Luận văn: HÀM ROBIN VÀ XẤP XỈ HÀM CỰC TRỊ TOÀN CỤC TRONG CN

Lý thuyết đa thế vị phức được phát triển từ thập kỷ 80 của thế kỷ trước dựa trên các công trình cơ bản của BedfordTaylor, Siciak, Zahaziuta và nhiều tác giả khác. Đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết này là hàm Green đa phức hay hàm cực trị toàn cục. Một trong các bài toán cơ bản là mô tả rõ ràng hàm Green đa phức qua giới hạn trên của logarit mođun các đa thức thích hợp. Mục đích của luận văn này là để trình bày công trình gần đây của Bloom về việc chứng minh rằng với mọi tập compact chính quy tồn tại độ đo Gauss trên không gian các dãy đa thức sao cho các dãy đa thức không thoả mãn yêu cầu có độ đo không. Luận văn có hai chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm đa điều hoà dưới. Đặc biệt các tính chất cơ bản của hàm cực trị toàn cục và hàm cực trị tương đối. Chương 2 dành cho việc trình bày kết quả nêu trên của Bloom.

§µm ngäc hïng

Hµm Robin vµ xÊp xØ

Chuyªn ngµnh: To¸n gi¶i tÝch M· sè: 60.46.01

LuËn v¨n th¹c sü khoa häc to¸n häc

Ngêi híng dÉn khoa häc:

GS-TSKH NguyÔn V¨n Khuª

Th¸i Nguyªn - 2006

Môc lôc

Më ®Çu 2

Ch¬ng 1: C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n 3

1.1 Hµm chØnh h×nh nhiÒu biÕn 3

1.2 Hµm ®a ®iÒu hoµ díi 5

1.3 Hµm ®a ®iÒu hoµ díi cùc trÞ 8

1.4 To¸n tö Monge-Ampe 23

1.5 Tính lồi 24

Chơng 2 Hàm Robin và xấp xỉ hàm Green 28

2.1 Mở đầu 28

2.2 Hàm Robin và dãy các hàm đa điều hoà dới 29

2.3 Dãy các đa thức 35

Kết luận 46

Tài liệu tham khảo 47

Mở đầu

Lý thuyết đa thế vị phức đợc phát triển từ thập kỷ 80 của thế kỷ trớc dựa trên các công trình cơ bản của Bedford-Taylor, Siciak, Zahaziuta và nhiều tác giả khác Đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết này là hàm Green đa phức hay hàm cực trị toàn cục Một trong các bài toán cơ bản là mô tả rõ ràng hàm Green đa phức qua giới hạn trên của logarit mođun các đa thức thích hợp Mục

đích của luận văn này là để trình bày công trình gần đây của Bloom về việc chứng minh rằng với mọi tập compact chính quy E ⊂C tồn tại độ đo GaussN

trên không gian các dãy đa thức sao cho các dãy đa thức không thoả mãn yêu cầu có độ đo không

Luận văn có hai chơng Chơng 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm đa điều hoà dới Đặc biệt các tính chất cơ bản của hàm cực trị toàn cục và hàm cực trị tơng đối Chơng 2 dành cho việc trình bày kết quả nêu trên của Bloom

Để hoàn thành đợc luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới GS-TSKH Nguyễn Văn Khuê ngời thầy đã tận tình hớng dẫn, hết lòng giúp đỡ suốt quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Tác giả xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong tr-ờng Đại học s phạm - Đại học Thái Nguyên, trtr-ờng Đại học s phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá học.

Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn sở Giáo dục và đào tạo Bắc Kạn, Trờng THPT Ba Bể tỉnh Bắc Kạn đã tạo điều kiện giúp đỡ về mọi mặt trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thành bản luận văn.

( 0 ) ( )0 ( ) 0( )

f z + −h f z −S h = h

ở trong C và N h =max h( 1, ,h n )

Và ta nói f là R - khả vi (tơng ứng C - khả vi) trên Ω nếu nó là R -khả

vi (tơng ứng C - khả vi) tại mọi điểm thuộc Ω Dễ thấy ánh xạ S thoả mãn

định nghĩa (nếu có) là duy nhất và gọi là R -đạo hàm (tơng ứng C - đạo hàm)của f tại z ký hiệu 0 f z′( )0 hay df z ( )0

1.1.2 Định nghĩa (hàm chỉnh hình nhiều biến).

Từ định lý trên bằng cách đạo hàm qua dấu tích phân (z là các không i

điểm trong ∆i) ta có hệ quả:

1

z z r n

f

α α

Thật vậy, với z∈C , xét N g z( )λ = f ( )λz ,λ∈C Khi đó g chỉnh hình

và bị chặn trên C Theo định lý Liouville g bằng hằng số z

( ) z( )1 z( )0 ( )0 ,

1.1.6 Định lý (Nguyên lý modul cực đại).

Giả sử f z( ) liên tục trên Ω với Ω là miền bị chặn trong C và chỉnh N hình trong Ω, nếu tồn tại z0∈Ω để:

1.2 Hàm đa điều hoà dới

1.2.1 Định nghĩa (hàm nửa liên tục trên).

Giả sử cho X là một không gian metric Hàm ϕ:X → −∞ +∞[ , ) đợc gọi là

hàm nửa liên tục trên tại x0∈X nếu ∀ > ∃ε 0, U x0 là lân cận của x trong X0

Hàm ϕ đợc gọi là nửa liên tục trên trên X nếu ϕ là nửa liên tục trên tại

mọi x X∈

1.2.2 Định nghĩa (hàm điều hoà dới).

Hàm thực ϕ Ω → −∞ +∞: [ , ) gọi là điều hoà dới trên Ω nếu nó thoả mãn

đồng thời các điều kiện sau:

a) ϕ là nửa liên tục trên

b) ϕ thoả mãn bất đẳng thức giá trị trung bình

đợc gọi là đa điều hoà dới nếu nó thoả mãn đồng thời 3 điều kiện sau:

a) ϕ ≡ −∞/ trên mọi thành phần liên thông của Ω

b) ϕ là nửa liên tục trên Ω

c) Với mỗi đờng thẳng phức ,l l∩ Ω ≠ ∅, hạn chế của ϕ trên mọi thành

phần liên thông của l∩ Ω là một hàm điều hoà dới

L zϕ gọi là dạng Levi của ϕ tại z.

Vì hàm điều hoà dới có tính chất modul cực đại nên ta có:

12

0 r ε ϕ

∀ < < ⇒ ®a ®iÒu hoµ díi trªn Ω.

§Þnh lý sau suy ra tõ hµm ®iÒu hoµ díi

1.3 Hµm ®a ®iÒu hoµ díi cùc trÞ

1.3.1 Mét sè líp c¸c hµm ®a ®iÒu hoµ díi trong C N

Ký hiÖu:

( )N {u ( )N β sao cho u z( ) β log 1( z ), z N}

L vµ L gäi lµ líp LeLong c¸c hµm ®a ®iÒu hoµ díi trªn + C N

VD: NÕu f z lµ ®a thøc bËc n( ) ≤ th× 1log f z( )

1.3.2.3 Tính đơn điệu đối với b.

Theo nguyên lý modul cực đại w( ) 0, r

( )

1log f logM E

(ë ®©y: víi w C∈ ∞( )CN , supp :w = ∈{x CN :w x( ) ≠ ⊂0} { x ≤1} ).

= vµ gäi lµ chÝnh quy trªn cña V.

Do V liªn tôc t¹i mäi ®iÓm cña E vµ E compact nªn tån t¹i l©n cËn

b) L - chính quy địa phơng nếu E chính quy địa phơng tại a E∀ ∈

c) L - chính quy hay chính quy nếu V liên tục E

1.3.2.12 Mệnh đề.

Nếu E compact, L - chính quy địa phơng thì với mọi hàm liên tục b hàm cực trị V V= E b, là liên tục trên C N

Chứng minh:

Đầu tiên chú ý: V*≤b trên E Thật vậy cho a E∈ và ε >0 ta có:

Vậy V là giới hạn đều của các hàm liên tục Vλ khi λ → ⇒0 V liên tục.

Bởi vì trong chứng minh trên chỉ sử dụng bất đẳng thức V*≤b trên E nên

E b

k

f đa điều hoà dới trên D Theo nguyên lý

modul cực đại ta có: V E b, 1log f

⇒) Giả sử E là đa cực khi đó a E∀ ∈ tồn tại lân cận liên thông U a ∋a

và hàm đa điều hoà dới W trên U sao cho W a ≡ −∞/ và W = −∞ trên E U∩ a.Giả sử D là miền con compact tơng đối của U bao hàm a Có thể xem a W ≤0trên D.

Khi đó:

1) ∃ >R 0 vµ M >0 sao cho u M≥ trong B B= (0, R) .

2) ∃ >R 0 vµ M >0 sao cho log x , N.

4) u là bị chặn trên trên mọi tập compact trong C N

Nếu u là liên tục và (6) thực hiện thì u là nửa liên tục dới và do đó tồn i

tại một hình cầu B B= ( )a r, ⊂D và M >0 để u M≤ trên B và nh vậy (3)thoả mãn Thật vậy với n≥1 đặt:

Nếu 0< <ε 1 ta nhận đợc mâu thuẫn.

Cố định ε >0, ξ ∈C thoả mãn (*) và chọn N n k → +∞ sao cho:

Vậy W là nửa liên tục trên trên B(0, R) Suy ra W là nửa liên tục trên

trên C (vì R tuỳ ý) Và do đó W là đa điều hoà dới suy ra N W ∈L C( )N

∃ ∈L C u n ≠ −∞, u n E| ≡ −∞n ta gäi:

( )

1 1

(i) ⇒(ii) gi¶ sö * ( )N

*

' '

(iv) ⇒ (i) lÊy u∈L , u ≡ −∞/ vµ u= −∞ trªn E do n u+ ∈L( )E nªn

iv) h ED* ≡1 với mọi miền D⊂C N

Chứng minh

(i) ⇒ (ii) là định lý Josefson, [Jo]

(ii) ⇒ (iii) Bởi định lý 1.3.3.6 ta có thể xem E là bị chặn Giả sử

đặc biệt ρ ≤ M Vô lý vậy E là L - đa cực.

(iii) ⇒ (iv) ⇒ (i) suy ra từ mệnh đề 1.3.3.3 

có thể xem nh độ đo Radon trên Ω, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C0( )Ω trên Ω.

0

N c

Ω

Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dới bị chặn địa

ph-ơng trên Ω thì tồn tại dãy ( )u n n>1 ⊂PHS( )Ω ∩C∞ sao cho u n ] u và

Chứng minh:

Chọn { }a n n≥1⊂( )a b, với a n] a với mỗi n≥1 đặt: u n =max ,(u a n) khi

đó u điều hoà dới, vậy nếu n ∆(w,ρ) ⊂ Ω thì:

= còn Ω =[0,2π]

Vậy ψ o là điều hoà dới trên ,u n Ω ∀ ≥n 1 do ψ o ]u n ψ o nên u ψ ou là

điều hoà dới 

dÔ thÊy v lµ låi loga ⇔v e( )t lµ låi trªn (−∞,logρ)

] ]

VËy nÕu 0≤ ≤λ 1 mµ logr = −(1 λ)logr1+λlogr2 th×:

( ) log (1 ) ( log 1) ( log 2) (1 ) ( )1 ( )2

Chơng 2 Hàm Robin và xấp xỉ hàm Green

trong đó P C( )N là tập các đa thức trong C có bậc 1.N ≤

Tiếp theo nếu K là compact chính quy và à là độ đo Borel xác xuất trên

2.2 Hàm Robin và dãy các hàm đa điều hoà dới

Cho u∈ =L : L C( )N ký hiệu ρu( )z là hàm Robin của u trên C xácN

định bởi:

( ) lim { ( ) log }

λ λ

Suy ra tồn tại k để Z là không đa cực theo định lý 1.3.3.5 sup k n

n u

Khi đó ( )lim trên N \ ˆ

Chứng minh:

Lấy n n≥ 0( )ε Khi đó w n ≤ε q.e trên K suy ra w n ≤V K∗ +ε

Thật vậy lấy E⊂K , E đa cực để w n <ε trên K E hay \ w n − ≤ε 0 trên

ii) Mọi thành phần liên thông của phần trong của ˆ K (ký hiệu int K( )ˆ ),

có một điểm z0 sao cho lim n( )0 0

trên int K tiếp theo xét ˆ z1∈∂Kˆ khi đó tồn tại ( )ξj j 1

2.3 Dãy các đa thức.

Giả sử à là độ đo Borel hữu hạn trên C với suppN à =K Ta có thể xem

à là độ đo xác xuất: à( )K =1 và K không bao hàm trong một siêu mặt đại số

của C tức là không bao hàm trong một tập là không điểm của một đa thứcN

khác không

Cho α β, ∈ZN,α =(α1, ,αN),β =(β1, ,βN) Ta viết α β< nếu

α ≤ β và α < β hay α = β thì tồn tại 1 l N≤ ≤ để α βi = i, 1∀ ≤ ≤ −i l 1nhng α βl > l

Xét dãy các đơn thức { }zα N

α ∈Z+ với thứ tự trên Do K không chứa trong

một siêu mặt nên { }zα N

α ∈Z+ độc lập tuyến tính trên K và do à là độ đo xácxuất nên { }zα N

1

L

a L

λπ

Bởi tính toán sơ cấp ta thấy maximum của e r r2 2L( )α −1 trên L( )α ∞, ) đạt tại

a L

α

λπ

L L

λπ

0 0

L

a a

c

L L

là compact trong R và N θ ∈∑ 0 khi đó hằng sốC( K, gọi là hằng sốθ)

Tchebyshev theo hớng θ xác định nh sau với α∈Z xét:+N

Đó chính là khoảng cách trong C K từ z( ) α tới không gian véctơ sinh bởi zβ,

β α< Do không gian trên là hữu hạn chiều nên tồn tại tα zα d zβ0 β

β α <

αα

j

f

K b

α α

( )

j K j

( ) ( )

f

K b

α α α

,

j j

,

j j

VËy tõ (3.42) suy ra

1

1lim

,

j j j

,

j j

( ) ( )

( ) ( )

f

K b

α α

L

α α

α α

e L

ii) ∀ ∈θ ∑ 0 ,∃(α( )j ) thoả mãn (3.41) sao cho ( )fα( )j là aTθ

iii) Mọi thành phần liên thông của int K có một điểm ˆ z để:0

( )( ) ( )

0

1 0

áp dụng (i) và (ii) cùng với [B3 Định lý 4.2] suy ra nếu ( )fα ∈Z thì

Luận văn trình bày vai trò quan trọng của hàm Green hay hàm cực trịtoàn cục trong lý thuyết đa thế vị phức

Nghiên cứu tập các dãy đa thức thức { }fα α N

Dựa trên một số kết quả quan trọng của hàm Robin và dãy các hàm đa

điều hoà dới thể hiện ở mục 2.2 của chơng 2 Luận văn đã trình bày công trìnhgần đây của Bloom về việc chứng minh rằng: Với mọi tập compact chính quy

N

E⊂C tồn tại độ đo Gauss trên không gian các dãy đa thức sao cho các dãy

đa thức không thoả mãn yêu cầu có độ đo không Kết quả đó đợc thể hiện làviệc chứng minh các bổ đề, mệnh đề và định lý trong mục 2.3 (Dãy các đathức) của chơng 2

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải Hàm biến phức - Nhà xuất bản Đại họcquốc gia Hà Nội (2001)

2 Nguyễn Văn Khuê, Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái Cơ sở lý thuyết hàm và giảitích hàm - Nhà xuất bản Giáo dục (2001)

3 [BSS] H-P.Blatt, E.B Safl and M.Simkani, Jentsch-Szego Type theorems forthe zeros of best approximants, J.London Math Soc (2) 38 (1988), 307-316.

4 [B1] T.Bloom, Orthogonal polynomials in n, Indiana University Math J (2)

7 [BT2] E.Bedord and B.A.Taylor, Plurisubharmonic functions withlogarithmic singularities, Ann de l’Inst Fourier (Genoble) 38 (1988), 133-171

8 [K] M.Klimek, Pluripotential Theory, London Mathematical Society,Mongraphs, New Series, vol.6, Oxford University Press, 1991

9 [R] T.Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, LondonMathematical Society, Student Texts ,vol 28, Cambridge University Press,1995

10 [Z] A Zeriahi Capacite, constante de Cebysev et polynomesorthogonaux associes a un compact de n, Bull Sci Math (2), 109 (1985),325-335