Chương 2:Bài toán đối ngẫu

Chương 2:Bài Toán đối ngẫu,chứa đầy đủ các dạng của bài toán đối ngẫu,có ví dụ và cách giải cụ thể cho mỗi dạng,cuối chương co bài tập để các bạn cô động lại kiến thức

BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

1

NỘI DUNG CHƯƠNG

2.1 Ý nghĩa và cách lập bài toán đối ngẫu

2.2 Giải bài toán đối ngẫu

2.3 Ứng dụng của bài toán đối ngẫu

2

Xét bài toán sản xuất tối ưu:

Có một đối tác đặt vấn đề mua toàn bộ nguyên

liệu của cty A Hãy lập bài toán định giá mua

ng/liệu rẻ nhất

2 3 10000

2 3 3 50000 (2.1.1)

2 3 4 30000

j 0, 1,2,3

 

3

Ý nghĩa và cách lập bài toán đối ngẫu

Gọi yi, i=1,2,3 là giá mua 1 đ/vị nguyên liệu

đường, sữa, bột tương ứng

Bài toán (2.1.1)’ gọi là BTĐN của (2.1.1)

10000 50000 30000 min

2 2 2

2 3 3 3 (2.1.1)

3 3 4 4

i 0, 1,2,3



Bài toán xuất phát(ĐNgẫu) Bài toán đối ngẫu (X.phát)

5

1 1 n n max

Z c x   c x  Z b y  1 1  b y m mmin

1

,( 1, )

n

ij j i

j



  

  

 



0

tuøy yù

j

x    j  n

,( 1, )

m

ij i j



  

  

 



0

0 ,( 1, ) tuøy yù

i

y    i  m

RBD ngược dấu RBC

RBC cùng dấu RBD xj

Lập bài toán đối ngẫu

Ví dụ 2.1.1a Xét bài toán QHTT

6

7 4 2 28

3 3 10

2 3 15

j 0, 1,3

BTDN

28 10 15 min

7 3 2 2

4 3 1

2 3 8

0, 0

    

  

  

   

 

Lập bài toán đối ngẫu

b)

1 2

2 2 2

4 3

2 4

2 5

, 0

x x



1 3 2 4

2 3 4 5 max

2 2 1

2 2 2

4 3 , 0; , 0

y y y y

      

   

   

BTĐN

Cặp ràng buộc đối ngẫu

Trong một cặp bài toán đối ngẫu, ta gọi hai ràng

buộc bất đẳng thức trong hai bài toán cùng tương

ứng với một chỉ số(quy định dấu lẫn nhau) là một

cặp ràng buộc đối ngẫu

8

Cặp ràng buộc đối ngẫu

Ví dụ 2.1.2 Ở ví dụ 2.1.1a thì có 5 cặp ràng buộc

đối ngẫu sau:

Các định lý đối ngẫu

Định lý đối ngẫu yếu:

Nếu x*là phương án tùy ý của bài toán gốc (P)

và y* là phương án tùy ý của bài toán đối ngẫu

(D) thì Z(x*) ≤ Z’(y*).

Hệ quả 1:

Nếu một trong hai bài toán (của cặp bài toán đối

ngẫu) có phương án tối ưu thì bài toán còn lại

cũng có phương án tối ưu

10

Các định lý đối ngẫu

Hệ quả 2:

Nếu x 0 là PA của (P)

y 0 là PA của (D)

và Z(x 0 ) = Z’(y 0 )



 





x 0 là PATƯ của (P)

y 0 là PATƯ của (D)







Các định lý đối ngẫu

Định lý đối ngẫu mạnh:

12

Nếu x * là PATƯ của (P)

y * là PATƯ của (D)

*

Z x Z y





Các định lý đối ngẫu

Định lý độ lệch bù yếu:

Điều kiện cần và đủ để PA x0 của bài toán (P) và

PA y0của bài toán (D) là là 2 PA tối ưu là:

1

1

0,( 1, ) 0,( 1, )

m

i n

j







 







Các định lý đối ngẫu

Hoặc phát biểu tương đương:

Đk cần và đủ để x0và y0 là PATƯ của bài toán (P)

và (D) tương ứng là trong từng cặp ràng buộc đối

ngẫu của cặp bài toán đó: nếu một ràng buộc (của

bài toán này) thỏa mãn với dấu bất đẳng thức thực

sự (thỏa mãn lỏng) thì ràng buộc còn lại (của bài

toán kia) phải thỏa mãn với dấu đẳng thức (thỏa

mãn chặt), i.e.,

14

Các định lý đối ngẫu

.

1 1

- Neáu xj  0 hay xj  0 thì a yj    a ymj m  cj

1 1

- Neáu a xi + +a  in nx >(<) thì bi y i 0

1 1

- Neáu yi  0 hay yi  0 thì a xi    a xin n  bi

1 1



2.2 Giải BTĐN khi biết PATƯ BT gốc

Cho bt QHTT (P) và một PATƯ x0 Cần giải btdn

(D) của (P)?

Bước 1: Lập btđn (D) của (P)

Bước 2: Lập hệ pt tối ưu cho biến bt (D)

(dựa vào đlý độ lệch bù yếu)

- Giải hệ này tìm nghiệm y0 Bước 3: Kết luận lời giải cho bt (D)

- Nếu y0thỏa các Rb còn lại của (D) thì

nó là PATƯ cần tìm của (D)

16

2.2 Giải BTĐN khi biết PATƯ BT gốc

Vi dụ 2.2.1:

Có phương án tối ưu la x0=(7,0,-9) Hãy lập và

giải bài toán đối ngẫu của bài toán trên?

Z x x x

x x x

x x x

x x x

x x x

2.2 Giải BTĐN khi biết PATƯ BT gốc

BTĐN của bt (2.2.1) là:

1 2

y y y

 

 

 

Z  y  y  y 

3 y 2 y 4 y 3

2 y  y  2 y  4

4 y 5 y 2 y 1

1, ,2 3 0

y y y 

2.2 Giải BTĐN khi biết PATƯ BT gốc

Do x0=(7,0,-9) là PATƯ của bt (2.2.1) nên theo

đlý đ.l.b.y ta có hệ:

Ta thấy y0=(1/5, 0, 9/10) thỏa các RB của btđn

nên nó là PATƯ của btdn và

2

0

y







1 2 3

1/ 5 0

9 / 10

y y y

 



 



max 12

Z 

2.3 Ứng dụng của bài toán đối ngẫu

2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu

2.3.2 Kiểm chứng tính tối ưu của một PA

2.3.3 Tìm tập PATƯ của một bài toán QHTT

20

2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu

Cho bt QHTT (P) khó giải thì ta giải (P) thông qua

btđn (Q) của (P) như sau:

Bước 1: Lập btđn (Q) của (P)

Bước 2: Giải (Q) bằng PP đơn hình

- Nếu (Q) không có lời giải(P) không có lời giải KT

- Nếu (Q) có PATƯ Bước 3

2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu

Bước 3: Lập hệ pt tối ưu cho biến bt (P) (*)

(dựa vào định lý độ lệch bù yếu)

- Giải hệ này tìm nghiệm x0∈Rn

- x0thỏa tất cả các ràng buộc của (P) thì ` nó

là PATƯ của (P)

Chú ý: (*) là hệ pttt luôn hoặc có nghiệm duy nhất

hoặc vô số nghiệm

22

2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu

Đặc biệt:PP này rất hiệu quả khi (P) có dạng

trường hợp này thì btđn của (P2.3.1) có dạng

1

1

n

j j j j

n

ij j i i j

j

Z c x c

a x b b i m

x j n









2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu

Giải (Q2.3.1) bằng cách thêm vào n biến phụ

ym+k, (k=1, ,n) và dùng PP đơn hình

Nếu (Q2.3.1) tối ưu thì các hệ số ước lượng trong

bảng đơn hình tối ưu (m+1, , m+n) ứng với các

biến phụ ym+klà PATƯ của (P2.3.1)

24

1

1

max , 1, (Q3.2.1)

0, 1,

m

i i i m

i i









2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu

Ví dụ 2.3.1 Giải bt QHTT sau:

Chỉ cần thêm vào 3 biến phụ y4,y5,y6ta sẽ có bt

dạng chuẩn

12 27 6 min

2 3 2 12

(P3.1) 3 6

6 9 2 24

j 0, 1,3

  

  

  

 

12 6 24 max

2 6 12

3 3 9 27 (Q3.1)

2 2 6

i 0, 1,3

 

btđn

2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu

Bảng 1

Do hệ số icòn < 0 nên PA chưa tối ưu Chon

y3vào cơ sở, y4ra khỏi cơ sở, phần tử trụ a13=6

26

Bảng 2

Do hệ số i còn < 0 nên PA chưa tối ưu Chon y1

vào cơ sở, y6 ra khỏi cơ sở, phần tử trụ a31=4/3

6

j

27

2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu

Bảng 3

Do i  0, i nên PA đã tối ưu

2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu

PATƯ của btđn y*=(3/2, 0, 3/2)

Theo đlý độ lệch bù yếu ta có hệ:

Ta thấy x*=(3, 0, 3) thỏa các RB của bt (P3.1) nên

nó là PATƯ của bài toán và Zmin=54

2

0

x







1 2 3

3 0 3

x x x

 



 



2.3.1 Giải bt QHTT bằng bài toán đối ngẫu

NX: Ta thấy bt (P3.1) là trường hợp đặc biệt của

(P2.3.1) nên ta kết luận lời giải của nó như sau:

Từ bảng tối ưu (bảng 3) ta có: (4,5,6)=(3,0,3)

nên PATƯ của (P3.1) là: x*=(3,0,3) và Zmin=54

30

2.3.2 Kiểm chứng tính tối ưu của một PA.

Cho bt QHTT (P) và một vector x0∈Rn Hỏi x0có

phải là PATƯ của (P) không?

Lời giải:

Bước 1: Kiểm tra x0 có là PA của (P) không

Nếu phảiBước 2

Bước 2: Lập btđn (Q) của (P) Giả sử x0là

PATƯ của (P)

Bước 3: Lập hệ PT tối ưu theo biến bt (Q)

2.3.2 Kiểm chứng tính tối ưu của một PA.

Giải hệ pt tối ưu tìm nghiệm:

- Nếu hệ vô nghiệm x0 không là PATƯ

- Nếu hệ có nghiệm y0∈RmBước 4

Bước 4:

- Nếu y0 không thỏa các RB còn lại của (Q)

thì y0 không là PA của (Q) Do đó x0 không là

PATƯ của (P)

- Nếu y0 thỏa các RB còn lại của (Q) thì nó là

PATƯ của (Q) Do đó x0là PATƯ của (P)

32

2.3.2 Kiểm chứng tính tối ưu của một PA.

Ví dụ 2.3.2:Cho bt QHTT sau và x0=(2,0,4,0)

Kiểm tra xem x0 có phải là PATƯ của (P2.3.2)

không?

1 2 3 4

2 6

3 + 2 4 (P2.3.2)

4

, , , 0



x x x x

2.3.2 Kiểm chứng tính tối ưu của một PA.

Ta thấy x0 thỏa các RB của (P2.3.2) nên nó là PA

của (P2.3.2)

BTĐN của (P2.3.2) là:

34

3

3 2 2

2 4 (Q2.3.2)

2 4

y

 

2.3.2 Kiểm chứng tính tối ưu của một PA.

Giả sử x0=(2,0,4,0) là PATƯ của (P2.3.2)

Theo đlý đ.l.b.y là có hệ:

y0 = (2,0,0) thỏa các RB của (Q2.3.2) nên nó là

PATƯ của (Q2.3.2)

Do đó x0=(2,0,4,0) là PATƯ của bài toán (P2.3.2)

2

0

3 2

2 4

y









1 2 3

2 0 0

y y y

 



 

 



2.3.3 Tìm tập PATƯ của một bài toán QHTT

Trường hợp BT QHTT (P) có vô số PATƯ Để tìm tập

PATƯ của bài toán ta làm như sau:

(P) Hệ này là hệ pttt có vô số nghiệm Tập nghiệm của hệ này thỏa các RB của (P) là tập PATƯ cần tìm.

36

2.3.3 Tìm tập PATƯ của một bài toán QHTT

Ví dụ 2.3.3 Tím tập PATƯ của bt QHTT sau:

Dùng PP hình học dễ dàng ta tìm được một PATƯ

của bt là x*=(-9/4, -5/2)

1

2 3 min

2 2

2 (P3.3)

2 3 12

1

  

  

  



x

2.3.3 Tìm tập PATƯ của một bài toán QHTT

BTĐN của (P3.3) là:

Do x * =(-9/4, -5/2) là PATƯ của (P3.3) nên theo đlý

đ.l.b.y ta có hệ

38

2 2 12 max

2 2 2

3 3 (Q3.3) , , 0, 0

y y y y

      

   

   

 

*

3 3 (0,0,1,0)





2.3.3 Tìm tập PATƯ của một bài toán QHTT

y*=(0,0,1,0) thỏa các RB của (Q3.3) nên nó là

PATƯ cùa (Q3.3) Theo đlý đ.l.b.y ta có hệ:

Tập nghiệm pt:

Để  là tập PATƯ của (P3.3) thì  phải thỏa hệ

 2 x1 3 x2   12

{( 6 3 / 2, ) /    }

2( 6 3 / 2) 2

6 3 / 2 1







2.3.3 Tìm tập PATƯ của một bài toán QHTT

Tập PATƯ của (P3.3) là:

40