SKKN rèn LUYỆN kỹ NĂNG KHẢO sát hàm số PHÂN THỨC NHẤT BIẾN CHO học SINH TRUNG BÌNH

PHẦN 1 : LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số có tầm quan trọng đặc biệt, là cơ sở để ứng dụng đạo hàm vào các bài toán khác; vì vậy hiểu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị : THPT XUÂN THỌ

Mã số : ………

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG KHẢO SÁT HÀM SỐ PHÂN THỨC NHẤT BIẾN CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH

Người thực hiện: Nguyễn Bá Tuấn

Lĩnh vực nghiên cứu:

- Phương pháp dạy học bộ môn : Toán 

Có đính kèm:

 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học : 2012 – 2013

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên : Nguyễn Bá Tuấn

2 Ngày tháng năm sinh : 09 – 10 – 1968

3 Nam, nữ : Nam

4 Địa chỉ : 139 Hồ Thị Hương, TX Long Khánh, Đồng Nai

5 Điện thoại : (CQ)/ 0613 870299 (NR); ĐTDĐ :

6 Fax : E-mail: nb_tuan@yahoo.com

7 Chức vụ : Tổ trưởng tổ Toán – Tin

8 Đơn vị công tác : THPT Xuân Thọ

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: Kỹ sư , Cử nhân

- Năm nhận bằng : 1991 / 2005

- Chuyên môn đào tạo : Cơ khí / Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm : nghiên cứu và giảng dạy toán

Số năm có kinh nghiệm : 07

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

 Thực hành ứng dụng Cabri 3D v2 vào giải một số bài toán hình học không gian lớp 11

PHẦN 1 : LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số có tầm quan trọng đặc biệt, là cơ sở để ứng dụng đạo hàm vào các bài toán khác; vì vậy hiểu sâu sắc, chắc chắn những kiến thức này là một yêu cầu quan trọng của chương trình Giải tích 12

Mặt khác, theo cấu trúc đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh đại học, cao đẳng, câu 1 bao giờ cũng là bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Vì vậy, chúng tôi lựa chọn viết chuyên đề này nhằm giúp các em học sinh rèn luyện kỹ năng khảo sát hàm số phân thức nhất biến, tích lũy một số kiến thức căn bản, từ đó nâng cao kết quả học tập của các em

PHẦN 2: TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

I CƠ SỞ LÝ LUẬN :

Bắt đầu chương trình Giải tích 12, học sinh được học ứng dụng của đạo hàm vào các vấn đề liên quan đến khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Để học tốt chương này, học sinh cần nắm vững các kiến thức về : xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, giới hạn, tính liên tục của hảm số, đạo hàm…

Trong nội dung chương trình Giải tích lớp 12 chuẩn, học sinh chỉ học khảo sát ba dạng hàm số : hàm bậc ba, hàm trùng phương và hàm phân thức nhất biến (bậc nhất trên bậc nhất) Hai dạng hàm số đa thức, việc khảo sát tương tự nhau Riêng đối với hàm phân thức nhất biến, đối với học sinh trung bình và yếu, các em gặp rất nhiều khó khăn trong việc tính đạo hàm, tính các giới hạn để tìm tiệm cận Vì thế, chúng tôi

lựa chọn viết chuyên đề “Rèn luyện kỹ năng khảo sát hàm số phân thức nhất biến cho học sinh trung bình” nhằm giúp các em học sinh ấy rèn luyện kỹ năng để làm

tốt các bài toán khảo sát hàm số phân thức nhất biến, khi đã khảo sát tương đối thuần thục, các em sẽ tiếp cận được các bài toán khó hơn liên quan đến đồ thị hàm số phân biến, những bài toán này thường có trong câu 1.2 của cấu trúc đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh đại học, cao đẳng

Chuyên đề này được viết dựa vào Chương I, sách giáo khoa lớp 12 chuẩn, bao gồm 5 nội dung :

 Nội dung 1 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm phân thức nhất biến, nhằm rèn luyện kỹ năng cho các em học sinh có học lực trung bình và yếu

 Nội dung 2, 3 và 4 : Một số bài toán tiếp tuyến, tương giao đồ thị, tính khoảng cách liên quan đến hàm phân thức, là các bài toán khó hơn

 Nội dung 5: Tổng hợp một số tính chất chung của đồ thị hàm số phân thức nhất biến

II NỘI DUNG :

1- KHẢO SÁT HÀM SỐ PHÂN THỨC NHẤT BIẾN :





cx d

Sách giáo khoa 12 không trình bày khảo sát hàm số phân thức (nhất biến) dạng tổng quát, mà thông qua việc khảo sát một vài hàm số cụ thể, từ đó hình thành

kỹ năng cho các em, chúng tôi cũng lựa chọn theo cách tiếp cận này, nó phù hợp với đối tượng học sinh có học lực trung bình và yếu

Ví dụ 1 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2

1

x y x







Lời giải :

a) Tập xác định : D = ¡ \ {1}

b) Sự biến thiên :

 Chiều biến thiên : ' 3 2 0, 1

( 1)

x



 , y' không xác định khi x1 Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng (;1) và (1;)

Việc tính đạo hàm y', nhiều học sinh yếu còn gặp khó khăn trong việc áp dụng công thức tính đạo hàm của một thương y u

v

 , chúng tôi hướng dẫn

các em tính y' như sau:

Viết các hệ số vào bảng :

2

'

y





'

y

( 1)

x



ghi  x 1

Cần nhắc học sinh không được ghi : “ nghịch biến trên khoảng

(  ;1) (1; ) hoặc ¡ \ {1} hoặc D ” vì như thế không chính xác

 Cực trị : Hàm số không có cực trị

 Giới hạn và tiệm cận :

1

lim

x  y

  ,

1

lim

x  y

   , suy ra , đường thẳng x1 là tiệm cận đứng

    , suy ra , đường thẳng y 1 là tiệm cận ngang

Tính các giới hạn một bên :

2

1

x y

x





2

1

x y

x





 là khá khó đối

với các em học sinh trung bình và yếu Trong các ví dụ ban đầu, chúng tôi nhắc lại cho các em cách tính giới hạn một bên đã học ở lớp 11 Ở các ví dụ sau, khi các em

đã quen với hai dạng đồ thị của hàm nhất biến, dựa vào dấu của đạo hàm, các em sẽ biết phác thảo dạng đồ thị, từ đó sẽ tính được nhanh các giới hạn trên

 Bảng biến thiên :

Lưu ý học sinh điền đầy đủ và chính xác các giá trị vào bảng biến thiên

c) Đồ thị (C) :

Cắt trục hoành tại điểm ( 2;0) , cắt trục tung tại

điểm (0; 2)

Đồ thị (C) nhận giao điểm của hai tiệm cận

(1;1)

I làm tâm đối xứng

Để học sinh vẽ được chính xác đồ thị, có thể cho

các em học sinh xác định thêm một số điểm

thuộc đồ thị, hướng dẫn các em lấy đối xứng

các điểm đã xác định qua tâm đối xứng I

Ví dụ 2 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2 1

1

x y x







Lời giải :

a) Tập xác định: D¡ \ 1

b) Sự biến thiên:

 Chiều biến thiên: ' 3 2 0, 1

( 1)

x



Do đó: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ; 1 và  1; 

 Cực trị : Hàm số không có cực trị

 Giới hạn và tiệm cận :

  1   1

 Bảng biến thiên:

c) Đồ thị (C) :

+ Các điểm đặc biệt : 1;0

2

 , 0; 1 , (2;1) + Đồ thị nhận giao điểm I1;2của hai

tiệm cận là tâm đối xứng

Sau các ví dụ, có thể cho các em làm thêm một số bài tập, từ đó tổng kết lại hai dạng

đồ thị của hàm nhất biến, để các em ghi nhớ một cách trực quan, khắc sâu kiến thức:

2





 Đồng biến trên từng khoảng xác định Nghịch biến trên từng khoảng xác định

 Tiệm cận ngang : y a

c



 Tiệm cận đứng : x d

c

 

 Tiệm cận ngang : y a

c



 Tiệm cận đứng : x d

c

 

Ví dụ 3 : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2

1

x y x

 



Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị các hàm số sau :

1

x y

x

 



| | 1

x y

x

 



 (C2) c) | 2 |

1

x y

x

 



Lời giải :

Thực hiện các bước như VD1 và VD2, ta vẽ được đồ thị (C) như sau :

a) Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối : ( ) ( ) ( ) 0

f x f x

f x

f x f x







neáu

Ta suy ra đồ thị (C1) từ ( )C như sau :

 Giữ nguyên phần đồ thị ( )C nằm phía trên trục hoành

 Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị ( )C nằm phía dưới trục hoành

Ta được đồ thị (C1) như sau (đường liền nét) :

0

x x x

x x







neáu neáu

Do đó, với x0 : | | 2 2

y

Mặt khác, | | 2

| | 1

x y

x

 



 là hàm số chẵn, nên đồ thị (C2) nhận trục tung làm trục đối xứng Suy ra cách vẽ đồ thị (C2) như sau :

 Giữ nguyên phần đồ thị ( )C nằm bên phải trục tung (x0)

 Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung

Ta được đồ thị (C2) như sau (đường liền nét) :

x





neáu neáu

Do đó : Khi x2 thì | 2 | 2

y

  , khi x2 thì

y

Ta suy ra đồ thị (C3) từ ( )C như sau :

 Giữ nguyên phần đồ thị ( )C nằm bên trái đường thẳng x2 ( x2)

 Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị ( )C nằm bên phải đường thẳng

x x

Ta được đồ thị (C3) như sau (đường liền nét) :

Bài tập tự luyện :

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :

x y

x





1 2

x y

x





2

x y x







2- BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC :

Ví dụ 1: Cho hàm số 2

x y

x





 Viết phương trình tiếp tuyến của của đồ thị hàm số

tại điểm có tung độ y0  3

Giải:

Điểm thuộc đồ thị hàm số có y0   3 x0  1; y'( 1)  5

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y 5(x 1) 3 hay y  5x 8

Ví dụ 2: Cho hàm số 1

2 1

x y x

 



 (C) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm

 

M C , biết tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác cân

Giải:

Tập xác định: \ 1

2

DR  

  Ta có:  2

3

x





Tiếp tuyến cắt 2 trục tọa độ tạo thành một tam giác cân nên hệ số góc của tiếp tuyến

là k  1 Gọi M x y  0; 0    C là tiếp điểm

0

x

x   y  

    tiếp tuyến là: y    x 1 3

x   y  

    tiếp tuyến là: y    x 1 3

0 2

0

3

x



Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là: y    x 1 3 và y   x 1 3

Ví dụ 3 : Cho hàm số : 2 ( )

1

x

x



 Tìm điểm M( )C sao cho tiếp tuyến tại M

của ( )C cắt trục Ox và trục Oy tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác OAB

bằng 1

4 , với O là gốc tọa độ (Đại học khối D – 2007)

Giải :

0

0

2

1

x

x



0

2 '( )

y x

x





Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại M là :

2

0

0

2

x

A x B

x



  Ta có :

OAB

S OA OB x

Do đó :

0 4

0 2

1

1

2

OAB

x x

S











Vậy : M1(1;1) hoặc 2 1; 2

2

M   

  là hai điểm cần tìm

Ví dụ 4 : Cho 2 1 ( )

2

x

x





 Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C biết tiếp tuyến

tạo với đường thẳng d y: 2x1 một góc 450

Giải : Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến, Vì tiếp tuyến tạo với d y: 2x1 một góc 0

45 nên :

0

2

3 1

2

1 2

1 2

k

k

k

k











 



(Áp dụng công thức : tan( ) tan tan

1 tan tan

a b

a b

a b



Gọi x0 là hoành độ của tiếp điểm, ta có 0 2

0

3

k y x

x



Do đó : k 3 bị loại

2

0 0

1

5

x k

x x







Từ đó ta có hai tiếp tuyến cần tìm là : 1 2

y  x và 1 14

y  x

3- TƯƠNG GIAO GIỮA ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC VÀ ĐƯỜNG THẲNG :

Ví dụ 1: Cho hàm số 1 ( )

x

x

 



 Tìm m để đường thẳng d m:y mx2m1

cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A, B thuộc hai nhánh của đồ thị (C)

Giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

2 1

2 1

x

x

 

1 2

x  không phải là nghiệm)

( )C cắt d m tại 2 điểm phân biệt A, B (1) có 2 nghiệm phân biệt

2

0 0

(3 1) 0 1

3

m m

m m





 

  





Hai điểm A, B thuộc 2 nhánh của đồ thị (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 mà

1

2

m m

3



Ví dụ 2: Cho hàm số 2 1 ( )

1

x

x





 Tìm m để ( )C và đường thẳng d y:   2x m

cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 , với

O là gốc tọa độ (ĐH khối B – 2010)

Giải : Xét phương trình hoành độ giao điểm

1

x

x m x x x m

x

2

Ta có :  (4m)2 8(1m)m2   8 0, m nên ( )C luôn cắt d tại hai điểm phân biệt

Giả sử A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2), với x x1, 2 là hai nghiệm của (1) và

1 2 1 ; 2 2 2

y   x m y   x m

| | ( , )

5

m

d O AB  và AB (x2 x1)2 (y2  y1)2  5(x1x2)2 20x x1 2

Theo Viet : 1 2 4; 1 2 1

nên

2

2

m



Ta có :

2

OAB

4- BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH LIÊN QUAN ĐẾN HÀM PHÂN THỨC :

Ví dụ 1: Cho hàm số 1

x y x

 



 (C)

a) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ đạt

giá trị nhỏ nhất

b) Tìm điểm N thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ N đến hai tiệm cận đạt

giá trị nhỏ nhất

c) Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số sao cho độ dài AB là

nhỏ nhất

Giải:

a) Cách 1 : Gọi ; 1 ( )

x

x



Ta có : Tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là: 1

x

d x

x



 



Do (C) cắt Ox tại (1;0) và cắt Oy tại (0;1) nên ta chỉ cần xét x 0;1 là đủ

Với x 0;1 , thì

2

  Xét hàm số

2

( )

x

g x

x





 trên đoạn  0;1

Ta có :

2

2

'( )

(2 1)

g x

x

 



 , trên đoạn  0;1 '( ) 0 3 1

2

g x   x 

Lập bảng biến thiên, suy ra

  0;1

min ( )g x  3 1 tại 3 1

2

Vậy : 3 1; 3 1

M   

0

x

trục tọa độ là:

0

0

d x

x

2 2

x      d

Dấu “=” xảy ra khi 0 0

0

;

x

Vậy 3 1; 3 1

M   

  thì mind  3 1

b) Khoảng cách tứ N đến TCN, TCĐ lần lượt là: d1  x0 và 2

0

3 4

d

x



2

x  

Kết luận: 1 3 1; 3 1

N    

;

N     

A a

a

;

B b

b

của đồ thị hàm số (C), với a0, b0 Ta có:

2 2

2 2

AB b a

ab

2 16

ab

ab











Vậy hai điểm cần tìm là: 3 1; 3 1

A    

;

B   

Ví dụ 2: Cho đồ thị   3 1

:

3

x

C y

x





 và điểm M bất kì thuộc  C Gọi I là giao của hai tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B Chứng minh rằng :

a) M là trung điểm của AB

b) Diện tích tam giác IAB không đổi

Giải :

a) Đồ thị (C) có TCN : ( ) :d1 y 3 và TCĐ (d2) :x3I(3;3)

Lấy điểm bất kỳ M 3 m;3 10 ( ),C m 0

m

Gọi ,A B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến ( )d với TCN ( )d1 và TCĐ (d2)

Ta có : A2m3;3 và B 3;3 20

m

m

Vậy : M là trung điểm của AB (đpcm)

b) Tam giác IAB vuông tại I nên : 1

2

IAB

2

 

 

2

IAB

m



Ví dụ 3 : Cho hàm số 1

2

x y x





 (C)

1) Tìm trên (C) điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là

nhỏ nhất

2) Tìm trên (C) hai điểm A, B thuộc hai nhánh của (C) sao cho độ dài AB nhỏ nhất 3) Tìm trên (C) điểm N sao cho khoảng cách từ giao điểm I của hai tiệm cận đến tiếp tuyến của (C) tại N là lớn nhất

Giải :

x y



2

x

  (C) cắt trục hoành tại

1;0 và trục tung tại 0; 1

2

Ta có : khoảng cách từ M đến Ox d: 1  x , khoảng

cách từ M đến : 2 1 3

2

Oy d

x

 



2

d d d x

x

Ta chỉ cần xét x [ 1;0]nên :

3 1

2

d x

x

   

 Xét hàm số

3

2

g x x

x

   

 trên đoạn [ 1;0] :

Ta có :

2

  

Suy ra g x( ) nghịch biến trên đoạn [ 1;0] , do đó :

[ 1;0]

1

2

g x g

d      x y Vậy : 0; 1

2

M  

2) Lấy A là điểm thuộc nhánh trái : A 2 a;1 3

a

  với a0;

B là điểm thuộc nhánh phải : B 2 b;1 3

b

  với b0

Ta có :

2

4ab 36 4 ab 9 8 ab 9 24 AB 2 6

ab ab









Vậy : A2 3;1 3 và B2 3;1 3

0 0

1

2

x

x



  Tiếp tuyến tại N của (C) là :

0

2

x

Khoảng cách từ giao điểm của hai tiệm cận I 2;1 đến tiếp tuyến  là :

2 2

2

0 2 0

( , )

9

d I

x



d I    d I    x     x  

Vậy : N2 3;1 3 hoặc N2 3;1 3

5- MỘT VÀI TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC NHẤT BIẾN :

Từ các ví dụ trên, chúng ta nhận thấy đồ thị hàm số phân thức nhất biến

ax b

y

cx d





 có những tính chất như sau (tất nhiên trong từng bài toán phải được chứng

minh một cách chặt chẽ) và đó cũng là những bài toán điển hình liên quan đến khảo sát hàm số phân thức nhất biến

Cho hàm số :   0  0

ax b

cx d có đồ thị là (C) Gọi M là điểm

tùy ý thuộc (C), ( )T là tiếp tuyến của (C) tại M Hạ MH vuông góc với tiệm cận đứng

1: d

d x

c

  và MK vuông góc với tiệm cận ngang d2:y a

c

I  d d Giao điểm (nếu có) : ( )T d1 B, ( )T d2  A

Ta có :

 AB luôn nhận M làm trung điểm

 Diện tích tam giác ABI không đổi

 Tích số MH MK không đổi

 Đường thẳng : yx có phương trình hoành độ giao điểm với ( )C là :

x x

cx d     c 

2

cx c d a x d b

  cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N nằm ở hai nhánh phân biệt của (C)

thì hoành độ giao điểm x M x1, x N x2 (x x1, 2 là hai nghiệm của (1)) nằm về hai phía của tiệm cận đứng d1 d

c

  khi và chỉ khi :

 min MN M N0 0 xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng  chứa MN là

đường phân giác của góc giữa hai đường tiệm cận chứa đồ thị (C)