đề HSg toán hay

OM là đờng trung bình của hình thang ABDC nên OM//AC.. 2 CD = OM.MH Do OM không đổi nên SABDC lớn nhất khi MH lớn nhất Lúc đó M nằm chính giữa cung AB... Xét tam giác MNH có : MB, NC là

Hớng dẫn chấm - Môn Toán 9

Vòng 1 Câu 1: (2.0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, b thì :

a - Có : b5 - b = b(b4 - 1) = (b -1)b(b+1)(b2+1)

- (b -1)b là tích hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2

- (b-1)b(b+1) là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3

- Do UCLN(2,3) =1 nên (b-1)b(b+1) chia hết cho 6 hay b5 - b chia hết cho

6

( Mỗi ý cho 0,25 điểm)

b - Có : a5b- ab5 = a5b- ab + ab - ab5

= b (a5 - a) - a(b5 - b)

- Có a5 - a chia hết cho 5 với mọi a ( Theo Fermat)

- Do UCLN(5,6) =1 nên a5 - a chia hết cho 30

- Tơng tự b5 - b chia hết cho 30.Suy ra đợc a5b- ab5 chia hết cho 30

( Mỗi ý cho 0,25 điểm) Câu 2: (1.0 điểm)

Thực hiện rút gọn: A =

3 2 3

3 2

3 4

3 2 2

3 4

b ab a

b b

a a

+ +

+ +

Đặt : 3 a = x và 3 b = y

4 2 2 4

y xy x

y y x x

+ +

+ +

2 2 2 2

(

y xy x

y x y

x

+ +

− +

=x2 − xy + y2 Vậy A = 3 a2 −3 ab +3 b2

( Mỗi ý cho 0,25 điểm - Phép đặt chỉ có ý nghĩa đơn giản trong trình bày) Câu 3 : (1,5 điểm)

Chứng minh với mọi giá trị a,b,c thì phơng trình

(x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) = 0 (1) luôn có nghiệm

⇔ x2 - x(a + b) + ab + x2 - x(b + c) + bc + x2 - x(a + c) + ac = 0

⇔ 3x2 -2x(a + b+c) + ab + bc + ac = 0

∆ ’ = (a + b+ c)2 - 3 (ab + bc + ac)

= a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac

2∆ ’ = 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ac

= ( a -b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 ∆ ’≥ 0 với mọi giá trị của a,b,c nên (1) luôn có nghiệm

( Mỗi ý cho 0,25 điểm)

Câu 4 : Giải phơng hệ trình sau :







=

− +

=

−

−

13

7 2

2 y xy x

y xy x

- Cộng (1) và (2) vế theo vế ta đợc x2 + y2 -2xy + x - y = 20

- (x - y )2 + ( x - y) - 20 = 0

- Đặt Y = x - y đợc Y2 + Y - 20 = 0

- Giải phơng trình trên đợc Y1 = 4 ; Y2 = - 5

- Với Y = 4 đợc x = y + 4 Thay vào (1) đợc y + 4 - y( y+4) - y = 7

Giải đợc nghiệm

- Với Y = - 5 đợc x = y - 5 Thay vào (1) đợc y - 5 - y( y - 5) - y = 7

Giải đợc nghiệm

- Kết luận nghiệm :

( Mỗi ý cho 0,25 điểm, riêng ý 1 cho 0,50 điểm) Câu 5 : (3,5 điểm)

( Mỗi ý cho 0,25 điểm - Hình vẽ 0,25 điểm)

a Có : CMA = AMH và HMB = BMD ( T/c tiếp tuyến)

Do AMB = 900 nên CMD = 1800 Hay C,M,D thẳng hàng

OM là đờng trung bình của hình thang ABDC nên OM//AC

 OM ⊥CD hay CD là tiếp tuyến của đờng tròn tâm O

b Có AC = AH và BD=BH

Nên AC.BD = AH.BH

Do ∆ AMB vuông tại M nên AH.BH = MH2

Do MH =

2

CD

nên AC.BD =

4

2

CD

c Có SABDC = ( AC +DB)

2

CD

= OM

2

CD

= OM

2

CD

= OM.MH

Do OM không đổi nên SABDC lớn nhất khi MH lớn nhất

Lúc đó M nằm chính giữa cung AB

A

C

H M

D

Hớng dẫn chấm - Môn Toán 9

Vòng 2 Câu 1: (2.0 điểm)

- Cộng hai phân số đầu :

) )(

)(

(

2 2

c b c a b a ab

ac a bc b

−

−

−

+

−

−

- và rút gọn đợc :

) )(

( a c b c ab

a b c

−

−

−

−

- Cộng tiếp phân số thứ ba :

) )(

(

2

c b c a abc

ab ca cb c

−

−

+

−

−

- và rút gọn đợc đpcm.

( Mỗi ý cho 0,25 điểm)

- Tách thành tổng :

) ) )(

( ) )(

( ) )(

(

(

) ) )(

(

1 )

)(

(

1 )

)(

(

1 (

y z x z z

z z

y x y y

y z

x y x

x

x

y z x z z z y x y y z x y x x

a

B

−

−

+

−

−

+

−

−

+

−

−

+

−

−

+

−

−

=

- Tính đợc tổng thứ hai bằng 0.

- áp dụng câu a để đợc B =

xyz a

( ý 1 cho 0,50 điểm - ý 3, ý 3 cho 0,25 điểm) Câu 2: (3,0 điểm)

Giải các phơng trình :

) 1 ( 2

2

+

+

x

x x

- Điều kiện : x ≠ - 1

-1

2 15 ) 1 (

2 2

+

−

= +

−

x

x x

x x

1

2 1

2 2

=

− +

+

x x

x

1

2 +

=

x

x

y đợc y2 + 2 y − 15 = 0

Giải phơng trình y2 + 2 y − 15 = 0 đợc y1 = 3 ; y2 = - 5

- Với y = 3 đợc x2 = 3x + 3 Giải x2 - 3x - 3 = 0 đợc x1 = ; x2 =

- Với y = -5 đợc x2 = -5x - 5 Giải x2 +5x+5 = 0 đợc x1 = ; x2 =

- Kết luận nghiệm

( Mỗi ý cho 0,25 điểm)

b ( x2 - 6x - 9 )2 = x( x2 - 4x - 9 )

- Có x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình

- Chia hai vế cho x2 đợc :











 − −

=











 − −

x

x x

2

x

x − 6 − 9 = y đợc y2 = y + 2

Giải phơng trinh y2 - y - 2 = 0 đợc y1 = 2 ; y2 = - 1

- Với y = 2 đợc

x

x − 6 − 9 = 2 Giải phơng trình x2 - 8x - 9 = 0

x1 = - 1 ; x2 = 9

- Với y = -1 đợc

x

x − 6 − 9 = -1 Giải phơng trình x2 - 5x - 9 = 0

x1 =

2

61

1 =

2

61

5 −

( Mỗi ý cho 0,25 điểm) Câu 3 : (1,5 điểm)

Cho hai số dơng x, y thoả x + y = 1 Hãy tìm

a Tìm GTLN của A = xy2

- Có x + y = x +

2 2

y

y + ≥ 33

2 4

xy

- Thay x+y = 1 đợc 1 ≥ 33

2 4

27

4

xy

≥

- Max B =

27

4 lúc

3

1

2 =

= y

x

b Tìm GTNN của B = x3 + y3 + xy

- Có B = x3 + y3 + xy = (x+y)(x2 - xy + y2) + xy

Thay x + y = 1 và rút gọn đợc C = x2 + y2







+ +

= +

≥

+

xy y

x y x

xy y

x

2 )

(

2 2 2 2

2 2

2(x2 + y2 ) ≥ (x + y)2

- x2 + y2 ≥

2

1 Hay Min B =

2

1 lúc x = y =

2 1 ( Mỗi ý cho 0,25 điểm)

Câu 4 :

a Xét tam giác MNH có :

MB, NC là các phân giác ngoài

MB và NC cắt nhau tại A nên HA là phân giác trong của tam giác MNH

HC ⊥ HA nên HC là phân giác ngoài

HC và NC cắt nhau tại C nên MC là phân giác trong của tam giác MNH

b MC là phân giác trong, MB là phân giác ngoài tại M nên MC ⊥ MB

Hoàn toàn tơng tự chứng minh đợc BN ⊥ NC

AH, BN, CM là ba đờng cao của tam giác ABC nên đồng qui

( Mỗi ý cho 0,25 điểm - Hình vẽ cho 0,25 điểm) Câu 5:

- Kẻ đờng cao AH của ∆ABC và đờng cao OH1 của ∆OBC

Có : OA AA OH AH1

1

1 =

- Và

ABC

OBC

S

S AH

OH

= 1

nên

ABC

OBC

S

S AA

OA

= 1 1

- Tơng tự ta có :

ABC

OAC

S

S BB

OB

= 1

1

Và

ABC

OAB

S

S CC

OC

= 1 1

- Cộng ba đẳng thức vế theo vế ta đợc đpcm

( Mỗi ý cho 0,25 điểm - ý 1 cho 0,50 điểm - Hình vẽ 0,25 điểm)

A

E

F

A

O

A1

huyện Quế sơn năm học 2004-2005

Phòng giáo dục và đào tạo Môn : Toán 9

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề chính thức - Vòng 1

Câu 1: (2,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, b thì :

a b5 - b chia hết cho 6

b a5b - ab5 chia hết cho 30

Câu 2:(1,0 điểm)

Thực hiện rút gọn

A =

3 2 3

3 2

3 4

3 2 2

3 4

b ab a

b b

a a

+ +

+ +

Câu 3 : (1,5 điểm)

Chứng minh rằng với mọi giá trị a,b,c thì phơng trình

(x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) = 0 luôn có nghiệm.

Câu 4 :(2,0 điêm)

Giải hệ phơng trình sau :







=

− +

=

−

−

13

7 2

2 y xy x

y xy x

Câu 5 :(3,5 điểm)

Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB= 2R Gọi M là điểm di động trên nửa đ-ờng tròn O ( M Khác A và B) Vẽ đđ-ờng tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD với đờng tròn tâm M.

a Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đờng tròn tâm O.

b Tính tích AC.BD theo CD.

c Xác định vị trí M để diện tích hình thang ABDC đạt giá trị lớn nhất.

huyện Quế sơn năm học 2004-2005

Phòng giáo dục và đào tạo Môn : Toán 9

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề chính thức - Vòng 2

Câu 1: (2,0 điểm)

a Chứng minh rằng với a, b, c đôi một khác nhau thì

abc b

c a c c c b a b b c a b a a

1 ) )(

(

1 )

)(

(

1 )

)(

(

−

−

+

−

−

+

−

−

b Thực hiện rút gọn : A =

) )(

( ) )(

( ) )(

z a z

y x y y

y a z

x y x x

x a

−

−

+ +

−

−

+ +

−

− +

Câu 2: (3,0 điểm)

Giải các phơng trình sau :

) 1 ( 2

2

+

+

x

x

x

b ( x2 − 6 x − 9 )2 = x ( x2 − 4 x − 9 )

Câu 3 : (1,5 điểm)

Cho hai số dơng x, y thoả x + y = 1 H y tìm ã

a Giá trị lớn nhất của : A = xy2.

b Giá trị nhỏ nhất của : B = x3 + y3 + xy

Câu 4 : (2,0 điểm)

Tam giác ABC có AH là đờng cao E, F lần lợt là điểm đối xứng của H qua các cạnh AB, AC Gọi M,N lần lợt là giao điểm của EF với AB, AC.

a Chứng minh : - HA là phân giác của góc MHN

- MC là phân giác của góc HMN

b Chứng minh AH,CM,BN đồng qui.

Câu 5: (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC O là điểm bất kì thuộc miềm trong của tam giác Các tia AO,

BO, CO cắt các cạnh đối diện tơng ứng ở A1, B1, C1.

Chứng minh rằng : 1

1

1 1

1 1

CC

OC BB

OB AA

OA