Sơ đồ khảo sát hàm số

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax3

+ bx2 + cx + d ( a 0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 1: y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và hệ số a > 0 Trường hợp 2: y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và hệ số a < 0

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên:

– Chiều biến thiên:

y' 3ax2 2bx c

2

Xét dấu y’ (trong trái, ngoài cùng hoặc khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu a)

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; )x và 1 ( ;x2 )

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;x x 1 2)

– Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = x1 ; yCĐ = y(x1)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = x2 ; yCT = y(x2)

– Giới hạn:

xlim y – Bảng biến thiên:

y

yCĐ

yCT

 Đồ thị:

– Giao với trục Oy: x = 0 y = y(0)

– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)

– Bảng giá trị:

(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của

đồ thị như hình vẽ Đồ thị nhận điểm I(x3; y(x3)) làm tâm đối xứng)

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên:

– Chiều biến thiên:

y' 3ax2 2bx c

2

Xét dấu y’ (trong trái, ngoài cùng hoặc khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu a)

Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;x x1 2) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; )x và 1 ( ;x2 ) – Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = x2 ; yCĐ = y(x2) Hàm số đạt cực tiểu tại x = x1 ; yCT = y(x1) – Giới hạn:

xlim y ;

xlim y – Bảng biến thiên:

y

yCT

yCĐ

 Đồ thị:

– Giao với trục Oy: x = 0 y = y(0)

– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)

– Bảng giá trị:

(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của

đồ thị như hình vẽ Đồ thị nhận điểm I(x3; y(x3)) làm tâm đối xứng)

O

x

y

x2

yCĐ

x1

yCT

I

O

x

y

x 2

yCĐ

x1

yCT

I

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax3

+ bx2 + cx + d ( a 0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 3: y’ = 0 có 1 nghiệm (nghiệm kép) và hệ số a > 0 Trường hợp 4: y’ = 0 có 1 nghiệm (nghiệm kép) và hệ số a < 0

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên:

– Chiều biến thiên:

y' 3ax2 2bx c

y' 0 3ax2 2bx c 0 x x0(nghiệm kép) (lưu ý nên sử dụng MTBT)

y' 0, x (Vì =0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x x 0 )

Hàm số đồng biến trên R

– Cực trị:

Hàm số không có cực trị

– Giới hạn:

xlim y ;

xlim y – Bảng biến thiên:

 Đồ thị:

– Giao với trục Oy:

x = 0 y = y(0)

– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)

– Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x0)

y y(x1) y(x2) y(x0) y(x3) y(x4)

(lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị)

(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x0 và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị

như hình vẽ Đồ thị nhận điểm I(x0; y(x0)) làm tâm đối xứng)

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên:

– Chiều biến thiên:

y' 3ax2 2bx c

y' 0 3ax2 2bx c 0 x x0(nghiệm kép) (lưu ý nên sử dụng MTBT)

y' 0, x (Vì =0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x x 0 )

Hàm số nghịch biến trên R – Cực trị:

Hàm số không có cực trị – Giới hạn:

xlim y ;

xlim y – Bảng biến thiên:

y

y(x0)

 Đồ thị:

– Giao với trục Oy:

x = 0 y = y(0)

– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)

– Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x0)

y y(x1) y(x2) y(x0) y(x3) y(x4)

(lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị)

(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x0 và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ Đồ thị nhận điểm I(x0; y(x0)) làm tâm đối xứng)

I

O

x

y

y(x0)

)

x0

O

x

y

y(x0)

)

x0

I

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax3

+ bx2 + cx + d ( a 0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 5: y’ = 0 vô nghiệm và hệ số a > 0 Trường hợp 6: y’ = 0 vô nghiệm và hệ số a < 0

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên:

– Chiều biến thiên:

y' 3ax2 2bx c

y' 0 3ax2 2bx c 0(vô nghiệm) (lưu ý nên sử dụng MTBT)

y' 0, x (Vì <0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x)

Hàm số đồng biến trên R

– Cực trị:

Hàm số không có cực trị

– Giới hạn:

xlim y ;

xlim y – Bảng biến thiên:

y

 Đồ thị:

– Giao với trục Oy:

x = 0 y = y(0)

– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)

– Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x0 = –b/3a)

y y(x1) y(x2) y(x0) y(x3) y(x4)

(lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị)

(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x0 và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị

như hình vẽ Đồ thị nhận điểm I(x0; y(x0)) làm tâm đối xứng)

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên:

– Chiều biến thiên:

y' 3ax2 2bx c

y' 0 3ax2 2bx c 0(vô nghiệm) (lưu ý nên sử dụng MTBT)

y' 0, x (Vì <0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x)

Hàm số nghịch biến trên R – Cực trị:

Hàm số không có cực trị – Giới hạn:

xlim y ;

xlim y – Bảng biến thiên:

y

 Đồ thị:

– Giao với trục Oy:

x = 0 y = y(0)

– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)

– Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x0 = –b/3a)

y y(x1) y(x2) y(x0) y(x3) y(x4)

(lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị)

(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x0 và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ Đồ thị nhận điểm I(x0; y(x0)) làm tâm đối xứng)

I

O

x

y

y(x0)

)

x0

I

O

x

y

y(x0)

)

x0

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax4

+ bx2 + c ( a 0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 1: y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và hệ số a > 0 Trường hợp 2: y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và hệ số a < 0

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên:

– Chiều biến thiên:

y' 4ax3 2bx 2 (2x ax2 b)

0

0

0

2 2

x

x a

Xét dấu y’ (khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với hệ số a)

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( x0;0) và ( ;x0 )

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; x0) và (0;x 0)

– Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = y(0)

Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 ; yCT = y( x0 )

– Giới hạn:

xlim y ;

xlim y – Bảng biến thiên:

y

yCT

yCĐ

yCT

 Đồ thị:

– Giao với trục Oy:

x = 0 y = yCĐ

– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)

– Bảng giá trị:

(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt;lưu ý dáng điệu của đồ thị

như hình vẽ Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng)

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên:

– Chiều biến thiên:

y' 4ax3 2bx 2 (2x ax2 b)

0

0

0

2 2

x

x a

Xét dấu y’ (khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với hệ số a)

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; x0) và (0;x 0) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( x0;0) và ( ;x0 ) – Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = x0 ; yCĐ = y( x0 ) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = y(0) – Giới hạn:

xlim y ;

xlim y – Bảng biến thiên:

y

yCĐ

yCT

yCĐ

 Đồ thị:

– Giao với trục Oy:

x = 0 y = yCT

– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)

– Bảng giá trị:

(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng)

O

x

y

yCĐ

-x0

yCT

x0

O

x

y

yCĐ

-x0

yCT

x0

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax4

+ bx2 + c ( a 0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 3: y’ = 0 có duy nhất 1 nghiệm x = 0 và hệ số a > 0 Trường hợp 4: y’ = 0 có duy nhất 1 nghiệm x = 0 và hệ số a < 0

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên:

– Chiều biến thiên:

y' 4ax3 2bx 2 (2x ax2 b)

y' 0 2 (2x ax2 b) 0 x 0 (lưu ý nên sử dụng MTBT)

Xét dấu y’ (khoảng bên phải cùng dấu với hệ số a)

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; )

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0)

– Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT = y(0)

– Giới hạn:

xlim y ;

xlim y – Bảng biến thiên:

y

yCT

 Đồ thị:

– Giao với trục Oy:

x = 0 y = yCT

– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)

– Bảng giá trị:

(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm Cực tiểu và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của

đồ thị như hình vẽ Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng)

 Tập xác định: D = R

 Sự biến thiên:

– Chiều biến thiên:

y' 4ax3 2bx 2 (2x ax2 b)

y' 0 2 (2x ax2 b) 0 x 0 (lưu ý nên sử dụng MTBT) Xét dấu y’ (khoảng bên phải cùng dấu với hệ số a)

Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ) – Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; yCĐ = y(0) – Giới hạn:

xlim y ;

xlim y – Bảng biến thiên:

y

yCĐ

 Đồ thị:

– Giao với trục Oy:

x = 0 y = yCĐ

– Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT)

– Bảng giá trị:

(Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm Cực đại và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng)

yCT

O

x

y

yCĐ

O

x

y

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = (ax+b)/(cx+d) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 1: D = ad – bc > 0 Trường hợp 2: D = ad – bc < 0

 Tập xác định: D \ d

c

 Sự biến thiên:

– Chiều biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng d

c

c

– Cực trị: Hàm số không có cực trị

– Tiệm cận:

lim

d

x

c

d x c

c là tiệm cận đứng

x

a y

c

x

a y c

lim đường thẳng y a

c là tiệm cận ngang

– Bảng biến thiên:

 Đồ thị:

– Giao với trục Oy:

x = 0 y = b/d

– Giao với trục Ox:

y = 0 x = –b/a

– Lập bảng giá trị tìm 1 số điểm

mà đồ thị hàm số đi qua (nếu cần)

Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I(–d/c; a/c) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

(Vẽ hệ trục Oxy; vẽ 2 đường tiệm cận; lấy điểm đặc biệt; vẽ 1 nhánh của đồ thị,

rồi lấy đối xứng nhánh đó qua tâm I ta được nhánh còn lại; dáng điệu của đồ thị như

hình vẽ trên; lưu ý đến tính đối xứng qua tâm I để vẽ hình được chính xác và đẹp)

x d

c

y’ + +

y a

c

a

c

 Tập xác định: D \ d

c

 Sự biến thiên:

– Chiều biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng d

c

c

– Cực trị: Hàm số không có cực trị – Tiệm cận:

lim

d x c

d x c

y đường thẳng x d

c là tiệm cận đứng

x

a y c

x

a y c

lim đường thẳng y a

c là tiệm cận ngang

– Bảng biến thiên:

 Đồ thị:

– Giao với trục Oy:

x = 0 y = b/d – Giao với trục Ox:

y = 0 x = –b/a

– Lập bảng giá trị tìm 1 số điểm

mà đồ thị hàm số đi qua (nếu cần)

Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I(–d/c; a/c) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

(Vẽ hệ trục Oxy; vẽ 2 đường tiệm cận; lấy điểm đặc biệt; vẽ 1 nhánh của đồ thị, rồi lấyđối xứng nhánh đó qua tâm I ta được nhánh còn lại; dáng điệu của đồ thị như hình vẽ trên; lưu ý đến tính đối xứng qua tâm I để vẽ hình được chính xác và đẹp)

x d

c

y’ – –

y

a

c

a

c

“GIÁO VIÊN: LƯU CÔNG HOÀN – TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI ”

TCN

I

TCĐ

y

TCN I

TCĐ

y