Bài tập cơ học đại cương - Phần 1 Cơ học vật rắn - Chương 3 doc

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 : CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN XUNG QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH Áp dụng 1 : Trang 128 Liên kết trụ quay lý tưởng Hoàn chỉnh Vật rắn S được giữ bởi hai trụ quay gần như là điểm

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 : CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN XUNG QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH

Áp dụng 1 : (Trang 128) Liên kết trụ quay lý tưởng (Hoàn chỉnh)

Vật rắn (S) được giữ bởi hai trụ quay gần như là điểm ở A và B sao cho nó

có thể quay quanh trục cố định (AB) trong hệ quy chiếu nghiên cứu Ta giả

thiết rằng các liên kết ở A và B là lý tưởng (hoàn chỉnh) : các tác động cơ

tiếp xúc mà (S) tác dụng lên A và B tương ứng được thu gọn về còn hai

lực : R1 đi qua A và R2 đi qua B

2

R

B

1

R

Tính các phần tử rút gọn tại A của toóc-sơ các tác động cơ tiếp xúc lên (S)

Bài giải :

Tác động cơ tiếp xúc lên vật rắn (S) gồm hệ hai lực( ,R R1 2)khi thu gọn về

điểm A bao gồm :

A

+ Lực thu gọn : R=R1+R2

+ Momne thu gọn : M A tiepxuc, = AA R× +1 AB R× 2 ⇒ M A tiepxuc, =AB R× 2

Ta thấy M A tiepxuc, ⊥ AB : liên kết là lý tưởng

(Ghi chú : Cho hai vật rắn (S) và (Σ) tiếp xúc nhau Tác động cơ tiếp xúc từ (Σ) lên (S) khi thu gọn về điểm I nào đó thông thường bao gồm lực thu gọn R và momen thu gọn Khi đó tác động cơ tiếp xúc từ (Σ) lên (S) được biểu diễn bằng một tóocsơ (

,

I tiepxuc

M

,

( ,R M I tiepxuc)

Tuy nhiên, không phải lúc nào cũng tác động cơ tiếp xúc khi thu gọn về điểm I cũng bao gồm lực thu gọn R và momen thu gọn M I tiepxuc, Trường hợp đặc biệt, khi thu gọn về điểm I, tác động cơ tiếp xúc chỉ còn một lực R hoặc chỉ còn một ngẫu lực M I tiepxuc, )

Aïp dụng 2 (trang 130) : Vô lăng quán tính :

Một vô lăng quán tính (bánh đà) có thể xem như một hình

trụ đồng chất trục( )∆ , momen quán tính đối với trục( )∆ là

J, có thể quay nhờ hai động cơ

Vôl ng

Động cơ

(∆) + Một động cơ chính có công suất lớn dùng để khởi động

vô lăng (làm vô lăng quay từ trạng thái đứng yên)

+ Một động cơ phụ đảm bảo cho vôlăng quay với vận tốc

góc ω0 không đổi khi vô lăng đã được khởi động

1) Cho vô lăng quay Bỏ qua tất cả các ma sát

a) Thừa nhận rằng động cơ chính có cùng công suất P đối với mọi vận tốc góc của động cơ,

2) Khi vôlăng đã đạt được vận tốc làm việcω0, người ta cắt động cơ chính Động cơ phụ chạy tiếp để tránh vô lăng dừng lại do ma sát không thể tránh khỏi ở ổ trục

Xem rằng ma sát đó tương đương với một ngẫu lực có momen (đối với trục quay) không đổi là

- C1 và động cơ tác động một ngẫu lực có momen C t( )=C1+C2cosΩ (Ct 2 và bằng hằng số) Xác định chuyển động quay của vô lăng

Ω

Bài giải : Câu 1 :

a) Công suất P của động cơ bằng hằng số ở mọi thời điểm (cho dù vận tốc góc ω của vô lăng bằng bao nhiêu đi nữa)

Áp dụng định lý động năng cho vô lăng, giữa thời điểm ban đầu t = 0 (ω = 0) và thời điểm

vô lăng đạt vận tốc góc ω0 (t = t1) :

int 0

t ext

t

0 0

1 2

t t t t

t t

= =

= =

1

2Jω = Pt ⇒ 02

1

1 2

J t

P

ω

= ⇒

b) Gọi C0 là ngẫu lực do động cơ chính tác động lên vô lăng : C0 = hằng số

Ngẫu lực này có công suất là P khi vôlăng có vận tốc góc làm việc làω0, do đó : C0ω0 = P

Áp dụng định lý về momen động lượng đối với trục quay (∆) :

( ext) ⇒

i i

dL

dt

∆

∆

Tích phân (1) từ t0 đến t2 (tại t = 0, ω = 0 ; tại t = t2, ω = ω0) :

2 2

0

t t t t

=

t t

t

ω ω ω ω

=

2 0

J t C

ω

2

J t P

ω

2 21

t = t

Như vậy để khởi động bánh đà nhanh hơn, nên thao tác theo nhiều tốc độ (lúc đầu đưa từ 0 đến ω01, sau đó từ ω01 đến ω0) để tận dụng công suất của động cơ kéo bánh đà

Câu 2 :

Áp dụng định lý về momen động lượng cho vô lăng đối với trục quay (∆) :

1 ( )

Jω= − +C C t ⇒ Jω= − +C1 C1+C2cosΩ t ⇒ J d C2cos

⇒ ∫Jdω=∫C2(cosΩt dt) ⇒ Jω=C2 sinΩ +t A

Lấy gốc thời gian là lúc dộng cơ phụ bắt đầu chạy : tại t = 0 thì ω = ω0

0 sin

C

Jω= Ω +t Jω

2

0 sin

C

t J

Ω

(Ghi chú : Ta thấy để độ biến thiên 0 C2 sin t

J

ω ω ω

Ω của vận tốc góc càng bé khi

momen quán tính của vô lăng phải càng lớn Từ đó thấy rõ tác dụng của vô lăng hay còn gọi là bánh đà là làm cho chuyển động của máy được đều hơn)

Áp dụng 3 - Chuyển động quay quanh trục của một hình trụ có dằn :

Trên một hình trụ đồng nhất tâm O, khối lượng M, bán kính R, momen quán tính đối với trục

2

J= MR , có gắn ba khối điểm giống nhau A, B , C có khối lượng m (A, B, C nằm trên

cùng một mặt phẳng đi qua trục hình trụ) Hình trụ quay

với vận tốc góc ω không đổi quanh trục thẳng đứng của

nó, trục này cố định trong hệ quy chiếu trái đất giả sử là

Galilée Tất cả các liên kết được xem như không có ma

sát

z 2R

O

C

1) Có cần phải dùng một động cơ để kéo nhằm giữ cho

vận tốc góc không đổi ?

2) a) Tính lực thu gọn và momen thu gọn về điểm O của các tác động cơ tiếp xúc tác dụng

lên vật rắn

b) Các kết quả trên sẽ như thế nào nếu tháo bỏ khối điểm tại C ?

Bài giải : Câu 1 :

Xét hệ (S) gồm hình trụ và ba khối điểm A, B, C

Gọi M dc =M dc.e z là momen của động cơ tác dụng lên hệ (S) Gọi là hệ quy chiếu gắn liền với hệ (S) sao cho mặt phẳng ( ,

( ,O e xs,e ys, )e z

, )

xs z

O e e trùng với mặt phẳng ABC

+ Động lượng của hệ (S) :P=m Cv( )=mR eω ys

+ Momen động lượng của hệ (S) đối với điểm O : L0 =(J+3mR2)ωe z+mRh eω x s

(Ghi chú : Xem lại bài tập 6, trang 42, chương Chuyển động quay của vật rắn Động lượng

P=m C =mR eω chính là do khối điểm tại C gây ra)

+ Hệ ngoại lực tác dụng lên hệ (S) :

Trọng lượng Mg ; trọng lượng 3mg của 3 khối điểm A, B, C; momen M dc của động cơ ; tác động cơ tiếp xúc khi thu gọn về điểm O thuộc trục quay Oz : ( ,R M O tiepxuc, ) Do liên kết trụ quay là không có ma sát nên :M O tiepxuc, ⊥Oz

Áp dụng định lý về momen động lượng của hệ (S) đối với điểm cố định

O i i

dL

dL

O i dc z O tiepxuc i

M F =M e +M +OC mg×

∑

Chiếu (1) lên trục Oz : Không cần dùng động cơ để kéo hệ nhằm giữ cho hệ có vận tốc góc ω không đổi

0

dc

A

B

C O

z

e

xs

e

ys

e g

dc

M

x

e

Câu 2 :

a) Áp dụng định lý về dộng lượng của hệ (S), ta có : i ext

i

dP

F

dP

i i

F =Mg+ mg+R

⇒ −mRω2e xs =Mg+3mg+R

e

Chiếu lên phương e xs,e ys, z, ta có :

2

0

0 ( 3 )

xs

ys

z

R

M m g R

ω

⎪ =

⎨

⎩

⇒

2 0 ( 3 )

xs ys z

R mR R

ω

⎧ =

⎪ =

⎨

⎪ = − +

Áp dụng định lý về momen động lượng của hệ (S) đối với điểm cố định O :

2

ys O tiepxuc ys

O tiepxuc ys

(Ghi chú : Thành phần mgRe ys là do khối điểm tại C gây ra)

b) Khi tháo bỏ khối điểm ở gắn tại C : P= và 0 2

L = J+ mR ωe Suy ra :

0 0 ( 2 )

xs

ys

z

R

R

⎧ =

⎪ =

⎨

⎪ = − +

⎩

hay : R= −(M +2 )m g

Và :L0 =(J +3mR2)ωe z ⇒ dL O 0

dt =

⇒ Định lý về momen động lượng của (S) đối với O cho ta : M O tiepxuc, = 0

Áp dụng 4 : Phản lực trên trục của một con lắc :

Một con lắc khối lượng m, khối tâm G, có thể

quay tự do chung quanh một trục nằm ngang Oz

Con lắc được thả không vận tốc đầu từ vị trí nằm

ngang ( 0

2)

π

θ = Hãy tính theo θ, giá trị của hợp

lực R của các tác động cơ tiếp xúc tác dụng lên

trục quay của con lắc Với giá trị nào của θ, giá trị

nói trên là cực đại ?

x

G

mg

θ

⊕

y O

z

e

Bài giải :

Áp dụng định lý về động lượng của con lắc đối với

i i

dP

⇒ ma G( )=mg+R với G là khối tâm của con lắc

y

O

x

G

mg

θ

⊕

R

,

O tiepxuc

M ⊥Oz

xs

e

ys

e

z

e

sin 0

xs ys z

R

⎪

⎨

⎪ =

⎩

sin 0

xs ys z

R

⎪

⎨

⎪ =

⎩ Áp dụng định lý động momen động lượng của con lắc đối với trục Oz :

Oz Oz

J θ =M ⇒ Jθ = −mgasinθ (1)

Tích phân hệ thức (1) theo t : 1 2

cos

2Jθ =mga θ ⇒ 2 2mgacos

J

J

2

2

xs

ma

J

sin sin

= − + = sinθ⎛−ma2 +1⎞

R cực đại khi : θ = 0, khi đó :

2 max

2

1

ma

J

Áp dung 5 (Trang 135) Khởi động vôlăng bằng một rôto :

Một rôto (S1) và một vô lăng (S2) có thể quay không ma sát xung quanh một trục chung nằm ngang (zz’) (S1) quay đều với vận tốc góc ω0 (S2) đứng yên Gọi J1 và J2 lần lượt là momen quán tính của (S1) và (S2) đối với trục (zz’)

Vào thời điểm t cho trước, ta cho đĩa D1 tiếp xúc với đĩa D2 (đĩa D1 gắn cứng với S1, đĩa D2 gắn cứng với S2) Sau một khoảng thời gian nhất định nào đó, do ma sát giữa đĩa D1 và đĩa D2, rôto và vôlăng cùng quay với vận tốc góc ω

1) Xác định ω

2) Viết biểu thức cân bằng năng lượng giữa hai thời điểm đầu và thời điểm cuối

S2

D2

D1

S1

Bài giải : Câu 1 :

Xét hệ (S1, S2) gồm rôto (S1) và vôlăng (S2) Tác động cơ tiếp xúc lên trục quay thu gọn về A thuộc trục zz’ bao gồm lực R và M A tiepxuc, Do liên kết là lý tưởng (không ma sát) :M A tiepxuc, ⊥zz'

Momen của các ngoại lực tác động lên hệ đối với trục quay zz’ bằng 0 ⇒ momen động lượng của hệ đối với trục quay zz’ được bảo toàn Momen động lượng tại t = 0 : J1 0ω , momen động lượng tại t đang xét : (J1+J2)ω ⇒ J1 0ω =(J1+J2)ω ⇒ 1 0

1 2

J

J J

+

Câu 2 :

Aïp dụng định lý động năng cho hệ (S1) và (S2) trong lhoảng thời gian từ t0 đến t đang xét :

int 0

t ext

t

2 J +J ω −2Jω =W masat Với : W masat là tổng công của các tác động cơ tiếp xúc từ đĩa (D1) lên đĩa (D2) và từ đĩa (D2)

1 2

1

0 2

masat

J J W

J J ω

= − <

Bài tập 1 (Trang 137) : Dao động của một con lắc nghiêng :

Một vật rắn AOBC, hình chữ T, khối lượng m, khối tâm G có thể quay không ma sát quanh trục AOB nghiêng một góc α so với trục nằm ngang

(trong hệ quy chiếu trái đất giả sử là Galilê) Hình vẽ

mô tả vị trí cân bằng của vật rắn trong mặt phẳng

thẳng đứng (AO = OB ; OG = b) Momen quán tính

của vật rắn đối với trục AOB bằng J Tính chu kỳ T

của các dao động nhỏ của vật rắn (hay con lắc)

B

C

G

•

•

α A

O

Bài giải :

cho : nằm trong mặt phẳng thẳng đứng chứa trục quay;

( , ,e e x y e z) ( , )e e x y e nằm ngang và vuông góc với z

trục quay Thanh OC sẽ chuyển động trong mặt phẳng xOz Gọi θ là góc giữa OC và trục Ox Áp dụng định lý về momen động lượng của con lắc đối với trục quay AOB :

( ext)⇒

AB

AB i

i

dL

Với : OG

cos 0

sin

b

b

θ θ

⎧

⎪

= ⎨

⎪−

⎩

;

cos sin 0

g

α α

⎧

⎪

= −⎨

⎪

⎩

;

0 1 0

y

e

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

⇒ Jθ = −mbgcos sinα θ

(Ghi chú :

(

i

0

mbg J

α

(nhỏ) theo dạng hình sin với chu kỳ : 2

cos

J T

mbg

π

α

=

G

•

α

A

O

O

y

G

•

z

@ Bài tập 4 (Trang 137) : Dao động của một cái cân :

Hình vẽ mô tả sơ đồ của một chiếc cân tiểu ly Đòn cân khối lượng m có thể chuyển động quay không ma sát quanh một trục nằm ngang Oz đi qua O (trong hệ quy chiếu trái đất giả sử là Galilê) Khi đòn cân ở vị trí cân bằng, khối tâm G của nó nằm cách O một khoảng a trên đường thẳng đứng đi qua O Momen quán tính của đòn cân đối với trục qua G và song song với Oz bằng J Các đĩa cân có khối lượng M, được treo trên hai mút A và B của đòn cân (các điểm A, C, B thẳng hàng và OA = OB =

b) Các đĩa cân có thể quay không ma

sát quanh các trục nằm ngang qua A và

B và song song với trục Oz, nhờ đó khi

chuyển động, các khối tâm của hai đĩa

cân luôn luôn nằm trên các đường thẳng

đứng qua các điểm A và B

g

b

B

b

O

A

Tính chu kỳ T của các dao động nhỏ

của hệ quanh vị trí cân bằng

Bài giải :

Cách 1 : Phương pháp định lý momen động lượng :

Xét hệ (S) gồm hai đĩa cân và đòn cân Xét hệ tại vị trí mà đòn cân hợp với đường thẳng nằm ngang một góc bằng α Ta cần viết phương trình chuyển động cho hệ

+ Ta có : L O =(J+ma2)αe z +OG1×M Gv( )1 +OG2×M Gv( 2)

Chiếu lên trục Oz (nhân với e z) : L Oz =(J+ma2)α +⎡⎣OG1×M Gv( )1 +OG2×M Gv( )2 ⎤⎦ e z

(Ghi chú :

+ Đòn cân quay quanh trục Oz cố định, nên L O =L O//+L O⊥ với L O// = Ω = Ω và J J e z L O⊥ = 0

vì vật rắn phẳng qua O và vuông góc với trục Oz ⇒ 2

O doncan z

+ Đĩa cân 1 chuyển động tịnh tiến tròn nên : L O dia, 1=OG1×M Gv( )1 +L G diacan*1, 1 với

do đĩa cân 1 là cố định trong hệ quy chiếu khối tâm

*

1, 1 0

G diacan

L = ⇒ L O dia, 1=OG1×M Gv( )1 )

Các đĩa chuyển động tịnh tiến tròn, nên : v( ) v( )G1 = A ; v( ) v( )G2 = B

eα

O

G

B

G2

G1

A

r

z

e

⊕

1

v( ) v( )G = A

α

L = J+ma α +⎡⎣OG ×M A +OG ×M B ⎤⎦ e

Tương tự : ⎡⎣OG2×M Bv( )⎤⎦e z =Mb2α Suy ra : L Oz =(J+ma2)α+2Mb2α

J ma Mb

dt = + + )α

Oz i i

M F = −mg α

∑

+ Áp dụng định lý về momen động lượng của hệ (S) đối với trục Oz cố định:

( ext)

Oz

Oz i

i

dL

dt =∑ ⇒ (J +ma2+2Mb2)α = −mg ins α

trí cân bằng với chu kỳ :

(J +ma +2Mb )α+mgα =0 ⇒

T

mg

Cách 2 : Phương pháp năng lượng :

K

E = J+ma α + m G + m G

+ Động năng của hệ (S) :

2 ,

1

2

K doncan

E = J+ma α2 ;

Áp dụng định lý Koenig về động năng cho đĩa 1 : , 1 1 2 1 , 1

Mv ( ) 2

*

K dia

K dia

2

)

Đĩa 1 chuyển

động tịnh tiến ⇒ trong hệ quy quy chiếu khối tâm, đĩa 1 cố định : *, 1 0)

K dia

Suy ra : E K =(J +ma2+2Mb2 α

+ Do thế năng của tập hợp hai đĩa không thay đổi trong quá trình chuyển động thế năng của hệ bằng thế năng của đòn cân :

⇒

cos

P

E = −mag α+hangso + Do bỏ qua tất cả các ma sát ⇒ cơ năng toàn phần của hệ đượng bảo toàn :

K P

E=E +E =hangso⇒ (J+ma2+2Mb2)α2−magcosα =hangso

Lấy đạo hàm hai vế, ta có : (J+ma2+2Mb2)α+mgsinα = 0

trí cân bằng với chu kỳ :

T

mg

(Ghi chú : Áp dụng định lý động năng cho hệ (S) : int ext

lần lượt là công của nội lực và của ngoại lực Công

int

i i

W

∑

ext

i

i

W

i i

W

∑ của nội lực trong hệ (S) chính là tổng công của các tác động cơ tiếp xúc giữa các đĩ a cân và đòn cân Do bỏ qua tất cả các ma sát nên iint tiepxuc 0 Ngoại lực chỉ gồm có lực trọng trường nên công

i

Tài liệu tham khảo :

[1] Cơ học vật rắn, Năm thứ hai, MP-MP*-PC-PC*-PT-PT*, Hachette Supérieure, Nxb Giáo

dục Hà Nội 2002

[2] Mécanique des solides, Deuxième année, MP-MP*-PC-PC*-PT-PT*, Hachette

Supérieure, 1999

[3] Lơng Duyên Bình (chủ biên), Vật lý đại cơng, Tập I : Cơ- Nhiệt, Nxb Giáo dục Hà Nội

1998