phương pháp giải toán dao động tắt dần

Do đó, vật có thể dừng lại ở vị trí này hoặc chuyển động thêm một nửa chu kỳ nữa trước khi dừng lại tùy thuộc vào mối quan hệ giữa Fđh và Fmsn max tại vị trí này.. * Tìm vị trí vật dừng

CHỦ ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TẮT DẦN Đặt vấn đề: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng m và lò xo có độ cứng k Vật

nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là Kích thích cho vật dao động

1 Tìm thời gian vật đi theo một chiều từ vị trí x1 đến vị trí x2

2 Tìm tốc độ cực đại của vật

3 Độ giảm biên độ sau nửa chu kỳ và sau một chu kỳ dao động

4 Mối liên hệ giữa phần trăm cơ năng và phần trăm biên độ bị giảm sau mỗi chu kỳ

5 Tìm số nửa chu kỳ vật thực hiện được từ lúc bắt đầu dao động đến khi dừng lại

6 Xác định vị trí vật dừng lại và nhiệt lượng tỏa ra môi trường

7 Tìm quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu dao động đến khi dừng lại

8 Tìm thời gian dao động

* Khảo sát dao động tắt dần bằng phương pháp động lực học

- Chọn trục tọa độ ox có:

+ Phương nằm ngang

+ Chiều (+) hướng từ trái sang

phải

+ Gốc o tại vị trí cân bằng ban

đầu của vật

- Tại vị trí vật có li độ x, ta có:

dh mst

F F   N P m a

    

- Khi vật đi từ biên bên trái sang biên bên phải:

 

.

dh mst

mg

k





Đặt X x mg x a

k



    a mg

k



(1) trở thành:

x

O

0

0

dh

F



mst

F



 

2

''

'' 0

cos



 

 

Với 2 k

m



Vậy:

+ Chuyển động của vật tuân theo qui luật của dao động điều hòa

+ Vị trí cân bằng là O1 thỏa mãn: X 0 x a mg

k



     

+ Thời gian thực hiện nửa dao động là :

2

T

- Khi vật đi từ biên bên phải sang biên bên trái:

 

.

dh mst

mg

k





Đặt X x mg x a

k



    a mg

k



(1) trở thành:

2

''

'' 0 cos



 

 

Với 2 k

m



Vậy:

+ Chuyển động của vật tuân theo qui

luật của dao động điều hòa

+ Vị trí cân bằng là O2 thỏa mãn: X 0 x a mg

k



   

+ Thời gian thực hiện nửa dao động là :

2

T

X

O

A

x

O

2

A

1

A

dh

F



mst

F



1

A

2

A

X

2

O

A

Loại 1: Tìm thời gian vật đi theo một chiều từ vị trí x 1 đến vị trí x 2

Cơ sở lý thuyết:

+ Quá trình chuyển động của vật từ biên A0 sang biên A1 được xét như là một dao động điều hòa với vị trí cân bằng là O1 (OO1 a mg

k



+ Tại vị trí có tọa độ x1, vật có li độ và vận tốc tương ứng là: X v1, 1 X1 x1 a

+ Tại vị trí có tọa độ x2, vật có li độ và vận tốc tương ứng là: X v2, 2 X2 x2a

+ A A0 OO1 A0a Hoặc

2

1

v



 

  + Thời gian vật đi từ trạng thái (x1,v1) đến trạng thái (x2,v2) là thời gian vật đi từ trạng thái X v1, 1 đến trạng thái X v2, 2:

2

  

Vận dụng:

Bài 1: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lò xo có độ cứng 1 N/m

Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1 Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần Lấy g = 10 m/s2 Tìm thời gian từ lúc bắt đầu dao động đến khi vật đi qua vị trí cân bằng O lần đầu tiên?

1

X

1

v

2

X

2

v



A



A



2

O



1

M

2

M

X

1

0

0

t



1

2

v



1

O A

O t



Lời giải:

Xét quá trình vật đi từ vị trí biên A0 sang vị trí biên A1 như một dao động điều hòa

Biên độ dao động điều hòa: A A0 OO1 A0 mg 10 2 8cm

k



+ Thời gian vật đi từ vị trí –A (ứng với vị trí biên A0) đến vị trí cân bằng O1 là

4

T

+ Thời gian vật đi từ vị trí –A đến vị trí O là:

' 4

T

+ t’ là thời gian vật đi từ vị trí X1=0 theo chiều dương đến vị trí X2 a mg 2cm

k



2

Bài 2 (Đề thi thử ĐH Ams lần 1-2013)

Một con lắc lò xo khối lượng 100g, độ cứng 10 N/m, đặt trên mặt phẳng ngang có hệ

số ma sát trượt 0,2 Kéo lò xo dãn 20cm rồi buông nhẹ Chọn gốc thời gian lúc thả vật

Tìm thời điểm lần thứ ba lò xo dãn 7cm

Lời giải:

Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ là:

2 2.0, 2.0,1.10

0, 04 4 10

mg

k



Sau hai nửa chu kỳ đầu tiên vật đi qua vị trí lò xo dãn 7 cm hai lần

X

1

O A

O

t

'

t

4

T

1

X

2

X

 

X cm

1



8



1

O

Biên độ sau hai nửa chu kỳ đầu tiên là:

Thời gian cần tìm là:

2 2 6 6 30

t    T   s

Loại 2: Tìm tốc độ cực đại của vật trong quá trình vật dao động

Cơ sở lý thuyết:

+ Vị trí có vmax là vị trí có gia tốc a=0

+ Giả sử vật xuất phát từ vị trí biên A0 và đang đi đến vị trí biên A1

Cách 1: Chuyển về dao động điều hòa

+ Xét quá trình trên như một dao động điều hòa với vị trí cân bằng là O1, vị trí có vmax

là vị trí O1.

+ v max .A (A A0 OO1 A0 a A0 mg

k



Cách 2: Sử dụng định luật bảo toàn năng lƣợng

X

ax

m

v

1

O A

O

0

O

1

O

10 0

6

T

O

1

O

20

0

12 2

2

T

2

T

Vận dụng:

Bài 1: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lò xo có độ cứng 1 N/m

Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1 Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần Lấy g = 10 m/s2 Tốc độ lớn nhất vật nhỏ đạt được trong quá trình dao động là?

Lời giải:

+ Ta có: A0= 10 cm

k

rad s m

+ OO1 0,1.0, 02.10 0, 02

1

mg a

k



+ Biên độ dao động: AA0  a 10 2   8cm

+ Tốc độ cực đại của vật đạt được khi vật đi qua vị trí cân bằng O1 lần đầu tiên:

m

Bài 2: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k=20 N/m và vật nặng

m=100g Từ vị trí cân bằng kéo vật dọc theo trục lò xo đến vị trí lò xo dãn 6 cm rồi truyền cho nó một vận tốc có độ lớn 20 14cm s/  và hướng về vị trí cân bằng Biết rằng hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng ngang là 0,4 Lấy g=10 m/s2 Tốc độ cực đại của vật sau khi truyền vận tốc là bao nhiêu?

Lời giải:

Sau khi truyền vận tốc vật chuyển động ngược chiều dương Xét chuyển động của vật như là một dao động điều hòa có vị trí cân bằng là O2, biên độ là A

+ Ta có: OO2 0, 4.0,1.10 0, 02

20

mg a

k



+ Tại vị trí lò xo dãn 6 cm vật có li độ: X     x a 6 2 4cm và vận tốc

X

2

O

A

O

4



0

v



+ Biên độ dao động điều hòa:

2 2

10 2

v



 

+ Tốc độ cực đại của vật đạt được khi vật đi qua vị trí cân bằng O2 lần đầu tiên sau khi truyền vận tốc: v max A 2 11.10 2  20 22cm s/ 

Bài 3 (Đề thi thử ĐH chuyên PBC lần 1-2013)

Một con lắc lò xo nằm ngang gồm lò xo có độ cứng k=10N/m và vật nặng m=100g Từ

vị trí cân bằng kéo vật để lò xo giãn ra một đoạn 7cm rồi truyền cho vật vật tốc 80cm/s hướng về vị trí cân bằng Biết hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng là 0,1 lấy g=10m/s2 Tốc độ cực đại của vật sau khi truyền vận tốc là :

Lời giải:

Xét quá trình vật chuyển động từ vị trí lò xo dãn 7 cm về vị trí biên đầu tiên như một dao động điều hòa với vị trí cân bằng là O1 với:

1

0,1.0,1.10

0, 01 1 10

mg

k



10

v



Vật đạt tốc độ cực đại khi qua vị trí cân bằng O1:

m

Loại 3: Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ và sau một chu kỳ dao động

Cơ sở lý thuyết:

Cách 1:

+ Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ:

X

1

O A

O

0

0 1 1 2 1 0

1



 

 

1

2 2.OO 2 mg

k



+ Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ: A' 4.OO1 4a 4 mg

k



Cách 2: Sử dụng định luật bảo toàn năng lượng

Vận dụng:

Bài 1: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng 0,02 kg và lò xo có độ cứng 1 N/m

Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1 Ban đầu giữ vật ở vị trí lò xo bị nén 10 cm rồi buông nhẹ để con lắc dao động tắt dần Lấy g = 10 m/s2 Tìm độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ và sau một chu kỳ dao động

Lời giải:

Độ giảm biên độ sau nửa chu kỳ dao động:

1

2 2.0,1.0, 02.10

1

mg

k



Độ giảm biên độ sau một chu kỳ dao động:

1

4 ' 4.OO 4 mg 2.4 8

k



Loại 4: Mối liên hệ giữa phần trăm cơ năng và phần trăm biên độ bị giảm sau mỗi chu

kỳ

* Mối liên hệ giữa độ giảm cơ năng và độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ

Chọn mốc tính thế năng tại vị trí lò xo không biến dạng

Giả sử vật xuất phát từ vị trí biên A0

x

O

0

0

2

A

2

A

1

A

Trong chu kỳ đầu tiên vật đi từ A0 đến vị trí biên A2

Cơ năng tại vị trí biên A0 và A2 lần lượt là: W0 1 02

2kA

 ; W2 1 22

2kA



Độ giảm cơ năng trong chu kỳ đầu tiên là:

Phần trăm cơ năng bị giảm trong một chu kỳ:

0

2

2

0

1 ' 2 '

1

2

k A

0

W

.100%

X là phần trăm độ giảm biên độ sau một chu kỳ

.100%

B là phần trăm độ giảm cơ năng sau một chu kỳ

Vận dụng:

Bài 1: Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi chu kỳ cơ năng giảm 5% Biên

độ của con lắc giảm đi trong một chu kỳ là bao nhiêu phần trăm

Lời giải:

0

X  1,97 hoặc X  0, 025

Phần trăm biên độ bị giảm là: X.100%=2,5% hoặc 197% (loại)

Bài 2: Một con lắc dao động tắt dần chậm, cứ sau mỗi chu kỳ biên độ giảm 3% Cơ

năng của con lắc giảm đi trong một chu kỳ là bao nhiêu phần trăm

Lời giải:

Ta có: 2

Trong đó: X=0,03 B 0,591

Phần trăm cơ năng của con lắc giảm đi trong một chu kỳ là 5,91%

Loại 5: Số nửa chu kỳ dao động vật thực hiện được kể từ khi bắt đầu dao động đến khi

dừng lại

Cơ sở lý thuyết:

Xét trường hợp tại vị trí xuất phát, vật không có vận tốc ban đầu

+ Cứ sau mỗi nửa chu kỳ dao động biên độ của vật lại giảm một lượng là A Để xác định số nửa chu kỳ vật thực hiện được ta xét tỉ số A0

A



Giả sử: A0 m n,



+ Số nửa chu kỳ tối thiểu mà vật thực hiện được là: m

+ Sau m nửa chu kỳ vật đến vị trí có biên độ Am:

m

+ Tại vị trí Am vận tốc của vật v=0 Do đó, vật có thể dừng lại ở vị trí này hoặc chuyển động thêm một nửa chu kỳ nữa trước khi dừng lại tùy thuộc vào mối quan hệ giữa Fđh

và Fmsn max tại vị trí này

 Nếu F dh F m msn ax k A m mg A m mg a n 5

k





động thêm một nửa chu kỳ nữa

→ Số nửa chu kỳ dao động của vật là: N=m+1

 Nếu F dhF msnmax A m mg a n 5

k



     thì vật sẽ dừng lại tại vị trí đó

→ Số nửa chu kỳ dao động của vật là: N=m

Phương pháp:

+Tính giá trị biểu thức: A0 m n,

 Nếu n 5 thì số nửa chu kỳ dao động của vật là: m+1

Nếu n 5 thì số nửa chu kỳ dao động của vật là: m

Loại 6: Xác định vị trí vật dừng lại và tìm nhiệt lượng tỏa ra môi trường từ lúc bắt đầu

dao động đến khi dừng lại

* Tìm vị trí vật dừng lại

+ Số nửa chu kỳ tối thiểu mà vật thực hiện được trước khi dừng lại là m:

A m

A

   

+ Sau m nửa chu kỳ vật đi đến vị trí M cách O một đoạn là Am: A m  A0 m A.

+ TH 1 : 0 A ma vật sẽ dừng lại tại M

+ TH 2 : A m avật sẽ thực hiện thêm một nửa chu kỳ từ M sang M’ rồi dừng lại

 Nếu a A m  A, vị trí dừng lại M’ ở cùng phía M so với O

+ Quá trình vật đi từ M về M’ như một dao động điều hòa với vị trí cân bằng là O2,

+ Vị trí dừng lại là M’ cách O: OM'  OO2O M2 '  a A

 Nếu A m  A, vị trí dừng lại M’ trùng với O

 Nếu A m  A, vị trí dừng lại M’ ở khác phía M so với O

+ M’ thuộc vùng OO1 thì vị trí dừng lại cách O:

2

* Nhiệt lượng tỏa ra môi trường là phần cơ năng mất đi trong quá trình dao động

2

1

2

2m v 2k x

  nếu tại vị trí xuất phát x0 vật được truyền vận tốc v0

W0 1 02

2k A

 nếu vị trí xuất phát là vị trí biên A0

Vận dụng:

Bài 1: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng m=100 g và lò xo có độ cứng k=10

N/m Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo Hệ số ma

M

1

Sau m nửa chu kỳ

x

m

A

sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1 Kéo vật dọc theo trục lò xo đến vị trí lò xo

bị nén một đoạn A0 rồi buông nhẹ Lấy g=10 m/s2

a Tìm số nửa chu kỳ mà vật thực hiện được cho đến khi dừng lại trong các trường hợp: A0=12 cm; A0=12,2 cm; A0=13 cm; A0=13,2 cm

b Tìm nhiệt lượng tỏa ra môi trường cho đến khi vật dừng lại A0=12,2 cm

Lời giải:

a Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ: 2 2.0,1.0,1.10 2 2

10

mg

k



 A0=12 cm, ta có:

2

A

N



 A0=12,2 cm, ta có:

0 12, 2

2

A

N



 A0=13 cm, ta có:

2

A

N



 A0=13,2 cm, ta có:

0 13, 2

6, 6 6 1 7 2

A

N



b A0=12,2 cm vật sẽ dừng hẳn tại vị trí biên A6

Nhiệt lượng tỏa ra môi trường là phần cơ năng mất đi trong quá trình dao động:

Bài 2: (Bài 91 trang 156, “121 bài toán dao động và sóng cơ học- Vũ Thanh Khiết”)

Khảo sát dao động tắt dần của một con lắc lò xo nằm ngang Biết độ cứng của lò xo là k=500 N/m; vật có khối lượng m=50g Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phằng ngang là 0,3 Kéo vật để lò xo dãn một đoạn x0=1 cm so với độ dài tự nhiên rồi thả không vận tốc ban đầu Sau bao lâu vật dừng lại? Vị trí vật khi đó cách vị trí ban đầu bao nhiêu?

Lời giải:

Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kỳ là:

4

2 2.0,3.0, 05.10

6.10 0, 06 500

mg

k

Ta có:

16, 66

0, 06

Số nửa chu kỳ vật thực hiện được là 17

Sau 16 nửa chu kỳ vật đến vị trí M cách O một đoạn:

Chuyển động từ M sang M’ được xem như một dao động điều hòa với vị trí cân bằng

O2.

Vị trí dừng lại M’ cách O: OM'  OO2O M2 '  0, 03 0, 01 0, 02   cm

Thời gian chuyển động: 17 0,53

2

T

Loại 7: Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu dao động đến khi dừng lại

TH 1 : Tại vị trí xuất phát vật được thả nhẹ nhàng, không vận tốc ban đầu

+Vị trí xuất phát cách O một đoạn là A0

+ Sau N nửa chu kỳ dao động vật dừng lại tại vị trí M’ cách vị trí O một đoạn là AN

Trước đó vật ở vị trí biên M’ cách O một đoạn là AN-1

 Giả sử M’ ở khác phía M so với O

+ Quãng đường vật đi được là:

1

1

v



2

v



O

0

0

4

A

1

A

2

A

2

3

A

4

A

5

A

M

1

Sau 16 nửa chu kỳ

x

16

A

0

x

0

A

 

0

2

N





Mà:

Công thức trên cũng đúng cho trường hợp M’ trùng O hoặc M’ và M cùng phía so với

O

Nhận xét: Dù vật dừng lại ở bất kỳ vị trí nào như đã xét ở loại 6 thì quãng đường đi

được luôn được xác định bởi biểu thức:

2

SN A  N A

TH 2 : Tại vị trí xuất phát vật được truyền một vận tốc v0

Quãng đường vật đi được là: S' S0S

Trong đó: S0 là quãng đường đi được từ vị trí xuất phát đến vị trí biên A0

SN 2 A0  N A. 

* Tìm S0 và A0

+ Xét quá trình chuyển động của vật từ vị trí tọa độx0theo chiều v0

như là một dao động điều hòa với vị trí cân bằng là O1 hoặc O2

+ Biên độ dao động điều hòa:

N

A A  N A  SN 2 A0  N A. 

x

O

0

0

0

x

0

v



0

S

x

O

O 2

O 1 v0

0

X

0

x

0

A

0

S

0

v



 

    

+ Ta có:

Vận dụng:

Bài 1: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng m=100 g và lò xo có độ cứng k=10

N/m Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là 0,1 Kéo vật dọc theo trục lò xo đến vị trí lò xo

bị nén một đoạn A0 rồi buông nhẹ Lấy g=10 m/s2 Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại trong các trường hợp: A0=12 cm; A0=12,2 cm; A0=13 cm; A0=13,2

cm

Lời giải:

 A0=12 cm, ta có:

0

0

12

2

A



 A0=12,2 cm, ta có:

0

0

12, 2

6,1 6 2 6 2.12, 2 6.2 74, 4 2

A



 A0=13 cm, ta có:

0

0

13

2

A



 A0=13,2 cm, ta có:

0

13, 2

6, 6 6 1 7 2 7 2.13, 2 7.2 86,8 2

A



Loại 8: Thời gian dao động

TH 1 : Tại vị trí xuất phát vật được thả nhẹ nhàng, không vận tốc ban đầu

+ Gọi N là số nửa chu kỳ vật thực hiện được

+ Thời gian dao động:

2

T

tN

TH 2 : Tại vị trí xuất phát vật được truyền một vận tốc v0

Từ vị trí xuất phát vật đi đến vị trí biên đầu tiên A0 sau đó vật thực hiện được N nửa chu kỳ thì dừng lại

+ Thời gian vật đi từ vị trí xuất phát đến vị trí biên đầu tiên A0 là t’

+ Thời gian vật đi từ vị trí A0 đến khi dừng lại là:

2

T N

+ Thời gian dao động: '

2

T

( Khoảng thời gian t’được xác định như trình bày trong phần loại 1)

Vận dụng:

Bài 1: Một con lắc lò xo gồm vật nhỏ khối lượng m=100 g và lò xo có độ cứng k=10

N/m Vật nhỏ được đặt trên giá đỡ cố định nằm ngang dọc theo trục lò xo Hệ số ma sát trượt giữa giá đỡ và vật nhỏ là0,1 Kéo vật dọc theo trục lò xo đến vị trí lò xo

bị nén một đoạn A0 rồi buông nhẹ Lấy g=10 m/s2 Tìm quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại trong các trường hợp: A0=13 cm

Lời giải:

 A0=13 cm, ta có:

6,5 2

A



Số nửa chu kỳ vật thực hiện được cho đến khi dừng hẳn:

6

Chu kỳ dao động:

2 2

10 5



Thời gian dao động:

6

2 10

T

O

0

0

0

x

0

v

'

t

x