Hãy giải pt 1 trong trờng hợp m tìm đợc.
Trang 1Phơng trình lợng giác
Bài 1: Giải các phơng trình thờng gặp
k ∈ Z
1) cos 2x sin x 2cos x 1 0 + 2 + + =
ĐS: π + π k2 k ( ∈ Z )
sin x tg 2
2
ĐS: π + π 2 k2
3) 3 cos3x sin 3x + = 2
;
4) sin 8x cos 6x − = 3(sin 6x cos8x) +
ĐS: 4 k ; 12 k
7
π
5) cos 7x.cos5x − 3 sin 2x 1 sin 7x.sin 5x = −
ĐS: k ; π − π 3 + π k
Bài 2: Giải các phơng trình đẳng cấp
1) cos x 2 3 sin x.cos x 3sin x 12 + + 2 =
ĐS: k ; π − π 3 + π k
2) cos x 4sin x 3cos x.sin x sin x 03 − 3 − 2 + =
ĐS: − π 4 + π ± k ; π 6 + π k
3) 3cos x 4sin x.cos x sin x 04 − 2 2 + 4 =
ĐS: ± π 4 + π ± k ; π 3 + π k
4) sin 2x 2tgx 3 + =
ĐS: π + π 4 k
5) sin x.sin 2x sin 3x 6cos x + = 3
ĐS: k ; 3 k ;
tg 2
π
α =
Bài 3: Giải các phơng trình đối xứng
1) sin x.cos x 2sin x 2cos x 2 + + =
ĐS: k2 ; π π 2 + π k2
2) sin 2x 2.sin( ) 1
4
π
ĐS: π + π 4 k ; π π + π 2 , k2
3) tg2x cotgx 8cos x + = 2
ĐS: π + π 2 k ; 5
24 24 2
4) cotgx tgx 2tg2x = +
ĐS: k
π + π
1 sin x cos x sin 2x
2
ĐS: , k2 2
π
− −π + π
Bài 4: (PP hạ bậc, nhân đôi) Giải các phơng trình sau
1) cos 3x.cos 2x cos x 02 − 2 =
ĐS: k 2
π
2) sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x2 − 2 = 2 − 2
ĐS: k 2
π;k
9
π
sin x tg x cos 0
π
ĐS: π + π k2 ;− π 4 + π k
4) sin x cos 2x cos 3x2 = 2 + 2
ĐS: k
π + π;
k
π + π
sin x cos x
π
ĐS: k π;π + π 4 k
6) sin x cos x cos 2x3 + 3 =
ĐS: k 4
π
− + π;0, k2
2
π + π
7) 1 3tgx 2sin 2x + =
ĐS: k 4
π
− + π
cos x 2 2tg
2
+ =
ĐS: π + π 2 k2
Bài 5: (PP biến đổi thành dạng tích) Giải các phơng
trình sau 1) cos3x 2cos 2x cos x 0 − + =
ĐS: k
π + π;k2 π
2)
1 cos3x.cos 4x sin 2x.sin 5x (cos 2x cos 4x)
2
ĐS: k 2
π + π; 2
k 5
π
3) sin x cos x sin 2x sin x cos x3 + 3 = + +
ĐS: k 2
π
4)
sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos3x + + = + +
ĐS: k
π + π; 2
k2 3
π
Trang 25) 2sin x sin x 2cos x cos x cos 2x3 − = 3 − +
ĐS: k
2
π
− π + π
6) cos x cos x 2sin x 2 03 + 2 + − =
ĐS: k2 π; k2
2
π + π
7) cos x cos 2x cos3x cos 4x 0 + + + =
ĐS: k 2
k
8) 1 sin x cos x sin 2x cos 2x 0 + + + + =
ĐS: k 4
π
k2 3
π
cot gx 1 sin x sin 2x
+
ĐS: k 4
π + π
10) 5sin x 2 3(1 sin x)tg x − = − 2
ĐS: 5
6 6
π π + π
các đề thi đại học từ năm 1997
đến 2006 về phơng trình lợng
giác
đề thi năm 1997-1998 Bài 1)Đại học an ninh: giải phơng trình
( cos 2x - cos 4x)2 = 6 + 2 sin 3x
Bài 2)Đại học bách khoa hà nội: giải phơng trình
( 1−cosx + cos ) cos2x = 1/2 sin4xx
Bài 3)Đại học đà nẵng giải phơng trình
1) sin3x - sinx + sin2x = 0
2) cos2x + 3 cosx +2 = 0
Bài 4)Đại học giao thông vận tải: giải phơng trình
3( cotgx - cosx ) - 5 (tgx - sinx) = 2
1+ sin32x + cos32x = 3/2 sin4x
Bài 5)Đại học huế: giải phơng trình
a)
x
x
sin
1
cos
− = 1+ sin x b) x
x
sin 1
2 sin
+ + 2cosx = 0
Bài 6) H ọc viện KTQS giải phơng trình
2cos3x = sin3x
Bài 7)Đại học kiến trúc HN giải phơng trình
sin3x( cosx- 2sin3x) + cos3x( 1+ sinx- 2cos3x) = 0
Bài 8)Đại học kiến trúc CSII
cho phơng trình: cos3x + sin3x = k sinx cosx
1) giải phơng trình k = 2
2) Tìm k để pt có nghiệm
Bài 9)Đại học KTế QDân:
Tìm nghiệm pt cos7x - 3 sin7x = - 2
thoã mãn:
5
2
Π < x <
7
6
Π
Bài 10)Đại học mỏ: giải
x
x
sin 5 5 sin = 1
Bài 11)Đại học ngoại th ơng giải phơng trình
9sinx + 6cosx - 3 sin2x + cos2x = 8
Bài 12)Đại học nông nghiệp I:cho phơng trình:
2sin2x - sinx.cosx - cos2x = m
1) Tìm m để pt có nghiệm 2) Tìm nghiệm khi m= 1
Bài 13)Học viện quan hệ quốc tế: giải phơng trình
sin x + sinx + sin2x + cosx = 1
Bài 14)Đại học quốc gia HN: giải phơng trình
2 2 sin( x +
4
Π) =
x
sin
1 +
x
cos
1
Bài 15)Đại học QGTPHCM:Cho pt:
4cos5x sinx - 4 sin5x cosx= sin24x + m (1) 1) Biết x = Π là một nghiệm của (1)
Hãy giải pt (1) trong trờng hợp m tìm đợc
2) Biết x =
2
Π là một nghiệm của (1).
Hãy tìm tất cả các nghiệm của pt (1) thoã mãn x4 - 3 x2 + 2 < 0
Bài 16)Đại học Tài chính ktoán: giải phơng trình
( 1 - tgx)(1 + sin2x) =( 1 + tgx)
Bài 17)Đại học Thái nguyên: giải phơng trình
4cos2x - cos3x = 6cosx - 2( 1+ cos2x)
18)Đại học Thuỷ lợi:cho: f(x) = cos6x + sin6x 1) tính
f'(-24
Π )
2) giải phơng trình f(x) = 1
19)Đại học th ơng mại: giải phơng trình
cos2x + cos
4
3x - 2 = 0
20)Đại học xây dựng: giải phơng trình
4
sin 2 cos 2 cos 4
tg x tg x
Π− Π+
21)Đại học Y-D ợc TPHCM:
Bằng cách biến đổi t =tgx hãy giải phơng trình sinxsinn2x + sin3x = 6 cos3x
22)Đại học Y hà nội: giải phơng trình
1) cos4x + sin6x = cos2x 2) cosxcos
2
xcos
2
3x- sinxsin
2
xsin
2
3x =
2
1
23)Đại học An ninh:
1)Tìm nghiệm pt : 1- 5 sinx + 2 cos2x =0 thoã mãn: cosx ≥0
2) giải phơng trình tgx + cotgx = 4
24)Đại học công đoàn:
1) giải phơng trình
2 ( sinx + cosx) = tgx + cotgx 2) cho y = sin2x - 2 sinx
tìm x để y''(x) = 0
25)Đại học lâm nghiệp: giải phơng trình
sin32xcos6x + sin6xcos32x= 3/8
26)Đại học Luật: giải phơng trình
( 1 − cos x + cos x) cos2x =
2
1 sin4x
27)Học viện quân y: giải phơng trình
1)sin82x + cos82x = 1/8 2) (sinx + 3)sin4
2
x - (sinx + 3)sin2
2
x + 1 =0
3) ( cos 4x - cos 2x)2 = 5 + sin3x
28)Đại học QGHN: giải phơng trình
2cos2x -3cosx +1 = 0
29)Đại học S phạm II: giải phơng trình
5 cos x − cos 2 x + 2sinx =0
30)CĐSPHN: giải phơng trình
cos2x + sin2x + 2 cosx +1 = 0
31)Đại học văn hoá: giải phơng trình
Trang 3
x
x
sin
2 cos
1− = 2 ( cosx -
2
1) năm học 1998- 1999
32)Đại học An ninh: giải phơng trình
x x
x
cos
1 cos
sin
33)Đại học BKHN: giải phơng trình
1 cot
) sin (cos 2 2 cot
1
−
−
=
x x x
g tgx
34)Đại học cần thơ: giải phơng trình
x m
x m x m
x m
sin 2
2 cos cos
2
2 sin
−
−
=
−
− 1) giải phơng trình m=1
2) m≠ 0 ; 2 ; − 2 ptrình (1) có bao nhiêu
nghiệm nằm trong đoạn: 20Π≤ x≤30Π
35)Đại học cần thơ: giải phơng trình
3 - 4 cos2x = sin x (2 sinx +1)
36)Đại học công đoàn giải phơng trình
2
2 cos 4 sin
2
2 2
2
x tg x x
−
−
37)Đại học D ợc HN: giải phơng trình
0
1
cos 3
4 cos
2
2
=
−
−
x tg
x x
38)Đại học Đà nẵng: giải phơng trình
1) 3 cos 4x - 2 cos23x =1
2) 1+ 3cosx + cos 2x = cos3x + 2 sinxsin2x
39)Đại học GTVT: giải phơng trình:
tgx + cotgx = ( sin2x + cos 2x)
40)Đại học huế giải phơng trình
1) cos3x + sinx - 3sin2xcosx = 0
2) sin2x + sin22x + sin23x = 3/2
3)cos4x - sin2x = cos2x
41)Đại học Kiến trúc HN:
1)Cho phơng trình:
α
α
2
1
6 sin
) 2
3 sin(
4 5
tg
tg x
x
+
=
− Π +
a) giải α = −Π4 b)α =? ptrình có nghiệm
2) Cho phơng trình:
m( sinx + cosx) +1 + ) 0
cos
1 sin
1 cot ( 2
x x gx tgx
a) giải phơng trình khi m =1/2
b)m=? m∈Ζ để phơng trìng có nghiệm trong
khoảng )
2
; 0
( Π
42)Đai học KTQD: giải phơng trình:
Cosxcos2xcos4xcos8x = 1/16
43)Đai học Luật: giải phơng trình:
tgx – sin2x – cos2x +2 ( 2cosx - cos1x)=0
44)Đai học Mỏ ĐC:
Cho ptrình:
Sinx + mcosx = 1 (1) m∈ R
1)Giải pt với m = - 3
2)m= ? để mọi nghiệm của pt (1) đều là nghiệm
của pt
msinx+ cosx = m2
45)Đai học Mỹ thuật công nghiệp: giải phơng trình:
Cos2x – 7 sinx+ 8 = 0
46)Đai học Ngoại ngữ: giải phơng trình:
sin3x + cos2x = 1 + 2 sinxcos2x
1 + sinx + cosx + tgx =0
47) Đai học Ngoại th ơng giải phơng trình:
Sinx + sin2x + sin3x+ sin4x =cosx + cos2x + cos3x + cos4x
48)Đai học N.nghiệp: giải phơng trình:
cos sin
1 2 cos 2
=
− +
x x x
1 sin cos 2
cos sin 2 cos
− +
−
x x
x x x
49)Đai học Quốc gia: giải phơng trình:
1)2tgx + cotg2x = 2sin2x + 1/sin2x 2)sin3x + cos3 x =2 ( sin5x + cos5 x) 3)sin2x = cos2 2x cos23x
50)Đai học S phạm vinh: giải phơng trình:
1+ cotg2x =
x
x
2 sin 2 cos 1
2
−
51)Đai học Thuỷ lợi: giải phơng trình:
(1 + sinx)2 = cosx
52)Đai học Văn hoá: giải phơng trình:
Sin3x cosx = 1/4 + cos3 xsinx
53)Đai học Xây dựng: giải phơng trình:
m.cotg2x =
x x
x x
6 6
2 2 sin cos
sin cos
+
−
54)Đai học Y TPHCM:
Tìm a để haiphơng trình sau tơng đơng 2cosx cos2x = 1+ cos2x + cos3x
4cos2 x - cos3x = acosx ( 4- a ) ( 1 + cos2x)
55)Đai học y hà nội: giải phơng trình:
2( cotg2x – cotg3x ) = tg2x + cotg3x sin23x – sin22x – sin2x = 0
56)Học viện công nghệ BCVT giải phơng trình:
sin4x – cos4x = 1 + 4 (sinx – cosx)
57)HVKTQS: giải phơng trình:
Cos2x - 3 sin2x - 3 sinx cosx + 4 = 0
58)HVNH: giải phơng trình:
Sin6 x + cos6 x = cos4x
59)HVQHQT: giải phơng trình:
cos2x + cos22x +cos2 3x + cos24x = 3/2
60)Phân viện BCTT: giải phơng trình:
sin3(Π+x
4 ) = 2 sinx
31 sin3x + sin2x + sinx =0
61)Cao đẳng hải quan: giải phơng trình:
4 sin3x –1 = 3sin x- 3 cos3x
62)Cao đẳng s phạm TPHCM: giải phơng trình:
3cosx + cos2x – cos3x + 1 = 2sinxsin2x cosx – cos2x + cos3x = 0
về ptlg cơ bản, ptlg gần cơ bản
về pt bậc nhất đối với sinx và cosx
Bài 1: Giải phơng trình lợng giác
1) cos(x-2) = - cos(5x+2) 2) tanx = cot(x+60o), x∈(0 o ; 270 o )
3) sinx2 = cosx2
4) cos(x2-x) = sin(x-π/2)
5) tan3x + cot2x = 0
6) tan(πcosx) = tan(2πcosx), x∈[0 o ; 360 o )
7*) sin(cosx) = cos(sinx)
Bài 2: Giải phơng trình lợng giác 1) cos(2x+1)= 1/2
2) tan 2x = cot 2x , x∈(0; 7π) 3) sin 2(6x-π/3) + cos 2(x+π) = 1 4*) cot3x.tan2x = 1
Bài 3: Giải và BL phơng trình
1) sin 2x + (2m-1)cos2(x+π) = m 2) m (tanx + cotx) = 2cotx ##
Bài 4: Giải phơng trình lợng giác
Trang 41) sinx - cosx =
2
3
1+ , x∈(0; 2π)
2) sin 2x - 2sinxcosx = 5
3) 2sin 25x +(3+ 3 )sin5xcos5x +
+ ( 3 -1) cos 25x = -1
4) 3 cos4x - 2sin2xcos2x = 2
5) 3 (cos4x + sin3x) = cos3x – sin4x
6) 2- tanx = 2/ cosx
Bài 2: Tìm m để phơng trình sau có
nghiệm (2m-1)sinx + (m-1)cosx = m-3
Bài 3: Cho PT mcos2x + sin2x = 2
1 GPT với m = 2
2 m = ? PT có nghiệm.
Bài 4: Giải và BL phơng trình
msin(x/3) + (m+2)cos(x/3) = 2
Bài 5: Tìm GTLN, GTNN: y x x x
sin cos 2 cos 2
− +
+
=
Bài 6: Tìm m để mọi nghiệm của phơng trình sinx
+ mcosx = 1
đều là nghiệm của phơng trình
msinx + cosx = m2
đại số hoá ptlg
Bài 1: Giải phơng trình lợng giác
1) sin 2x + 3 cos 2x + 3 cosxsinx =
-2
1sin2x
2) 2 2 sin 2x - 3 sin2x = 2 - 6
3) 2sin 2 x + sin 2x =-1
4) cosx + sinx - 4sin3x = 0
5) sinx(2cosx + sinx) = 2cos2x +1/2
6) 5sinx – 2 = 3(1- sinx)tan2x
Bài 2: Giải phơng trình lợng giác
1) cos2xsin2x + 1 = 0
2) 2- tan 2x = 2/ cos 2x
3) 4(tanx + cotx) + 3(tan2x + cot 2x)=-2
4) tan2x - tanx = 0,5sin2x
5) tan2x + cotx = 4cos2x
6) tan(x+π/4) = 1+ sin2x
7) tanx +tan2x+ tan 3x +cotx +cot2x+ cot 3x =6
2
cos
1
2
cos
1
−
= +
−
x x
x
Bài 3: Giải phơng trình lợng giác
1) 1+ sin2x = cosx + sinx
2) 1+ cosx + sinx + cos2x + sin2x = 0
4) sin 3x - cos 3x = cos2x
5) sin 3x + cos 3x = cosx + sinx+ sin2x
6) cosx - sinx + 4sin2x = 1
7) tanx+cotx+cosx+sinx = - 2 -cos1x−sin1x
Bài 4: Giải phơng trình lợng giác
1) 3sin3x - 3 cos9x = 1+ 4sin33x
2) a)8cos 4x = 3+5 cos4x b) + − + + 2
sin 2 sin sin 4 sin 2 2
x x x x
3) 2cos 2(6x/5) + 1 = 3cos(8x/5)
1 sin 4 cos 3
6 sin
4
cos
+ + + +
x x x
x
5) sin 4x +(1+ sinx)4 = 17
ptlg đa về dạng tích
Bài 1: Giải phơng trình lợng giác
1) cosxsinx(1+ tanx)(1+ cotx) = 1
2) (1+ tanx +
x
cos
1 ) (1+ tanx -
x
cos
1
) = 2 3 3) cos(10 0 -x)sin(20 0+x) = 1/2
4) (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx
5) cotx – 1 = sin2x
-2
1sin2x +
x
x
tan 1
2 cos
+
6) cos3x - 2cos2x + cosx = 0
Bài 2: Giải phơng trình lợng giác 1) sin 2x + sin 22x+ sin23x = 3/2
2) cos 23xcos2x - cos2x = 0 3) cos 3x cos3x +sin3x sin3x = 2 /4
4) cos 3x cos3x +sin3x sin3x = cos34x
5) sin 4x + cos 4x + cos(x-π/4)sin(3x-π/4) = 3/2
6) cos2x = cos(4x/3) 6) 2cos 2(3x/5) + 1 = 3cos(4x/5) 7) sin 8x + cos 8x = (17/16) cos 22x
Bài 5: Giải phơng trình
x
x x
x
x x
tan 1 tan 1 2 sin 1 ) 2 sin 1 cos 1 tan )
−
+
= +
−
+
=
x
x
3 2
sin 1 cos 1 tan ) 3
−
−
=
4) tan20 0tanx+ tan400tanx + tan200 tan40 0 =1
5) tan2x- tan3x- tan5x = tan2xtan3xtan5x
6) tan 22x- tan23x- tan25x = tan22xtan23xtan25x 7) ( 3 /cosx)- (1/sinx) = 8sinx
Bài 6: Giải phơng trình 1) sin 2x + sin 2y + sin 2(x +y)=9/4
2) tan 2x + tan 2y + cot 2(x +y)=1
Bài 7: Tính các góc của tam giác ABC
không tù thoả mãn
Cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC = 3 ##
Ptlg chứa tham số
Bài 1: Tìm m để phơng trình có nghiệm msin2x + cos2x + sin2x + m = 0
Bài 2: Cho phơng trình
m sinx + (m+1)cosx = m/cosx
1) Giải phơng trình với m = 1/2
2) Tìm m để phơng trình có nghiệm ?
3) Tìm m để phơng trình có nghiệm x∈(0; π/2) ?
Bài 3: Cho phơng trình
(1-m)tan2x -2(1/cosx) +1+3m = 0
1) Giải phơng trình với m = 1/2
2) Tìm m để phơng trình có nhiều hơn một nghiệm
x∈(0; π/2) ?
Bài 4: Tìm m để phơng trình có nghiệm m(tanx - cotx) = tan2x + cot 2x
Bài 5: Chứng minh với mọi m, phơng trình sau luôn
có nghiệm
1) sin 4x + cos 4x+m cosxsinx = 1/2 2) (1/cosx)- (1/sinx) = m ##
Hệ ptlg
Giải hệ
1)
= ++sin =1 sin cos 3
cos
y
x x y 2)
= +
= +
2
1 sin sin
2 2
y x
y
x π
3)
= +
= +
2
3 sin
sin
3
2 2
y x
y
4)
=
− +
= + +
2
3 cos sin
sinx y z
z y