Công nghệ Thông tin

Trên V ta định nghĩaquan hệ tương đương như sau: u~v ⇔ u = v hay có một đường đi từ u đến v a Nếu u~v thì ta nói hai đỉnh u và v liên thông với nhau b Mỗi lớp tương đương được gọi là

TOÁN RỜI RẠC

Chương III

Đồ thị

Đồ thị

b

d a

k

e

h g c

Những khái niệm và tính chất cơ bản

d a

k

e

h g c

• Ta nói cạnh uv nối u với v, cạnh uv kề với

• Định nghĩa 2 Đồ thị vô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọi là đơn đồ thị vô hướng .

cạnh song song nhưng không có khuyên gọi

là đa đồ thị vô hướng.

cạnh song song và có khuyên gọi là giả đồ thị

Những khái niệm và tính chất cơ bản

b d a

k

e h g c

a

b

c d

b

c a

d

Những khái niệm và tính chất cơ bản

Những khái niệm và tính chất cơ bản

San Francisco

Denver Los Angeles

New York

Chicago

Washington Detroit

Những khái niệm và tính chất cơ bản

Ta nói cung uv đi từ u đến v, cung uv kề với u,v

Những khái niệm và tính chất cơ bản

• Nếu uv là một cung thì ta nói:

– Đỉnh u và v kề nhau

– Đỉnh u gọi là đỉnh đầu (gốc), đỉnh v là đỉnh cuối (ngọn)

của cung uv Đỉnh v là đỉnh sau của đỉnh u.

• Hai cung có cùng gốc và ngọn gọi là cung song song

• Cung có điểm gốc và ngọn trùng nhau gọi là

khuyên .

Chú ý

Những khái niệm và tính chất cơ bản

Những khái niệm và tính chất cơ bản

cạnh song song gọi là đồ thị có hướng

San Francisco

Denver

Los Angeles

New York Chicago

Washington Detroit

San Francisco

Denver

Los Angeles

New York Chicago

Washington Detroit

• Cho đồ thị vô hướng G = (V,E) Bậc của đỉnh

v, ký hiệu deg(v), là số cạnh kề với v, trong

đó một khuyên tại một đỉnh được đếm hai lần cho bậc của đỉnh ấy.

Những khái niệm và tính chất cơ bản

Bậc của đỉnh

a b

d c

f

e

Bậc của các đỉnh?

1) deg-(v):= số cung có đỉnh cuối là v, gọi là bậc

vào của v.

2) deg +(v):= số cung có đỉnh đầu là v,gọi là bậc ra

của v

3) deg(v):= deg- (v) + deg+(v)

 Đỉnh bậc 0 gọi là đỉnh cô lập Đỉnh bậc 1 gọi là

a b

d c

Cho đồ thị G = (V,E), m là số cạnh (cung)

Ta sử dụng ma trận kề.

Cho G = (V,E) với V={1,2,…,n}.

Ma trận kề của G là ma trận A = (aij)n xác định như sau:

aij = số cạnh (số cung) đi từ đỉnh i đến đỉnh j

Biểu diễn ma trận của đồ thị.

Tìm ma trận kề

a b

d c

b c d e f

Tìm ma trận kề

Định nghĩa

Cho hai đơn đồ thị G = (V,E) và G’= (V’,E’) Ta nói

rằng G đẳng cấu G’, ký hiệu G ≅ G’, nếu tồn tại song ánh f :V→ V’sao cho:

uv là cạnh của G ⇔ f(u)f(v) là cạnh của G’

Đẳng cấu

Đẳng cấu

a

b

c

d e

a

b

c

d e

deg(e) = 1

Không có đỉnh bậc 1

Không đẳng cấu

Ví dụ

b

c d

e

f

1

2 3

6 5

4

Đẳng cấu

b

4 d

e

1

2

3 c

5

Không đẳng cấu

Định nghĩa Cho G = (V,E) Trên V ta định nghĩa

quan hệ tương đương như sau:

u~v ⇔ u = v hay có một đường đi từ u đến v

a) Nếu u~v thì ta nói hai đỉnh u và v liên thông

với nhau

b) Mỗi lớp tương đương được gọi là một thành

phần liên thông của G

c) Nếu G chỉ có một thành phần liên thông thì G

gọi là liên thông

Đường đi, chu trình, đồ thị liên

thông:

Định nghĩa Cho G = (V,E) là đồ thị vô hướng

liên thông

a) Đỉnh v được gọi là đỉnh khớp nếu G – v

không liên thông (G – v là đồ thị con của G

có được bằng cách xoá v và các cạnh kề với v)

b) Cạnh e được gọi là cầu nếu G- e không liên

thông( G-e là đồ thị con của G có được bằng

38

Đường đi, chu trình, đồ thị liên

thông:

Cho G = (V,E) là đồ thị vô hướng u,v∈V

a) Đường đi (dây chuyền) có chiều dài k nối hai đỉnh u,v

là dãy đỉnh và cạnh liên tiếp nhau

v0e1v1e2…vk-1ekvk sao cho:

v 0=u ,v k = v, e i=v i-1v i , i=1,2,…,k

Đường đi, chu trình, đồ thị liên

thông:

a) Đường đi không có cạnh nào xuất hiện quá

một lần gọi là đường đi đơn

b) Đường đi không có đỉnh nào xuất hiện quá

một lần gọi là đường đi sơ cấp

c) Đường đi được gọi là chu trình nếu nó bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh

Đường đi, chu trình, đồ thị liên

thông:

(a,e1,b,e2,c,e3,d,e4,b ) là đường đi từ đỉnh a tới đỉnh b có chiều dài là 4

Tuy nhiên, trong trường hợp này, đồ thị của chúng ta là đơn

đồ thị, do vậy có thể gọi đường đi này bằng 1 cách ngắn gọn như sau: (a,b,c,d,b)

Chu trình sơ cấp: (b,c,d,b) (b,f,e,b)

Chu trình sơ cấp nào

không?

Bài toán đường đi ngắn nhất

• Đồ thị không có trọng số : đường đi từ đỉnh A đến đỉnh B được gọi là ngắn

nhất nếu như số cạnh nó đi qua là ít nhất.

• Đồ thị có trọng số : đường đi từ đỉnh A đến đỉnh B là ngắn nhất nếu như tổng các trọng số của các cạnh là bé nhất.

Bài toán đường đi ngắn nhất

Nhiều bài toán có thể mô hình bằng đồ thị có trọng số

Đó là đồ thị mà mỗi cạnh của nó được gán một con số (nguyên hoặc thực) gọi là trọng số ứng với cạnh đó Ví

dụ cần mô hình một hệ thống đường hàng không của nước ta Trong mô hình cơ sở, mỗi sân bay được

biểu diễn bằng một đỉnh, mỗi chuyến bay là một cạnh nối hai đỉnh tương ứng Nếu trong bài toán đang xét ta cần tính đến khoảng cách giữa các chuyến bay thì cần gán cho mỗi cạnh của đồ thị trên khoảng cách giữa các chuyến bay tương ứng

Bài toán đường đi ngắn nhất

Nếu quan tâm đến thời gian của mỗi chuyến bay thì ta sẽ gán các thời lượng này cho mỗi cạnh của đồ thị Nếu trong bài toán đang xét chúng ta lại tính đến chi phí của mỗi chuyến bay thì ta gán chi phí như trọng số ứng với cạnh nối hai thành phố tương ứng Trên hình biểu diễn các cách gán trọng số khác nhau cho các cạnh của đồ thị tùy theo mục đích của bài toán đặt ra

Bài toán đường đi ngắn nhất

957 765

560

Đà Nẵng Phú Bài

Tân-S-Nhất

Khoảng cách

Bài toán đường đi ngắn nhất

Bài toán đường đi ngắn nhất

Bài toán đường đi ngắn nhất

• Điều kiện tồn tại:

Điều kiện cần và đủ để tồn tại đường đi ngắn nhất

giữa 2 đỉnh bất kỳ trong một đồ thị có trọng số

là đồ thị phải liên thông.

1 Nếu hai đỉnh bất kì có đường đi ngắn nhất =>

đồ thị liên thông.

2 Nếu đồ thị liên thông

Xét hai đỉnh bất kì a và b, gọi W là tập tất cả các

đường đi từ a -> b => W khác rổng, W là tập hửu hạn => trong W chọn được đường đi có tổng trọng số bé nhất.

Bài toán đường đi ngắn nhất

• Giải thuật Moore_Dijkstra:

Input: G = (V, E) liên thông, có trọng số w(i, j), V= {1,……,n}

Output: đường đi ngắn nhất từ đỉnh a đến đỉnh z.

Chọn đỉnh có nhãn bé nhất không thuộc S gọi đó là u:

S:=S U {u}

Nếu L(u)+w(u,v) < L(v)

Thì L(v):= L(u)+w(u,v)

Quay lại bước 2

5

15

20 60

Bước Tập nút đã xét Nút

hiện tại

Khoảng cách ngắn nhất từ nút s(nút 0) đến các nút khác

0 1 2 3 4 5 B0

0->1->3->4->5

Duyệt đồ thị

1 Định nghĩa:

Duyệt đồ thị là hành động thăm tất cả các đỉnh của đồ

thị, mỗi đỉnh đúng 1 lần, theo một trình tự nào đó.

 Có hai phương pháp duyệt cơ bản:

 Duyệt theo chiều rộng.

 Duyệt theo chiều sâu.

3 Duyệt theo chiều rộng:

 Quá trình duyệt theo chiều rộng bắt đầu từ một đỉnh

v nào đó của đồ thị Sau đó thăm các đỉnh kề của v, rồi tiếp tục đến các đỉnh kề của đỉnh vừa thăm

 Giải thuật này ưu tiên duyệt tất cả các đỉnh nằm lân

cận với một đỉnh v đã duyệt nào đó rồi tiếp tục đến các mức tiếp theo nên gọi là duyệt theo chiều rộng Duyệt đồ thị – Duyệt theo chiều rộng (1)

Thực hiện các bước sau:

G(V, E), V={v1, v2, …., vn)

− Đưa đỉnh v1 vào hàng đợi

− Trong khi hàng đợi khác rỗng:

− Nếu thỏa yêu cầu của bài toán thì dừng.

Duyệt đồ thị – Duyệt theo chiều rộng (2)

• Lấy một đỉnh từ hàng đợi v

• Duyệt đỉnh v

• Đưa các đỉnhkề với v nhưng chưa được duyệt

vào hàng đợi.

Duyệt đồ thị – Duyệt theo chiều rộng (2)

Giải thuật:

Dùng một mảng B có n phần tử để đánh dấu các đỉnh đã duyệt.

Procedure Bfs(v);

Begin B[v]:=true;

Insert_queue(v,Q);

while not empty(Q) do Begin

lấy 1đỉnh v nào đó trong hàng đợi.

For (mỗi đỉnh w kề với v ) do

if (B[w]=false) then Begin

B[w]:=true; {duyệt W}

Insert_queue(w,Q);

End;

End;

Duyệt đồ thị – Duyệt theo chiều rộng (3)

Ví dụ:

 Lấy A, duyệt các đỉnh kề với A là B, C, D

 Lấy B, duyệt các đỉnh kề với B là F

 Lấy C, các đỉnh kề với C đã duyệt

 Lấy D, duyệt các đỉnh kề với D là E, G

 Lấy F, các đỉnh kề với F đã duyệt

 Lấy E, các đỉnh kề với E đã duyệt

 Lấy G Tất cả các nút đã được duyệt nên đồ thị đã duyệt xong

Duyệt đồ thị – Duyệt theo chiều sâu (1)

2 Duyệt theo chiều sâu:

 Quá trình duyệt theo chiều sâu bắt đầu từ một đỉnh

nào đó của đồ thị Sau khi thăm đỉnh này, quá trình duyệt theo chiều sâu được lặp lại với tất cả các đỉnh

kề với nó cho đến khi không còn thực hiện được nữa.

 Giải thuật này duyệt theo một hướng nào đó sâu

nhất có thể nên gọi là duyệt theo chiều sâu.

Duyệt đồ thị – Duyệt theo chiều sâu (2)

Giải thuật:

 Để xác định đỉnh nào đã thăm rồi đỉnh nào chưa thì

dùng một mảng B có n phần tử tương ứng với n đỉnh để đánh dấu.

• Đầu tiên B[i]:=false ứng với đỉnh i chưa được thăm.

• B[i]:=true khi đỉnh i đã được thăm.

Duyệt đồ thị – Duyệt theo chiều sâu (3)

Ví dụ:

 Duyệt A, A có các đỉnh kề là B, C, D

 Duyệt B, B có đỉnh kề chưa duyệt là F

 Duyệt F, F có các đỉnh kề chưa duyệt là D, G

 Duyệt D, D có các đỉnh kề chưa duyệt là C, E, G

 Duyệt C, các đỉnh kề với C đã duyệt

 Duyệt E, các đỉnh kề với E chưa duyệt là G

 Duyệt G Tất cả các nút đã được duyệt nên đồ thị đã duyệt

1 Cây:

1.1 Định nghĩa:

Cây là đơn đồ thị liên thông, không có chu trình

Vd: Đồ thị nào trong các đồ thị là cây.

CÂY VÀ CÂY KHUNG

đó là đỉnh a.

Ta xóa đi đỉnh a => đồ thị còn lại là cây có k

đỉnh, có k-1 cạnh

Vậy cây ban đầu có k-1+1=k cạnh.

CÂY VÀ CÂY KHUNG(tt)

b Trong một cây giửa hai đỉnh bất kỳ của cây có duy nhất một đường đi.

2 Cây khung:

Cho G=(V, E) là một đồ thị liên thông, cây

T gọi là cây khung của đồ thị G nếu nó đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị G.

Điều kiện tồn tại cây khung:

Đồ thị vô hướng G(V, E) tồn tại cây khung khi và chỉ khi G là đồ thị liên thông

CÂY VÀ CÂY KHUNG(tt)

Cách tìm cây khung:

Trong khi đồ thị G có chu trình C

Xóa đi một cạnh bất kì trên C

⇒ Đồ thị G còn lại là cây khung.

Cây khung tối thiểu:

Cho G=(V, E) vô hướng liên thông có

trọng số Cây khung có tổng trọng số bé nhất gọi là cây khung tối thiểu.

CÂY VÀ CÂY KHUNG

Giải thuật tìm cây khung tối thiểu:

Giải thuật Prim:

Input: G=(V, E), V=n liên thông có trọng số

Output: Cây khung T của đồ thị

1 Chọn 1 đỉnh bất kỳ đưa vào T

2 for i:=1 to n-1

Chọn một cạnh ei có trọng số nhỏ nhất

thỏa :

- Liên thuộc với 1 đỉnh thuộc T

- Không tạo thành chu trình trong T

CÂY VÀ CÂY KHUNG

Giải thuật Kruskal tìm cây khung nhỏ nhất:

Input: G=(V, E), V=n liên thông có trọng số

Output: Cây khung T của đồ thị

1 T=O.

2 For i:=1 to n-1

chọn cạnh ei có trọng số nhỏ nhất không tạo thành chu trình trong T

T = T U {ei}

3 Xuất T.

CÂY VÀ CÂY KHUNG

Đường đi Euler

Bài toán Thị trấn Königsberg chia thành 4 phần bởi các nhánh của dòng sông Pregel

Bốn phần này được nối kết bởi 7 cây cầu

Đường đi Euler

Đường đi Euler

Câu hỏi. Có thể đi qua bảy cây cầu mà không có cây cầu nào đi quá 1 lần

Đường đi Euler

D

Định nghĩa.

1 Đường đi Euler là đường đi qua tất cả các cạnh

mỗi cạnh (cung) đúng một lần Chu trình Euler là chu trình đi qua tất cả các cạnh của

đồ thị mỗi cạnh đúng một lần.

2 Đồ thị được gọi là đồ thị Euler nếu nó có chu

Đường đi Euler

Đường đi Euler

Điều kiện cần và đủ.

Cho G = (V,E) là đồ thị vô hướng liên thông G

là đồ thị Euler ⇔ Mọi đỉnh của G đều có bậc chẵn

Nếu G có hai đỉnh bậc lẻ còn mọi đỉnh khác

đều có bậc chẵn thì G có đường đi Euler

Đường đi Euler

Nhận xét

- Nếu đồ thị G có 2 đỉnh bậc lẻ thì G có 1 đường đi Euler

- Nếu đồ thị G có 2k đỉnh bậc chẵn thì ta có thể vẽ đồ thị bằng k nét

1 Bắt đầu từ một đỉnh bất kỳ của G và tuân

theo qui tắc sau: Mỗi khi đi qua một cạnh nào đó thì xoá nó đi, sau đó xoá đỉnh cô lập nếu có.

2 Không bao giờ đi qua một cầu trừ phi

không còn cách đi nào khác.

Thuật toán Fleury để tìm chu trình Euler.

Đường đi Euler

a b c d

e f

g h

abcfdcefghbga

Đường đi Euler