3 Tìm toạ độ trọng tâm, trực tâm, tâm đờng tròn ngoại tiếp của ABC.. 1 Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tìm tâm sai của E đó... Viết phơng trình các cạnh của hình vuông ngoại
Trang 1Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
Phần I: hình học giải tích trong mặt phẳng
ch ơng I: đ ờng thẳng
I) các khái niệm cơ bản:
Bài1: Cho véctơ m = (1; 2) n = (-2; 3)
1) Tìm góc giữa các cặp véctơ sau: m và n ; 3 m + n và m - 2 n
2) Tìm a và b sao cho a m + b n n
Bài2: Cho ba điểm A(0; 1) B(-1; -1) C(-1; 2)
1) Chứng minh rằng: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
2) Tính chu vi và diện tích của ABC.
3) Tìm toạ độ trọng tâm, trực tâm, tâm đờng tròn ngoại tiếp của ABC
Bài1: Viết phơng trình đờng thẳng d trong các trờng hợp sau:
1) Đi qua điểm A(1; 1) có hệ số góc k = 2.
2) Đi qua điểm B(1; 2) và tạo với hớng dơng của trục Ox 1 góc 30 0
3) Đi qua C(3; 4) và tạo với trục Ox một góc 45 0
Bài2: Viết phơng trình các cạnh và đờng trung trực của ABC biết trung điểm của 3 cạnh AB, AC, BC theo thứ tự là M(2; 3) N(4; -1) P(-3; 5)
Bài3: Cho ABC với trực tâm H Biết phơng trình cạnh AB là: x + y - 9 = 0, các đờng cao qua đỉnh A và B lần lợt là (d 1 ): x + 2y - 13 = 0 và (d 2 ): 7x + 5y - 49 = 0.
1) Xác định toạ độ trực tâm H và phơng trình CH.
2) Viết phơng trình cạnh BC.
3) Tính diện tích của tam giác giới hạn bởi các đờng thẳng AB, AC và Oy
Bài4: Lập phơng trình các cạnh của ABC Biết đỉnh C(3; 5) đờng cao và đờng trung tuyến kẻ từ đỉnh A có phơng trình là: (d 1 ): 5x + 4y - 1 = 0 (d 2 ): 8x + y - 7 = 0
Bài5: Phơng trình hai cạnh của một tam giác là: 3x - y + 24 = 0 ; 3x + 4y - 96 = 0 Viết phơng trình cạnh thứ 3 của tam giác biết trực tâm H
3
32 0; Bài6: Cho đờng thẳng d có phơng trình: 3x + 4y - 12 = 0.
1) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của d lần lợt với Ox, Oy.
2) Tìm toạ độ hình chiếu H của gốc O trên đờng thẳng d.
3) Viết phơng trình đờng thẳng d' đối xứng với d qua O
Bài7: Cho ABC với A(2 ; 2) B(-1; 6) C(-5; 3).
1) Viết phơng trình các cạnh ABC.
2) Viết phơng trình đờng thẳng chứa đờng cao AH của ABC.
3) CMR: ABC là tam giác vuông cân
Bài8: Cho ABC với A(1; -1) B(-2; 1) C(3; 5).
1) Viết phơng trình đờng thẳng chứa trung tuyến BI của ABC.
2) Lập phơng trình đờng thẳng qua A và BI
Bài1: Viết phơng trình đờng thẳng d đi qua giao điểm của hai đờng thẳng (d 1 ): x + 3y - 9
= 0 và (d 2 ): 3x - 2y - 5 = 0 đồng thời đi qua điểm A(2; 4)
Bài2: Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua giao điểm của hai đờng thẳng (d 1 ): 3x + y
-0 = -0 và (d 2 ): 3x + 2y - 5 = 0 và đồng thời song song với đờng thẳng (d 3 ): x - y + 4 =0
Trang 2Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
Bài3: Viết phơng trình đờng thẳng () đi qua giao điểm của hai đờng thẳng (d 1 ): x+ y - 2
= 0 và (d 2 ): 3x - 4y + 1 = 0 đồng thời chắn trên hai trục toạ độ những đoạn bằng nhau Bài4: Cho ABC có phơng trình cạnh AB là: x + y - 9 = 0 đờng cao qua đỉnh A và B lần lợt là (d 1 ): x + 2y - 13 = 0 và (d 2 ): 7x + 5y - 49 = 0 Lập phơng trình AC, BC và đờng cao thứ ba
IV) góc và khoảng cách:
Bài1: Viết phơng trình đờng thẳng () qua điểm M(5; 1) và tạo thành một góc 45 0 với đ-ờng thẳng (d) có phơng trình: y = 2x + 1
Bài2: Cho 2 đờng thẳng (d 1 ): x + 2y + 1 = 0 ; (d 2 ): x + 3y + 3 = 0.
1) Tính khoảng cách từ giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) đến gốc toạ độ.
2) Xác định góc giữa (d 1 ) và (d 2 ).
3) Viết phơng trình đờng phân giác của các góc hợp bởi (d 1 ) và (d 2 )
Bài3: Cho ABC, các cạnh có phơng trình: x + 2y - 5 = 0; 2x + y + 5 = 0; 2x - y - 5 = 0.
1) Tính các góc của ABC.
2) Tìm phơng trình đờng phân giác trong của các góc A và B.
3) Tìm toạ độ tâm, bán kính các đờng tròn nội tiếp và ngoại tiếp ABC
Bài4: Cho 2 điểm A(1; 3) và B(3; 1) Lập phơng trình đờng thẳng qua A sao cho khoảng cách từ B tới đờng thẳng đó bằng 1
Bài5: Cho P(1; 1) và 2 đờng thẳng (d 1 ): x + y = 0; (d 2 ): x - y + 1 = 0 Gọi (d) là đờng thẳng qua P cắt (d 1 ), (d 2 ) lần lợt tại A, B Viết phơng trình của (d) biết 2PA = PB Bài6: Cho 2 đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phơng trình (d 1 ): 2x + y + 1 = 0; (d 2 ): x + 2y - 7 =
0 Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ sao cho đờng thẳng (d) tạo với (d 1 )
và (d 2 ) một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) Tính diện tích tam giác cân
đó
Bài1: Cho ABC A(4; 3) B(2; 7) C(-3; -8)
a) Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ABC b) CMR: I, G, H thẳng hàng.
c) Tính diện tích ABC
Bài2: Tìm trên (d): x + y = 0 điểm P sao cho tổng khoảng cách từ P tới các điểm A và B
là nhỏ nhất với:
1) A(1; 1) B(-2; 4) 2) A(1; 1) B(3; -2)
Bài3: Cho ABC có M(-2; 2) là trung điểm BC, cạnh AB, AC có phơng trình: x - 2y - 2
= 0, 2x + 5y + 3 = 0 Hãy xác định toạ độ các đỉnh ABC
Bài4: Trong mặt phẳng Oxy cho A(3; 1).
1) Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và B thuộc góc phần t thứ nhất.
2) Viết phơng trình 2 đờng chéo và tâm của hình vuông.
3) Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OBAC là hình vuông
Bài5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I
0
2
1
; , phơng trình đờng thẳng AB là x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD Tìm toạ độ các
đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
Trang 3Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
Bài6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy xét ABC vuông tại A,
ph-ơng trình đờng thẳng BC là: 3 x y 30 , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đờng tròn nội tiếp bằng 2 Tìm toạ độ trọng tâm G của ABC
ch ơng II: đ ờng bậc hai
I) đ ờng tròn:
Bài1: Lập phơng trình đờng tròn trong các trờng hợp sau:
1) Đi qua A(3; 4) và tâm là gốc toạ độ.
2) Đi qua A(3; 1) B(5; 5) và tâm I nằm trên trục tung.
3) Đi qua A(1; 2) B(2; 1) và tâm I nằm trên đờng thẳng (d): 3x + 4y + 7 = 0
4) Đi qua A(-2; 4) B(6; -2) C(5; 5).
5) Tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đờng thẳng (d): x - 2y - 2 = 0.
6) Đờng kính AB với A(1; 1) B(3; 3)
Bài2: Lập phơng trình đờng tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ và đi qua A(4; 2)
Bài3: Viết phơng trình đờng tròn ngoại tiếp ABC Biết AB: 2x - y + 4 = 0
BC: x + y - 1 = 0 AC: x + 4y + 2 = 0
Bài4: Lập phơng trình đờng tròn có tâm thuộc đờng thẳng (d): 2x + y + 2 = 0 và vuông góc với hai tiếp tuyến của đờng tròn (C 1 ): x 2 + y 2 - 4 x = 0 (C 2 ): x 2 + y 2 + 2y = 0 tại giao
điểm của (d) với (C 1 ) (C 2 )
Bài5: 1) Lập phơng trình đờng tròn đi qua điểm A(1; -2) và các giao của đờng thẳng (d): x - 7y + 10 = 0 với đờng tròn (S): x 2 + y 2 - 2x + 4y - 20 = 0.
2) Viết phơng trình đờng tròn qua giao điểm của hai đờng tròn (C 1 ): x 2 + y 2 - 2x + 4y - 4 = 0 và (C 2 ): x 2 + y 2 + 2x - 2y - 14 = 0 và đi qua M(0; 1)
3) Lập phơng trình đờng tròn qua giao điểm của hai đờng tròn (C 1 ): x 2 + y 2 - 2x + 2y - 2 = 0 (C 2 ): x 2 + y 2 - 6y = 0 và tiếp xúc với đờng thẳng d: x + y + 1 = 0
Bài1: Viết phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn (C): x 2 + y 2 - 2x - 6y - 6 = 0 biết:
1) Tiếp tuyến đi qua M(1; -1).
2) Tiếp tuyến đi qua M(4; -1)
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): x 2 + y 2 - 2x - 2y + 1 = 0 biết:
1) Tiếp tuyến // (d): x + y = 0.
2) Tiếp tuyến (d): x + y = 0
3) Tiếp tuyến tạo với (d): x + y = 0 một góc 60 0
Bài3: Viết phơng trình tiếp tuyến chung của hai đờng tròn sau:
1) (C 1 ): x 2 + y 2 - 1 = 0 (C 2 ): x 2 + y 2 - 4x - 4y - 1 = 0
2) (C 1 ): x 2 + y 2 - 6x + 5 = 0 (C 2 ): x 2 + y 2 - 12x - 6y + 44 = 0
Bài4: Cho đờng tròn (C): x 2 + y 2 = 4 và một điểm M(2; 4) Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MT 1 ,
MT 2 với đờng tròn, trong đó T 1 , T 2 là tiếp điểm.
1) Viết phơng trình đờng thẳng T 1 T 2
2) Viết phơng trình các tiếp tuyến của (C) song song với T 1 T 2
III) elíp:
1) lập phơng trình elíp
Bài1: Cho (E) có phơng trình: 9x 2 + 4y 2 = 36.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tìm tâm sai của (E) đó.
Trang 4Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
2) Cho M(1; 1) Lập phơng trình đờng thẳng qua M cắt (E) tại 2 điểm A, B sao cho
MA = MB
Bài2: Lập phơng trình chính tắc của (E) biết:
1) Trục lớn thuộc Ox có độ dài bằng 6, trục nhỏ thuộc Oy có độ dài bằng 4.
2) Trục lớn thuộc Oy có độ dài bằng 6 Tiêu cự e = 4.
3) Độ dài trục lớn bằng 16, tâm sai e =
8
5
, hai tiêu điểm thuộc Ox.
4) Đi qua M3 3 ; 2 và N3; 2 3 Tìm M (E) sao cho MF 2 = 2MF 1
Bài1: Cho (E): 1
4 9
2 2
y
x Viết phơng trình các tiếp tuyến của (E) biết:
1) Đi qua A(3; 0)
2) Tiếp tuyến đi qua B(4; 2)
3) Tiếp tuyến song song (): x - y + 6 = 0
4) Tiếp tuyến vuông góc (): 2x - y + 2 = 0
5) Tiếp tuyến với (d): x + 2y = 0 một góc 45 0
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến chung của:
(E 1 ): 1
4 5
2 2
y
5 4
2 2
y
Bài3: Biết (E): 2 1
2 2
2
b
y a
x nhận các đờng thẳng (d 1 ): x - 2y - 4 = 0 và (d 2 ): 2x + 3 y - 5 =
0 làm tiếp tuyến.
1) Xác định a 2 và b 2 , từ đó tìm toạ độ các tiêu điểm của (E).
2) Viết phơng trình tiếp tuyến của (E) đi qua A(2; 0).
3) Viết phơng trình tiếp tuyến của (E) đi qua B(0; 4)
Bài4: Cho (E): 1
12 24
2 2
y
x Viết phơng trình các cạnh của hình vuông ngoại tiếp (E)
Bài5: Cho (E 1 ): 1
3 6
2 2
y
4
2 2
y
x
Viết phơng trình đờng tròn đi qua giao điểm của hai Elíp
Bài6: CMR: tích các khoảng cách từ các tiêu điểm tới một tiếp tuyến bất kỳ của một Elíp bằng bình phơng nửa độ dài trục nhỏ của Elíp
Bài7: Cho hai điểm M, N trên một tiếp tuyến của Elíp (E): 2 1
2 2
2
b
y a
x , sao cho mỗi tiêu
điểm F 1 , F 2 của (E) nhìn đoạn MN dới một góc vuông Hãy xác định vị trí của M, N trên tiếp tuyến ấy
Bài8: Cho Elíp (E): 2 2 2 2 1
b
y a
x Tìm tập hợp các điểm từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (E)
Bài9: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy cho Elíp (E) có phơng trình:
1
9
16
2
2
y
x Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với (E) Xác định toạ độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó
Trang 5Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
Bài10: Trên mặt phẳng toạ độ với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho elip có phơng trình: 4x 2 + 3y 2 - 12 = 0 Tìm điểm trên elip sao cho tiếp tuyến của elip tại điểm đó cùng với các trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích nhỏ nhất
Bài11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho elip (E): 1
4 9
2 2
y
x và đờng thẳng
d m : mx - y - 1 = 0.
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng d m luôn cắt elíp (E) tại hai
điểm phân biệt.
2) Viết phơng trình tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm N(1;-3) Bài12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho elip (E): 1
1 4
2 2
y
x , M(-2; 3), N(5; n) Viết phơng trình các đờng thẳng d 1 , d 2 qua M và tiếp xúc với (E) Tìm n để trong số các tiếp tuyến của (E) đi qua N và có một tiếp tuyến song song với d 1 hoặc d 2
Bài13: Cho elip (E) có hai tiêu điểm là F 1 ( 3; 0 ); F 2 3 ; 0 và một đờng chuẩn có
ph-ơng trình: x =
3
4
1) Viết phơng trình chính tắc của (E).
2) M là điểm thuộc (E) Tính giá trị của biểu thức:
P = F M F M 2 OM 2 F 1 M . F 2 M
2
2
3) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với trục hoành và cắt (E) tại hai điểm
A, B sao cho OA OB
Bài14: Cho Elíp (E): 1
1 4
2 2
y
x ; Trục lớn AA' = 2a Hai tiêu điểm là F và F' D là một tiếp tuyến chuyển động của elíp D cắt các tiếp tuyến của elíp tại A và A' ở M và M'.
1) Chứng minh: AM.A'M' không đổi.
2) Chứng minh tích các khoảng cách từ F và F' tới D không đổi.
3) Tìm quỹ tích giao điểm N của A'M và AM'
4) Chứng minh rằng khi D chuyển động đờng tròn đờng kính MM' luôn đi qua các tiêu điểm F và F'
IV) hypebol:
1) lập phơng trình hypebol
Bài1: Cho Hypebol (H): 25x 2 - 20y 2 = 100.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai của Hypebol đó.
2) Tìm tung độ của điểm thuộc Hypebolcó hoành độ x = 8 và tính khoảng cách từ
điểm đó đến hai tiêu điểm.
3) Tìm các giá trị của b để đờng thẳng (d): y = x + b có điểm chung với Hypebol trên
Bài2: Cho Hypebol (H): 18x 2 - 9y 2 = -144.
1) Tìm toạ độ các đỉnh, toạ độ các tiêu điểm, tính tâm sai của Hypebol đó.
2) Lập phơng trình đờng tròn (C) đờng kính F 1 F 2 và tìm giao điểm của (C) và (H) 3) Viết phơng trình chính tắc của Elíp (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H)
và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H)
Bài3: Lập phơng trình chính tắc của Hypebol biết:
1) Trục thực thuộc Ox có độ dài bằng 8, trục ảo thuộc Oy có độ dài bằng 6.
2) Độ dài trục thực bằng 6, tâm sai e =
3 4
.
Trang 6Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
3) Cá các tiêu điểm trên Ox, độ dài tiêu cự là 12 và một đờng tiệm cận có phơng trình: x + 2y = 0.
4) Có các tiêu điểm trên Oy, độ dài trục thực bằng 8 và hai đờng tiệm cận vuông góc với nhau
2) tiếp tuyến của hypebol, quỹ tích điểm
Bài1: Cho (H): 1
4 9
2 2
y
x Viết phơng trình các tiếp tuyến của (H) biết:
1) Tiết tuyến đi qua điểm A(3; 0).
2) Tiếp tuyến đi qua B(2; 2).
3) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng (): x - y + 6 = 0.
4) Tiếp tuyến vuông góc (): 2x - y + 2 = 0
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến của Hypebol (H): 1
16 9
2 2
y
x biết tiếp tuyến tạo với đ-ờng thẳng (d): x + 2y = 0 một góc 45 0
Bài3: Viết phơng trình các tiếp tuyến chung của hai Hypebol:
(H 1 ): 1
4 5
2 2
y
5 4
2 2
y
Bài4: Biết rằng Hypebol (H): 2 1
2 2
2
b
y a
x nhận các đờng thẳng (d 1 ): x - 2y - 4 = 0 và (d 2 ): 2x + 3 y - 5 = 0 là tiếp tuyến.
1) Xác định a 2 và b 2 , từ đó tìm toạ độ các tiêu điểm của (H).
2) Viết phơng trình các tiếp tuyến của (H) đi qua A(2; 0).
3) Viết phơng trình các tiếp tuyến của (H) đi qua B(0; 4)
Bài5: Cho Hepebol (H): 2 2 2 2 1
b
y a
1) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) nào đó nằm trên (H) cắt hai đờng tiệm cận tại A và B Tính toạ độ của A và B.
2) CMR: M 0 là trung điểm của AB.
3) CMR: diện tích OAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M 0
V) parabol:
Bài1: Cho (P): y 2 = 8x Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết tiếp tuyến ấy.
1) Vuông góc với đờng thẳng ( 1 ): x - 2y + 6 = 0.
2) Song song với đờng thẳng ( 2 ): x - y + 3 = 0.
3) Đi qua điểm M(2; 2)
Bài2: Viết phơng trình tiếp tuyến chung của:
1) Parabol (P 1 ): y = x 2 + 2x + 2 và (P 2 ): y = -x 2 + 4x - 5
2) Parabol (P 1 ): y 2 = 2px và (P 2 ): x 2 = 2qy
3) Elíp (E): 1
4 9
2 2
y
x và Parabol (P): y 2 = 2x
4) Elíp (E): 1
9 4
2 2
y
x và Parabol (P): y 2 = 8x
5) Hypebol (H): 1
9 4
2 2
y
x và Parabol (P): y 2 = 8x Bài3: Cho Parabol (P): y = x 2 - 2x + 2 và đờng thẳng (d) là đờng thẳng cùng phơng với
đờng thẳng (d 1 ): y = x sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt.
Trang 7Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
1) Viết phơng trình của (d) khi hai tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc với nhau.
2) Viết phơng trình của (d) khi độ dài AB = 4
I) mở đầu và các khái niệm cơ bản:
Bài1: Cho ba véctơ a = (1; -2; 3), b = (-4; 1; 7) c = (3; 0; 5) Tính tọa độ của véctơ u = 4
a - 5b
+ 3c
Bài2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: A(5; 0; -2) B(7; 1; 0) C’(2; 0; 9) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp
Bài3: Chứng minh rằng ABC có A(2; 1; 4) B(3; 6; 7) C(9; 5; -1) là tam giác nhọn
Bài4: Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oyz) cách đều ba điểm A(0; 1; 1) B(-1; 0; 2) C(2; 3; 0)
Bài5: Cho các điểm A(2; 9; 0) B(10; 7; 4), C(0; 9; -1) Tính diện tích ABC, suy ra độ dài
đờng cao hạ từ B của tam giác
Bài6: (phơng pháp tọa độ hóa) Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ Gọi M, N lần lợt là
trung điểm của AD, BB’ Chứng minh rằng MN A’C
Bài7: Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác Oxyz cho A(1; 2; 2) , B(-1; 2; -1), C(1; 6; -1) D(-1; 6; 2).
1) Chứng minh rằng ABCD là hình tứ diện.
2) Tính thể tích tứ diện ABCD.
3) Tính diện tích BCD và đờng cao của tứ diện ABCD xuất phát từ đỉnh A
BTVN:
Câu 1: Cho ba véctơ
a = (2; -5; 3) b = (0; 2; -1) c = (1; 7; 2) Tính tọa độ của các véctơ sau:
a) u = 4a - 1
3 b
+ 3c b) v = 5
a - 2b + 7c c) w
= 12
a + 19 b - 3c
Câu 2: Hãy biểu diễn
a theo các véctơ u
, v, w a)
a = (3; 7; -7), u = (2; 1; 0), v = (1; -1; 2) w = (2; 2; -1)
b)
a = (8; 9; -1), u = (1; 0; 1), v = (0; -1; 1) w = (1; 1; 0)
Câu 3: Cho
a = (1; -3; 4)
a) Tìm y và z để b = (2; y; z) cùng phơng với a
b) Tìm tọa độ của véctơ c biết rằng
a và c ngợc hớng và c2 a
Câu 4: Bộ ba điểm nào sau đây thẳng hàng
a) A(1; 3; 1), B(0; 1; 2), C(0; 0; 1) b) A(1; 1; 1), B(-4; 3; 1), C(-9; 5; 1)
Câu 5: Chứng minh rằng 4 điểm A(3; -1; 2) B(1; 2; -1) C(1; 2; -1) D(3; -5; 3) là bốn đỉnh của một hình thang
Trang 8Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
Câu 6: Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB, trọng tâm G của ABC , trọng tâm J của tứ diện ABCD khi biết tọa độ các đỉnh A, B, C, D
a) A(1; 2; -3), B(0; 3; 7), C(12; 5; 0), D(9; -6; 7)
b) A(0; 13; 21), B(11; -23; 17), C(1; 0; 19), D(-2; 5; 5)
Câu 7:Cho A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2), C(1; 2; -3)
a) Xác định D sao cho ABCD là hình bình hành
b) Tìm tọa độ giao điểm hai đờng chéo
Câu 8: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ có A(3; -1; 6) B(-1; 7; -2) D’(5; 1; 6) Xác định tọa độ
Câu 9:Tìm u biết rằng
a) u thỏa mãn đồng thời 3 phơng trình: a.u = -5; u.b = -11; u.c = 20 biết
a = (2; -1; 3), b = (1; -3; 2), c = (3; 2; -4)
b) u vuông góc với cả hai véctơ a = (2; 3; -1) b = (1; -2; 3) và thỏa mãn: u.c = -6 với c = (2; -1; 1)
Câu 10: a) Tìm điểm E trên trục Oy cách đều hai điểm A(3; 1; 0), B(-2; 4; 1)
b) Tìm điểm F trên trục Ox cách đều hai điểm M(1; -2; 1) N(11; 0; -7)
Câu 11: Tìm điểm M cách đều ba điểm A, B, C Nếu biết
a) M (Oxz) và A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1)
b) M (Oxy) và A(-3; 2; 4), B(0; 0; 7), C(-5; 3; 3)
Câu 12: Tính góc tạo thành bởi các cặp cạnh đối của tứ diện ABCD biết: A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1)
Câu 13: Chứng minh rằng ABC có A(4; 1; 4) B(0; 7; -4), C(3; 1; -2) là tam giác tù
Câu 14: Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của các cạnh A’D’, D’C’, CC', A’A Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a
Câu 15: Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1 Trên các cạnh BB’ CD, A’D’ lần lợt lấy các điểm M, N, P sao cho B’M = CN = D’P = x (0 < x < 1) Chứng minh rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (MNP)
Câu 16: Cho ABC biết A(1; 0; 2) B(-2; 1; 1) C(1; -3; -2) Gọi D là điểm chia đoạn AB
theo tỷ số -2 và E là điểm chia đoạn BC theo tỷ số 2.
a) Tìm tọa độ các điểm D, E
b) Tìm coossin của góc giữa hai véctơ AD
và AE
Câu 17: Cho A(1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5; 2; -6) Tính độ dài phân giác ngoài góc A của ABC
Câu 18: Tính: a b;
, a 3b b ;
trong các trờng hợp sau:
a)
a = (6; -2; 3), b
= (5; 0; -3)
Câu 19
Câu 20
Câu 21
Câu 22
Bài1: Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua A(1; 1; 1) và
1) // Ox và Oy 2) // Ox và Oz 3) // Oy và Oz
Bài2: Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua A(1; -1; 1) B(2; 1; 1) và // Ox
Trang 9Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
Bài3: Cho (P): 3x + 2y + z - 6 = 0 Hãy chỉ ra một cặp VTCP của (P)
Bài4: Viết phơng trình mặt phẳng qua AB và // CD
A(5; 1; 3) B(1; 6; 2) C(5; 0; 4) D(4; 0; 6)
Bài5: Cho A(-1; 2; 3) (P): x - 2 = 0 (Q): y - z -1 = 0
Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A và (P); (Q)
Bài1: Tính khoảng cách từ M(1; 1; 2) đến đờng thẳng (d):
1
3 3
2
2
y z x
Bài2: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và mặt phẳng (P) biết:
a) (d):
0 5
0 10 6
3 2
z y x
z y x
(P): y + 4z + 17 = 0 b) (d):
t z
t y
t x
1
3 9
4
1 2
(P): y + 4z + 17 = 0 c) (d):
0 1
0 3 y
z y x
(P): x + y - 2 = 0 Bài3: Lập phơng trình đờng thẳng d qua A(1; 2; 3) và với (d 1 ):
0 3 2
0 2 2
z x y x
(d 2 ):
0 6 4
2
0 10 4
z y x
z y
x
Bài4: Cho (d):
0 7 3
2
0 1 4 3
z y x
z y x
(P): x + y + z + 1 = 0 Viết phơng trình đờng thẳng () qua A(1; 1; 1) song song (P) và (d)
Bài5: Cho A(-2; 4; 3) và mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19 = 0 Hạ AH (P) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng AH và tìm tọa độ của H
Bài6: Tính góc hợp bởi các đờng thẳng d 1 :
x 9t
y 5t
và d 2 : 2x 3y 3z 9 0
x 2y z 3 0
Bài7: Cho d: x 1 y 1 z 3
và (P): 2x - 2y + z - 3 = 0 Tìm tọa độ giao điểm A của d
và (P) Tính góc giữa đờng thẳng d và mặt phẳng (P)
Bài8: Chứng minh rằng hai đờng thẳng d 1 : x y 2z 0
x y z 1 0
và d 2 :
z 2 t
chéo
nhau
Bài9: Chứng minh rằng hai đờng thẳng sau song song và viết phơng trình mặt phẳng
chứa hai đờng thẳng đó d 1 :
x 5 2t
y 1 t
z 5 t
và d 2 :
x 3 2t
z 1 t
' ' '
Bài10: Viết phơng trình cho A(1; 2; 1) và đờng thẳng d: x y 1 z 3
1 Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đờng thẳng d.
2 Tính khoảng cách từ điểm A đến đờng thẳng d
Bài11: Cho đờng thẳng d:
x 1 2t
y 2 t
z 3t
và mặt phẳng (P): 2x - y - 2z + 1 = 0
1 Tìm tọa độ điểm K đối xứng với điểm I(2; -1; 3) qua đờng thẳng d
Trang 10Vũ Văn Ninh - THPT Lý Thường Kiệt - Hải Phũng
2 Tìm tọa độ các điểm thuộc đờng thẳng d sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó
đến mặt phẳng (P) bằng 1
Bài12: Cho A(4; 1; 4), B(3; 3; 1) C(1; 5; 5) và D(1; 1; 1) Tìm hình chiếu vuông góc của
D lên mặt phẳng (ABC) và suy ra tọa độ điểm K đối xứng với D qua (ABC)
Bài13: Viết phơng trình đờng thẳng qua A(1; 5; 0) và cắt cả hai đờng thẳng
(d 1 ):
0 1 0 1 2
y x z x
(d 2 ):
0 2 0 2 3
z y y x
Bài14: Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua A(0; 1; 1) và vuông góc với (d 1 ) và (d 2 )
(d 1 ): x y z
1
2 8
1
(d 2 ):
0 1
0 2 x
z y x
Bài15: Viết phơng trình đờng thẳng qua M(0; 1; 1) và vuông góc với d 1 và cắt đờng thẳng d 2
d 1 : x y2z
3
1
d 2 :
0 1
0 2 x
z y x
Bài16: Viết phơng trình đờng thẳng d (P): x + y + z - 2 = 0 và cắt cả hai đờng thẳng: (d 1 ):
t z
t y
t x
2 2
(t R) (d 2 ):
0 3
0 2 2 y z x
Bài17: Cho (d 1 ):
t z
t y
t x
5
2 5
(d 2 ):
1 1
1 3 2 3
t z
t y
t x
(t, t 1 R)
CMR: (d 1 ) // (d 2 ) Viết phơng trình mặt phẳng chứa (d 1 ) và (d 2 ) Tính khoảng cách giữa (d 1 ) và (d 2 )
Bài18: Cho hai đờng thẳng (d 1 ):
0 1 0 1 2
z y x y x
(d 2 ):
0 1 2
0 3 3
y x
z y x
1) CMR: (d 1 ) cắt (d 2 ) Xác định toạ độ giao điểm I của chúng.
2) Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua (d 1 ) và (d 2 )
Bài19: Cho hai đờng thẳng (d 1 ):
t z
t y
t x
2
2 3
3 1
(t R) (d 2 ):
0 12 2
5
0 8 2
3
z
x
y
x
Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 )
Bài20: Cho hai đờng thẳng (d 1 ):
0 10 4
0 23 8
z y z x
(d 2 ):
0 2 2
0 3 2 z y z x
1) CMR: (d 1 ) chéo (d 2 )
2) Tính khoảng cách giữa (d 1 ) và (d 2 )
3) Viết pt mặt phẳng (P) chứa (d 1 ), mặt phẳng (Q) chứa (d 2 ) sao cho (P) // (Q)
4) Viết phơng trình đờng thẳng (d) // Oz và cắt (d 1 ) và (d 2 )
Bài21: Cho (d):
0 15 2
3
0 5 z y x z y x
(P): -2x - 3y + z - 4 = 0 Hãy viết phơng trình hình chiếu của (d) lên (P)
Bài22: Cho O(0; 0; 0) A(6; 3; 0) B(-2; 9; 1) S(0; 5; 8)
1) CM: SB OA.
2) CMR: hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (OAB) OA Gọi K là giao
điểm của hình chiếu đó với OA Hãy xác định toạ độ điểm K.
3) Gọi P, Q lần lợt là trung điểm của các cạnh SO, AB Tìm toạ độ của điểm M trên
SB sao cho PQ và KM cắt nhau
Bài23: Tìm hình chiếu vuông góc của A(-2; 4; 3) lên mặt phẳng (P): 2x - 3y + 6z + 19 = 0 Bài24: Cho A(1; 2; 1) B(2; 1; 3) (P): x - 3y + 2z - 6 = 0
1) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và (P).
2) Viết phơng trình chính tắc của giao tuyến giữa (P) và (Q) Tìm toạ độ điểm K
đối xứng với A qua (P)
Bài25: Cho A(a; 0; 0) B(0; b; 0) C(0; 0; c) (a, b, c > 0)
Dựng hình hộp chữ nhật nhận O, A, B, C làm bốn đỉnh và gọi D là đỉnh đối diện với đỉnh O của hình hộp đó.
1) Tính khoảng cách Từ C đến (ABD)
2) Tính toạ độ hình chiếu của C xuống (ABD) Tìm điều kiện đối với a, b, c để hình chiếu đó nằm trên mặt phẳng xOy