Ba dạng toán thường gặp liên quan đến phương trình bậc hai

DÀNH CHO THCS BA DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Họ và tên: Trịnh Xuân Tình GV THPT Phú Xuyên B , Hà Nội Như chúng ta đã biết liên quan đến phương trình pt bậ

DÀNH CHO THCS

BA DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP LIÊN QUAN

ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Họ và tên: Trịnh Xuân Tình

GV THPT Phú Xuyên B , Hà Nội

Như chúng ta đã biết liên quan đến phương trình (pt) bậc hai có rất nhiều dạng toán khác nhau.Trong bài viết này tôi xin giới thiệu ba dạng toán thường hay xuất hiện trong các đề thi vào lớp 10 và các đề tthi học sinh giỏi

Dạng 1: Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai ax2 bx   và c 0

0

a x b xc  có nghiệm chung

Phương pháp

Điều kiện cần: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x thì 0

2

0 0





 Giải hệ tìm được x ,suy ra giá trị của tham số 0

Điều kiện đủ: Thế giá trị của tham số tìm được vào hai phương trình để kiểm tra

Ví dụ 1:Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình x2ax  và 1 0 x2 x a có 0 nghiệm chung

Lời giải:

Điều kiện cần: Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x thì 0

2

0 2

1 0

0







Nếu a  thay vào hai phương trình ta thấy chúng vô nghiệm 1

Nếu a 1 thì x0  1 a  2

Điều kiện đủ: Với a  2 thì hai phương trình trở thành x2 2x  và 1 0 x2   x 2 0 Giải hai pt này ta thấy chúng có nghiệm chung là x  1

Vậy a   là giá trị cần tìm 2

Ví dụ 2:Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x4 2mx2 x m2m có 4 0 nghiệm phân biệt

Lời giải: Phương trình tương đương với

 

2

2



Phương trình đầu có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi hai pt  1 và 2 mỗi pt phải có hai nghiệm phân biệt và chúng không có nghiệm chung

Điều kiện để cả hai pt  1 và 2 có hai nghiệm phân biệt là : 1 4 3 0 3

m

m m





Giả sử hai pt  1 và 2 có nghiệm chung là x thì 0

2

2

0







.Điều này chứng tỏ khi 3

4

m  thì hai

pt  1 và 2 không có nghiệm chung

Vậy để pt đầu có 4 nghiệm phân biệt thì 3

4

m 

Dạng 2: Chứng minh trong một hệ thống các phương trình bậc hai có ít nhất một phương trình có nghiệm

Phương pháp:Để giải quyết dạng toán này chúng ta sẽ đi chứng minh tổng các biệt thức

Delta là một số không âm

Ví dụ 3:Cho các số dương a b c thỏa mãn diệu kiện , , a2b3c1.Chứng minh rằng có

ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm

 

Lời giải

Hai pt trên lần lượt có /   /  

1 16a 1 48bc , 2 16 1 24b ac

Vì a b là các số dương nên ,   lần lượt cùng dấu với 1 48bc1/, /2  và 1 24ac

Mặt khác ta lại có 1 48 bc 1 24ac 2 24c a 2b 2 24 1 3c  c2 6 c12 0 Dẫn đến     1/ /2 0

Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm

Ví dụ 4:Cho các số a b c thỏa mãn điệu kiện , , a   Chứng minh rằng có ít nhất b c 6 một trong ba phương trình sau có nghiệm

2

2

2

1 0

1 0

1 0

Lời giải

Ba pt trên lần lượt có

2

2 2

Ta xét hai trường hợp

bc

 Khi 0

0

b

c











áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có  2 6 2

Dẫn đến

2

a

Do đó có ít nhất một trong ba phương trình có nghiệm

 Khi 0

0

b

c











vì a   b c 6 a nên 6  1 a2  nên phương trình thứ nhất có 4 0 nghiệm

TH2: Nếu bc  thì 0

đó có ít nhất một trong ba phương trình có nghiệm

Vậy với , ,a b c thỏa mãn điệu kiện a   thì có ít nhất một trong ba phương trình b c 6

có nghiệm

Dạng 3: Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai ax2 bx   và c 0

0

a x b xc  có nghiệm xen kẽ nhau

Phương pháp

B1: Tìm điều kiện để hai pt có hai nghiệm phân biệt.Gọi x x là hai nghiệm của pt thứ 1, 2 nhất x x là hai nghiệm của pt thứ hai 3, 4

B2: Lập luận nếu một trong hai số x x nằm giữa 3, 4 x và 1 x và số kia nằm ngoài thì có thể 2

xảy ra một trong các trường hợp sau:Hoặc x3x x1, 3x2 cùng dấu và x4x x1, 4 x2trái dấu hoặc ngược lại.Trong cả hai trường hợp ta đều có

x3x1x3x2x4 x1x4x2 0

B3: Áp dụng định lý Viét để từ x3x1x3x2x4x1x4x2 ta tìm được các giá 0 trị của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 5 :Tìm điều kiện của để hai phương trình x22xa và 0 2

x  x a có nghiệm xen kẽ nhau

Lời giải

Hai pt đồng thời có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

 

/

1

/

2

1 * 3

a

a a







Gọi x x là hai nghiệm của pt thứ nhất 1, 2 x x là hai 3, 4

nghiệm của pt thứ hai

Nếu một trong hai số x x nằm giữa 3, 4 x và 1 x và số kia nằm ngoài thì có thể xảy ra một 2

trong các trường hợp sau:Hoặc x3x x1, 3 x2 cùng dấu và x4x x1, 4x2trái dấu hoặc ngược lại.Trong cả hai trường hợp ta đều có x3x1x3x2x4 x1x4x20 ** 

Theo định lí Viét ta có x1x2  2 , x x1 2 a , x3x4 4 , x x3 4  6 a

Ta có

2 2

    

2

48

49

Kết hợp với * ta được   0 48

49

a

  thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài tập

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình x2(2a1)x2a2 và 0 2

x  ax a  có nghiệm chung

Bài 2:Cho các số a a b b thỏa mãn điệu kiện 1, 2, ,1 2 a a1 2 2b1b2.Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm

2

2

0 0

Bài 3:Tìm điều kiện của a để hai phương trình x2 3x2a và 0 x26x5a có 0 nghiệm xen kẽ nhau