BÀI 3 : MÔ HÌNH NHIỀU PHƯƠNG TRÌNH pdf

Giả sử ta sẽ sử lý mỗi phương trình của hệ nhiều phương trình một cách riêng rẽ, tức là xem mỗi phương trình là một mô hình một phương trình và ước lượng các tham số của nó bằng phương p

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội

2 Dạng cấu trúc và dạng rút gọn của các mô hình nhiều phương trình

Phương trình (3) là điều kiện cân bằng, qua đó xác định mức giá cân bằng và lượng gạo được giao dịch trên thị trường Như vậy hệ

phương trình đồng thời nói trên bao gồm hai phương trình hành vi

và một điều kiện cân bằng

Các phương trình (1) (2) và (3) tạo nên hệ phương trình cấu trúc của mô hình nhiều phương trình cung cầu

Phương trình cấu trúc là phương trình thể hiện quan hệ của các biến kinh tế thiết lập từ các quan điểm, định nghĩa và các giả thiết cho trước Các hệ số hồi quy  và  gọi là các tham số cấu trúc

Vì giá và lượng gạo giao dịch được xác định một cách đồng thời qua mô hình và có tác động qua lại với nhau nên chúng được gọi là các biến nội sinh (Endogenous Variables ), còn thu nhập và lượng mưa không được xác định qua mô hình mà được cho trước từ bên ngoài mô hình nên chúng được gọi là các biến ngoại sinh ( Exogenous variables)

Chú ý rằng trong các mô hình một phương trình người ta thường dùng thuật ngữ biến phụ thuộc và biến giải thích còn đối mô hình nhiều phương trình thì các thuật ngữ đó không còn thích hợp nữa Chẳng hạn trong phương trình (1) nói trên giá là biến giải thích nhưng không phải là biến ngoại sinh

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội

Ví dụ 2 Xét mô hình kinh tế vĩ mô sau đây:

và DYt ( M = 4)

Biến DYt-1 là thu nhập khả dụng ở kỳ trước, ở thời điểm t nó đã

được cho trước giống như Yt-1 nên có thể xem như biến ngoại sinh Vậy mô hình có năm biến ngoại sinh là Gt, Tt, Yt-1, DYt-1 và hệ số chặn (

K = 5)

Trong các hệ phương trình cấu trúc còn có thể có cả các phương trình công nghệ, chẳng hạn có thể thêm vào mô hình kinh tế vĩ mô nói trên hàm sản xuất trong đó tổng lượng cung Q phụ thuộc vào vốn

K và lao động L

Như vậy hệ phương trình cấu trúc có thể bao gồm các phương

trình hành vi, phương trình công nghệ, các điều kiện cân bằng và các

I là đầu tư thuần túy

G0 là mức tiêu dùng của chính phủ ( đã ấn định)

T là thuế

Yd là tiêu dùng khả dụng

R là lãi suất tiền gửi

Ví dụ 4: Mô hình cân bằng thị trường tiền tệ

( Mô hình LM)

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội

Là một vế của mô hình kinh tế vĩ mô IS-LM:

2 2

1 1

3 2

3 3

2 1 1

3 2 5

3 2 6

Các phương trình trên được gọi là các phương trình rút gọn, còn các hệ số  được gọi là các hệ số rút gọn Như vậy phương trình rút gọn là phương trình mà trong đó mỗi biến nội sinh chỉ có mặt trong một phương trình với tư cách là biến phụ thuộc Nó cho phép sử dụng

các kỹ thuật kinh tế lượng để ước lượng trực tiếp các tham số Các tham số trong mô hình rút gọn thường là hàm số của các tham số cấu trúc Các phương trình rút gọn nói chung chứa sai số ngẫu nhiên của tất cả các phương trình của hệ phương trình cấu trúc

Bài tập: Tìm hệ phương trình rút gọn của hệ phương trình cấu trúc (4) - (7)

3 Hậu quả của việc bỏ qua tính đồng thời

Giả sử ta sẽ sử lý mỗi phương trình của hệ nhiều phương trình một cách riêng rẽ, tức là xem mỗi phương trình là một mô hình một phương trình và ước lượng các tham số của nó bằng phương pháp OLS Lúc đó các ước lượng thu được sẽ có những tính chất gì?

Xét mô hình kinh tế vĩ mô sau đây ( Mô hình Keynes):

t

u

(13)

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội

Tương tự thay Ct từ (13) vào (12) và giải theo Yt ta thu được dạng rút gọn của Yt:

1

It +



 1

E(ut) = 0 và E(ut,Yt) = 0

Song từ (14) thấy ngay rằng Yt phụ thuộc vào ut do đó nếu áp dụng OLS thì sẽ cho các ước lượng chệch Điều đó cũng đúng với các mô hình nhiều phương trình hơn

Tính đồng thời ám chỉ rằng các biến nội sinh có mặt trong vế phải của phương trình sẽ tương quan với sai số ngẫu nhiên của phương trình đó làm cho các ước lượng OLS bị chệch

Ngoài ra còn có thể chứng minh được rằng các ước lượng thu được cũng không vững, tức là sẽ không hội tụ về giá trị thực cần ước lượng khi n  

4 Vấn đề định dạng

4.1 Khái niệm

Trở lại mô hình cung cầu về gạo Dạng rút gọn (8) và (9) biểu diễn

gía và cung, cầu như các hàm của thu nhập và lượng mưa Vì các biến ngoại sinh không tương quan với sai số ngẫu nhiên nên có thể áp

dụng OLS để thu được các ước lượng không chệch, vững và hiệu quả nhất cho các tham số của hệ phương trình rút gọn ( các ) Vậy từ đó

có thể tìm được các ước lượng vững cho các tham số của các phương trình cấu trúc (  và  ) hay không? Sau khi đã tìm được ước lượng cho các tham số của phương trình rút gọn và quay trở lại các tham số của phương trình cấu trúc thì có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau

đây:

 Từ các tham số của phương trình rút gọn không thể tìm được các tham số của phương trình cấu trúc

 Từ các tham số của phương trình rút gọn tìm được các giá trị duy nhất của các tham số của phương trình cấu trúc

 Từ các tham số của phương trình rút gọn tìm được vô số giá trị của các tham số của phương trình cấu trúc

Vấn đề định dạng được hiểu là từ các tham số của phương trình rút gọn có thể tìm được các tham số của phương trình cấu trúc hay không?

Trường hợp thứ nhất, phương trình gọi là không định dạng được ( Underidentification)

Trường hợp thứ hai, phương trình gọi là định dạng đúng ( Exact Identification)

Trường hợp thứ ba, phương trình gọi là định dạng cao hay vô định ( Overidentification)

Sau đây ta sẽ xét một số mô hình cung cầu để minh hoạ cho các tình huống trên

Mô hình 1 Xét mô hình cung cầu gạo sau:

QD t = 1 + 2 Pt + u1t (Phương trình cầu)

QS t = 1 + 2 Pt + u2t (Phương trình cung)

Qdt = Qst (điều kiện cân bằng)

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội

Nhóm theo Pt

Mô hình rút gọn có dạng:

Pt = 1 + t Trong đó:

Thay pt vào hàm cung hoặc hàm cầu, ta được:

Qt = 2 + wt Trong đó: 2 =

2 2

1 2 2 1

β

β β

1t 2 2t 2

β α

u β u α





ở mô hình cung - cầu ban đầu ta có bốn hệ số cấu trúc: 1, 2, 1 và

2 ở dạng rút gọn ta chỉ có hai hệ số - hai hệ số chặn (giá trị trung bình của p và Q) Từ ước lượng của hai hệ số này, ta không thể tìm

được ước lượng của bốn hệ số Để tìm được ước lượng của bốn hệ số ta cần phải có bốn phương trình

Như vậy, Cả hàm cung lẫn hàm cầu đều không định dạng được vì

từ các tham số của các phương trình rút gọn không thể tìm được các tham số của các phương trình cấu trúc

Mô hình 2 Ta cải biên mô hình 1 thành mô hình sau, trong đó có thêm

một biến ngoại sinh R

1 1 1

3 2

1 2 1 2 3

3 2 4

Với mô hình này, hàm cầu hoàn toàn xác định (định dạng đúng), còn hàm cung thì không Lý do hàm cầu xác định chính là đã có thêm biến R giải thích sự thay đổi của hàm cung và từ đó, giá cả chỉ còn chức năng giải thích cho hàm cầu, nhưng cho dù như vậy, mô hình vẫn không xác định

Trong mô hình hai phương trình, nếu một phương trình bỏ sót một biến thì nó định dạng được Chẳng hạn ở mô hình 2, vì hàm cầu

không chứa biến lượng mưa nên nó định dạng được

Điều kiện tương tự cũng phải được thoả mãn trong các mô hình nhiều phương trình

Mô hình 3 Bây giờ ta thêm vào mô hình trên một biến thu nhập Y để

có mô hình sau:

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội

2 2

1 1

3 2

3 3

2 1 1 2

3 2 5

3 2 6

)(

3 6 2

5 1 4

6 1 4

Đây là nghiệm duy nhất của hệ trên, cả hai phương trình đều xác

định với các tham số duy nhất (định dạng đúng)

Mô hình 4: Xét mô hình sau:

Qdt = 1 + 2Pt + u1t

Qst = 1 + 2Pt + 3Rt + 4Wt + u2t

Qdt = Qst

Ta có các phương trình rút gọn:

Pt = 1 + 2Rt + 3Wt + 1t

Qt = 4 + 5Rt + 6Wt + 2t Trong đó :

2 2

1 1

3 2

4 3

2 1 1

3 2 5

4 2 6







 , tương tự như vậy, các tham số khác cũng không xác định duy nhất

Pt : Vô định

Qt : Không định dạng được

4.2 quy tắc định dạng

Để xác định khả năng định dạng của hệ phương trình cấu trúc, người ta sử dụng hai loại điều kiện là:

+ điều kiện bậc (Order condition)

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội

+ điều kiện hạng (Rank condition)

Điều kiện bậc chỉ là điều kiện cần chứ không phải là điều kiện đủ, tức là nếu điều kiện bậc không thoả mãn thì mô hình không định dạng được Tuy nhiên việc thoả mãn điều kiện cần cũng chưa đảm bảo

là mô hình sẽ định dạng được Điều kiện hạng vừa là điều kiện cần vừa là điều kiện đủ

Điều kiện bậc

Điều kiện này áp đặt lên từng phương trình

Gọi: g là số biến nội sinh của mô hình; m là số biến có trong mô hình (cả nội sinh và ngoại sinh) nhưng vắng mặt tại phương trình đang xét Khi đó:

- Mô hình 4 có g=3 và phương trình cầu có m=3 phương trình này vô

định

Ngoài ra, điều kiện cần còn có thể phát biểu bởi hai mệnh đề tương

đương như sau:

Gọi: G- số biến nội sinh của mô hình

g - số biến nội sinh ở một phương trình đã cho

K - số biến ngoại sinh trong mô hình

k - số biến ngoại sinh ở một phương trình đã cho

Nếu K - k = g -1, thì phương trình được định dạng đúng

Nếu K- k > g -1 biến, thì phương trình là vô định

Điều kiện hạng

Trong một mô hình có G phương trình, một phương trình là định dạng được khi và chỉ khi có ít nhất một định thức cấp (G -1)*(G -1)

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội

khác không, được xây dựng từ hệ số của các biến (nội sinh và ngoại sinh) không có mặt trong phương trình nhưng chứa trong các phương trình khác của hệ.

Trong thực tế, để áp dụng các điều kiện trên có thể tiến hành qua một ví dụ như sau:

(3) a3 b3

So sánh các giá trị ai và bi theo quy tắc trên để có kết luận về điều kiện bậc cho mỗi

phương trình Với mô hình trên, ta có kết quả sau:

Số biến ngoại sinh Số biến nội sinh Được định

Điều kiện hạng: Để phương trình (1) được định dạng thì phải tìm được

ít nhất một định cấp 3*3 khác không được tạo bởi các biến không có mặt trong (1) Ta lấy hệ số của Y4 , X2 và X3 trong (2), (3) và (4):

0 22 0

0 32 0

1 0 43

Dễ dàng chỉ ra rằng, định thức trên bằng không Như vậy, phương trình (1) không định dạng được (vì không còn một định thức nào khác), mặc dù theo điều kiện bậc thì nó định dạng đúng Điều đó có nghĩa là nếu nó định dạng được (theo điều kiện đủ) thì nó sẽ định dạng đúng Tương tự, có thể thấy phương trình (2), (3) không định dạng được còn phương trình (4) định dạng được

Như vậy, điều kiện hạng cho biết khi nào một phương trình định dạng được, còn điều kiện bậc cho biết khi nào được định dạng đúng, khi nào thì vô định

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội

Chú ý: Chúng ta đưa ra các khái niệm định dạng được và định dạng

đúng hay vô định để chỉ điều kiện một phương trình định dạng được

và khi phương trình này đã định dạng được thì có thể nó đượ c định

đạng duy nhất hay không duy nhất Quy tắc pahỉ định dạng hạng

trước xem Phương trình nào định dạng được phương trình nào không Sau đó mới áp dụng định dạng điều kiện bậc

Ví dụ: Xét tính định dạng của các phương trình trong mô hình sau:

(1) 0 0 đúng

Hãy xét điều kiện hạng

5 Tính đồng thời của các phương trình cấu trúc - Kiểm định Hausman về tính tự tương quan giữa biến giải thích và sai số ngẫu nhiên

Nếu mô hình với nhiều phương trình nhưng chúng độc lập với nhau chỉ là một phép ghép cơ học, có thể ước lượng riêng biệt

Tuy nhiên, trong thực tế thì trong mô hình có nhiều phương trình,

có thể tồn tại hiện tượng tương quan giữa một biến giải thích và sai

số ngẫu nhiên, do biến giải thích ở phương trình này có thể lại là biến phụ thuộc ở phương trình khác, như vậy xảy ra tình trạng tác

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội

tượng này Có thể trình bày thủ tục này trên một mô hình cụ thể sau

đây:

Xét mô hình:

Yt = 1 + 2Zt + u1t

Yt = 1 + 2Zt + 3Xt + u2tTrong đó: Y và Z là các biến nội sinh, X là biến ngoại sinh và giả sử các sai số u1 , u2 thoả mãn các giả thiết của mô hình cổ điển Dễ dàng thấy mô hình trên định dạng đúng

Vấn đề là hãy kiểm định quan hệ tương quan của Z và các sai số ngẫu nhiên, kiểm định tính không tương quan của Z với u1 thực chất là kiểm định tính không đồng thời của phương trình 1 trong hệ hai phương trình nói trên

Z     

Nhờ OLS, ta nhận được:

t t 2 1

Zˆ   

Bước 2: Ước lượng hồi quy mở rộng

t t t 2 1

Y       

Kiểm định giả thiết  = 0 nhờ kiểm định T với (n-k) bậc tự do, nếu giá

trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định vượt quá giá trị tới hạn, ta bác

bỏ giả thiết Z và u1 độc lập và chấp nhận giả thiết đối

Trường hợp có nhiều biến Z, ta thực hiện bước 1 đối với mỗi biến, sau

đó tiến hành kiểm định thu hẹp hồi quy với hai mô hình sau: (chẳng hạn, có Z1 và Z2)

Yt 12Z1 t 3Z2 t ut

Yt  1 2Z1 t  3Z2 t  1vˆ1 t  2vˆ2 t  wt

Ví dụ: Một vài mô hình điển hình

Trong phần này, ta xét một vài mô hình cùng với khả năng định dạng và một vài mô hình với các kiểm định Hausman

Ngoại sinh M, I, const

để quy về một bên là Rt(nội sinh) và bên kia là Mt, It, const (ngoại sinh))

Yt tìm được tương tự bằng cách thay Rt ở LM vào IS.

Hồi quy tìm ra Rt mũ, Vt mũ = resid

Tính Rf : Vào Forcast,

Có resid

LM: Rt = 1 + 2Mt + 3Yt + 4Mt-1 + u1t

Yt=

Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội

(1-) Hiệu lực của hệ thống thuế với xuất khẩu gạo ở Thái Lan Các biến nội sinh:

Q t : Tổng sản phẩm trong nước của các cơ sở xay xát gạo,

P dt : Giá gạo bán buôn của các cơ sở xay xát,

C t : Tổng chi tiêu cho mặt hàng gạo,

X Tht : Mức gạo xuất khẩu từ Thái Lan,

P wt : Giá xuất khẩu,

P et : Giá sau khi khấu trừ bảo hiểm xuất khẩu

Các biến ngoại sinh:

W t : Tỷ lệ % diện tích mất màu năm t,

P ct-1 : Chỉ số trễ của giá các loại ngũ cốc quy đổi thành gạo,

t: Biến xu thế (1951=1),

Y t : Thu nhập quốc dân,

I at : Tổng lượng gạo xuất khẩu theo luật 480 U.S ngoài khối lượng xuất khẩu từ Nhật Bản

I bt-1 : Chỉ số đầu tư sản phẩm gạo của sáu nước nhập khẩu gạo năm trước,

g t : Tỷ lệ xuất khẩu gạo từ Thái Lan so với hiệp định của các chính phủ,

D t : Biến giả nhận giá trị 1 trong khoảng năm 1951 đến 1955 và nhận giá trị 0 ở các năm khác,

 S t : Sản lượng gạo tăng trong năm t,

T t : Chi phí (thuế) bảo hiểm xuất khẩu,

P nt : Chỉ số giá các mặt hàng thay thế gạo trong tiêu dùng

Mô hình được phân tích nhờ số liệu 1951-1972

Mô hình:

Tổng cung: Q t = a 10 + a 11 Q t-1 + a 12 P dt-1 + a 13 P et-1 + a 14 W t + u 1t

Hàm tiêu dùng: C t = a 20 + a 21 C t-1 + a 22 t + a 23 P nt + a 24 Y t + b 21 P dt + u 2t