luận văn hàm và chuỗi hilbert

Bên cạnh đó, khoá luận còn nghiên cứu một loạt các khái niệm bổ trợ có thể coi như kiến thức chuẩn bị phục vụ cho việc khảo sát các đối tượng chính như: Vành và module phân bậc, độ dài m

đa tạp đại số bất khả quy khi cắt nó bởi hệ thống các siêu phẳng đủ tổng quát Muốn tiếp cận theo hướng này, chúng ta cần phải xác định được số bội (kèm theo là chiều Krull) của vành hay module đang xét Điều này dẫn đến bắt buộc phải khảo sát hàm và chuỗi Hilbert của các lớp vành, module phân bậc hay đa phân bậc Như vậy việc nghiên cứu hai khái niệm này là một khâu thiết yếu để ta

có thể tiếp cận gần hơn với cấu trúc của vành và module Đó là lí do chúng tôi

chọn đề tài: “ Hàm và chuỗi Hilbert ”

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống hoá và minh hoạ chi tiết các tính chất cơ bản của hàm và chuỗi Hilbert của module Ngoài ra, khoá luận còn trình bày một số kiến thức về hàm

đa thức, đa thức số học và có liên hệ với một số bài toán của THPT

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng chính mà khoá luận nghiên cứu là hàm và chuỗi Hilbert, trong

đó tập trung nhiều hơn vào khái niệm hàm Hilbert Bên cạnh đó, khoá luận còn nghiên cứu một loạt các khái niệm bổ trợ có thể coi như kiến thức chuẩn bị phục

vụ cho việc khảo sát các đối tượng chính như: Vành và module phân bậc, độ dài module, chiều Krull, hàm đa thức và đa thức số học,

4 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận: Trước hết là đọc các tài liệu liên quan

đến lớp vành và module phân bậc, độ dài module, đa thức số học và hàm đa thức

để tìm hiểu cơ sở lí luận làm tiền đề cho việc nghiên cứu đối tượng chính Tiếp

đó vận dụng các kiến thức cơ sở trên để đọc, hiểu về định nghĩa và các tính chất của hàm và chuỗi Hilbert qua các tài liệu liên quan

+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hoá các kiến thức về vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học, kết hợp với đưa vào các ví dụ minh hoạ chi tiết

+ Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếp hướng dẫn và các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung cũng như hình thức của khoá luận

5 ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khoá luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành Toán có mong muốn tìm hiểu sâu hơn về cấu trúc của module mà cụ thể là về hàm và chuỗi Hilbert Đồng thời, sử dụng các kiến thức về đa thức số học giúp giải quyết một số bài toán THPT đơn giản hơn Với bản thân, nghiên cứu về hàm

và chuỗi Hilbert giúp tôi hiểu rõ hơn về cấu trúc của vành và module, thấy được

sự liên hệ chặt chẽ giữa Đại số Giao hoán và Hình học Đại số

6 Bố cục của khoá luận

Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của khoá luận gồm ba chương

Chương 1 gồm ba phần Phần thứ nhất trình bày các kiến thức cơ sở về vành phân bậc, chẳng hạn: Phần tử thuần nhất, ideal thuần nhất, thành phần phân bậc, Phần thứ hai nghiên cưú về module phân bậc trên vành phân bậc với các khái niệm liên quan và một vài tính chất cơ bản của chúng Phần ba tìm hiểu về vành và module Rees

Chương 2 nghiên cứu về độ dài module Chương này gồm hai phần trình bày về khái niệm độ dài module và một vài đặc trưng của module có độ dài hữu hạn Đây là một trong những đặc trưng quan trọng khi nghiên cứu về cấu trúc của module

Chương 3 gồm ba phần Đây là chương chứa đựng nội dung chính của khoá luận Trong đó phần đầu của chương là những kiến thức về đa thức số học

và hàm đa thức Phần thứ hai khảo sát về hàm và chuỗi Hilbert Phần cuối của chương là đa thức Hilbert - Samuel cùng với định lí cơ bản của Lí thuyết chiều Trong toàn bộ khoá luận, khái niệm vành luôn được giả thiết là vành giao hoán có đơn vị 1 0≠

Chương 1 vành và module phân bậc

Nội dung của chương này gồm các vấn đề sau: Khái niệm và một số tính chất cơ bản của vành phân bậc, module phân bậc trên vành phân bậc, vành và module Rees

1.1 Vành phân bậc

Đây là nội dung cơ sở của khoá luận, làm nền cho việc xây dựng khái niệm hàm và chuỗi Hilbert của module Đồng thời đây cũng là lớp vành đóng vai trò quan trọng khi nghiên cứu về Lí thuyết chiều

1.1.1 Vành phân bậc và các đối tượng thuần nhất của nó

Định nghĩa 1.1.1.1 Cho ( , )G + là một vị nhóm cộng giao hoán với phần tử trung hoà 0 Một vành R được gọi là vành G - phân bậc nếu tồn tại một họ các

nhóm con cộng giao hoán {Rα α∈} G của R thoả mKn các điều kiện sau:

Quy ước: Phần tử 0 là phần tử thuần nhất bậc tùy ý

( )ii Vành con S của R được gọi là một vành con phân bậc hay vành con thuần

α∑ ∈ với xα∈Rα sẽ kéo theo xα∈I với ∀ ∈α J

Ví dụ Cho R= K x x[ ,1 2, ,x d] là vành đa thức d biến trên trường K có phân bậc

0

n n

Chứng minh Theo định nghĩa ta có ngay R R0 0 ⊂ R0, suy ra R0 là một nhóm

cộng giao hoán đóng với phép nhân trong R, do đó nó là một vành con của R Mặt khác, do 1

xα∈Rα, xα = 0 hầu hết trừ một số hữu hạn Khi đó, với ∀ ∈β G ta có

(ii) Ideal I là thuần nhất

ra xα∈Rα hay xα là phần tử thuần nhất

( )iii ⇒( )i Giả sử I sinh bởi tập S những phần tử thuần nhất của R Khi đó, mỗi

x∈I ta có:

1

n

i i i

của I nên xα∈I hay I là thừa nhận đ−ợc

=⊕ là một vành ℕ- phân bậc và { ,x x1 2, ,x n} là tập các phần tử thuần nhất có bậc dương trong R Khi đó, { ,x x1 2, ,x n}là hệ sinh của R+ khi và chỉ khi R=R x x0[ ,1 2, ,x n]

a ∈R Vì luôn có thể coi a i là các phần tử thuần nhất nên với mọi i ta có:

deg(a x i i)=dega i +degx i =r Suy ra dega i <r hay a i∈R x x0[ ,1 2, ,x n] với mọi i, (theo giả thiết qui nạp) Ta nhận được x=a x1 1+a x2 2 + + a x n n∈R x x0[ ,1 2, ,x n] Từ đó R r ⊂R x x0[ ,1 2, ,x n]

( ⇐ ) Hiển nhiên

Ta nhắc lại rằng, một R- module M được gọi là module Noether nếu nó thoả

mKn một trong các điều kiện sau:

( )i Mọi tập hợp không rỗng những module con của M đều có một phần

tử cực đại

( )ii Mọi dKy tăng những module con của M :

M1⊂M2 ⊂ ⊂ M n ⊂

đều dừng, nghĩa là tồn tại m để M k =M m với mọi k ≥m

( )iii Mọi module con của M đều là hữu hạn sinh

Một vành R được gọi là vành Noether nếu nó là R- module Noether

Từ đó kết hợp với Mệnh đề 1.1.2.6 ta có hệ quả:

Hệ quả 1.1.2.7 Cho

0

n n

f → là một đồng cấu vành Khi đó, f được gọi là đồng cấu phân bậc hay

đồng cấu thuần nhất bậc β nếu f R( α)⊂Sα β+ , với ∀ ∈α G

Một đồng cấu thuần nhất với bậc nào đó được gọi tắt là đồng cấu thuần nhất hay đồng cấu phân bậc

Ví dụ

( )i Cho R là một vành G- phân bậc và r∈Rβ Khi đó đồng cấu nhân

ϕ → cho bởi ( )f x =rx, ∀ ∈x R là đồng cấu thuần nhất bậcβ

( )ii Xét vành đa thức hai biến R=K X Y[ , ] trên trường K với phân bậc chuẩn

f Y =X là một tự đồng cấu phân bậc của R Nhưng đồng cấu h : R → R xác

định bởi ( )h X = +X 1, ( )h Y = +Y 1 không phải là một đồng cấu phân bậc (vì

X + Y + không phải là các phần tử thuần nhất)

Tương tự như đối với đồng cấu vành, đồng cấu phân bậc cũng có tính chất sau:

các phần tử thuần nhất nên Imϕ sinh bởi tập A={ ( ) /ϕ xα xα∈Rα,∀ ∈α G} Với

mỗi α , vì ϕ(Rα)⊂Sα β+ nên ϕ(xα)∈Sα β+ là một phần tử thuần nhất của S Suy

ra A là tập con các phần tử thuần nhất của S, hay Imϕ là vành con thuần nhất

của S Tiếp theo ta chứng minh Kerϕ là một ideal thuần nhất của R Với mỗi

= = ∑ với ϕ(xα)∈Sα β+ Mà 0= + +0 0 và biểu diễn là duy

nhất nên ta suy ra ϕ(xα) = 0, mọi α∈J Vậy xα∈Kerϕ với mọi α∈J Do đó

Kerϕ là ideal thừa nhận được của R Bởi Mệnh đề 1.1.2.2, Kerϕ là ideal thuần

Nhận xét 1.2.2 Do R M0 β ⊂Mβ với mọi *

G

β∈ nên M và họ { }Mβ β G*

∈ đều là các R0- module

Định nghĩa 1.2.3 (Các đối tượng thuần nhất)

Quy ước: Phần tử 0 là phần tử thuần nhất bậc tuỳ ý

( )ii Một R - module con N của M được gọi là một module con phân bậc hay

module con thuần nhất nếu

( )iii Một R - module con N của M được gọi là thừa nhận được nếu với mỗi J là

tập con hữu hạn của *

Chú ý 1.2.4 Nếu a R∈ và x M∈ là các phần tử thuần nhất thì hoặc

degax=dega+degx hoặc ax=0

*

G

β∈ Nếu ϕ là đồng cấu thuần nhất bậc nào đó thì ϕ được gọi tắt là đồng cấu

thuần nhất hay đồng cấu phân bậc

Dưới đây là một số tính chất của module phân bậc trên vành phân bậc mà

việc chứng minh chúng hoàn toàn tương tự như đối với vành phân bậc

Mệnh đề 1.2.6 Cho N là một module con của module phân bậc M Khi đó, ba mệnh đề sau là tương đương:

Một trong những lớp module quan trọng khi nghiên cứu về hàm và chuỗi Hilbert là module Rees mà ta sẽ tìm hiểu sau đây

1.3 Vành và module Rees

Định nghĩa 1.3.1 Cho vành R và một họ F ={ }I n n≥0 các ideal của R Họ F được

gọi là một lọc các ideal của R nếu nó đồng thời thoả mKn hai điều kiện sau:

I

≥

∩ = 0

Ví dụ Xét vành số nguyên ℤ, F ={(2 ) /n n≥0} là họ các ideal của ℤ Khi đó,

F là một lọc các ideal của ℤ Hơn nữa đây còn là một lọc tách được của ℤ

Định nghĩa 1.3.2 Cho F ={ }I n n≥0 là một lọc các ideal của vành R Khi đó, các

vµnh ph©n bËc

0

n n

R F I t

≥

1 0

( )

n n

n n

n n

n n

n n

n n

n n

Dưới đây là một vài tính chất cơ bản của I- lọc ổn định của một

R- module, là cơ sở cho việc nghiên cứu về đa thức Hilbert - Samuel

một ideal của , R W ={ }M n n≥0 là một I - lọc của M Khi đó hai mệnh đề sau là

tương đương:

(i) { }M n n≥0 là một I - lọc ổn định

(ii) ( ) R W là một ( ) R I - module phân bậc Noether

một ( )R I - module phân bậc Noether khi và chỉ khi ( R W là ( )) R I - module phân

bậc hữu hạn sinh Mặt khác,

0

n n

Từ mệnh đề trên ta có ngay các kết quả:

một ideal của , R W ={ }M n n≥0 là một lọc I - ổn định của M. Khi đó, nếu N là một module con của M thì V ={N n = ∩N M n}n≥0 là một I - lọc ổn định của N

Bổ đề 1.3.10 (Bổ đề Artin - Rees) Cho M là một module hữu hạn sinh trên

Chú ý 1.3.11 Bổ đề Artin - Rees vẫn đúng trong trường hợp lọc F ={ }I n n≥0 và ( )

R F là vành Noether Nghĩa là:

Cho M là một module hữu hạn sinh trên vành Noether R và F ={ }I n n≥0 là một lọc các ideal của R thoả mKn R F( ) là vành Noether, N là một module con của

M Khi đó, với mọi số nguyên m đủ lớn ta có:

( )

I I M ∩N = I + M ∩N, với mọi k ≥0

Chương 2 độ dài module

Nội dung của chương này bao gồm: Khái niệm về độ dài module và những

đặc trưng cơ bản của module có độ dài hữu hạn, trong đó đặc biệt chú ý tới hai lớp module quan trọng là module Noether và module Artin

2.1 Khái niệm độ dài module

Trước hết ta tìm hiểu về module đơn, một trong những căn cứ quan trọng

để nghiên cứu về độ dài của module

Định nghĩa 2.1.1 Một R- module M khác module không được gọi là một

module đơn nếu nó chỉ có hai module con là không và chính nó

Ví dụ

( )i Cho K là một trường Khi đó, mọi K- không gian vectơ có số chiều là 1 đều

là K- module đơn

( )ii Vành ℤ là ℤ- module không đơn vì ℤ có các module con 2ℤ, 3ℤ,

Nhận xét 2.1.2 Giả sử M là một R- module đơn, khi đó tồn tại x để

R

M =Rx≅ Annx Do đó, một R- module M là module đơn khi và chỉ khi nó

đơn sinh và AnnM là một ideal cực đại

Định nghĩa 2.1.3 Cho R- module M Một dKy giảm gồm một số hữu hạn các module con:

M =M ⊃M ⊃ ⊃ M =thoả mKn M M i i+1, (0≤ ≤ ưi n 1) là các module đơn, được gọi là một dPy hợp

Khi đó, n được gọi là độ dài của dPy hợp thành Module M có dKy hợp thành

được gọi là module có dPy hợp thành

với V i là không gian vectơ con của V sinh bởi {e i+1,e i+2, , }e n , (i=0,1, ,nư1),{0}

n

V = là một dKy hợp thành của V với độ dài n

( )ii Vành số nguyên ℤ là một ℤ- module không có dKy hợp thành

Giả sử R- module M có dKy hợp thành, kí hiệu L M( ) là độ dài của một dKy hợp thành của M có độ dài nhỏ nhất Khi đó ta có bổ đề sau:

M =M ⊃M ⊃ ⊃M =Với N là một module con của M ta có dKy:

thành phần bằng nhau trong dKy (1) ta được một dKy hợp thành của N với độ dài

không vượt quá n, tức là L N( )≤L M( ) Để dấu bằng xảy ra thì (1) phải là một dKy hợp thành của N điều này tương đương với , N∩M iư1 N∩M i ≅M iư1 M i,

(1≤ ≤i n) Kết hợp với M n ={0} ta suy ra N∩M nư1=M nư1 Từ đó:

M ư M ư ≅ ∩N M ư N∩M ư = ∩N M ư M ư hay M nư2 = ∩N M nư2 Bằng qui nạp ta nhận được M i = ∩N M i, với mọi ,i

(1≤ ≤i n) Đặc biệt ta có: M0 = ∩N M0, suy ra N =M

Tiếp theo ta chứng minh ( ).ii Từ dKy hợp thành của M ta nhận được dKy:

0 1 n

Mặt khác, theo định lí đẳng cấu Noether thứ nhất và thứ hai ta có:

(N+M iư1 N) (N+M N i )≅ +N M iư1 N+M i ≅M iư1 M i + ∩N M iư1

Mà M iư1 M i+ ∩N M iư1 là module thương của module đơn M iư1 M inên nó hoặc

là module không, hoặc là module đơn Do đó, (N+M iư1 N) (N+M N i ) hoặc là module không hoặc là module đơn Cuối cùng, bằng cách lược bỏ các thành

phần bằng nhau của (2) ta thu được một dKy hợp thành của M N có độ dài

không vượt quá n, hay L M N( )≤ L M( )

Định lí sau của Jordan - Holder cho ta biết các dKy hợp thành của cùng một module M có quan hệ với nhau như thế nào

không vượt quá độ dài của các dPy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành một

ra L M( )= n Tiếp theo ta giả sử trong M có một dKy tăng hoặc giảm thực sự các module con, theo chứng minh ở phần đầu định lí ta suy ra ngay dKy phải có độ dài hữu hạn và không vượt quá độ dài của các dKy hợp thành Bằng việc bổ sung

M và {0} vào dKy đK cho (nếu chúng chưa có trong dKy), ta luôn có thể coi dKy

có dạng:

M = M ⊃M ⊃ ⊃M = (3) Theo Bổ đề 2.1.4 thì vì M có dKy hợp thành nên với mỗi i, (0≤ ≤i d)

Định lí trên là cơ sở để dẫn tới định nghĩa về độ dài module

Định nghĩa 2.1.6 Nếu R- module M có một dKy hợp thành, thì tất cả các dKy hợp thành của M có cùng một độ dài Khi đó, độ dài của các dKy hợp thành của

M được gọi là độ dài của module M kí hiệu , l M R( )

Nếu M không có dKy hợp thành thì ta quy ước l M R( )= ∞ và gọi M là module

có độ dài vô hạn

Ví dụ

( )i Cho V là K - không gian vectơ Khi đó, l V K( )=dim ( )K V

( )ii Cho p q là hai số nguyên tố phân biệt Khi đó, , ℤpq có dKy hợp thành:

{0}

pq ⊃ p pq ⊃

với pℤpq ={pa a / ∈ℤpq} Do đó, lℤ(ℤpq)=2

( )iii ℤ- module ℤ có độ dài vô hạn

2.2 Một vài đặc trưng của module có độ dài hữu hạn

Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa module Artin: Một R- module M được gọi

là một R - module Artin nếu nó thoả mKn một trong hai điều kiện sau đây:

( )i Mỗi tập khác rỗng các module con của M đều có phần tử cực tiểu ( )ii Mỗi dKy giảm các module con của M :

M1 ⊃M2 ⊃ ⊃ M n ⊃

đều dừng, nghĩa là M k = M k+1 với mọi k đủ lớn

Vành R được gọi là vành Artin nếu nó là R- module Artin

Từ định nghĩa của module Noether và module Artin ta dễ dàng chứng minh được định lí sau:

Định lí 2.2.1 Một R - module M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi M vừa là

Noether, vừa là Artin

Định lí sau cho ta biết về mối liên hệ giữa các module có độ dài hữu hạn

thông qua dKy khớp

Định lí 2.2.2 (Tính cộng tính của độ dài) Cho một dPy khớp ngắn các

l M R( )=l N R( )+l P R( )

(Noether) nên từ Định lí 2.2.1 ta có M có độ dài hữu hạn khi và chỉ khi N và P

có độ dài hữu hạn Như vậy, nếu M có độ dài vô hạn thì N hoặc P phải có độ

dài vô hạn, trong trường hợp này ta có ngay: l M R( )=l N R( )+l P R( ) Ta xét trường

hợp M N và , P đều có độ dài hữu hạn Giả sử có dKy khớp ngắn:

là một dKy hợp thành của M Suy ra l M R( )=l N R( )+l P R( )

Nhận xét 2.2.3 Nếu N là một R- module con của R- module M thì theo định

( )i Cho M là một R- module, S là một tập đóng nhân của R Trên tập M ìS

ta xác định quan hệ ~ như sau: ( , )x s ∼( , )y t nếu tồn tại r∈S sao cho

r xtưsy = Khi đó ~ là một quan hệ tương đương trên tập M ìS Tập các lớp tương đương của M ìS theo quan hệ này được kí hiệu là 1

S Mư , còn các lớp tương đương có đại diện là ( , )x s được kí hiệu là x

s Trong trường hợp M = R ta

có vành 1

S Rư và nó được gọi là địa phương hoá của R bởi tập đóng nhân S.Nếu P là một ideal nguyên tố của R thì S =R P\ là một tập đóng nhân trong

R Khi đó người ta viết 1

P

S Rư =R và 1

P

S Mư =M và gọi là địa phương hoá tại

kí hiệu là Supp M ( )

( )ii Cho M là một R- module Một ideal nguyên tố P của R được gọi là một

P= x= Ann x Tập tất cả các ideal nguyên tố liên kết của M kí hiệu là ( )

R

Ass M Như vậy: Ass M R( ) {= P∈SpecR/∃ ∈x M P, = Ann x( )}

Từ đó ta có định lí ba mệnh đề tương đương về mối liên hệ giữa độ dài, tập các ideal nguyên tố liên kết và giá của một R- module M

Định lí 2.2.6 Cho R là một vành Noether và M là một R - module hữu hạn sinh Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

(i) l M R( ) hữu hạn

(ii) Với mỗi P∈Ass M R( ) là một ideal cực đại

(iii) Với mỗi P∈Supp M R( ) là một ideal cực đại

sẽ dừng và ta thu được dKy các module con của M :

ideal cực đại với mọi i=1, 2, ,n Vậy mỗi P∈Ass M R( ) là một ideal cực đại

( )ii ⇒( )iii Do các phần tử cực tiểu của hai tập Ass M và R( ) Supp M là như R( )

nhau nên từ ( )ii ta suy ra các phần tử cực tiểu của Supp M là những ideal cực R( )

đại Do đó với mỗi P∈Supp M R( ) là một ideal cực đại

( )iii ⇒( )i Xây dựng tương tự như trên ta cũng được dKy các module con của M

thoả mKn M M i iư1≅R P i với P i∈SpecR, (1 i≤ ≤n) Hơn nữa với mỗi i, địa

phương hoá tại P i ta được một module khác module không, do đó (M i)P i ≠0 và

vì vậy 0

i

P

M ≠ hay P i∈Supp M R( ) Suy ra {P P1, , ,2 P n}⊂Supp M R( ) Từ đó ta

nhận được P là các ideal cực đại hay i R P là các trường với mọi i i, tức R P là i

các R- module đơn với mọi i=1, 2, ,n Và như vậy

là một dKy hợp thành của M Ta nhận được ( l M hữu hạn R )

Vì căn Jacobson của vành Artin cũng là căn luỹ linh nên ta có được mệnh

đề sau:

Mệnh đề 2.2.7 Một vành R là một vành Artin khi và chỉ khi R là một

Chứng minh Nếu ( ) l R R < ∞ thì theo Định lí 2.2.1 ta có ngay R là một vành

Artin Ngược lại, giả sử R là một vành Artin, khi đó R chỉ có hữu hạn các ideal

cực đại m m1, 2, ,m Đặt n

1

n i i

I m

=

=∩ thì I là căn Jacobson của vành Artin R nên

I cũng là căn luỹ linh của ,R do đó tồn tại d ≥1 sao cho d 0

I = , hay:

1 1

Từ định lí về tính cộng tính của độ dài ta nhận được l J R( tư2)< ∞ Bằng qui nạp

suy ra l J R( j)< ∞ với mọi j, (0≤ ≤j t) Suy ra l J R( 0)=l R R( )< ∞ Vậy, R là một

R- module có độ dài hữu hạn

Nhận xét 2.2.8 Từ Định lí 2.2.1 và Mệnh đề 2.2.7 ta có nếu vành R là một vành Artin thì R cũng là vành Noether

Ta đK biết, một module hữu hạn sinh trên vành Noether (Artin) thì cũng là module Noether (Artin) Do đó ta có hệ quả:

Chương 3 hàm và chuỗi hilbert

Nội dung của chương này bao gồm: Các kiến thức cơ sở về hàm đa thức và

đa thức số học, trong đó có liên hệ với một số bài toán của THPT, một số tính chất của hàm và chuỗi Hilbert, đa thức Hilbert - Samuel Phần cuối của chương

là khái niệm chiều Krull, chiều Chevalley và định lí cơ bản của Lí thuyết chiều

3.1 Đa thức số học Hàm đa thức

Phần này sẽ trình bày khái niệm về đa thức số học và hàm đa thức cùng với những tính chất cơ bản của chúng mà chủ yếu để phục vụ việc tìm hiểu về đa thức Hilbert - Samuel, đồng thời cũng nghiên cứu một vài ứng dụng của đa thức

số học trong giải toán THPT

3.1.1 Đa thức số học (đa thức nhận giá trị nguyên)

Ví dụ Mọi đa thức với hệ số nguyên đều là đa thức số học

Mệnh đề 3.1.1.3 Đa thức P x bậc n là đa thức số học khi và chỉ khi ( ) P x ( )

nhận giá trị nguyên tại (n+1) điểm nguyên liên tiếp

Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên

Điều kiện đủ: áp dụng công thức khai triển Abel với x i = +a i, (i=1, 2, ,n) ta