Bài tập cơ học đại cương - Phần 1 Cơ học vật rắn - Chương 2 docx

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 TIẾP XÚC GIỮA HAI VẬT RẮN-ĐỊNH LUẬT VỀ MA SÁT @ Áp dụng 1: Trang 98 Chuyển động của hình lập phương trên mặt phẳng nghiêng: Một hình lập phương khối lượng m được hất l

BÀI TẬP CHƯƠNG 2 TIẾP XÚC GIỮA HAI VẬT RẮN-ĐỊNH LUẬT VỀ MA SÁT

@ Áp dụng 1: (Trang 98) Chuyển động của hình lập phương trên mặt phẳng nghiêng:

Một hình lập phương khối lượng m được hất lên với vận tốc

ban đầu v0 (v0 > 0), dọc theo đường dốc chính của một mặt

phẳng nghiêng một góc α so với mặt phẳng ngang

g

N

T mg

α

C

x

y

O Xác định chuyển động của hình lập phương này (chuyển

động tịnh tiến dọc theo đường dốc chính (Ox) của mặt phẳng

nghiêng) theo các giá trị khác nhau của v0 Cho biết hệ số ma

sát trượt giữa khối vuông và mặt phẳng nghiêng là f

Băi giải :

Ngoại lực tâc dụng lín vật rắn bao gồm : Trọng lượng mg, Tâc động cơ lín khối vuông tại chỗ tiếp xúc : R=T e x+Ne y với T vă N lă giâ trị đại số : N > 0 (Vật rắn chuyển động tịnh tiến, nín ma sât lăn vă ma sât xoay không xuất hiện)

Âp dụng định lý về động lượng ( ( ) e

i i

α α

⎧

Lúc đầu, khối vuông đi lín trín mặt phẳng nghiíng, T hướng xuống dưới : T > 0 vă T = f.N

Từ (2) suy ra : N = mgcosα ⇒ T = fN =mgf.cosα

g

N

T mg

C

α

0

v

x

y

O

Thay văo (1) ta có : x=g(sinα + f cos )α

⇒ v= − +ν0 g(sinα+ f cos )α t

0

1

2

(Ghi chú : Điều kiện ban đầu: t = 0 ⇒ x=0;x= − ) ν0

Vận tốc khối vuông bằng 0 tại thời điểm t0 với :

) cos (sin

0

ν

f g

t

+

=

Tại t = t0, khối vuông dừng lại vă có xu hướng chuyển động đi xuống trín mặt phẳng nghiíng nín hướng lín trín : T < 0 Kể từ thời điểm t = tT 0, khối vuông vẫn đứng yín, nếu như:

N f

N

Từ (1) vă (2) suy ra : T tg

− = ⇒ tgα ≤ =f tgϕ ⇒ α ≤ ϕ Ngược lại, nếu α ϕ> hay tgα > f thì : T = f N (bởi vì nếu T < f N , ta sẽ suy ngược lại rằng α ϕ< , điều năy trâi với giả thiết) ⇒ T = −f N = −f mg cosα

Từ (1) suy ra gia tốc của khối của khối vuông :

) cos

g

2

1 )

x

x= + α − α : Khối vuông chuyển động đi xuống nhanh dần đều

@ Áp dụng 2: (Trang 99) Cân bằng của vật rắn trên mặt đất :

Một vật rắn đồng chất, có dạng hình khối chữ nhật, các cạnh

là 2a và 2b, khối lượng m, khối tâm G, nằm yên trên mặt đất

nằm ngang Một người muốn dịch chuyển vật rắn bằng cách

kéo một sợi dây (buộc tại một điểm H trên vật rắn và nằm

trong mặt phẳng trung bình đi qua khối tâm G sao cho OH =

h) tác dụng lên vật rắn một lực F nằm ngang Hệ số ma sát

trượt giữa mặt đất và vật rắn là f

H 2a

h

G

O

g

Người kéo không kéo đủ mạnh và vật rắn vẫn đứng yên

Chứng minh rằng các tác động cơ tiếp xúc giữa vật rắn và mặt đất suy biến thành một lực R tác dụng lên điểm một I (thuộc mặt phẳng trung bình của vật rắn) nằm trên mặt phẳng tiếp xúc giữa mặt đất và vật rắn)

Cường độ của lực F phải thỏa mãn những điều kiện nào để vật rắn thực sự đứng yên trên mặt đất ?

Băi giải :

⊕

F

mg

N

T

I

H 2a

R

2b

h

O x

x

y

Vì bề mặt tiếp xúc giữa mặt đất vă vật rắn lă lớn Không thể bỏ qua ma sât lăn vă xoay Tâc động cơ tại chỗ tiếp xúc giữa vật ắn vă mặt đất khi thu gọn về điểm tiếp xúc I năo đó thuộc mặt phẳng trung bình bao gồm :

⇒ r

R=T e +Ne vă M I tiepxuc, (N > 0, T > 0) Ngoại lực tâc dụng lín khối vuông bao gồm : Trọng lượng mg, lực kĩo , tâc động cơ tại điểm tiếp xúc I :

F

R=T e +Ne vă M I tiepxuc, Khi vật rắn cđn bằng, ta có :

+ Tổng câc ngoại lực tâc dụng lín vật rắn bằng 0 :

0

=

⎧

⎩ Trong đó : T ≤ fN ⇒ F≤ fN = fmg

+ Momen câc ngoại lực tâc động lín khối vuông đối với điểm I bằng 0 :

,

0

Để hệ lực ( ,R M I tiepxuc, ) suy biến thănh một lực R thì phải có : M I tiepxuc, = 0

23

Với N =mg và M I tiepxuc, =0, từ (2) suy ra : (x−a mg) +hF=0⇒ h

mg

F a

⇒ Tác động cơ tại chỗ tiếp xúc, khi thu gọn về điểm tiếp xúc I có tọa độ h

mg

F a

x= − sẽ suy biến thành một lực là R

mg

F a

x= − thuộc bề mặt tiếp xúc thì phải có : 0≤x≤2a Bất đẳng thức

trên thỏa mãn khi a F h 0

mg

h

Tóm lại : Với

h

mga

F ≤ , tác động cơ tiếp xúc từ mặt đất lên vật rắn suy biến thành một lực đặt tại điểm I có tọa độ

mg

F a

x= − và thuộc bề mặt tiếp xúc

(Ghi chú :

+ Trường hợp giới hạn : T = fN ⇒ F = fN = fmg ⇒ x a fmg h

mg

= − ⇒ x= −a fh ⇒ điểm I nằm tại có tọa độ x0 : x0 = −a fh Trường hợp T ≤ fN thì F ≤ fN = fmg ⇒ x≥x0⇒ điểm

I nằm trong khoảng I0A

⊕

F

mg

N

T

H

2b

2a

R

G P

h

O

x0

x

y

+ Gọi P là giao điểm của F và m g : Ta

(3) (4)

(1)

mga F

h

=

F = fmg

(2) fmg

2b

h

F

tg hϕ

⇒ tg PI PQ( 0, )=tgϕ ⇒ (PI PQ0, )= ϕ

Mặt khác, trong trường hợp giới hạn

trên phương PIo hay nói khác đi R đi qua

điểm P)

Để khối vuông thực sự đứng yên trên

mặt đất, phải có điều kiện :

+ Khối vuông không trượt so với mặt đất :

F = ≤T fN = fmg ⇒ F≤ fmg (3)

+ Khối vuông không lật quanh cạnh qua O,

nghĩa là nó còn cân bằng và liên kết của nó

với mặt đất vẫn tồn tại (tức lă âp lực N vẫn tồn tại : N ≥0 hay M O( ) 0N ≥ )

Suy ra :

( ) 0

ext

i

O

⎪

⎨

⎩

⇒ Fh−mga≤0 ⇒

h

mga

Hệ hai bất đẳng thức trín có thể giải bằng đồ thị như trín hình vẽ : Vùng (1) : Vật rắn trượt không lật trín mặt đất.Vùng (2) : Vật rắn vừa trượt vừa lật trín mặt đất

Vùng (3) : Vật rắn không trượt, chỉ lật trín mặt đất

Vùng (4) : Vật rắn không trượt không lật trín mặt đất (vật rắn thực sự cđn bằng )

@ Áp dụng 3: (Trang 101): Khởi động của người đi xe đạp:

Một người đi xe đạp khởi động trên một mặt đường nằm ngang: Hệ quy chiếu trái đất được xem là Galilée Người đi xe đạp được xem như là

một vật rắn gắn liền với xe đạp (bỏ qua khối lượng

của đôi chân đang chuyển động) Gọi m là tổng

khối lượng của người và xe đạp Hai bánh xe là

giống nhau, có bán kính R và có khối lượng không

đáng kể Khối tâm G của hệ người-xe được xác

định bới các khoảng cách a, b và h Gọi f là hệ số

ma sát giữa các bánh xe và mặt đất (bỏ qua các ma

sát khác) và n là tỉ số giữa số răng (nombre de

dents) của đĩa xích và của líp (roue-libre) ớ bánh

sau

g

G

y O

⊗

⊕

x h z

Momen Γ của ngẫu lực mà người đi xe tác động vào đĩa xích phải bằng bao nhiêu để các bánh

xe không bị trượt trên mặt đất ?

Bài giải :

Phản lực của mặt đất tâc dụng lín mỗi bânh xe:

Với : N K >0;k =1, 2; TK lă giâ trị đại số (bỏ qua câc ma sât khâc)

Để bânh xe không trượt trín mặt đất, phải có : T k ≤ f N k (1)

Ta cần xâc định T1, T2, N1, N2 vă thay văo biểu thức (1), từ đó sẽ có kết luận

Xĩt cơ hệ gồm người + xe Ngoại lực tâc dụng lín hệ : Trọng lượng , câc âp lực vă lực

ma sât từ mặt đất tâc dụng lín hai bânh xe : T T

mg

1, ,2 N N1, 2

Âp dụng định lý về động lượng cho hệ người + xe đạp ( ( ) k

i i

dP

⇒ ma G( )= + +T1 T2 N1+N2 +mg

Chiếu lín hai trục x vă z : 1 2

0

= +

⎧

⎨ = + −

25

Áp dụng định lý về momen động lượng đối với khối tâm CK của mỗi bánh xe, trong hệ

/ *

*

(

K

K

C

i R

dL

dt

=

K

i

L =∑C M ×m =0(vì bỏ qua khối lượng của các bánh xe)

1

0

T R

T R

= − + Γ

⎧

⎨ = −

2 1

0

T R T

= − + Γ

⎧

⎨ =

⎩ Trong đó Γ’ là momen tác động lên bánh sau, tạo nên bởi momen Γ do người đi xe tác động lên bàn đạp : '

n

Γ

Γ =

g

G

y O

⊗

⊕

mg

' Γ Γ

1

T

2

T

2

z

x h

(Ghi chú : Lực căng trên dây xích :

dia xich lip

t

D

Z

n Z

Γ

Ddia xich, Dlip lần lượt lừ đường kính của đĩa xích và của líp; Zdia xich, Zlip lần lượt là số răng của đĩa xích và của líp)

1

0 0

T R n T

Γ

⎧ = − +

⎪

⎨

⎪ =

⎩

(3)

Áp dụng định lý về momen động lượng đối với khối tâm G của hệ người + xe, trong hệ quy chiếu khối tâm :

ext / *

*

(

G

i R

dL

dt

=

⎝ ⎠ ∑ ) với : L G*=L G*(nguoi+khungxe)+L G*(cacbanhxe)= 0

(Ghi chú : Do người + khung xe chuyển động tịnh tiến so với mặt đất, nên sẽ cố định trong

hệ quy chiếu khối tâm, do đó : L G*(nguoi+khungxe) 0= Mặc khác, do bỏ qua khối lượng

i

L cacbanhxe =∑GM ×m i i = )

⇒ 0 N b T h N a= 2 − 2 − 1 Giải hệ phương trình (2), (3) và (4) :

Từ (2), suy ra : N1=mg N- 2

Từ (3), suy ra : T2

Rn

Γ

=

Thay văo (4), suy ra : 0 N b2 h N a2 mga

Rn

Γ

Γ

Điều kiện (1) được viết như sau : 1 1

( ) ( )

⎪

⎨

≤

⎪⎩

Do T1 = 0 ⇒ (a) luôn thỏa mên ⇒ Để câc bânh xe không trượt trín mặt đất, phải có :

2

T ≤ fN2hay : 2

2

T f

N ≤ (lưu ý rằng lực hướng theo phương chiều trục Ox)

Với : T2

Rn

Γ

Γ

2 2

f

N Rnmga h

Γ +

+ Γ

Bảng biến thiín của 2

2

T

2

T N

Γ

1

f

2

f

gh

Γ

a b h

+

0

2

2

T

N

∞

a b h

+

Đồ thị biểu diễn sự biến thiín của 2

2

T

N theo Γ như trín hình vẽ

Từ đó suy ra :

h

b a

f < + = : Để câc bânh xe không trượt trín mặt đất, phải có 2

2

T f

N ≤ tức lă phải có : Γ < Γgh với :

gh

Rnmgaf

Γ =

h

b a

f > + = : Ta luôn luôn có 2

2

T f

N ≤ ⇒ Câc bânh xe luôn luôn không trượt trín mặt đất dù Γ bằng bao nhiíu đi nữa

@ Aïp dụng 4: (Trang 104) Tạo chuyển động của thanh bằng cam:

Xét một cơ cấu dùng để biến đổi chuyển động

quay thành chuyển động tịnh tiến qua lại

27

r

I

x

y

g

O

C θ ω= t

Cam

Giá cố định

Cần Một thanh hình trụ (gọi là cần), khối lượng m

có thể trượt không ma sát theo phương thẳng

đứng trong một khung cố định (gọi là giá)

Chuyển động của cần được điều khiển bởi một

bánh hình tròn (gọi là cam) có bán kính là R (R

nhỏ hơn bán kính r của cần), có tâm là C Cam

quay với vận tốc góc ω không đổi xung quanh

một trục nằm ngang lệch tâm cố định, đi qua điểm O của cam và cách tâm C một khoảng là a Điểm O nằm trên trục thẳng đứng của cần Hệ số ma sát giữa cam và cần là f

Tính công của các tác động cơ tiếp xúc giữa cam và cần trong một vòng quay của cam theo m,

ω, R, a, f và gia tốc trọng trường g

Bài giải :

Cơ cấu cam trong băi tập năy có tín gọi lă cơ cấu cam cần đẩy đây bằng, được dùng để đóng

mở soupape xả vă nạp trong động cơ đốt trong

Tâc động cơ tiếp xúc từ cam lín cần :

I

O

C θ ω= t

1

N

N

y

R=T e +Ne vă từ cần lín cam − = −R T e x−Ne y với

N vă T lă câc giâ trị đại số

(Ghi chú : Cam vă cần tiếp xúc theo đường, đồng thời

đđy lă băi toân phẳng bỏ qua ma sât xoay vă ma sât

lăn)

⇒

R

Tổng công suất của câc lực vă −R tâc dụng tại

điểm tiếp xúc I : P=T.vg

với lă vận tốc trượt của cần trín

cam

v =v(I ) v(I− )

Tìm vg :

Cam quay trục Oy cố định ⇒ v(Icam)=θe z×OI

cos sin 0

ω ω

=

⎧

⎪

⎪

⎩

cam

0

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

Cần chuyển động tịnh tiến theo phương Oy ⇒ Vận tốc tại mọi điểm trín cần đều bằng nhau

vă bằng v(I )can : can

0

0

⎧

⎪

=⎨ =

⎪

⎩

0

⎧

⎪

⎪

⎩ Tìm T :

Giữa cam vă cần có trượt ⇒ T = f N (1)

Âp dụng định lý về động lượng đối với cần ( ( ) ext

i i

dP

⇒ ma G( )=mg+ +T N (bỏ qua ma sât giữa cần vă giâ)

Chiếu lín trục Oy : my= −mg+N ⇒ N =mg+my ⇒ N =m g( −ω2asinωt)

Giả sử cam vă cần luôn tiếp xúc nhau trong suốt quâ trình chuyển động : N ≥0 ⇒

2

g≥aω ⇒ N =N=m g( −aω2sinωt)

(Ghi chú : Để cam vă cần luôn luôn tiếp xúc với nhau trong quâ trình chuyển động, trong

thực tế người ta dùng lực phục hồi của lò xo)

Lực ma sât T ngược chiều với vg Thế mă vg =ω( sina ωt+R e) x với a < R nín

( sina t R) 0

ω ω + > ⇒ ngược chiều với evg x ⇒ T ngược chiều với e x ⇒ T =−T

Biểu thức (1) trở thănh : − =T fN = fm g( −ω2asinωt) ⇒ T =T e x = −fm g( −ω2asinωt e) x Tóm lại: P= −ω( sina ωt+R fm g) ( −aω2sinωt)

Công của câc tâc động cơ tiếp xúc từ cam lín cần vă từ cần lín cam, trong 1 vòng quay của cam :

2 2

2

W Pdt fm a t R g a t dt

(Ghi chú : Bởi vì : 2

g ≥aω vă a > R ⇒ 2 2 2

gR≥aω R>a ω ⇒ W < 0 : Điều năy phù hợp với chứng minh ở phần lý thuyết : Tổng công của câc tâc động cơ tiếp xúc từ cam lín cần vă

từ cần lín cam luôn luôn nhỏ hơn hay bằng 0)

BÀI TẬP CÓ GIẢI

@ Bài 1: (Trang 108): Hình trụ trên mặt phẳng nghiêng:

Một hình trụ, đồng chất, khối tâm C, bán kính R,

momen quán tính đối với trục của nó là 1 R2

2

J = m , được đặt không có vận tốc đầu trên một mặt phẳng

nghiêng một góc α so với mặt phẳng nằm ngang, trong

hệ quy chiếu trái đất (R) xem là Galilée Trục của hình

trụ là nằm ngang

i

z

x α

⊕

⊕

O

y

Gọi f là hệ số ma sát trượt giữa hình trụ và mặt phẳng

nghiêng

1) Xác định gia tốc x của hình trụ Chứng minh rằng hiện tượng trượt có xảy ra hay không tùy theo giá trị của góc α so với một giá trị α nào đó mà ta cần xác định

2) Sử dụng định lý về độ biến thiên động năng, hãy viết biểu thức cân bằng năng lượng của hình trụ giữa các thời điểm 0 và t Xét cả hai trường hợp α > α0 và α < α0

Băi giải :

Cđu 1 :

Lực tâc dụng lín hình trụ gồm : Trọng lực mg; phản lực R từ mặt phẳng nghiíng tâc dụng lín hình trụ : R= −T e x+Ne z với T > 0 vă N > 0

(Ghi chú : Bỏ qua momen ma sât lăn vă momen ma sât xoay Âp lực N luôn hướng theo

chiều Oz, hình trụ có xu hướng trượt xuống trín mặt phẳng nghiíng nín lực ma sât T hướng ngược chiều trục Ox)

Âp dụng định lý về động lượng đối với hình trụ ( ( ) iext

i

dP

⇒ mg T e− x+Ne z =ma C( )

Chiếu lín Ox vă Oy : sin

α α

⎧

Âp dụng định lý về momen động lượng của hình trụ đối với khối tđm C trong hệ quy chiếu

/ *

*

(

C

i R

dL

dt

=

⎝ ⎠ ∑ ) với : L C* =L C//*+L C⊥*=L C//*=J e.θ y

(Ghi chú : L C//*=J CΩ =J.θe y vă L C⊥* 0= do vật rắn lă vật rắn phẳng nằm trpng mặt phẳng qua G vă vuông góc với trục Gz)

2

Vận tốc trượt của hình trụ trín mặt phẳng nghiíng :

29

vg =v(I hinhtru) v( )= C + Ω×CI ⇒ vg =v( )C +θ.e y×C I

⇒ vg =xe x+θ.e y× −( Re z)=xe x−R eθ x ⇒ vg = −(x R eθ) x

a) Trường hợp hình trụ lăn không trượt :

Hình trụ lăn không trượt khi : vg =0 ⇒ x−Rθ =0 ⇒ x=Rθ (3)

Từ (1), (2) và (3), suy ra : 2 sin

3

x= g α

Mặc khác, để hình trụ lăn không trượt, phải có : T ≤ f N hay : T ≤ fN (4)

T = m Rθ = m x ⇒ 1

sin 3

T = mg α

Từ (1) ⇒ N =mgcosα

Bất đẳng thức (4) trở thành : sinα cosα

3

1

fNmg

mg ≤ ⇒ tgα ≤3f =tgα0 Hình trụ lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng nếu như α ≤α0, với tgα0 =3f

y

x

z

α

⊕

⊕

N

T

( )

a G

I

O

b) Trường hợp hình trụ vừa lăn vừa trượt :

Nếu α >α0 hình trụ sẽ vừa lăn vừa trượt trên mặt phẳng nghiêng vg ≠0

Khi đó T = fN = fmgcosα

Thay T vào (1) ⇒ x=g(sinα− f cos )α

Thay T vào (2) ⇒ 2fgcos

R

α

θ =

Câu 2:

Độ biến thiên động năng của hình trụ trong khoảng thời gian từ 0 đến t:

E t −E =E t = mx + Jθ

Công của ngoại lực tác động lên hình trụ trong khoảng thời gian từ 0 đến t:

g

hinhtru

W =mgx α+∫ dt=mgx α+∫ dt

(Ghi chú : mgxsinα là công của trọng lực;

0

t hinhtru dt

∫ là công của lực lực tác dụng lên hình trụ tại chỗ tiếp xúc)

¾ Khi α α< 0, vg =0 ⇒ W =mgxsinα

Theo định lý về động năng : 0t

K noiluc ngoailuc

∆ = + với : W noiluc = ; 0 W ngoailuc =W

sin

Với x=Rθ ⇒ 1 2 1 2

sin

sin

4mx =mgx α (4)

(Ghi chú : Đạo hăm hai vế của biểu thức (4), ta tìm lại được gia tốc của hình trụ :

3

sin

2

3

g

x= )

¾ Khi α α> 0, vg = −x Rθ

Mă : x=g(sinα − f cos )α ⇒ x=g(sinα− f cos )α t

vă : 2fgcos

R

α

R

α

θ =

(chú ý điều kiện ban đầu: ) t=0⇒x=0;θ =0

Suy ra : vg =g(sinα− f cos )α t−2fgcosαt

⇒ vg =g(sinα−3 cosf α)t

Từ đó : W

g

mgx α T dt mgx α fmg α g α f α tdt

2

W =mgx α− fmg α α− f α t

Theo định lý về động năng : 0t

K noiluc ngoailuc

2

@ Bài 2: (Trang 110): Lăn không trượt của đĩa hình bán nguyệt trên mặt phẳng:

Xét một đĩa bán nguyệt (D) đồng chất, tâm C, khối tâm G, bán

kính R, khối lượng m Hệ quy chiếu trái đất (O; x,y,z) được

xem như là Galilée Tất cả đều nằm trong mặt phẳng thẳng

đứng (Oxy) Đĩa (D) lăn không trượt trên mặt phẳng nằm

ngang (Oxz) Gọi I là điểm tiếp xúc giữa mặt đất và đĩa (D)

Vị trí của đĩa (D) được xác định bằng hoành độ x của tâm C và

góc Cho CG = b = 4R/3π Momen quán tính

của đĩa (D) đối với trục qua tâm C và vuông góc với đĩa (D) là:

(CI CG,

α =

y

O

C

G

I

g

i

α

x

)

2

1 2

J = m R Hãy xác định phương trình chuyển động của đĩa (D) bằng nhiều phương pháp khác nhau

1) Các quan hệ động học:

a) Thiết lập quan hệ giữa x và α mô tả chuyển động lăn không trượt

b) Biểu diễn các thành phần của vận tốc và gia tốc khối tâm G theo b, α và các đạo hàm của chúng

2) Phương pháp thứ nhất: Phương pháp năng lượng:

a) Tính động năng EK của đĩa D theo J, m , b và α

b) Tính thế năng trọng trường của đĩa (D)

c) Suy ra một nguyên hàm của chuyển động; sau đó thiết lập phương trình vi phân bậc hai đối với α (đưa vào phương trình các thông số sau : J, R, b và m)

3) Phương pháp thứ hai: Phương pháp cổ điển:

a) Viết định lý tổng hợp động lực (résultante dynamique) (hay định lý về động lượng)

31