Phương Pháp Giải Toán Dao Động Sóng Cơ Học - Nguyễn Cảnh Hòe

Giúp các em phương pháp giải các bài tập cơ học gồm Dao động và Sóng cơ học. Dành cho học sinh khá và giỏi các trường PTTH . Dùng cho học sinh các lớp chuyên . Ôn luyện thi vào các trường Đại học và Cao đẳng . Bồi dưỡng học sinh giỏi Trong mỗi phần có tóm tắt lý thuyết, nêu ra các phương pháp giải cơ bản và bài tập tự giải. Trong cuốn sách, có đề cập tới phương pháp năng lượng, tuy là một phương pháp hay, nhưng khó vận dụng trong giao động.

~ Đừng cho học sinh khó cờ giỏi cớc trường THPT

~ Dùng cho học sinh cóc lớp chuyên

- Ôn luyện thi ào các trường Đại học va Cao đẳng

- Bồi dưỡng học sinh giỏi

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC www.facebook.com/daykem.quyrihon,

“phdp gidi c¢ loa bà

§t Chủ để 1 mm

Pha ban đầu của dao-déng thường phụ thuộc vào điều kiện

ban đầu của bài toán Giả sử đao động có phương trình

“x = Asin(wt + @), ở thời điểm ban đâu, khi t = 0, ta có :

vận tốc v,=wAcosp (2)

động năng | Wa — cos”œ (3 Va = 4A cose

hn 1 Dek đế

thế năng Wi =D KAP sinto ®) Ak A KASdV0

Dựa vào một trong các phương trình trên để xác định pha

ban đầu ọ Tuy nhi¿n, các phương trình lượng giác trên thường

có nhiều nghiệm, ta không để sót nghiệm nhưng cũng phải biết cách loại nghiệm Vì thật ra, lúc = 0; vật dao động chỉ có một

vị trí, một vận tốc,

Thí dụ I: Tìm pha ban đầu của đao động, biết rằng, tại

thời điểm ban đầu vật m ở vị trí cân bằng

Giải

Khi t= 0, x= 0 Từ (1), ta có

0= Asino sing = 0 = sinkm

Ta có thể cho 9 = 0

hay @=m

Để chọn một nghiệm, ta chọn chiều đương trùng với vận

tốc ban đầu Khi đó từ (2) ta chọn ọ = 0 (vì, nếu — = 7 thi vy <0)

wwwW.facebook.com/daykem.quynhon

“biên: 48, né trai quae Baws kì, dao, động để có; -trạng thái ban” * °

ˆ đầu Cdn 15 5 bién dé NgLấi di ic 0 lên Bì sau 'đó:trở về vi tri Huy” :

thì chit dao động 7, + gối Mục ph ĐH

thi chúng sẽ dao ông ofan eg ane | | trị my

Rút gọn lại là Ps - Kx, =10 (3-7)

— Chọn chiều dương như hình về, giả sử tại li độ x, lực

căng hai sợi dây là T, lò xo dăn một đoạn x„ + x, ta có hai

“Phuong trình -đống lue Pe Fy

s re Tai vị trí cân a bling, pnd

TÌM ĐỘ CỨNG TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA HỆ LÒ XO

Có thể chứng mịnh rằng hệ dao động điều hòa bằng cách coi hệ lò xo tương đương một lò xo Muốn vậy, ta phải tìm độ cứng tương đương của hệ Thông thường ta phải tìm đặc trưng động học và động lực học của a hé lo x6 Ti dé suy ra độ cứng tương đương

Thí đụ 1: Tìm độ cứng tương đương của hệ lò xo gồm : a) Tai lò xo nối tiếp có độ cứng Kụ, Kạ

b) Hai lò xo ghép song song, có cùng độ đài tự nhiên, có độ

etmg Ky, Ky

15

www.facebook.com/daykem.quynhon

ngâm trong: chat lông ¢ có thể so

LBS

xà phường trình động lực học chø - :

ba lực đàn hồi của hệ, của lò xo 1;

(EL 4.4b) oe Ae) của lò xo 2 là : (

F= Kux = on, x, = 2Ky x (4-16)

Rut x, x1, xạ từ (4-16), thay vào (4-16) ta có.:

ow FF

Kig 2K, 3K;

b) Theo cách 2 : Vì hai độ dài luôn bằng MeÙ nên hai lò xo

này ghép song song một cách thuần túy, ta có :

Kia = K, + Ke - (4-18) Tuy nhiên, bỏ qua khối lượng của thanh cứng AB, điểm treo Œ phải bảo đảm cho thanh này nằm ngang Muốn vậy, giá

các hợp lực hai lực đàn hồi phải qua C, ta có :

“wway faccbeok.coin/daykeni:q

Đo ee -E, = "hằng š 86; ta ‘dao ba’ 2 về của là phương trình :

0 2 sthge + KG, +3) + vv ee đơn giản x' ta có :

0` =-mg + Kw, + Ấx + mx” _(8-8a)

Ti (5-3a) va (5-4a), ta suy ra:

mx” + Kx = 0 Đây là phương `trình động lực học đặc trưng của dao động điểu hòa Vậy m đao động điều hòa và tân số dao động vẫn là

Chọn mốc tính thế năng trọng lực là độ cao của vật, ta

chỉ còn hai thế năng của lực đàn hồi Ở vị trí cân bằng, ta có :

E, =2-mv2,, + 1K, 2 2 al? + 2K, 2 02? = hang sé

(Giả thiết là hai lò xo lưôn bị căng, Ai, Ai; là độ biến

dạng ở vị trí cân bằng)

Ky Al, = Ke Als, l (5-6)

Tại li độ x, từ hình (5.3) lò xo 1 bị căng một đoạn Ah+x

lò xo 2 bị căng một đoạn ‘Aly - xX

Co nang toan phan la :

EB =F mv +5 (Al + xy? +5 Ko (Al -x

www.facebook.com/daykem.quynhon

3) Bài toán 2 : Ảnh hưởng của nhiệt độ vào chu kì dao động

Thi du : a) Con lắc đơn có chu kì T¡ ở nhiệt độ tị, hỏi ở nhiệt

d6 te > t, thì chu kì tăng hay giảm bao nhiêu ? ?

b) Coi đồng hỗ quả lắc là con lắc-đơn thì khi nhiệt

độ tăng lên thì đồng hỗ chạy nhanh lên hay chậm đi Nếu đồng

hồ chạy đúng ở tị = 26°C thì ở nhiệt dé te = 30°C, méi ngày

đông hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu ? Cho hệ số nổ dài là

“Gong thite (6-5).ch

chủ kỉ tăng lên

gia tốc không đổi a, người ta treo một con lắc đơn có chiều dài

1, khối lượng m Con lắc dao động trong mặt phẳng thẳng đứng

3, >

chứa veciơ a

a) Xác định vị trí cân bằng của con lắc

b) Xác định chu kì đao động bé của con lắc

Ta-có hai phương pháp giải sau đây i

1) Phương phắp sơ cấp : Xem hình (6:1a)

Để tìm trọng lượng biểu kiến, ta xét con lắc đứng yên tại

b) Xuống chậm dân đều : -

“?@) Tiên nhanh đẩn đều _

a Lên chậm dân: đậu ee vị

_.H?nh 6 2) Yẽ con lắc aig a ig yen a

~ $0 véi thang may ởvị trí cân bing `

Chỉ có bai lực; tổng hợp của chứng ] là lực sinh gia tốc

-

=

Q+P=ma L

> >

chia cho m : g=g.-a

a) Xuống nhanh dẫn đều, g và a cùng chiều nên mô đun

_ một, : Trên trân tạ,

lắng thẳng đứng

Pra Prices mm” TP“ 3P.ma: COSY _do cosy:= sing `

fen PPL Pre Pin? œ- 9P:mg, sina Sind a

m a và P, gọi y là góc đối của P' KHE NON Dạ

PẺ°= P? + m”a?— 2P.ma.cosy ; vì cosy = -sinœ nên ta có P”= P? + mêa? + 2P.ma.sino

chia cho m > gˆ= g” + a2 + 2ag.sinơ

Thứ dụ 4: Con lắc có chiều dài ¡, khối lượng m, tích điện

tích q, dao động trong không gian có điện trường đều cường độ

HAI ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Nội dụng 1 : Vận dụng định luật bảo toàn cơ năng đối với con lắc đơn để xác định được vận tốc tức thời, lực căng sợi đây

Thí đụ 1: Con lắc đơn có

m = 100g, ¡ = 1 mét Ban đầu

nâng lên một góc lệch œ„ rồi

thả cho dao động

1) Cho am = 60° Tim van

tốc của vật và lực căng sợi day

2) Cho dụ = 10 (rad) Tim gia tri cue dai va cue tiểu của

lực tác dụng lên vật m và lên điểm treo O

Giải

1) Nếu bỏ qua các lực ma sát, áp dụng định luật bảo toàn cơ

ˆ năng cho điểm khởi đầu A và điểm bất kì B

v = ,/2gi(cosa — cos om) (7-1)

Công thức (7-1) dùng để tính vận tốc tức thời tại vị trí bất

ki

Thay a = 30° suy ra vị = V2geos30° ~ cos60`)

vị = vgiJ3 - U = 10/3 ~1) (m5)

www.facebook.com/daykem.quynhon

ERE a ee _ ve : a ‘ am *

Me 7 ahaa _¬€os60”).= = val = = 10° (zn/s) ;

“BS qua duc can, chỉ có hai lực tác dụng lên m là trọng lực

và" lực căng sợi đây Trong đó, lực hướng tâm ` là,

2a) Lực tác dụng lên điểm O bằng lực căng sợi dây Ta vẫn

sử dụng công thức (7-2), nhưng phải làm quen với các công thức

gần đúng trong đao động điều hòa :

Thí dụ 3: Con lắc lò xo gồm lò xo có dé dai ty nhién /, = 20cm,

độ cứng K = 480 N/m gắn vào vật có khéi-lugng m = 300g trên

rnặt bàn nhấn nằm ngang Vật thứ hai có khối lượng mị = 100g chuyển động đều với vận tốc vị = 0,8 m/s dọc theo trực lò xo đến

va chạm xuyên tâm với rm

D Va chạm hoàn toàn đàn hỏi -

*¿-3): Va chạm không àn: hỗ tsau.va,cbam h 'vật:cùng van vệ

a) Mô tả chuyển động hai vật sau va chạm ;

b) Tìm biên độ, tần số ø của dào động.” ï< ˆ”-

c) Tim chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo sau va

chạm?

Giải

la) Va chạm đàn bồi nên ta viết hai định luật bảo toàn

Do va chạm xuyên tâm, các vận tốc cùng phương, chọn chiêu đương như hình vẽ, định luật bảo toàn động lượng cho tả:

— Vật m do liên kết với lò xo nên dao động với vận tốc cực

dai Vmax = vệ = 0,4 m/s

m ®

._ Chọn gốc tọa độ là vị trí cân bằng, chiểu dương như hình

vẽ, gốc thời gian là ngay sau va chạm, ta có phương trình

chuyển động của con lắc :

Sau ; chu, ki, ching 'vé vi tri can bang thi tach ra m,

- chuyển động thẳng đều ra vô cùng, m thi tiếp tục dao động với

, chu kì và biên độ mới -

2b) a) Chu ki, biên độ của hệ hai vật :

22) “Trong chủ kì đầu của-đao đông 2 vật, lò xơ bị đếm” :

một đoạn AI với Mi =o Kar

Thí dụ 3: Vật mẹ có

khối lượng 600 gam dang

đứng yên trên mép bàn, ở

độ cao h = 1,25 m Con lắc

đơn có chiều dài J = 5m,

khối lượng mị = 400 gam,

đao động có vị trí cân bằng

ở điểm đặt của mạ Thả mị

từ biên độ gốc œ„, đến va

chạm xuyên tâm với mạ

AI chính là biên độ dao động À mà ta đã tính ở trên

1 ~2

Al =—~ 10° (m) ~ 0,577 em

v3

Ld xo 06 d6 dai cực tiểu là

lin = 1, — Al = 19,423 (em) / {a)

~ Sau đó, khi đao động với vật m thì

1) Va chạm hoàn toàn đàn bồi, sau va chạm mị dao động

điều hòa với biên độ A = õV2em Hỏi m, được thả từ biên độ

góc nào ? Lay g = 10 mis”

41

i

www.facebook.com/daykem.quynhon

ˆ `3) Viết phương trình dao'động của mm; và tẩm xa cửa rà; sau `

Từ hai biểu thức, suy ra :

og ek = OBS Ag ol 508 V2 aay

2) Dao động của m; sau va chạm :

Chọn chiều vận tốc sau va chạm làm chiều dương, gốc

thời gian là thời điểm ngay sau va chạm, ta có @ = Ú, ® = v2,

A =52 em Vậy phương trình là

b) Vận tốc ban đầu của rn; giảm tir 0,4 m/s dén 0,2 m/s

nên tầm xa giảm hai lẫn

Thí dụ 4: Lò xo có chiều dài tự nhiên /¿ = 12cm, có khối

lượng không đáng kể, độ cứng K = 50 N⁄m, đĩa cân có khối

lượng M = 100 gam Vật m có khối lượng m = 50 gam thả từ độ

43

www.facebook.com/daykem.quynhon

cao h với vận tốc ban đầu bằng không Va cham hoàn toàn

không đàn bồi, biên độ dao động là A = 2 em Tính độ cao h ?

Ejm

1 '

i¿: chiều dài tự nhiên của lò xo

i; : chiều dai lò xo lúc cân bằng với đĩa cân

¡; : chiểu dài lò xo ở vị trí cân bằng của dao động

—_ Từ điều kiện cân bằng của đĩa cân, ta có

1 Dao động tắt dân : Do các loại lực ma sát và lực cản của

môi trường nên biên độ dao động giảm dân theo thời gian Con

lắc đơn chịu lực cẩn của môi trường, nên nếu dao động tắt dan

45

www.facebook.com/daykem:quynhon

S -khối lượng TH -đáo động tat dan: ‘do- tac dung của ä lực ma sát trượt

mẹ, TH, tú thời: gian: a6 thực hiện ‘mot dao ct

: “4) Xét hộ aso động toàn Lên

: phần; chia lam hai thời kì `

Phương trình (8-1) cho ta mX” = (8-1a)

(8-1a) là phương trình vi phân của dao động điều hòa có tấn số œ@ = @ạ = JK

Công của lực ma sát — Á„.= -umg.2(A, + Ai) Theo-dinh lí động năng :

SA] ~A?) = -umg.Ö(A; + Áy)

SBA, -—A,) =~2umg

Công sai của biên độ dao động là :

4umg

AA =(A, —A,) =- = hằng số

3) Công suất cần cung cấp để duy trì dao động bằng công của

lực ma sát tính trong một đơn vị thời gian

Bài toớn 2 : Con lắc đơn có chiéu dai J = 1m, khối lượng

m = 100 gam, dao động tắt dần đo lực cản của không khí tỉ lệ

thuận với vận tốc Do biên độ giảm dần theo cấp số nhân, nên ban đầu biên độ góc œ„ = 10 ˆ? rad, sau 4 chu ki thi biên độ góc

là œ¿ = 8.10 '° rad Lay gần đúng, chu kì dao động bằng chu ki

Tiếng của con lắc ì

1) Tính công bội q

2) Công suất cẩn cụng cấp để con lắc duy trì biên độ œạ

Giải

1) Biên độ ban đầu A, = lo,

Sau 4 chu ki Ay= Aq’ = la,

Ta cé ï" -

a, 5

— l4 = 4— = 0,946

a= fp cong

2) Nếu để cho dao động tắt dan thi trong chu kì đầu, năng

Chú ý : Thực tế thì công suất lớn hơn kết quả trên vì công

của lực cẩn trong một chu kì phải tính trên một đường đi bằng

4 lần biên độ A, Không xuất biện biên d6 A, khi da duy tri dao

Hon nữa, đây chỉ là công suất có ích

Bài toán 3 : Con lắc lò xo có độ cúng K, khéi lượng m, dao

động trên mặt bàn nhắn Lực cần của không khí lên m tỉ lệ

thuận với vận tốc F = -rv Để đuy trì dao động người ta tác dụng lên m một lực tuần hoàn cưỡng bức

quynhon

đặc biệt nếu: không có lựẻ câu, rí a 0.th uc =1, gọi là ; cộng ` `

hưởng nhọn Hình (8:6a):là dưỡng cong cộng hưởng, {8:6b) là

đường cộng hưởng nhọn, với i Anan 5 S07 | : §

CÁC HỆ CƠ ĐẶC BIỆT DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Sau đây là một số bài toán “không mẫu mực”, trong đó hệ'

đao động không phải là lò xo hoặc con lắc đơn Ta phải vận

dụng lính hoạt các kiến thức của 2 loại con lắc trên để giải

có 2 nhánh thẳng đứng A và B

cùng tiết điện S, chứa một khối ._

lượng chất lỏng M, có khối lượng

riêng D Mặt thoáng bên B có

một pittông nhẹ Bỏ qua ác

hiện tượng mặt ngoài (dính ướt,

mao dẫn) Chứng minh rằng, khi

ta đẩy pit-tông một đoạn nhỏ x„ ¥j tri can bing

Thí dụ 1: Ống hình chữ U -J 1

poco

51

www.facebook.com/daykem.quynhon

Tương ` tu, & day do tiết điện nhỏ, chọn chiểu quay như

hình vẽ làm chiều đương thì mọi bạt chất lỏng có cùng gia tốc

Cả cột chất lỗng coi là hệ vật có khối lượng tổng cộng M Theo

chiều dương đã chọn thì lực sinh gia tốc cho hệ là trọng lực cột

chất lỏng chênh lệch có chiều cao 2x phía bên ống À

Ta có _ Mx” = -§.2x.Dg

dấu trừ la do cột này đẩy khối chất lông ngược chiều đương đã

chọn Phương trình (9-1 là phương trình của dao động điều hòa

Do hệ số của lực hồi phục K = 25Dg nên :

Thi du 2: Con lắc lò xo gồm 1 lò

xo có độ cứng K, một bình trụ tròn

xoay có khối lượng m, tiết điện: thang

'8 luôn: thẳng ding ‘doe trục lò xo lúc chuyển động Bo:.qua lực cắn của môi

- trường lên toàn bộ con lắc đực nội ma“

a) vat m đao: động hoàn toàn ‘trong chat lỏng

tự B2 “ANS W: facebook Ceorm/daykerfi.quynhóa -

b) Trong lúc dao động, vật bao giờ cũng có phần chìm và phần nổi Khối lượng riêng chất lỏng là D

2) Chu kì con lắc đơn sẽ là bao nhiêu nếu nó đao động trong

P.=P +FA có môđun là Pˆ=(P- F¿) không đổi

Tại vị trí cân bằng lò xo đã dãn một đoạn A/

⁄ với KAj = P”

Tai li dé x, 1d xo dan mét doan (Al + x)

Phương trình động lực học, chiếu lên Ox la

-K(Al + x) +P’ = mx”

Phuong trinh (9-2) chứng tổ con lắc vẫn có tần số và chu

kì như khi dao động trong chân không œ -Š

Tại li độ x, lò xo đãn một đoạn A/ + x, hình trụ ngâm

trong nước một thể tích V = (V, + Sx); nên ta cổ

P-K(Al + x) — De(V, + Sx) =

53

www.facebook.com/daykem.quynhon