f N ⇒ Fsinα ≤ fFcosα ⇒

tgα ≤tgϕ ⇒α ϕ≤ ⇒ FG

nằm trong nón ma sát (N) Như vậy, khi

α < ϕ hay nằm trong nón ma sát (N) thì cho dù giá trị của FG

FG

có lớn bao nhiêu đi nữa, vẫn luôn luôn có: T < fN ⇒ (S) vẫn

không trượt trên (Σ) Lúc đó (S) bị rơi vào trạng thái tự hãm khi

trượt

Fcosα

Fsinα

FG

tg N = f.Nϕ

α

ϕ

NG

Hình 18

• Khi α > ϕ hay nằm ngoài nón ma sát (N): Dù giá trị của giá

trị của khá nhỏ, (S) cũng sẽ trượt trên (Σ) (Hình 18) (Bởi vì

nếu (S) không trượt trên (Σ) thì ta sẽ suy được

FG

FG

α ϕ≤ , điều này trái với giả thiết α ϕ> )

Lúc đó : T = f N = f Fcosα ⇒ Gia tốc của (S): x F(sin f.cos )

§3 Công suất của các tác động cơ tại chỗ tiếp xúc:

• Xét một vật rắn (S) chuyển động trong hệ quy chiếu (R) Giả sử hệ ngoại lực tác dụng lên vật rắn được thu gọn về điểm A và bao gồm: Lực thu gọn R G

và momen thu gọn: MG A

6 Giả sử trọng lượng mg của vật rắn (S) không đáng kể so với giá trị của lực FG

Công suất của hệ lực nói trên: P = R v (A )G G S +MG GA.ΩS

Với: v (A )G S : vận tốc của điểm A thuộc (S) (vận tốc của điểm đặt A của lực

R G

), : Véctơ quay của (S)

S

ΩG

Chú ý rằng công suất P không phụ thuộc vào điểm tính toán A

• Cho vật rắn (S) tiếp xúc với vật rắn (Σ) và cùng chuyển động trong (R) Hãy tính công suất của các tác động cơ tiếp xúc từ (S) lên (Σ) và từ (Σ) lên (S) trong các trường hợp sau:

+ (S) và (Σ) chuyển động tịnh tiến trong (R):

Ta có: Ω = Ω =GS GΣ 0

Công suất của các tác động cơ tiếp xúc :

+ Từ (Σ) lên (S): P = R v (I )G G S +MGI tiepxuc, ΩGS ⇒ P S =R v IG G ( S)

+ Từ (S) lên (Σ): P = -R v (I )G G Σ +MGI tiepxuc, ΩGΣ ⇒ PΣ = −RG G.v(IΣ)

Với : v (I )G S : vận tốc của điểm I thuộc (S);

v (I )Σ

G : vận tốc của điểm I thuộc( )Σ

+ (S) và (Σ) tiếp xúc theo điểm : (hoặc theo đường trong bài toán phẳng, ví dụ hình trụ lăn trên

mặt đất) Bỏ qua ma sát lăn và ma sát xoay (bỏ qua momen thu gọn MG I, tiepxuc

)

Khi đó : P S =R v IG G ( S)

PΣ = −RG G.v(IΣ)

• Trong cả hai trường hợp trên, tổng công suất của các tác động cơ tiếp xúc lên cơ hệ gồm (S) và (Σ): P=P S +PΣ =RG G(v( ) v( ))I S −G IΣ

⇒ P=(N+T).vG G Gg với

v( ) v( )

vG =G I −G IΣ : vận tốc trượt của (S) trên (Σ)

⇒ P=N.v +T.vG Gg G Gg

⇒ P=TG G.vg ≤0 (Do

g

NG ⊥vG và TG

song song ngược chiều với vGg

)

Công suất tổng cọng P của các tác động cơ tiếp xúc lên cơ hệ gồm (S) và (Σ) luôn luôn âm hoặc bằng không

Ta thấy P = 0 khi không có ma sát (TG=0) hay khi không trượt: vGg =0

• Trường hợp đặc biệt khi (Σ) cố định trong (R) :

v( )G IΣ =0 ⇒ P∑ = −RG G.v( )IΣ =0

⇒ P=P S =TG G.vg ≤0 Công suất P S của các tác động cơ tiếp xúc từ (Σ) lên (S) luôn luôn âm hoặc bằng không