Tài liệu bổ trợ cơ học giải tích

Các công thức bổ trợ cơ học giải tích phần phương trình lagrange mối quan hệ giữa đạo hàm và biến phân, dịch chuyển ảo(biến phân của véc tơ xác định vị trí của chất điểm),vận tốc của các chất điểm và đạo hàm của nó

Một số công thức 1) Biến phân của tọa độ suy rộng

2) Mối quan hệ giữa đạo hàm và biến phân

dt   dt (2)

Sử dụng công thức (1), vế phải của (2) có thể viết lại như sau



       

d

dt

(3)

Vế trái của (3) chính là vế phải của (2)

Công thức (2) đúng cho mọi tọa độ suy rộng của hệ do đó trong trường hợp cơ hệ

Hô lô nôm chịu liên kết dừng thì biến phân và vi phân của tọa độ suy rộng là giao hoán Nếu cơ hệ chịu liên kết không dừng, nghĩa là,  0, 1

   





i

r

phân của tọa độ suy rộng và biến phân của nó có giao hoán không?(Nguyễn Văn Đạo, Cơ học giải tích, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội)

3) Dịch chuyển ảo (biến phân của véc tơ xác định vị trí của chất điểm)

Theo định nghĩa ta có



 

  

r dr dr

Mặt khác, theo định nghĩa của tọa độ suy rộng là tập hợp s thông số độc lập, qk, sao cho ta có thể biểu diễn các bán kính véc tơ xác định vị trí của các chất điểm qua các tọa độ suy rộng Do các tọa độ suy rộng là hàm của thời gian và phụ thuộc vào tham số  để phân biệt các dịch chuyển khả dĩ khác nhau, nên

 ,  ,

  

r r q  t r  t (5)

Trong biểu thức (4), dịch chuyển ảo là hiệu của hai dịch chuyển khả dĩ khác nhau ở cùng một thời điểm (dịch chuyển đồng thời gian) Biểu thức (5), cho ta biết, các dịch chuyển khả dĩ khác nhau ứng với các giá trị khác nhau của tham số  Vậy

    (6)

Tương tự biểu thức (1), trong gần đúng cấp 1 theo tham số , ta thu được biểu thức biến phân của véc tơ xác định vị trí của các chất điểm thuộc cơ hệ, hay dịch chuyển ảo

  ,







i

 (7)

Theo (5), véc tơ xác định vị trí của các chất điểm là hàm của tọa độ suy rộng, trong khi đó tọa độ suy rộng là hàm của tham số  , do đó ta có

1



      



q

Thế (8) vào (7) và kết hợp với biểu thức (1), ta thu được biểu thức của dịch chuyển

ảo hay biến phân của véc tơ xác định vị trí của các chất điểm

, ,

      

Hay viết một cách ngắn gọn

1









 s

i

r

q

4) Vận tốc của các chất điểm và các đạo hàm của nó

Theo định nghĩa, ta có vận tốc của một chất điểm bất kì thuộc cơ hệ có biểu thức

vi d ri

dt

 



(10)

Vế phải của biểu thức (10) chính là đạo hàm toàn phần của bán kính véc tơ xác định vị trí của các chất điểm theo thời gian Trong hệ tọa độ suy rộng, các bán kính véc tơ này có thể phụ thuộc tường minh vào tạo độ suy rộng và thời gian Vậy, (10)

có thể viết một cách tường minh như sau

s

k 1 k





 (11)

Bây giờ ta tính đạo hàm của véc tơ vận tốc của các chất điểm theo tọa độ suy rộng hoặc theo đạo hàm của tọa độ suy rộng theo thời gian

i

j

v

q







(12)

Hoặc

i

j

v

q







 (13)

Trước hết ta tính biểu thức (12) Thế (11) vào (12), ta có

              (14)

Trong đạo hàm riêng, các biến qk và qj là hai biến độc lập (kể cả trường hợp

j = k), do đó

k

j

q

0

q

 





(15)

Nên (14) có thể viết lại

s

k

k 1

q

     

        (16)

So sánh (16) với (11), vế phải của (16) chính là đạo hàm toàn phần theo thời gian của véc tơ i

j

r q

  

 

 

 



Vậy, (16) được viết lại như sau

q dt q

 

 

 

  





(17)

Tương tự, biểu thức (13) có dạng

               

              

Vì các véc tơ xác định vị trí của các chất điểm là hàm của tạo độ suy rộng và có thể phụ thuộc tường minh vào thời gian nên khi tính đạo hàm riêng theo một tọa độ suy rộng nào đó thì thu được một biểu thức phụ thuộc vào các tọa độ suy rộng còn lại (và có thể phụ thuộc vào tọa độ suy rộng mà chúng ta tính đạo hàm) Một cách tổng quát thì đạo hàm riêng của bán kính véc tơ xác định vị trí của các chất điểm theo một tọa độ suy rộng nào đó thì thu được biểu thức cũng chỉ phụ thuộc vào tọa

độ suy rộng và có thể phụ thuộc tường minh vào thời gian Vậy

i

r

0

q q

 

  

 

  



Ta có thể xét trường hợp cụ thể là con lắc toán học hay con lắc đơn Trong trường hợp chọn góc hợp bởi giữa con lắc và đường thẳng đứng đi qua điểm treo làm tọa

độ suy rộng Chúng ta có biểu thức của véc tơ xác định vị trí của chất điểm

r

r a sin i a cos j a cos i a sin j

r

a cos i a sin j 0







   

   





Tương tự

i

j

r

0

q t

   

   



Thế (19) và (20) vào (14) và chú ý rằng qk và qj cùng một loại biến nhưng chỉ khác nhau chỉ số, nghĩa là q / qk  j kj, ta được

s

kj

k 1



   (21)