Chohs f x xác định trên a;b
Khi đó tabảolà : Hàmsố f x đồng biến trên a;b
Nếu x ,x a;b : x
) Kiến
x
thức cần nắ
Khi đó tabảolà : Hàmsố f x nghịch biến t
m vững : Đ
rê
ịnh nghĩa :
1
n a;b : Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm trên a;b Hàm số đồng biến trên a;b f ' x , x a;b
Hàm số nghịch biến trên a;b f ' x , x a;b
: Cho hàm số f(x) xác định và có đạo
Định lí
f '
nh
lí
;
1
0
2
0
Hàm số đồng biến trên a;b
f ' x , x a;b Hàm số nghịch biến trên a;b
: Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm ,
f ' x có nghiệm hữu hạn trên a;b
Hàm số đồng biến trên a;b f ' x , x a;b
Hàm số nghịch biến trên a;b f ' x , x a
Đ h
b
n
;
ị lí
0
0 0
3
Trang 23
4 2
Các bạn hãy suy nghĩ trước các ví dụ sau :
Ví dụ 1 : Xéttính đơnđiệu hàmsố y x sinx
x
2!
x
6
Ví dụ 4 :Xét tính đơnđiệu hàmsố y
4!
5 3
1 cosx 2!
5! 3! 1!
Bước1 : Xét dấ
Ví dụ 1 : Xéttính đơn điệu hàmsố y x sinx
Bài làm
có vô số nghiệm
u y'
1 2
1 2
B
Lấy 2 điểm bất kì x ,x mà x x
y' 0 x [x ;x ]
Mặt khác : y' 0 có nghiệm hữu hạntrên[x ;x
ước2 : Chứng min h hàmsố đồng biến trên R bằng định ng
]
hĩa
1 2
dãy cácsố nguyên k bịchặn trên và dưới.Nên có hữu hạnphầntử k Có hữu hạn điểm x để y' 0 với x [x ;x ]
1 2
nên hs đồng biến trên [x ;x ]
Theo định nghĩa thì hs đồng biến trên R
2 x
Ví dụ 2 :Xét tính đơnđiệu hàmsố y 1 cosx
2 Bàilàm
Tac
Bước1 :Phân chia tậpR thàn
o
h các đoạn
ù: y' x sinx
nhỏ
Với x y' 0
Với x y' 0
tacó:y' x sin x
y'' 1 cosx 0 và y'' 0 x 0
y'đồng biến trên ;
Khiđó: y' 0 x 0
Bảng xétdấu y'là :
y'
0
0
Trang 3x y'
0
0
Hàm số nghịch biến trên ;0
Hàmsố đồng biến trên 0;
Bước 2 : Tổng kết :
3
2
Ví dụ 3 :Xét tính đơn điệu hàmsố y sin x
3! 1!
Bàila
Cách1 : Lợi dụng kết qua
øm
x
Taco:ù y'
û ở vd
c sx
2
2
x y'
0 0
Theo kết quả ví dụ 2 :
y' đồng biếntrên 0;
y'nghịch biến trên ;0
Bảng biến thiên y'là :
Nhìn vào bảng biến thiên y' ta thấy :
Như vậy y' 0 x R và y' 0 x 0
Vậy hàmsố đồng biến trên R
2
2
Lưu y:ù ta hoàn toàn giải quyết đượcbằng phương chia đoạn
x
C
Cách 2 : Sử dụng phương pháp chia đoạn :
Bước 1 : Phân chia thành các đoạn
ụ thể : y' 1 cosx
2
û
x
Ta co
nh
:
o
2
cosx
y'' x sinx
y''' 1 cosx 0 và y''' 0 có nghiệmhữu hạn trên đoạn: 2 x 2 y'' x sinx đồng biến trênđoạn : 2 x 2
Khi đó: y'' 0 x 0
Bảng biến thiên y' là :
Trang 4x y''
2
0
0
0 y'
Ta thấy :
y' 0 , x 2 ;2
và y' 0 x 0
x
y
2 2 '
y
0
Bước 2 : Tổng kết :
Bảng biến thiên
Hàmsố đồng biế
h n
àmsố : trên R
3
3
Ví dụ 4 :Xét tính đơn điệu hàmsố y 1 cosx
4! 2!
Bài làm
x
Ta có:y' x sin x
3!
Theo kết quả ví dụ 3
x
Ta thấy : y' x sin x đồng biến trên R
3!
nên
Cách 1 :
y' 0
Lơ
x 0
Bảng xét dấu y'là :
ïi dụng kết quả vd
ha
3
ømsố đo
àng biến trên 0;
Hàmsố nghịch biến trên ;0
x y'
0
0
Cách 2 : Sử dụng phương pháp chia đoạn :
Trang 5
5 3
4 2
4 2
4 2
Ví dụ 5 :Xét tính đơn điệu hàmsố y sinx
5! 3! 1!
Bàilàm
4! 2!
Theokết quả vd4 :
Hàm số y' 1 cosx đồng biến trên 0;
4!
Cách 1 : Lợi dụng kết quả
2!
4! 2!
vd4
Bảng biến thiên y' là :
y' 0 x
và y' 0 x 0
Hàmsố ban đầu đồng biến trên R
x y'
0 0
Cách 2 : Sử dụng phương pháp chia đoạn :
3
5 3
Bài tập củng cố :
Xét tính đơn điệu hàm số :
1) y sin x
2) y cos2x
3) y 2x sin x
x
3!
5! 3!
3
3
x
3!
x
3!
5! 3!
5! 3!
