Đề tài tốt nghiệp Đại học

- Giúp học sinh học tốt môn toán nói chung và nắm được phương pháp tìmchữ số tận cùng của một số tự nhiên dạng lũy thừa và một số dạng toán vềlũy thừa.- Tạo cho học sinh có được tư duy t

Trang 1

A/ Đặt Vấn Đề:

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.

Là Giáo Viên dạy học môn toán, chúng ta mới thật sự thấy được tầmquan trọng toán học, nó rất đa dạng và phong phú, thuộc nhiều lĩnh vựcnghiên cứu khoa học cho các ngành nghề Bất cứ ngành nào nghề nào cũngđòi hỏi phải có sự tính toán Muốn tính toán giỏi ta phải học tốt môn toán,

từ những con số, rồi thực hiện các phép tính đơn giản cho đến các phép tínhkhó.v.v Vì vậy ta phải xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con ngườimới phát triển toàn diện Bên cạnh phải giáo dục cho học sinh có đầy đủphẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiệnnay Muốn giải quyết nhiệm vụ quan trọng này, trước hết Thầy, Cô giáochúng ta ai cũng phải xây dựng cho mình một phương pháp dạy thật tốt vàthường xuyên cải tiến phương pháp giảng dạy cho phù hợp với từng nộidung, điều kiện giảng dạy vào các đối tượng tham gia học tập, nhằm tạotiền đề vững chắc, lâu bền trong việc tiếp nhận tri thức, nề nếp và thái độhọc tập của các em ở nhà trường

Để giúp học sinh học tốt môn toán, ngoài việc truyền thụ kiến thức

cơ bản theo phân phối chương trình của Bộ Giáo dục & đào tạo ban hànhcho các trường học phổ thông ( Kể cả ba cấp ), giáo viên cũng như học sinhcần phải nghiên cứu thật nhiều các tài liệu, sách báo, băng hình, có liênquan đến môn toán để bổ sung các dạng kiến thức mới, phương pháp giảimới, Giúp học sinh học dễ hiểu, dễ tiếp thu bài nhằm tạo được sân chơithân thiện, từ đó các em mới tích cực tham gia các hoạt động học tập, rồi có

ý tưởng tự nghiên cứu sáng tạo cho việc học và giải toán được thuận lợi

Trang 2

hơn Theo nhà khoa học Lep-Nitx đã nói: “Một phương pháp được coi làtốt, nếu như ngay từ đầu ta có thể thấy trước và sau đó có thể khẳng địnhđược rằng theo phương pháp đó ta sẽ đạt tới đích” Với mỗi bài toán tacũng có thể giải được, chỉ cần bắt chước theo những chuẩn mực đúng đắn

đề giúp cho các em giải quyết được phần nào khó khăn mà các em vấpphải

Trong thực hiện rất mong quý đồng nghiệp tham khảo và góp ý kiến

để đề tài được bổ sung hoàn chỉnh hơn

II Mục đích nghiên cứu:

Trang 3

- Giúp học sinh học tốt môn toán nói chung và nắm được phương pháp tìmchữ số tận cùng của một số tự nhiên dạng lũy thừa và một số dạng toán vềlũy thừa.

- Tạo cho học sinh có được tư duy tính toán, tư duy phán đoán tốt

- Giúp bản thân có thêm kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy đạt hiệuquả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ngày càn tiến bộ

III Nhiệm vụ của đề tài:

- Đưa ra một số phương pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên dạng

an với a ≠ 0 và a∈N, n∈N Nhưng vì a=1 nên an luôn luôn có giá trị là 1.nên đề tài chỉ xét với các trường hợp a1

- Đưa ra một số dạng toán về lũy thừa và phương pháp giải

- Thông qua đề tài trang bị cho học sinh thêm những phương pháp cơ bản

về giải và tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên; Biết giải tốt một số bàitoán về lũy thừa

- Chọn ra một số cách giải khác nhằm mở rộng vốn hiểu biết cho học sinh

IV Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài áp dụng cho cho học sinh cấp 2: Từ lớp 6 cho đến lớp 9

V Dự đoán kết quả đề tài:

Áp dụng đề tài, học sinh sẽ tìm được chữ số tận cùng của một số tự nhiên

dễ dàng hơn, thậm chí có thể nhẩm được kết quả Giải được một số dạngtoán về lũy thừa trong chương trình toán 6 nhằm củng cố kiến thức vữngchắc cho các lớp tiếp theo

Trang 4

Trong dãy các lũy thừa 21, 22, 23, 2n luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa.

Mà mỗi lũy thừa ở cùng một dãy có chữ số tận cùng bằng nhau

có chữ số tận cùng được lập lại theo thứ tự

mà số mũ ở mỗi dãy là một cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) là 4

Trang 5

Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùng của dãy D2 = 21, 22, 23, 2n

2 Vì 22003 ∈ 2n Nên khi ta chia số mũ 2003 cho 4 ta được số dư là 3 ∈ D2-3

Vậy B có chữ số tận cùng là 8

Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của số: 3244 ; 109214 ; 352 1001 ; 122 8051

D2-1 = 21; 25; 29; … Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 2

D2-2 = 22; 26; 210;… Giá trị mỗi lũy Có chữ số tận cùng là 4

Những số có nhiều chữ số như 12n; 22n; 32n; đều áp dụng như trên

Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4Nếu số dư là 1 thì thuộc D2-1 nên có chữ số tận cùng là 2Nếu số dư là 2 thì thuộc D2-2 Nên có chữ số tận cùng là 4Nếu số dư là 3 thì thuộc D2-3 Nên có chữ số tận cùng là 8Nếu số dư là 0 thì thuộc D2-4 Nên có chữ số tận cùng là 6



Trang 6

Giải:

1 Vì 32 = 30 + 2 nên muốn tìm chữ số tận cùng của 3244 ta chỉ việc tìm chữ

số tận cùng của 244 là thỏa mãn ( do những số chẳn chục khi lũy thừa n lên luôn có chữ số tận cùng bằng 0 ) Do đó khi ta chia 44 cho 4 thì dưbằng 0, mà số dư vừa tìm được lại thuộc D2-4.

Vậy Số 3244 có chữ số tận cùng là 6

2 Vì 1092 = 1090 + 2 cách tìm tương tự như bài toán trên

Muốn tìm chữ số tận cùng của số 109214 ta đi tìm chữ số tận cùng của 214

Do 14 chia cho 4 còn dư là 2, mà số dư này thuộc vào D2-2 nên có chữ số tận cùng 4

Vậy số 109214 có chữ số tận cùng là 4

3 Vì số 352 có chữ số tận cùng bằng 2 Nên 3521001 và 21001 có chữ số tận cùng giống nhau

Cách tìm: ta tìm số dư của phép chia 1001 cho 4, ta được số dư là 1 Ứng với số dư này ta có chữ số tận cùng là 2

Vậy: 3521001 có chữ số tận cùng là 2

4 Ta thấy số 122 có chữ số tận cùng là 2 nên 1228051 và 28051 có chữ số tận cùng bằng nhau

Dựa vào cách tìm ta có số dư của phép chia 8051 cho 4 là 3 Mà ứng với số dư 3 ta có chữ số tận cùng là 8

Ta có nhận xét trường hợp khi a = 3

Trong dãy các lũy thừa 31, 32, 33, 3n luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa

Ta ký hiệu:

Trang 7

D3-1 là tập hợp các lũy thừa có dạng 31; 35; 39; … và giá trị của mỗi lũy thừa

như sau:

Những số có nhiều chữ số như 13n; 23n; 33n; đều áp dụng như trên.Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 4

Nếu số dư là 1 thì thuộc D3-1 nên có chữ số tận cùng là 3Nếu số dư là 2 thì thuộc D3-2 Nên có chữ số tận cùng là 9



Trang 8

Ta chia số mũ 5717 cho 4 ta được số dư là 1, ứng với số dư này ta cóchữ số tận cùng là 3.

Trong dãy các lũy thừa 41, 42, 43, 4n luôn tồn tại hai dãy lũy thừa

Trang 9

Điều này cho thấy D4 chỉ tồn tại hai dãy lũy thừa, đó là dãy lũy thừavới số mũ lẽ và dãy lũy thừa với số mũ chẳn

như sau:

Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 418 , 487 , 18942n

Giải: Do Lũy thừa với cơ số 4 cho ta các chữ số tận cùng hoặc 4 hoặc 6 Nếu số mũ lẻ thì có chữ số tận cùng là 4; còn số mũ chẳn thì cóa chữ số tậncùng là 6 Vậy:

* Số 418 có chữ số tận cùng là 6 ( vì số mũ là chẳn )

* Số 487 có chữ số tận cùng là 4 ( vì số mũ là lẻ )

Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 2

Nếu số dư là 1 thì thuộc D4-1 nên có chữ số tận cùng là 4

Nếu số dư là 2 thì thuộc D4-2 Nên có chữ số tận cùng là 6

Hoặc cũng có thể xác định chữ số tận cùng bằng nhận xét trên số mũ; Nếu số mũ của lũy thừa mà chẳn thì chữ số tận cùng của số

đó là 6, còn nếu số mũ của lũy thừa là số lẻ thì chữ số tận cùng của số đó là 4

Trang 11

D7-3 là tập hợp các lũy thừa có dạng 73; 77; 711; … và giá trị của mỗi lũythừa ở dãy này có chữ số tận cùng là 3.

D7-4 là tập hợp các lũy thừa có dạng 74; 78; 712; …và giá trị của mỗi lũy thừa

ở dãy này có chữ số tận cùng là 1

Vấn đề trình bày như đã nêu trên cho thấy giá trị của các lũy thừacủa dãy D7 = 71, 72, 73, 7n

như sau:

Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 71234 ; 72009 ; 8755 ?

Nếu số dư là 0 thì thuộc D Nên có chữ số tận cùng là 1

Trang 12

1 Ta chia số mũ 1234 cho 4 ta được số dư bằng 2 số dư này thuộc dãy D7-2. Nên số 71234 có chữ số tận cùng là 9

2 Tương tự: khi ta chia số mũ 2009 cho 4 ta được số dư bằng 1, số

dư này thuộc dãy D7-1 Nên số 72009 có chữ số tận cùng là 7

3 Vì 87 = 80 + 7 Do đó việc tìm chữ số tận cùng của 8755 ta chỉ việc tìm chữ số tận cùng của số 755 Cách tìm ta chia số mũ 55 cho 4, phépchia này có số dư là 3, số dư này thuộc D7-3 Nên 755 có chữ số tận cùng là 3 Vậy số 8755 có số tận cùng là 3

Trong dãy các lũy thừa 81, 82, 83, 8n luôn tồn tại bốn dãy lũy thừa

Trang 13

Ta có bảng tóm tắt của các dãy và phương pháp tìm chữ số tận cùngcủa dãy D8 = 81, 82, 83, 8n

Trang 14

Ta có: 50 chia 4 dư 2; mà số dư này thuộc D8-2 Nên số 850 có chữ số tận cùng là 4.

Trong dãy các lũy thừa 91, 92, 93, 9n luôn tồn tại hai dãy lũy thừa

Điều này cho thấy D9 chỉ tồn tại hai dãy lũy thừa, đó là dãy lũy thừavới số mũ lẽ và dãy lũy thừa với số mũ chẳn

Trang 15

như sau:

Những số có nhiều chữ số như 19n; 29n; 39n; đều áp dụng như trên.Cách tìm: Ta chia số mũ của lũy thừa cho 2

*Nếu số dư là 1 thì thuộc D9-1 nên có chữ số tận cùng là 9

*Nếu số dư là 2 thì thuộc D9-2 Nên có chữ số tận cùng là 1

Hoặc cũng có thể xác định chữ số tận cùng bằng nhận xét trên số mũ;Nếu số mũ của lũy thừa mà chẳn thì chữ số tận cùng của số đó là 1, còn nếu

số mũ của lũy thừa là số lẻ thì chữ số tận cùng của số đó là 9

Chú ý:

1 Những số chẳn chục như 10; 20; 30; … Khi nâng lên lũy thừa với số

mũ lớn hơn 0 thì luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 0

2 Những số dạng: 1; 11; 21; 31; ……khi nâng lên lũy thừa với số mũ bất kỳ thì luôn luôn có chữ số tận cùng bằng 1

3 Các số có chữ số tận cùng là 0;1;5;6 khi nâng lên lũy thừa với số mũ khác 0 cũng có chữ số tận cùng bằng 0;1;5;6

Phần 2: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI KHÁC.

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của số A = 999

Trang 16

Giải: Cách 1: Theo phương pháp (H) số 99 có số mũ lẻ Nên số này có chữ

số tận cùng là 9 cũng là số lẻ Do đó số 999

cóchữ số tận cùng là bằng 9.Cách 2: Đặt M = 9k, k∈N

+ Nếu k chẳn ⇒ k = 2m, khi đó:

M = 92m = (81)m = (80+1)m = (10q+1)m = 10t+1 (với m,q,t ∈ N ).Vậy M có chữ số tận cùng là 1 nếu k chẳn

Trang 17

Ba mệnh đề sau tương với nhau:

2.1/ a đồng dư với b theo mô đun m;

2.2/ a – b chia hết cho m;

2.3/ Có một số nguyên t sao cho a = b + m.t

3 Tính chất:

Trang 18

c ≡ d (mod m) a.c ≡ b.d (mod m)

Hệ quả: a + c ≡ b (mod m) ⇒ a ≡ b – c (mod m)

a ≡ b (mod m) ⇒ an ≡ bn (mod m)

3.4/ Nếu a ≡ b (mod m); k∈ƯC (a,b), (k,m) = 1 Thì

k

b k

a

= (mod m)

3.5/ a ≡ b (mod m) với k∈z, k > 0 suy ra: ka ≡ kb (mod m).

3.6/ d ∈ ƯC (a,b,m) thì a ≡ b (mod m) suy ra:

k

b k

Hệ quả: ( m1, m2, …… , mn ) = 1 và nguyên tố từng đôi một

Suy ra: a ≡ b (mod m1), a ≡ b (mod m2), …… a ≡ b (mod mn)

Trang 19

Suy ra: 6195 ≡ 6 (mod 10).

Rõ ràng số y càng nhỏ thì việ tìm hai chữ số tận cùng của y càng đơngiản hơn

Từ nhận xét trên ta có thể đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tậncùng của hai số tự nhiên x = am như sau:

Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của

Trang 20

Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n là số tự nhiên sao cho an-1 100

Viết m = un + v ( u,v ∈ N, 0 ≤ v < n ) Ta có:

X = am = av ( aun-1 ) + av

Vì: an-1 100 Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của av Tiếp theo ta tìm hai chữ số tận cùng của av

Với khoảng hai trường hợp nêu trên là chìa khóa để giải bài toán này

là chúng ta phải tìm được số tự nhiên n; Nếu n càng nhỏ thì q và v càng nhỏnên sẽ dễ dàng tìm hai chữ số tận cùng của aq và av

- Các số 220; 65; 184; 242; 684; 742 Có hai chữ số tận cùng là 76

Các bài toán tìm hai chữ số tận cùng của một số tự nhiên Bài 1: Tìm hai chữ số tận cùng của 2999

Giải:

Ta có: 210 + 1 = 1024 + 1 = 1025  25

Suy ra: 210 + 1  25

Ta lại có: 21000 – 1 = [(220)50 – 1] (220 – 1)

Trang 21

Suy ra: 21000 – 1 25.

Do đó: 21000 có hai chữ số tận cùng là 76, vì 21000  4

Suy ra: 2999 có hai chữ số tận cùng là 88

Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số 78966

Ta có: 34 ≡ 19 (mod 100) suy ra 38 ≡ 192 ≡ 6 (mod 100).

Suy ra: 310 ≡ 61.9 ≡ 49 (mod 100) suy ra 3100 ≡ 492 ≡ 1 (mod 100).

Suy ra: 31000 ≡ 01 (mod 100).

Vậy: 31000 có hai chữ số tận cùng là 01

Trang 22

Suy ra: 262088 = (244)522 = ( 76 )522 = 76 ( vì số có hai chữ số tận cùng

là 76 khi ta lũy thừa bất kỳ với số mũ khác 0 nào thì luôn có hai chữ số tận cùng là 76 )

Ta lại có: 68194 = ( 684)48 682 = (n76)48 4624 = k76 4624 = t24

Vậy: 68194 có hai chữ số tận cùng là 24

B- NỘI DUNG:

Tiêu đề	Phương pháp tìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên dưới dạng lũy thừa và một số dạng toán về lũy thừa trong chương trình Toán 6
Tác giả	Nguyễn Phước Hiếu
Trường học	Trường Trung học Cơ sở Thạnh Hòa
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Đề tài tốt nghiệp đại học
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hậu Giang

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	518 KB