Định nghĩa: Mômen chính của hệ lực không gian đối với tâm O, ký hiệu uurO M , là một vectơ bằng tổng hình học các vectơ mômen các lực thuộc hệ lực đối với tâm O... Định lý biến thiên môm
Trang 1CHƯƠNG 3: HỆ LỰC KHÔNG GIAN
I VECTƠ CHÍNH VÀ MÔMEN CHÍNH CỦA HỆ LỰC KHÔNG GIAN
1 Vect ơ chính của hệ lực không gian
a Định nghĩa: Vectơ chính của hệ lực không gian, ký hiệu uur′
R , là tổng hình học của các vectơ biểu diễn các lực của hệ lực
R′
uur
=Fr r1+F2+ +Frn
n k
k 1
F
=
∑r (3.1)
b Phương pháp xác định:
- Phương pháp vẽ: Lấy điểm O bất kỳ trong không gian, lần lượt vẽ các vectơ
1
1
OA =F
uuuur r
, A Auuuuur r1 2 =F2
,⋅⋅⋅ ,Auuuuuuur r( )n 1− A=Fn
=Fuurn Đường gãy khúc OA A A1 2 ( )n-1A gọi là đa giác lực Vectơ n OAuuuurn
= Ruur′ gọi là vectơ khép kín của đa giác lực
- Phương pháp giải tích (chiếu):
n
x 1x 2x nx kx
k 1 n
y 1y 2 y ny ky
k 1 n
z 1z 2z nz kz
k 1
=
=
=
′ = + + + =
′ = + + + =
∑
∑
∑
L
L L
(3.2)
y
R
′= ′ + ′ + ′
(3.3)
(3.4) Với α,β,γ là các góc hợp bởi R′uur
và các trục Ox, Oy, Oz
2 Mômen chính c ủa hệ lực không gian
a Định nghĩa: Mômen chính của hệ lực không gian đối với tâm O, ký hiệu uurO
M , là một vectơ bằng tổng hình học các vectơ mômen các lực thuộc hệ lực đối với tâm O
O
k 1 k 1
(3.5)
b Phương pháp xác định:
- Phương pháp vẽ: Lấy điểm O bất kỳ trong không gian, lần lượt vẽ các vectơ :
1
OA
uuuur
=muurO1
=muur rO( )F1
, A Auuuuur1 2
=muurO 2
= muur rO( )F2
, ⋅⋅⋅ , Auuuuuuurn 1−An
=muurOn
= muur rO( )Fn
Đa giác OA A A1 2 ( )n-1A gọi là đa giác vectơ mômen n OAuuuurn
= MuurO gọi là vectơ khép kín của đa giác
- Phương pháp chiếu:
Trang 2( ) ( ) ( )
Ox
Ox k x k k kz k ky
Oy
Oy k y k k kx k kz
Oz
Oz k z k k ky k kx
(3.6)
Trong đó: x , y , z là toạ độ của điểm đặt lực k k k Furk
F , F , F là hình chiếu của kx ky kz Furk
trên các trục Ox, Oy, Oz
( ) ( ) ( )2 2 2 O
(3.7)
os = os = os = (3.8)
c Định lý biến thiên mômen chính:
Định lý: Biến thiên mômen chính của hệ lực khi tâm lấy mômen thay đổi từ O đến O’
bằng mômen của vectơ chính đặt tại O lấy đối với điểm O’
( )
O O
O O
Muur ′−Muur =muur uur′ R′
(3.9)
Chứng minh:
k 1 k 1
′
O
k 1 k 1
M ′
uur
-MuurO
k k
k 1
r F
=
′ ∧
∑ r ur
n
k k
k 1
r F
=
∧
∑ r ur = n ( k k) k
k 1
=
′ − ∧
Ta có rr rk′− =rk O Ouuuur′
nên:
O
M ′
uur
-MuurO
k
k 1
O O F
=
′ ∧
k
k 1
=
′ ∧∑
=O Ouuuur uur′ ∧R′O
=muur uurO ′( )R′O
Nhận xét:
Trường hợp hệ lực đồng quy tại O ta có: MuurO=0
O
M ′ = m ′ R′
uur uur uur
(3.10) Trường hợp hệ lực phẳng: O n ( )
O k
k 1
=
=∑ r (3.11)
II.THU GỌN HỆ LỰC KHÔNG GIAN
1 Định lý dời lực song song
Định lý: Lực ur
F đặt tại A tương đương với lực uur′
F song song, cùng chiều, cùng cường
độ với lực ur
F nhưng đặt tại O và một ngẫu lực có mômen bằng mômen của lực ur
F lấy đối với điểm O
Chứng minh:
k
r
r
k
r′
r
k
Fr
Z
Y
X
Trang 3Đặt tại O hai lực F′uur
và F′′uur với (F ,Fuur uur′ ′′ ≡) 0
và Fur
=F′uur
⇒ ( )Fur
≡ (F,F ,Fur uur uur′ ′′)
≡ F′uur
và ( )F,F′′ur uur ⇒ ( )Fur
≡ F′uur
và m Fuur urO( )
Nhận xét:
Nhận thấy Muur
= muur rO( )F ⊥Fr
⇒ Hệ lực gồm một lực F′uur
và một vectơ mơmen M
uur
vuơng gĩc với F′uur
sẽ tương đương với một lực Fur cách F′uur
một đoạnd M
F
= Điểm đặt của lực Fur
phụ thuộc vào chiều của Muur
2 Thu g ọn hệ lực khơng gian về tâm
Định lý: Hệ lực khơng gian bất kỳ tương đương với một lực và một ngẫu lực đặt tại
một điểm tuỳ ý, chúng được gọi là lực thu gọn và ngẫu lực thu gọn Lực thu gọn được biểu diễn bằng vectơ chính của hệ lực đặt tại tâm thu gọn, cịn ngẫu lực thu gọn cĩ vectơ mơmen bằng mơmen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn
Chứng minh:
Lần lượt dời các lực F , F , , Fr r1 2 rn
về tâm tâm thu gọn (giả sử là O)
( ) ( ) ( )
′
ur uur uur uur ur
ur uur uur uur ur
ur uur uur uur ur
Cộng từng vế ta được: (F Fur ur1, 2, ,Furn) (= F Fuur uur′ ′1, 2, ,F và uur′n) (m , m , , muur uur1 2 uurn)
Vì (F Fuur uur′ ′1, 2, ,Fuur′n)
là hệ lực đồng quy tại O nên:
(F Fuur uur′ ′1, 2, ,Fuur′n)
≡ Ruur′O
=
n k
k 1
F
=
′
∑ur =
n k
k 1
F
=
∑r = R′uur
Và (m , m , , muur uur1 2 uurn)
=MuurO
O k
k 1
=
∑uur r
Vậy khi thu gọn hệ lực khơng gian về O ta được:
( )
n
k 1 n O
O k
k 1
=
=
∑
∑
uur uur r (3.12)
3 Các b ất biến của hệ lực khơng gian
Từ (3.12) Ta cĩ:RurO =Ruur′=Const
(3.13) Đây là bất biến thứ nhất của hệ lực khơng gian Mặt khác theo định lý biến thiên mơmen chính khi thay đổi tâm thu gọn ta cĩ: O O ( )
O O
Muur ′−Muur =muur uur′ R′
, nhân hai vế với RurO
ta được:
O
M ′
uur
RurO
– MuurO RurO
= muur uurO ′( )R′O
.RuuurO Mà muur uurO ′( )R′O
⊥ RurO
⇒ muur uurO ′( )R′O
.RurO
= 0 nên:
Thay vào ta cĩ MuurO′
RurO
– MuurO RurO
= 0 hay MuurO′
RurO
= MuurO RurO
= const (3.14)
( )
O
uur r
Fr F′
ur
F′′uur
Trang 4Đây là bất biến thứ hai của hệ lực khơng gian: “Tích vơ hướng của mơmen thu gọn và
lực thu gọn của hệ lực khơng gian là một hằng số” Hay “Hình chiếu của mơmen thu gọn lên lực thu gọn là một hằng số”
* Các trường hợp xảy ra:
1 Ruur′O
= 0, MuurO
= 0 ⇔ hệ lực khơng gian cân bằng
2 Ruur′O
= 0, MuurO
≠ 0 ⇔ hệ lực khơng gian tương đương với một ngẫu lực tại O
3 Ruur′O
≠ 0, MuurO
= 0 ⇔ hệ lực khơng gian tương đương với một hợp lực đặt tại O
4 Ruur′O
≠ 0, MuurO
≠ 0 a) Ruur′O
⊥MuurO
⇔ Hệ lực khơng gian tương đương với một hợp lực Rur
bằng vectơ chính R′uur
và cách O một đoạn
O O
M d R
=
′ b) R′uurO
//MuurO :
ü R′uurO
↑↑ MuurO
⇔ Hệ lực khơng gian tương đương với hệ xoắn thuận
ü Ruur′O
↑↓ MuurO
⇔ Hệ lực khơng gian tương đương với hệ xoắn ngược
c) ( O)
O
R ,M′
uur uur
= 2
π
α ≠ ⇒ Hệ lực khơng gian tương đương một hệ xoắn nhưng trục xoắn khơng đi qua tâm thu gọn
Chứng minh:
Phân tích MuurO =MuurO1 +MuurO2
( O)
O
R ,M′
⇒ uur uur
R ,M và M ′ uur uur uur
Theo trường hợp đầu tiên ta
cĩ:
( O)
O 2
R ,M′
uur uur
≡ R′uurO1
với R′uurO1
cĩ điểm
đặt cách O một đoạn
O 2
M d R
=
′
uur Vậy ( O)
O
R ,M′
uur uur
≡( O )
1 O1
M ,R′
uur uur
Rõ ràng đây là một hệ xoắn và
trục xoắn khơng đi qua tâm thu gọn O mà đi qua O1 cách O một khoảng d
III CÁC KẾT QUẢ KHI THU GỌN HỆ LỰC KHƠNG GIAN VỀ TÂM THU GỌN
(CÁC DẠNG TỐI GIẢN CỦA HỆ LỰC KHƠNG GIAN)
1 Định lý Varinhơng
Nếu hệ lực khơng gian cĩ hợp lực thì mơmen của hợp lực đối với một tâm bất kỳ bằng tổng mơmen của các lực thành phần đối với tâm ấy
Trường hợp a
O
uur uur
O
R =R
ur ur
O
R ur
Trường hợp b
O
Muur =Muur
O
O
Rur =Rur
O
uur uur
O
R =R
ur ur
O
Hệ xoắn thuận
Hệ xoắn ngược
O
R′ =R uur ur
O
O
M
uurO 1
M uur
O 2
M uur O
d
O 1
Muur
O1
Ruur′ =Rur
O1
Trang 5( ) n ( )
k 1
=
=∑
uur ur uur r
Chứng minh: Giả sử hệ lực khơng gian cĩ hợp lực Rur
Gọi O1
là điểm nằm trên đường tác dụng của Rur
Theo định lý biến thiên mơmen chính ta cĩ: O O1 ( )
O O1
Muur −Muur =muur uurR′
Dễ dàng thấy MuurO
= 0 nên MuurO
=muur uurO( )R′O1
Mặc khác R′uurO1
= R
ur
⇒MuurO
= muur uurO( )R′O1
O k
k 1
=
2 Các d ạng chuẩn của hệ lực khơng gian
1 R′uur
= 0, MuurO
= 0: Hệ lực khơng gian cân bằng
2 R′uur
= 0, MuurO
≠ 0: Hệ lực khơng gian tương đương với một ngẫu lực (khơng phụ thuộc vào tâm thu gọn)
3 R′uur
≠ 0, O
M
uur = 0: Hệ lực khơng gian tương đương với một hợp lực
4 R′uuurO
≠ 0, MuurO
≠ 0 a) R′uuurO
⊥MuurO : Hệ lực khơng gian tương đương với một hợp lực Rur
bằng vectơ chính R′uur
và cách O một đoạn
O O
M d R
=
′ b) R′uuurO
//MuurO : Hệ lực khơng gian tương đương với một hệ xoắn
c) (R′uuurO
,MuurO ) =
2
π
α ≠ : Hệ lực khơng gian tương đương một hệ xoắn nhưng trục xoắn khơng đi qua tâm thu gọn
IV CÁC DẠNG TỐI GIẢN CỦA CÁC HỆ LỰC ĐẶC BIỆT
1 H ệ lực đồng quy
O k
k 1
=
=∑
=0 ⇒ R 0
′ =
′ ≠
uur uur ⇔ Hệ lực đồng quy cân bằng
Hệ lực đồng quy có hợp lực
2 H ệ ngẫu lực
Vì
n
k
k 1
=
′ =∑ =
nên ⇒
O O
uur uur ⇔ Hệ ngẫu lực cân bằng
Hệ ngẫu lực tương đương với một ngẫu lực
3 H ệ lực song song
Vì
n
k k
k 1
F R // F
=
′
=
∑uur uur r ⇒ O n ( )
O k
k 1
=
′
⇒
( )
O
O
O
= ′=
≠ ′=
= ′≠
uur uur
uur uur
uur uur
⇔
Hệ cân bằng Hệ có ngẫu lực Hệ có hợp lực Hệ có hợp lực không đi qua tâm thu gọn
O
Muur =Muur
R ur
O1
O
O1
R′
uur
Trang 6* Nếu hệ lực song song cùng chiều thì:
n k
k 1
=
′ =∑ ≠
⇔ Hệ cĩ hợp lực
4 H ệ lực phẳng
Lấy tâm thu gọn O trong mặt phẳng tác dụng của hệ lực thì m Fuur urO( )k
⊥Furk
⇒MuurO
⊥R′uur
⇒
( )
O
O
O
= ′=
≠ ′=
= ′≠
uur uur
uur uur
uur uur
⇔
Hệ cân bằng Hệ có ngẫu lực Hệ có hợp lực Hệ có hợp lực không đi qua tâm thu gọn
5 H ệ lực phân bố
Xét một dầm thẳng chịu tác dụng của hệ
lực song song phân bố theo quy luật:
q x lim
x
∆ →
∆
=
∆
( )
q x :Được gọi là cường độ của phân bố
lực trên dầm theo chiều dài
Ta chỉ xét hàm q=q x( ) đơn trị Chia
nhỏ dầm thành n đoạn Xét đoạn dầm ∆xk Hệ
lực phân bố trên ∆xkđược xem như khơng đổi
và tương đương với lực
k k
F = q(x ) x ′ ∆
ur
với xk<x′k <x( ) k 1+ Vectơ chính của hệ lực song song cùng chiều Furk
cĩ giá trị:
R′= n ( )
k k
k 1
q x x
=
′ ∆
∑ Cho n→∞ ta cĩ: R′= n ( )
k k n
k 1
lim q x x
→∞ =∑ ′ ∆
0
R′ =∫q x dx= Diện tích của biểu đồ lực phân bố (3.16)
Mơmen chính của hệ lực đối với điểm O (đầu mút của dầm) sẽ là:
( )
n O
k k k n
k 1
M lim q x x x
→∞ = ′
0
.x.dx
q x
Vậy hệ lực tương đương với hợp lực R′uur
cách O một đoạn:
( ) ( )
l O
0 l 0
.x.dx M
d
R
.dx
q x
q x
′
∫
∫
(3.18)
* Các trường hợp đặc biệt của hệ lực
phân bố:
a Cường độ lực phân bố đều: [q(x) = q0]
l
0 0
.dx q l
0
R=∫q = ;
( )
Fr =q x′ x∆
x
l
k
o
q
l
Trang 72 0 0
l
0 0
l x.dx q
l 2 d
q l 2 dx
0 0
q
q
∫
Vậy hợp lực đặt ra tại điểm giữa của dầm, có trị số bằng diện tích của hình chữ nhật phân
bố lực
b Cường độ lực phân bố tuyến tính: ( ) 0
x
l
l
0
q dx q
l
3 0 0
0
0 0
0
q x.dx
x
q dx
l
×
×
∫
∫
Vậy hệ lực phân bố tam giác có hợp lực bằng
0
l
q
2
R= (Diện tích của tam giác phân bố lực), và cách đỉnh của tam giác phân bố lực một
đoạn bằng d 2l
3
= (qua trọng tâm của tam giác)
V ĐKCB VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CB CỦA HỆ LỰC KHÔNG GIAN
1 Điều kiện cân bằng của hệ lực không gian
Định lý: Điều kiện cần và đủ để cho một hệ lực bất kỳ cân bằng là vectơ chính và
mômen chính đối với tâm bất kỳ của hệ lực ấy đều triệt tiêu
( )
n k
k 1
1 2 n
n O
O k
k 1
, , , 0
=
′ = =
≡ ⇔
∑
∑
ur ur ur
uur uur r (3.19)
2 Các ph ương trình cân bằng của hệ lực không gian
Chiếu hệ (3.19) lên 3 trục toạ độ ta được:
k 1 k 1 k 1
VI ĐKCB VÀ CÁC PT CÂN BẰNG CỦA CÁC HỆ LỰC ĐẶT BIỆT
1 Hệ lực đồng quy Điều kiện cần và đủ để hệ lực đồng quy cân bằng là vectơ
chính của hệ lực triệt tiêu
n k
k 1
=
′ =∑ =
k 1 k 1 k 1
Đối với hệ lực phẳng đồng quy thì số phương trình còn lại 2
2 Hệ ngẫu lực Điều kiện cần và đủ để hệ ngẫu lực (m ,m , ,muur uur1 2 uurn)
cân bằng là ngẫu lực tổng cộng của nó triệt tiêu
l
0
q
Trang 8k
k 1
=
=∑
uur uur
Đối với hệ ngẫu lực phẳng số phương trình cân bằng còn 1
3 Hệ lực song song Điều kiện cần và đủ để hệ lực song song cân bằng là
tổng hình chiếu của chúng trên trục z song song với các lực thành phần và tổng mômen của chúng đối với hai trục vuông góc với nhau x,y (và vuông góc với trục z) triệt tiêu
kz
Đối với hệ lực song song phẳng, số phương trình cân bằng còn hai
4 H ệ lực phẳng
a Dạng 1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu của các
lực trên hai trục toạ độ vuông góc và tổng mômen của các lực đối với điểm O bất kỳ trên mặt phẳng tác dụng của hệ lực triệt tiêu
( )
k 1 k 1 k 1
Chứng minh: Chọn hệ trục Oxyz có Oz vuông góc với mặt phẳng tác dụng lực Các
kz
bằng chỉ còn ba phương trình trên
b Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng mômen của các lực
đối với hai điểm A,B và tổng hình chiếu của các lực trên trục không vuông góc với đoạn
AB triệt tiêu
Chứng minh:
* Điều kiện cần: Dựa vào các dạng chuẩn của hệ lực không gian, nếu các điều kiện trên không thỏa mãn thì hệ lực tương đương với hệ ngẫu lực hoặc có hợp lực nên không thỏa tiên đề 1, nghĩa là hệ lực không cân bằng
* Điều kiện đủ:
n kx
k 1
=
′ =
= ⇒
′≠ ⇒ ′⊥
Giả sử Ruur′ ≠0
và Ruur′ ⊥Ox
Vì Ox không ⊥ AB nên R′uur
không // AB
Mặt khác R′uur
∑ r ∑ r nên theo định lý biến thiên mômen
A B
M −M =m Ruur′ =0
⇒ R′uur phải có đường tác dụng qua A,B
⇒ Mâu thuẫn với R′uur
không // AB ⇒ R′uur
= 0
Từ các điều kiện R′uur
=0, M = M = M = 0uurA uurB uurO
(Điểm O bất kỳ thuộc mặt phẳng tác dụng của lực) ⇒ Hệ lực phẳng cân bằng
c Dạng 3: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng các mômen của các
lực đối với 3 điểm A, B, C không thẳng hàng triệt tiêu
M =∑m Fr = 0; M =∑m Fr = 0theo (3.9) ta có:
Trang 9( )
A B
A B
M −M =m R′uur
=0 ⇒ R 0
R 0 Đường tác dụng qua A,BR
′ =
uur
B C
M −M =m R′uur
= 0 ⇒ R 0
R 0 Đường tác dụng qua B,CR
′ =
uur
Nếu R′uur
≠ 0 và R′uur
đi qua A, B, C ⇒ Điều vơ lý bởi A, B, C khơng thẳng hàng
Nếu R′uur
O A
M −M =m Ruur′ =0
⇒ M =O M =A M =B M = 0, với O bất kỳ C
⇒ Hệ lực phẳng cân bằng
VII PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN TĨNH CÁC BÀI TỐN ĐẶC BIỆT BÀI TỐN
SIÊU TĨNH
1 Ph ương pháp giải bài tốn tĩnh
a Phương pháp giải bài tốn tĩnh:
- Đặt các lực hoạt động vào vật khảo sát
- Giải phĩng các liên kết và thay vào các phản lực liên kết tương ứng, với chiều tuỳ
ý chọn trước
- Xác định loại hệ lực tác dụng lên vật khảo sát
- Viết hệ phương trình cân bằng tương ứng với loại hệ lực
- Giải hệ phương trình
- Đổi lại chiều của các phản lực liên kết nếu chúng cĩ giá trị âm – Biện luận
b Bài tốn hệ vật Điều kiện cân bằng Phương pháp tách vật và hĩa rắn:
1 Ngoại lực và nội lực:
- Ngoại lực, ký hiệu là e
Fr
là các lực do các vật khơng thuộc hệ tác dụng lên các vật thuộc hệ
- Nội lực, ký hiệu là i
Fr , là các lực tác dụng tương hỗ giữa các vật thuộc hệ mà trường hợp riêng là những lực liên kết của các liên kết trong, tức là những liên kết giữa các vật thuộc hệ
Theo tiên đề tác dụng và phản tác dụng ta được:
n
k
k 1
=
′ =∑ =
;
n
k
k 1
=
uur uur
2 Phương pháp tách vật:
Khảo sát hệ vật rắn gồm n vật rắn nằm cân bằng dưới tác dụng của hệ ngoại lực Frek
(k 1= →n) Vì hệ vật rắn cân bằng nên từng vật rắn phải cân bằng áp dụng tiên đề giải phĩng liên kết ta lập được điều kiện cân bằng cho các hệ lực tác dụng lên từng vật
Gọi S : là hệ lực tác dụng lên vật 1 1
S : là hệ lực tác dụng lên vật 2 2
S : là hệ lực tác dụng lên vật k (k k 1= →n )
⇒ R Suur′( )k =0
; O( )
k
Muur S =0
(k 1= →n ) (3.28) Như vậy ta cĩ 6n phương trình cân bằng Giải hệ 6n phương trình này ta sẽ tìm được các phản lực liên kết
3 Phương pháp hố rắn:
Áp dụng tiên đề hố rắn, coi hệ như một vật rắn nằm cân bằng dưới hệ lực (S) Suy ra (S) là hệ ngoại lực Khi đĩ tất cả các nội lực trong hệ lực triệt tiêu nhau
Trang 10( )
R Suur′ =0
; O( )
M S =0
uur
(3.29)
Để giải được bài toán cần phải tách thêm một số vật riêng thích hợp rồi viết phương trình cho các vật này sao cho số ẩn bằng số phương trình
* Nhận xét: Phương pháp hoá rắn chỉ là trường hợp riêng của phương pháp tách vật
Thí dụ: Hai thanh đồng chất AC = 2m, DB=1m, có trọng lượng tương ứng P1 và P2 nối với nhau bằng bản lề như hình vẽ Tại C treo một vật nặng có trọng lượng P Tìm các phản lực liên kết tại A,D và lực liên kết tại B
P = 50 N, P1=10 N, P2=5
N, a=1m
Bài giải:
1) Phương pháp tách
vật:
Giả sử các lực hoạt động
P
ur
,Pur1
,Pur2
(ngoại lực) và các
lực liên kết có chiều như hình
vẽ Xét thanh AC Lực tác
dụng lên thanh AC gồm:
+ Ngoại lực: Pur
,Pur1
,
A
X
ur
,YurA
+ Nội lực: X′uurB
,Y′uurB
Vì thanh OA cân bằng
nên:
(P,P ,X ,Y ,X ,Yur ur ur ur uur uur1 A A ′B ′ ≡B) 0
Đây là hệ lực phẳng cân
bằng nên ta có:
A B
A B 1
′
= − ′− − =
∑
∑
(a) Lực tác dụng lên thanh DB gồm:
+ Ngoại lực:P ,X ,Yur ur ur2 D D
+ Nội lực: X ,Yur urB B
Vì thanh DB cân bằng nên:
(P ,X ,Y ,X ,Yur ur ur ur ur2 D D B B)≡0
Đây là hệ lực phẳng cân bằng nên ta có:
D B
D 2 B
∑
∑
Từ (a) và (b) ta có 6 phương trình với 8 ẩn là: XA, YA, XB, YB, X’B, Y’B, XD, YD
Ta có XB= X’B, YB= Y’B nên hệ phương trình còn lại 6 ẩn
A
D
2
P ur
1
P ur
Pur
C
B
D YurD XurD
A
Yur
A
X
ur
A
2
P ur
B
B
Y ur
B
Xur
B
Xuur′
B
Yuur′
1
P ur
C P ur