Suy ra nghiệm xo⇒ yo + Viết pt tiếp tuyến ở dạng 1 d Dạng 4: Biết tiếp tuyến cần tìm song song với một đường thẳng cho trước Cách giải: + Giả sử hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là k..
Trang 1Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
KIẾN THỨC GIẢI TÍCH ƠN TẬP THI TN THPT I/- Nhắc lại một số kiến thức liên quan:
1/- CƠNG THỨC NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương trình bậc hai dạng: 2
0
ax + + = bx c
Phương trình
ax + + = bx c
Tính theo 2
4
b ac
0
0
∆ =
Pt co nghiệm kép: 1 2
2
b
x x
a
x x
a
0
1 2
b x
a
− + ∆
2 2
b x
a
− − ∆
=
' 0
1 ' '
b x
a
− + ∆
2 ' '
b x
a
− − ∆
=
2/- DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT: f(x) = ax + b, (a ≠ 0)
x
-∞ b
a
− +∞
f(x) trái dấu a 0 cùng dấu a
3/- DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI: f(x) = ax 2 + bx + c, (a ≠ 0)
+ Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, ∀ x
+ Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a,
2
b x a
−
∀ ≠ + Nếu ∆ > 0, giả sử pt f(x) = 0 cĩ hai nghiệm x1, x2 (x1< x2) thì
x -∞ x1 x2 +∞
f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a
II/- ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1/- SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Định lý: Xét hàm số y = f(x) xác định trên K
+ HS đồng biến trên K ⇔ f’(x) ≥ 0, ∀x∈ K
+ HS nghịch biến trên K ⇔ f’(x) ≤ 0, ∀x∈ K
* QUY TẮC: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Tìm TXĐ của hàm số
Tính y’ và giải pt y’ = 0 (tìm các điểm làm y’ = 0 hoặc y’ khơng xác định)
Lập bảng biến thiên (phải sắp các nghiệm theo thứ tự từ bé đến lớn từ trái sang phải)
Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng f(x) > 0 và nghịch biến trên khoảng f(x) < 0.
2/- CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ: Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0∈(a; b)
a) Dấu hiệu 1:
0
0 0
'( ) 0, ( ; ) '( ) 0, ( ; )
a) f x x x h x x là điểm cực đại của f(x)
> ∀ ∈ −
0
0 0
'( ) 0, ( ; ) '( ) 0, ( ; )
b) f x x x h x x là điểm cực tiểu của f(x)
< ∀ ∈ −
Ghi nhớ: Trên khoảng (a; b), x0∈(a; b)
- Khi đi qua x0, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì x 0 là điểm cực đại
- Khi đi qua x0, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì x 0 là điểm cực tiểu
* QUY TẮC1:
Tìm TXĐ của hàm số
Tính y’, và giải pt y’ = 0 (tìm các điểm làm y’ = 0 hoặc y’ khơng xác định)
Lập bảng biến thiên
Kết luận
b) Dấu hiệu 2:
Trang 2Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
0
0 0
'( ) 0
''( ) 0
a) f x x là điểm cực đại của f(x)
f x
=
0
0 0
'( ) 0 ''( ) 0
b) f x x là điểm cực tiểu của f(x)
f x
=
* QUY TẮC2:
Tính y’, y”
Giải pt y’ = 0 Giả sử cĩ các nghiệm xi
Tính y”(xi), so sánh các kết quả đĩ với 0
Kết luận
3/- GTLN, GTNN CỦA HÀM HÀM SỐ
a) Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b]
Tính y’
Giải pt y’ = 0 (tìm các điểm xi∈[a; b] làm y’ = 0 hoặc y’ khơng xác định)
Tính các giá trị f(a); f(b); f(xi), i = 1; 2; ;n
Kết luận: ; ( ) max { ( ); ( ); ( ), ( ), ( )1 2 }
Max f x = f a f b f x f x f x
; ( ) min { ( ); ( ); ( ), ( ), ( )1 2 }
Min f x = f a f b f x f x f x
b) Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng (a; b):
- Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên, xét tính đơn điệu của hàm số trên khoảng (a; b)
- Nếu hàm số đạt một cực đại (hoặc cực tiểu) tại x0∈ (a; b) thì kết luận f(x0) là tgln (hoặc gtnn)
4/- TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ: (C): y = f(x)
a) Đt x = x0 là TCĐ của (C) ⇔
0
0
0
0
lim lim lim lim
x x
x x
x x
x x
y y y y
+
+
−
−
→
→
→
→
= +∞
b) Đt y = y0 là TCN của (C) ⇔ 0
0
lim lim
x x
y y
y y
→−∞
→+∞
=
=
Một số lưu ý khi tính giới hạn:
0
nếu 1)
+ ,nếu
x
a
ax bx cx d
a
→−∞
0
nếu 2)
,nếu
x
a
ax bx cx d
a
→+∞
0
nếu 3)
,nếu
x
a
ax bx c
a
→±∞
4) Để tính
lim ; lim
ax b ax b
cx d cx d
+ + , ta cần nhớ thực hiện như bảng sau
0
lim ( )
x x+ f x
lim ( )
x x+g x
→
Dấu của g(x)
0
( ) lim ( )
x x
f x
g x
+
→
5/- SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỊ THỊ CỦA HÀM SỐ, ta thực hiện đầy đủ các bước
Tìm TXĐ
Sự biến thiên
+ Chiều biến thiên:
- Tính y’
- Tìm các nghiệm của pt y’= 0 hoặc các điểm làm y’ khơng xác định
- Kết luận chiều biến thiên ( nhờ dấu của y’)
+ Cực trị:
+ Giới hạn
+ Tiệm cận (nếu cĩ)
+ Bảng biến thiên
Đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố đã biết trên như: cực trị, tiệm cận, điểm đặc biệt để vẽ
Lưu ý:
+ Muốn vẽ chính xác đồ thị, ta cần tìm tính thêm toạ độ vài điểm, đặc biệt là các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ
Trang 3Hệ thống lý thuyết ôn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm + Tính chất đối xứng của đồ thị:
- Đồ thị hàm bậc 3 đối xứng nhau qua qua điểm có hoành độ là nghiệm của pt y” = 0 (điểm uốn)
- Đồ thị hàm bậc 4 luôn đối xứng nhau trục Oy
- Đồ thị hàm b1/b1 đối xứng nhau qua tâm đối xứng (là giao của hai đường tiệm cận, toạ độ I ( d a ; )
c c
Bảng biến thiên và đồ thị của các đồ thị hàm số bậc 3, bậc 4, hàm số nhất biến
1 Hàm số bậc ba: y = ax 3 + bx 2 + cx + d, (a ≠ 0)
♣ TXĐ: D = R
♣ Đạo hàm: y ' 3 = ax2+ 2 bx c +
♣ Giới hạn: + Nếu a > 0: lim ; lim
→+∞ = +∞ →−∞ = −∞
+ Nếu a < 0: lim ; lim
→+∞ = −∞ →−∞ = +∞
Số nghiệm
2 nghiệm
a>0
CÑ
CT f(x1)
-∞
x2
-∞
y y' x
x y
O 1
a<0
CÑ CT
f(x2) f(x1)
+ ∞
- ∞
-x 2
- ∞ y y'
x
x y
O 1
1 nghiệm
a>0
+ ∞
- ∞
+
x0
x y'
y
O 1
a<0
+ ∞
- ∞
x0
x y'
y
O 1
Vô nghiệm a>0
+ ∞
- ∞
+
x y' y
x y
1
Trang 4Hệ thống lý thuyết ôn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
a<0
+ ∞
- ∞
x y' y
x y
1
2 Hàm bậc bốn: y = ax 4 + bx 2 + c, (a ≠ 0)
♣ TXĐ: D = R
♣ Đạo hàm: y’ = 4ax3 + 2bx
♣ Giới hạn: + Nếu a > 0: lim ;
→±∞ = +∞
+ Nếu a < 0: lim ;
→±∞ = −∞
Số nghiệm
3 nghiệm
a>0
CT f(x3)
+∞
+ 0
x3
CÑ CT
f(x2) f(x1)
-x2
-∞ y y' x
x
y
1
a<0
-∞
x3
CÑ CT
f(x2)
f(x1)
-∞
x2
-∞
y y'
x
x
y
1
1 nghiệm
a>0
+ ∞
x0
CT
+
x y' y
y
a<0
- ∞
- ∞
x0
x y'
0
x y
3 Hàm nhất biến: y ax b ;( c 0, ad bc 0)
cx d
+
+
♣ TXĐ: D R \ { d }
c
ad bc y
cx d
−
= +
Trang 5Hệ thống lý thuyết ôn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
♣ Giới hạn: lim
x
a y c
→±∞ = ;
0
lim
x x± y
→
±∞
= ∞ m
♣ Tiệm cận:
+ Đường thẳng a
y c
= là đường tiệm cận ngang
+ Đường thẳng d
x c
= − là đường tiệm cận đứng
Nếu ad - bc > 0
-d c
a c
a c
+
- ∞
+ +
+
- ∞
y y'
x
x y
B O
A
1
Nếu ad - bc < 0
-d c
a c
a c
+∞
-∞
-+∞
-∞
y y'
x
x y
B O
A
1
Lưu ý: - khi tính giới hạn, ta phải nhớ tính đủ 4 loại giới hạn: lim
x
a y c
→±∞ = ; lim ; lim ;
- Ở bước tiệm cận cần ghi nhớ: đt d
x c
= − là TCĐ, đt a
y c
= là TCN
4 Một số dạng toán liên quan thường gặp:
1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x)
a) Dạng 1: Tại điểm Mo(xo; yo) ∈ (C):
Cách giải:
+ Tính f’(xo)
+ Pt tiếp tuyến cần tìm có dạng: y - y o = f’(x o ).(x - (1) b) Dạng 2: Biết hoành độ xo hoặc tung độ yo của điểm Mo
Cách giải:
+ Tính yếu tố còn lại của điểm Mo
+ Tính f’(xo) + Viết pt tiếp tuyến ở dạng (1)
c) Dạng 3: Biết hệ số góc k
Cách giải:
+ Giải pt f’(xo) = k Suy ra nghiệm xo⇒ yo
+ Viết pt tiếp tuyến ở dạng (1)
d) Dạng 4: Biết tiếp tuyến cần tìm song song với một đường thẳng cho trước
Cách giải:
+ Giả sử hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là k Suy ra k = hsg của đường thẳng đã cho
+ Các bước còn lại giải như dạng 3 (vì đã biết hsg)
e) Dạng 5: Biết tiếp tuyến cần tìm vuông góc với một đường thẳng cho trước
Cách giải:
+ Giả sử hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là k Suy ra k = hsg của đường thẳng đã cho
+ Các bước còn lại giải như dạng 3 (vì đã biết hsg) Lưu ý: + Đường thẳng có dạng y = ax + b thì hsg là a.
+ Hai đường thẳng song song luôn có hệ số góc bằng nhau, + Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc luôn bằng -1 2) Biện luận theo tham số m số nghiệm của pt bằng đồ thị
Trang 6Hệ thống lý thuyết ơn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
Giả sử hàm số y = f(x) cĩ đồ thị (C), Ta thực hiện như sau:
+ B1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng f(x) = g(m,x)
( Chú ý: đồ thị của g(m, x) là thườngmột đường thẳng song song với trục Ox_ khuyết biến x)
+ B2: Lập luận: số nghiệm của pt đã cho bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng g(m,x)
+ B3: Dùng đồ thị, biện luận các trường hợp cắt nhau của hai đồ thị
+ B4: Kết luận(Thường ta kết hợp bước này với B3 )
Lưu ý: Ngồi ra, ta cịn gặp dạng bài tập: tìm giá trị của tham số m để phương trình cĩ n nghiệm (n =1, 2, 3, 4), về phương
pháp giải cũng tương tự như bài tốn trên, nhưng ta chỉ tìm ở trường hợp xảy ra n nghiệm mà thơi (nghĩa là khơng biện luận hết các trường hợp cĩ nghiệm)
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục hồnh, các đường thẳng x = a; x =b ( cĩ thể khơng nhất thiết phải là trục hồnh mà là đường thẳng y = ax + b )
Cách giải:
+ Quan sát hình vẽ, xác định hình phẳng
+ Lập cơng thức tính diện tích ( xem lại phần ứng dụng của tích phân)
+ Dùng hình vẽ khử dấu trị tuyệt đối, rồi tính tích phân
Cũng cĩ thể khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ tính chất khơng đổi dấu của hàm số trong dấu tích phân trên đoạn cần tính Tức
là, nếu trên đoạn [a; b], f(x) cĩ dấu khơng đổi ( đồ thị luơn nằm trên trục Ox hoặc luơn nằm dưới Ox ) thì
f x dx= f x dx
III/- HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ LƠGARIT - PT, BPT MŨ VÀ LƠGARIT
1.Luỹ thừa
thừa số a
n
n
a = a a a 1 2 3
♦ n 1 ; 0 1,( 0)
n
a
♦ am n = nam
* Các tính chất của luỹ thừa: Cho a>0, b>0, α β ∈ , ¡
♦ a aα. β = aα β+
a a
α
α β
♦ ( ) ab α = a bα. α
♦ ( ) a a
α α α
=
♦ ( ) aα β = aαβ
♦ Nếu α > 1 thì aα > aβ ⇔ > α β
♦ Nếu 0 < < α 1 thì aα > aβ ⇔ < α β
2 Lơgarit
• Định nghĩa: log x
a
x = b ⇔ a = b, (với a>0, a ≠ 1, b>0)
• Tính chất
loga1 = 0 loga (ab )= b logaa = 1 aloga b = b
• Các quy tăc tính lơgarit:
♣ Với các số dương a, b 1 , b 2 và a ≠ 1 Ta cĩ
• log (a b b1 2) log = ab1+ logab2
2
loga b logab logab
• loga 1 logab
b = −
♣ Với các số dương a, b và a ≠ 1, n ∈ N*,
α∈ R Ta cĩ
• logabα = α logab
• log n 1 log
n
=
♣ Với a, b, c dương và a ≠ 1, c ≠ 1 Ta cĩ
• loga log logc
c
b b
a
=
• loga log 1 ,( 1)
b
a
• logaα b 1 logab
α
=
• logaα bβ β logab
α
=
• Lơgarit thập phân và lơgarit tự nhiên
10 log x = lg x = log x ;ln x = logex
Lưu ý: logarit thập phân và lơgarit tự nhiên, cĩ các tính chất như lơgarit cơ số a
3 Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lơgarit
Trang 7Hệ thống lý thuyết ôn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
Hs luỹ thừa y x = α,α∈ R
•Nếu α>0, hàm số ĐB D= R nếu α nguyên dương
•Nếu α>0, hàm số ĐB
D = R\{0} nếu α nguyên âm hoặc bằng 0
•Nếu α>0, hàm số ĐB
D =( 0; + ∞ ), α không nguyên
•Đồ thị luôn qua điểm (1;1)
• α>0, hàm số ĐB
• α<0, hàm số NB
Đồ thị không có tiệm cận khi
α>0 Khi α<0, đồ thị có TCN
là trục Ox, TCĐ là trục Oy
• ( ) ' xα = α xα− 1
• Đối với hàm hợp
1 ( ) ' uα = α ' u uα−
Hs mũ
,( 0, 1)
x
y a = a > a ≠ D =R
•a>1: HS đồng biến
•0<a<1: HS nghịch biến
•Đồ thị có TCN là trục Ox, nằm trên trục hoành và đi qua các điểm (0; 1); (1; a)
• (ax)’ = ax.lna
• (ex)’ = ex
Đối với hàm hợp:
• ( ) 'u ' lnu
a = u a a
• ( ) 'u ' u
e = u e
HS lôgarit
log , (a 0, 1)
•a>1: HS đồng biến
•0<a<1: HS nghịch biến
•Đồ thị có TCĐ là trục Oy, nằm bên phải trục tung và đi qua các điểm (1; 0); (a; 1)
• (log ) ' 1
.ln
a x
x a
=
• (ln ) ' x 1
x
= Đối với hàm hợp
• (log ) ' '
.ln
a
u u
u a
=
• (ln ) ' u u '
u
=
4/- Phương trình mũ, phương trình lôgarit
a
a = ⇔ = b x b < ≠ a b > ( Nếu b < 0 thì pt vô nghiệm )
• Phương pháp giải các phương trình mũ đơn giản:
♣ Đưa về cùng cơ số: sử dụng tính chất: f x( ) g x( ) ( ) ( )
a = a ⇔ f x = g x
♣ Đặt ẩn phụ: Ta biến đổi, chọn ẩn phụ phù hợp ( có điều kiện của ẩn phụ) và giải pt thu được theo ẩn phụ đã đặt, rồi
trả về ẩn ban đầu, ta được các pt mũ cơn bản Suy ra nghiệm của pt
♣ Lôgarit hoá: Lấy lôgarit hai vế của phương trình mũ một cách hợp lý rồi suy ra nghiệm
b) Phương trình lôgarit cơ bản: log b,(0 1)
ax b = ⇔ = x a < ≠ a
• Phương pháp giải các phương trình lôgarit đơn giản
♣ Đưa về cùng cơ số:
( ) 0 log ( ) log ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x
>
Lưu ý: Ta chỉ cần viết điều kiện f(x) >0 hoặc g(x) > 0, rồi biến đổi tương đương.
♣ Đặt ẩn phụ: Ta biến đổi, chọn ẩn phụ phù hợp ( có thể không cần điều kiện của ẩn phụ) và giải pt thu được theo ẩn
phụ đã đặt, rồi trả về ẩn ban đầu, ta được các pt lôgarit cơ bản Suy ra nghiệm của pt
♣ PP Mũ hoá: Nâng lên luỹ thừa với cùng một cơ số hai vế của pt hoặc sử dụng định nghĩa lôgarit để đưa về pt mũ và
giải pt mũ (đã có pp giải)
Lưu ý:
Đối với pt lôgarit ta luôn ghi nhớ việc tìm điều kiện để lôgarit có nghĩa là:
5/- Bất phương trình mũ, bất phương trình lôgarit:
1 Bất phương trình mũ cơ bản:
Dạng bất phương trình (0 < ≠ a 1)
Nghiệm
a > 1 0 < a < 1
ax > b b> 0 x > logab x < logab
b ≤ 0 Vô số nghiệm Vô số nghiệm
x
a ≥ b b b> 0≤ 0 x ≥ logab x ≤ logab
Vô số nghiệm Vô số nghiệm
Trang 8Hệ thống lý thuyết ôn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
x
a < b b> 0 x < logab x > logab
x
a ≤ b b> 0 x ≤ logab x ≥ logab
Ghi nhớ: Nếu 0 < a ≠ 1 thì khi viết nghiệm của bất phương trình ta luôn đảo dấu bất đẳng thức ngược lại dấu của đề bài.
2 Bất phương trình lôgarit có bản
Dạng của bất phương trình (0 < ≠ a 1)
Nghiệm
a > 1 0 < a < 1
logax b > x a > b 0 < < x ab
logax b < 0 < < x ab x a > b
3 Phương pháp giải các bất phương trình mũ và lôgarit đơn giản: Ta sử dụng các phép biến đổi đưa về các bất pt mũ
và bất pt lôgarit cơ bản hoặc các bất pt đại số để giải ( thường ta lập bảng xét dấu vế trái của các bpt rồi dựa vào bảng xét dấu suy
ra nghiệm của bpt)
IV/- NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG
1/- Nguyên hàm
a/- Định nghĩa: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì họ nguyên hàm (hay tích phân bất định) của f(x) là:
( ) ( ) '( ) ( )
b/- Tính chất của nguyên hàm
i/ ( ∫ f x dx ( ) ) ' = f x ( ) + C
ii/ ∫ k f x dx k f x dx k ( ) = ∫ ( ) , ≠ 0
iii/ ∫ [ f x g x dx ( ) ± ( ) ] = ∫ f x dx ( ) ± ∫ g x dx ( )
2/- Bảng các nguyên hàm:
Nguyên hàm của hàm cơ bản Nguyên hàm hàm hợp u = u(x), du = u’(x)dx
dx x C = +
1 1
x
x dxα α C
α
+
+
∫ , α ≠ − 1 1
1
u
u duα α C
α
+
+
∫ , α ≠ − 1
1
ln
∫ , x ≠ 0 1 du ln u C
∫ , u ≠ 0 2
∫
e dx e = + C
ln
x
a
ln
u
a
cos xdx = sin x C +
∫ ∫ cos udu = sin u C +
sin xdx = − cos x C +
∫ ∫ sin udu = − cos u C +
2 2
1
(1 tan ) tan cos x dx = + x dx = x C +
2
1
(1 tan ) tan cos u du = + u du = u C +
2 2
1
(1 cot ) cot sin x dx = + x dx = − x C +
2
1
(1 cot ) cot sin u du = + u du = − u C +
CÁC TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT: với a b , ∈ ¡ , a ≠ 0, α ≠ − 1, m ≠ 0
Trang 9( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dx F x = = F b − F a
∫
( 1)
a
α
+
+
∫
ln
dx
ax b C
ax b = a + +
+
∫
3)
1
dx
C
a ax b
+ +
∫
4) eax bdx 1 eax b C
a
∫
5)
ln
mx
m a
+
∫
cos( ax b dx ) sin( ax b ) C
a
∫
sin( ax b dx ) cos( ax b ) C
a
∫
tan( ) cos ( )
dx
ax b C
ax b = a + + +
∫
cot( ) sin ( )
dx
ax b C
ax b = − a + + +
∫
ln 2
C
−
∫
ln tan
x
∫
ln tan
x
x
π
∫
3/- Các phương pháp tính nguyên hàm ( tích phân bất định )
3.1/- Phương pháp đổi biến số:
Định lý: ∫f x dx( ) =F x( ) + ⇒C ∫f u du( ) =F u( ) +C , với u = u(x), du = u’(x)dx
Để tính ∫ f x dx ( ) bằng PP đổi biến ta thực hiện các bước sau:
+ B1: Đặt u = u(x) ⇒ du = u’(x)dx
+ B2: Biểu diễn f(x)dx theo u và du Giả sử f(x)dx = g(u)du
+ B3: Tính ∫ g u du ( ) Giả sử ∫ g u du G u ( ) = ( ) + C
+ B4: Kết luận: ∫ f x dx ( ) = ∫ g u du G u x ( ) = ( ( )) + C
3.2/- Phương pháp nguyên hàm từng phần: Sử dụng cơng thức nguyên hàm từng phần:
( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )
u x v x dx u x v x = − u x v x dx
hay ∫udv=uv−∫vdu (1)
Bằng cách đặt:
'( ) , ( )
(Lấy vi phân vế theo vế) Lấy một nguyên hàm của v'(x):
du u x dx
u u x
=
=
Sau đĩ thay vào cơng thức (1), rồi tìm cách tính tích phân cịn lại (cĩ thể suy trực tiếp, cũng cĩ thể dùng các phương pháp ta đã biết: bao gồm đổi biến và từng phần)
Lưu ý: Thơng thường ta cĩ 3 dạng cơ bản:
i Dạng 1: ∫ p x l x dx ( ) ( ) , trong đĩ p(x) là hàm đa thức, l(x) là hàm lượng giác theo sin hoặc cos
Cách giải: Đặt
'( ) , ( ( )
Lấy vi phân vế theo vế) Tìm một nguyên hàm của l(x)
du p x dx
u p x
dv l x dx v l x dx
=
=
ii Dạng 2: ∫ p x e dx ( ). t x( ) , trong đĩ p(x) là hàm đa thức, et(x) là hàm mũ cơ số e
'( ) , ( ( )
Lấy vi phân vế theo vế) Tìm một nguyên hàm của e
t x
du p x dx
u p x
v e dx
dv e dx
=
=
⇒
iii Dạng 3: ∫ p x ( ).ln ( ) [ f x dx ] , trong đĩ p(x) là hàm đa thức, ln[f(x)] là hàm lốc nê pê hoặc lơgarit
Cách giải: Đặt
'( ) ,(
( )
Lấy vi phân vế theo vế) ]
Tìm một nguyên hàm của
f x
dv p x dx
=
=
4/- Tích phân:
a/- Định nghĩa tích phân: ( Cơng thức Newton - Leibnizt )
b/- Tính chất:
Trang 10Hệ thống lý thuyết ôn thi TN THPT 2010 Trường THPT Khánh Lâm
a
a
f x dx =
∫
f x dx = − f x dx
3) ( ) ( )
k f x dx k f x dx =
f x ± g x dx = f x dx ± g x dx
f x dx = f x dx + f x dx
5/- Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp1: Tính trực tiếp bằng định nghĩa
Cách giải:
- Ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân bằng cách dùng các phép biến đổi như: thêm bớt, nhân chia, trục căn thức ở
mẫu, đưa căn thức về dạng luỹ thừa, hằng đẳng thức, tách tích phân để đưa về các dạng đã biết trong bản nguyên hàm.
- Đặc biệt, nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng hàm hữu tỉ thì ta so sánh bậc của đa thức ở tử và bậc của đa thức ở mẫu Ta có các trường hợp sau:
+ Nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu, ta chia đa thức, tách tích phân rồi tính
+ Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu đúng một bậc ta thử lấy mẫu đạo hàm nếu biểu diễn được theo tử thì ta
sử dụng pp đổi biến bằng cách đặt mẫu bằng u, (xem pp đổi biến)
+ Nếu không được, ta tìm nghiệm của mẫu rồi dùng pp đồng nhất thức Cụ thể như sau:
o Nếu mẫu là tam thức bậc hai có 2 nghiệm m, n (m < n), ta phân tích theo quy tắc sau:
2
o Nếu mẫu là đa thức bậc lớn hơn bằng 3 và có nghiệm thì ta tách biểu thức ( )
( )
p x
q x thành tổng các phân
thức sao cho ở mỗi phân thức bậc của tử luôn nhỏ hơn bậc của mẫu đúng một bậc Rồi tìm các hệ số bất định Chẳng hạng:
2 3
- Nếu hàm số trong dấu tích phân cho ở dạng lượng giác thì ta có thể dùng các phép biến đổi lượng giác để đưa về các hàm có trong bảng nguyên hàm
Các công thức biến đổi lượng giác:
a) Hằng đẳng thức lượng giác
• sin2x + cos2x =1
• tanx.cotx = 1
• 1 + tan2x = 1/cos2x
• 1+ cot2x = 1/ sin2
b) Biến đổi tích thành tổng:
* cosa.cosb = ½[cos(a+b) + cos(a - b)]
* sina.cosb = ½ [sin(a+b) + sin(a - b)]
* sina.sinb = ½ [cos(a - b) - cos(a+b)]
c) Nhân đôi, hạ bậc:
• sin2a = 2sina.cosa
• cos2a = 2cos2a - 1
= 1 - 2sin2a = cos2a - sin2a
• tan 2 2 tan2
1 tan
a a
a
=
−
• cos2 1 cos 2
2
a
a = +
• sin2 1 cos 2
2
a
a = −
• tan2 1 cos 2
1 cos 2
a a
a
−
= + d) Biến đổi biểu thức dạng asinx + bcosx về hàm lượng giác sin hoặc cos nhờ công thức cộng
e) Sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác
a+ a= a+π = c a−π
4
a− a= a−π cos sin 2
4 os
a − a = c a + π
• 1 + sin2a = (sina + cosa)2
• 1- sin2a = (sina - cosa)2
Lưu ý: Đối với tích phân hàm lượng giác, thường có các dạng:
• Dạng 1: ∫ sin( mx c ) os ( ) ; sin( nx dx ∫ mx c ) os ( ) ; nx dx c ∫ os ( mx c ) os ( ) nx dx, ta biến đổi tích thành tổng
• Dạng 2: sinm cosn
x xdx
∫ + Trường hợp 1: có ít nhất một trong hai số m, n là lẻ
- Nếu m lẻ, ta đặt t = cosx, rồi dùng pp đổi biến, tách sinmx = sinm-1x.sinx
