Toạ độ trong mặt phẳng

Tam giác vuông: Tam giác ABC vuông tại A thì: + Tâm ñường tròn ngoại tiếp là trung ñiểm cạnh... VÊ DUÛ MINH HOÜA: Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của ñường thẳng ∆ qua ñiểm a Tín

M Ụ C L Ụ C

Trang CHUYÊN ðỀ 1: PH ƯƠ NG PHÁP T Ọ A ðỘ TRONG M Ặ T PH Ẳ NG

Phương trình ñường thẳng……… …… 4

Phương trình ñường tròn……… … 17

Ba ñường Cônic……… … 26

CHUYÊN ðỀ 2: PH ƯƠ NG PHÁP T Ọ A ðỘ TRONG KHÔNG GIAN

Phương trình mặt phẳng……… …… 36

Phương trình ñường thẳng ……… …… 56

Phương trình mặt cầu……….… … 70

CHUYÊN ðỀ 3: HÌNH H Ọ C KHÔNG GIAN……… ……… 73

Thể tích của khối ña diện 88

Chứng minh ñường thẳng vuông góc mặt phẳng 92

Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 94

Dựng ñường cao của hình chóp 96

Dựng một mặt phẳng vuông góc với một mặt bên của hình chóp 102

Cách dựng hình chiếu của một ñiểm lên một mặt phẳng 104

Tìm góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng 107

Xác ñịnh góc giữa hai mặt phẳng 111

Tính các khoảng cách 103

TRUNG TĐM BDVH & LUYỆ N THI THĂNH ðẠ T “Vì chất lượng thật trong giâo dục”

A TÓM TẮT

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT LÝ THUYẾT LÝ THUYẾT::::

HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ

HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ

1 Biểu thức toạ ñộ của vectơ:

y x

x

x v

u

3 Tích vô hướng của hai vectơ, góc giữa hai vectơ:

Cho hai vectơ u = (x,y)vă v = (x',y') Ta có:

• u v = xx ' + yy '

' '

' ' )

, cos(

y x y x

yy xx v

u

+ +

+

=

HQ: u ⊥ v ⇔ u v = 0

4 Toạ ñộ của vectơ xâc ñịnh bởi hai ñiểm:

Cho A(xA, yA) vă B(xB,, yB) Khi ñó toạ ñộ vectơ AB lă:

AB = ( xB − xA, yB − yA)

5 Hai vectơ cùng phương – Ba ñiểm thẳng hăng:

• u = (x, y) cùng phương v = (x' ,y' ) khi u = k v

• Ba ñiểm A, B, C thẳng hăng khi AB cùng phương AC

6 Tọa ñộ trung ñiểm I của ñoạn AB:

I

B A

I

y y

y

x x

x

7 Xác ñịnh các yếu tố trong tam giác:

a) Trọng tâm G của tam giác ABC

Toạ ñộ trọng tâm G của tam giác ABC:

=

++

=

3

3

C B

Á G

C B

A G

y y

y x

x x

x x

b) Trực tâm H của tam giác ABC:

H là trực tâm tam giác ABC khi: 

0

AC BH

BC AH

c) Tâm I ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

I là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: 

2 2

IC IB

IB IA

d) Chân ñường phân giác của tam giác:

D là chân ñường phân giác hạ từ ñỉnh A khi DB = − AC AB DC

e) Diện tích tam giác ABC:

• 2. 2 ( . )2

2

1

AC AB AC

(Công thức này chỉ sử dụng ñể kiểm tra kết quả)

8 Một số trường hợp ñặc biệt lưu ý:

• ðiểm M∈ Ox thì toạ ñộ M có dạng M(x, 0)

• ðiểm M∈ Oy thì toạ ñộ M có dạng M(0, y)

• Với ñiểm M(x, y) ta có:

+ ðiểm M’ ñối xứng với M qua Ox thì M’(x, –y)

+ ðiểm M’ ñối xứng với M qua Oy thì M’(– x, y)

TRUNG TÂM BDVH & LUYỆ N THI THÀNH ðẠ T “Vì chất lượng thật trong giáo dục”

1 Phương trình tổng quát của ñường thẳng:

ðường thẳng (d) qua M(x0, y0) nhận n = (A,B)làm vectơ pháp

tuyến có phương trình tổng quát là:

y

at x

4 Quan hệ về vuông góc và song song của hai ñường thẳng:

Cho ñường thẳng (d) có phương trình: Ax + By + C = 0

+ ðường thẳng (∆) vuông góc với (d) có dạng: –Bx + Ay + m = 0

C By Ax

+ + +

5 Góc giữa hai ñường thẳng :

II KI Ế N TH Ứ C LIÊN QUAN ðẾ N TAM GIÁC - T Ứ GIÁC

I Trọng tâm G của tam giác ABC:

• G là giao ñiểm của ba ñường trung tuyến AA’,

B C Á

AA



= 3GA'



II Trực tâm H của tam giác ABC:

• H là giao ñiểm của ba ñường cao AM BN và

TRUNG TÂM BDVH & LUYỆ N THI THÀNH ðẠ T “Vì chất lượng thật trong giáo dục”

• Nếu có tọa ñộ A, B và C muốn tìm I ta dùng hệ

V Tính chất tia phân giác của góc:

Cho Oz là tia phân giác của góc xOy Hai tính

chất hay dùng là:

+ Nếu M thuộc tia Ox và N là ñiểm ñối xứng

với M qua Oz thì N thuộc tia Oy

+ Nếu A thuộc tia Oz thì d(A, Ox) = d(A, Oy)

VI Tam giác cân:

Tam giác ABC cân tại A thì:

+ AB = AC, ABC= ACB

+ ðường trung tuyến hạ từ ñỉnh A vừa là ñường

cao, ñường phân giác, ñường trung trực

C B

A

VII Tam giác ñều:

+ Ba ñường trung tuyến ñồng thời là ba ñường

cao, ba ñường phân giác, ba ñường trung trực

+ Trọng tâm cũng chính là trực tâm, tâm ñường

tròn nội tiếp, tâm ñường tròn ngoại tiếp

VIII Tam giác vuông:

Tam giác ABC vuông tại A thì:

+ Tâm ñường tròn ngoại tiếp là trung ñiểm cạnh

X Hình thoi ABCD:

• Có các tính chất của hình bình hành

• AB = BC = CD = DA

• Hai ñường chéo vuông góc với nhau

• Mỗi ñường chéo là một ñường phân giác

của hai góc nó ñi qua

XI Hình chữ nhật ABCD

• Có các tính chất của hình bình hành

• Hai cạnh liên tiếp vuông góc với nhau

• Hai ñường chéo bằng nhau

• Mỗi ñường chéo là một ñường phân giác

hai góc mà nó ñi qua

B VÊ DUÛ MINH HOÜA:

B VÊ DUÛ MINH HOÜA:

Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của ñường thẳng (∆) qua ñiểm

a) Tính khoảng cách từ ñiểm M(1; 2) ñến ñường thẳng (d 1 )

b) Tính khoảng cách từ ñiểm N(2;–1) ñến ñường thẳng (d2)

Giải

a) Khoảng cách từ ñiểm M(1; 2) ñến ñường thẳng (d1) là

TRUNG TÂM BDVH & LUYỆ N THI THÀNH ðẠ T “Vì chất lượng thật trong giáo dục”

1

2 2

| 4.1 3.2 3 | 13d(M, d )

a) Tìm ñiểm M ∈ (d 1 ) sao cho khoảng cách từ ñiểm M ñến (d 3 ) bằng 2

b)Tìm ñiểm A thuộc ñường thẳng (d 3 ) sao cho khoảng cách từ M ñến

a) Viết phương trình ñường cao hạ từ A của tam giác ABC

b) Tìm toạ ñộ ñiểm A’ ñối xứng với A qua ñường thẳng (BC)

−

Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): x + y – 2 = 0, (d’) :

3x – y + 8 = 0 Viết phương trình ñường thẳng (∆) cắt (d), (d’) lần lượt

M, N sao cho I(1 ; 2) lă trung ñiểm MN

−

=+

103

b

b a y

y y

x x

x

N M

I

N M

Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân tại A, có B nằm

trên đường thẳng (d): x + y – 2 = 0, đỉnh A(2; –1) và trọng tâm tam giác

ABC là G(–1; – 2) Xác định toạ độ các đỉnh B và C

Giải

TRUNG TĐM BDVH & LUYỆ N THI THĂNH ðẠ T “Vì chất lượng thật trong giâo dục”

Gọi M(x; y) là trung điểm của BC ta có:GM = (x + 1; y + 2), AG

B là giao điểm của (BC) và (d) nên B(– 6; 8) Từ đó ta có C(1; – 13)

Ví dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): 2x – 3y + 1 = 0 và

điểm M(3; –2) Tam giác ABC vuông tại B, có trung điểm của đoạn AC

là I(3; 1), đỉnh A nằm trên trục hoành và cạnh AB nằm trên đường thẳng

(d) Xác định toạ độ A, B và C

137

Ví dụ 8 : Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A nằm trên

đường thẳng (d): x – 4y – 2 = 0, cạnh BC song song với (d), phương

trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm cạnh AC là M(1; 1)

Tìm toạ độ đỉnh A, B và C

y x

y x

Vì M là trung điểm của AC nên C 8 8;

= +

−

0 3

0 8 4

y x

Ví dụ 9 : Trong mp Oxy cho ba ñiểm A(2 ; 1), B(1 ; –1) vă C(2 ; –1)

a) Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm A vă câch ñều hai ñiểm B

2

b a

b a b a b

a

b a b a

b a b a

−

−

−

b a

TRUNG TÂM BDVH & LUYỆ N THI THÀNH ðẠ T “Vì chất lượng thật trong giáo dục”

(∆’): 3x – 3 y – 3 – 3 = 0

Ví dụ 10: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có

A(1; 2), ñường trung trực cạnh BC và ñường trung tuyến kẻ từ B lần

lượt nằm trên hai ñường thẳng (d 1 ): 2x – 4y – 7 = 0 và (d 2 ): x – y – 2 =

0 Tìm tọa ñộ hai ñỉnh B và C

Giải

Gọi B(a; a – 2) ∈ (d2) và C(b; c) Khi ñó:

Tọa ñộ trung ñiểm cạnh BC là

Vec tơ chỉ phương của ñường thẳng (BC) là: BC


 = −(b a c; − +a 2)

Vectơ chỉ phương của ñường trung trực cạnh BC làu =(2;1)

Ví dụ 11: Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, hãy viết phương trình các

cạnh của tam giác ABC biết trực tâm H(1; 0), chân ñường cao hạ từ ñỉnh

ñộ các ñỉnh hình chữ nhật biết rằng A có hoành ñộ âm

HD:

+ Gọi M là trung ñiểm AB thì M là hình chiếu của I lên (AB)

⇒ Tọa ñộ M

+ Do BC = 2AB nên AB = IM Do ñó A, B là các giao ñiểm của ñường

tròn (C) tâm M ñường kính AB

+ A, B là giao ñiểm của (C) và ñường thẳng (AB)

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ ñộ Oxy, cho hình vuông ABCD

có A(2; 1), cạnh BD của hình vuông nằm trên ñường thẳng (d): x – y + 3

= 0 Xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh B, C và D

HD:

+ Tâm I của hình vuông là hình chiếu của A lên (BD)

+ Tính IA suy ra IB Hai ñỉnh B, D là giao ñiểm của ñường tròn tâm I

bán kính IB với ñường thẳng (d)

TRUNG TÂM BDVH & LUYỆ N THI THÀNH ðẠ T “Vì chất lượng thật trong giáo dục”

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC

vuông tại A có phương trình ñường trung tuyến hạ từ A là (d): x + y – 1

= 0, phương trình cạnh BC là 2x – y + 3 = 0 và ñỉnh C thuộc trục Oy

Viết phương trình cạnh AB của tam giác

HD:

+ Gọi I là trung ñiểm BC thì I là giao ñiểm của (d) và (BC)

+ C là giao ñiểm của Oy và (BC)

+ I là trung ñiểm BC nên tìm ñược B

+ A ∈ (d) và 2AI = BC suy ra ñược A

Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC biết

phương trình các ñường thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y

– 4 = 0; x – y – 1 = 0 Phân giác trong của góc A nằm trên ñường thẳng

(d): x + 2y – 6 = 0 Tìm tọa ñộ các ñỉnh của tam giác ABC

HD

+ ðỉnh B = AB ∩ BC

+ ðỉnh A = AB ∩ (d)

+ Gọi B’ là ñiểm ñối xứng với B qua ñường thẳng (d) thì B’ ∈ (AC) (Vì

(d) là phân giác trong góc A)

+ ðường thẳng AC qua A và M Từ ñó tìm ñược C

Bài 5: Cho tam giác ABC có ñỉnh A(2; 1), phương trình hai ñường cao

Bài 6: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB: 2x – y + 1 = 0,

AC: x + y + 2 = 0 và trọng tâm G(1; –3) Xác ñịnh tọa ñộ trực tâm tam

Bài 8: Cho hai ñiểm A(2; 1), B(–4; 3) và ñường thẳng dm : x + 2y – 3+

m = 0 Xác ñịnh m ñể trên ñường thẳng dm có ñúng một ñiểm N sao cho

tam giác ABN vuông tại N

Bài 9: Cho hai ñường thẳng (d): 2x – y + 3 = 0, (d’): x – y – 2 = 0 và

ñiểm A(–3; 6) Viết phương trình ñường thẳng cắt ñường thẳng (d) và

(d’) lần lượt B, C sao cho ñiểm G(–1; 2) là trọng tâm của tam giác ABC

HD:

+ Gọi B(b; 2b + 3) và C(c; c – 2)

+ G là trọng tâm ∆ABC suy ra b và c Do ñó tìm ñược B và C

+ ðường thẳng (d) ñi qua B và C

Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có phương trình hai

cạnh AB, AD thứ tự là: x + 2y – 2 = 0 và 2x + y + 1= 0 Cạnh BD chứa

ñiểm M (1; 2) Tìm toạ ñộ các ñỉnh của hình thoi

HD:

+ A = AB ∩ AD

+ Gọi B(2b – 2; b) và D(d; –2d –1) Do ∆ABD cân tại A và M ∈ BD nên

AB = AD và M, B, D thẳng hàng suy ra ñược b và d Từ ñó tìm ñược B

và D

TRUNG TÂM BDVH & LUYỆ N THI THÀNH ðẠ T “Vì chất lượng thật trong giáo dục”

+ Gọi I là trung ñiểm BD ta tìm ñược I Từ ñó tìm ñược C

Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy, xác ñịnh toạ ñộ các ñiểm B và C của tam

giác ñều ABC biết A (3;– 5)  và trọng tâm G(1; 1)

HD:

+ Gọi M là trung ñiểm BC Suy ra tọa ñộ M và ñộ dài ñoạn thẳng AM,

MB

+ ðường thẳng BC qua M và ⊥ AM

+ B, C thuộc ñường tròn tâm M, bán kính MB

Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC với

5

AB = , C(–1; –1), ñường thẳng AB có phương trình x + 2y – 3 = 0 và

trọng tâm G của tam giác ABC thuộc ñường thẳng x + y - 2 = 0 Hãy

tìm toạ ñộ các ñiểm A và B

Bài 13:Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD

có diện tích bằng 12, tâm I là giao ñiểm của hai ñường thẳng (d1): x – y

– 3 = 0 và (d2): x + y – 6 = 0 Trung ñiểm M của cạnh AD là giao ñiểm

của ñường thẳng (d1) với trục Ox Tìm toạ ñộ các ñỉnh của hình chữ

+ Viết phương trình ñường thẳng AD và ñường tròn ñường kính AD

Suy ra hai ñiểm A và D

Bài 14:Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích

bằng 4 Biết toạ ñộ các ñỉnh A(2; 0) , B (3;0) và I là giao ñiểm của hai

ñường chéo AC và BD, I nằm trên ñường thẳng x – y = 0 Xác ñịnh toạ

ñộ các ñiểm C, D

HD:

+ SIAB = 1

4SABCD = 1 và AB = 1

+ Do SIAB = 1 nên d(I, AB) = 2

+ Gọi I(a; a) Dùng d(I, AB) = 2 ⇒ a = 2, a = – 2

⇒ I ⇒ C và D

Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC có ñỉnh

A(2; 1), trực tâm H(–1; 2) và trọng tâm G(4; – 1) Tìm tọa ñộ các ñỉnh B,

C

ĐƯỜNG TRÒN ĐƯỜNG TRÒN

lă phương trình ñường tròn tđm I(–A,– B) , bân kính R= A2 + B2 −C

2 Phương trình tiếp tuyến của ñường tròn

a) ðiều kiện tiếp xúc giữa ñường thẳng vă ñường tròn:

ðường thẳng (∆) tiếp xúc ñường tròn (C) ⇔ d(I, ∆) = R

b) Phương phâp viết phương trình tiếp tuyến của ñường tròn:

Băi toân 1: Viết phương trình tiếp tuyến của ñường tròn (C) tại ñiểm

+ ðiều kiện (∆) tiếp xúc ñường tròn (C) ⇔ d(I, ∆) = R

Từ ñó tìm A vă B, suy ra phương trình tiếp tuyến (∆) của (C)

Băi toân 3: Viết phương trình tiếp tuyến của ñường tròn (C) song song

( hoặc vuông góc) với ñường thẳng (d) cho trước

+ Viết dạng phương trình ñường thẳng (∆) song song ( hoặc vuông

góc) với (d)

+ Dùng ñiều kiện tiếp xúc ñể suy ra ñường thẳng (∆)

3 ðiều kiện tiếp xúc của hai ñường tròn:

Cho hai ñường tròn C(I, R) vă C(I’, R’) ta có:

+ (C) tiếp xúc ngoăi (C’) ⇔R + R’ = II’

+ (C) tiếp xúc trong (C’) ⇔ R – R' = II’

TRUNG TÂM BDVH & LUYỆ N THI THÀNH ðẠ T “Vì chất lượng thật trong giáo dục”

4 Lưu ý:

• ðiểm M nằm ngồi đường trịn (C) thì từ M kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến

Gọi MA, MB là các tiếp tuyến thì ta cĩ các tính chất sau:

+ MA = MB

+ AB ⊥ IM

+ IA ⊥ MA và IB ⊥ MB

+ IM là đường phân giác của gĩc AMB và

cũng là đường phân giác của gĩc AIB

• Nếu điểm A thuộc hai đường trịn

nên A thuộc đường thẳng ( ∆ ):2(A1 – A2)x + 2(B1 – B2)y + (C1 – C2) = 0

Vận dụng: Nếu hai đường trịn (C1): x2 + y2 + 2A1x + 2B1y + C1 = 0

và (C 2 ): x2 + y2 + 2A 2 x + 2B 2 y + C 2 = 0 cắt nhau tại hai điểm A, B thì lập luận

như trên ta được A, B ∈ ( ∆ ):2(A 1 – A 2 )x + 2(B 1 – B 2 )y + (C 1 – C 2 ) = 0 nên đường

thẳng (AB) chính là ( ∆ )

B VÊ DỦ MINH HOÜA:

B VÊ DỦ MINH HOÜA:

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết

A( – 1;2) , B(2;0) , C( – 3;1) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam

a b c

137

11

2

2 + y − x− y− =

x

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có ñỉnh

A(2; –1), B(0; 1) và C(1; 3)

a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của ñiểm B lên ñường thẳng AC Tìm

tọa ñộ ñiểm H và viết phương trình ñường tròn ngoại tiếp tam giác

HBC

b) Viết phương trình ñường tròn tâm thuộc trục hoành, tiếp xúc ñường

thẳng (∆): 3x + 4y + 10 = 0 và ñi qua ñiểm C

24x

y17

b) Gọi I(a; 0) ∈ (Ox) là tâm của ñường tròn (C)

ðường tròn (C) qua C và tiếp xúc (∆)

TRUNG TĐM BDVH & LUYỆ N THI THĂNH ðẠ T “Vì chất lượng thật trong giâo dục”

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(4; 0) cắt đường tròn

(C) theo một dây cung có độ dài bằng 4 2

Giải:

a) (C): x2

+ y2 – 4x + 2y – 4 = 0 có tâm I(2 ; –1), R = 3và đường thẳng

(∆): 3x + 4y + 13 = 0

Đường thẳng (d) // (∆) ⇒ (d) : 3x + 4y + m = 0 (d) tiếp xúc với đường

tròn (C) ⇔ d(I ; d) = R Từ đó tìm được m = 13 hoặc m = –17 Do đó

hai tiếp tuyến cần tìm là : 3x + 4y – 17 = 0 ( Đthẳng 3x + 4y + 13 = 0 bị

loại)

b) Gọi A, B là giao điểm của d với đường tròn và K là trung điểm

AB khi đó IK = 1 Do đó d là đường thẳng qua điểm M cách tâm I

đường tròn một khoảng bằng 1

Gọi n = (A ; B) là vectơ pháp tuyến của (d)

Khi đó

(d) : Ax + By – 4A = 0

d(I ; d) = 1 ⇔ | –2A – B| = A2 + B2 ⇔ 3A2 + 4B = 0

⇔ A = 0 hoặc 3A = – 4B

Từ đó ta được hai đường thẳng là: y = 0 và 4x – 3y – 16 = 0

Ví dụ 4: Trong maịt phaúng vôùi heô trúc tóa ñoô Oxy cho hó ñöôøng troøn

(C m) : x + y −2mx +4my +5m − =1 0

a) Chöùng minh raỉng hó (C m)luođn luođn tieâp xuùc vôùi hai ñöôøng thaúng coâ

ñònh

b) Tìm m ñeơ ( Cm) caĩt ñöôøng troøn 2 2

( ) :C x + y =1 tái hai ñieơm phađn bieôt A vaø B

Gói ñöôøng thaúng luođn tieâp xuùc (Cm) laø: Ax + By + C = 0 ( ) ∆

Vì hó (Cm) coù baùn kính R = 1 baỉnh nhau vaø taôp hôïp tađm I laø

ñöôøng thaúng d:2x + y = 0 neđn luođn toăn tái 2 ñöôøng thaúng ( ) ∆ coâ ñònh

tieâp xuùc vôùi (Cm) Ñöôøng thaúng ( ) ∆ ôû tređn song song vôùi d vaø caùch d

moôt ñoán baỉng 1