Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11

Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11 Bộ công thức toán đại số hình học giải tích lớp 11

Trang 1

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11

GV : KHÁNH NGUYÊN – TEL : 0914455164 Trang 1

ĐẠI SỐ 11 – CHƯƠNG 0 : CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác

1 Định nghĩa các giá trị lượng giác

sin

tan

cos

cot

sin

α

Nhận xét:

• ∀α, 1 cos− ≤ α≤1; 1 sin− ≤ α ≤1

• tanα xác định khi ,

π

α≠ + π ∈ • cotα xác định khi α≠ kπ, k ∈ Z

• sin(α+k2 ) sinπ = α • tan(α+kπ) tan= α

•cos(α+ k 2 ) cosπ = α •cot(α+ kπ) cot = α

2 Dấu của các giá trị lượng giác

Phần tư

3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

0

6

π

4

π

3

π 2

3

4

π

2

00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600

2

2 2

3

3 2

2

2 2

1

1 2

2

3 3

cosin

O

cotang

H A

M

K

B S

α

T

4 Hệ thức cơ bản:

sin α+ cosα=1; tan cotα α = 1

2

1

1 tan

cos

α

2

1

1 cot

sin

α

5 Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

cos(−α) cos= α sin(π α− ) sin= α sin cos

2

π

sin(−α)= −sinα cos(π α− )= −cosα cos sin

2

π

tan(−α)= −tanα tan(π α− )= −tanα tan cot

2

π

cot(−α)= −cotα cot(π α− )= −cotα cot tan

2

π

2 π

2

π

2

π

2

π

2

π

II Công thức lượng giác

1 Công thức cộng

sin(a b+ ) sin cos= a b+sin cosb a sin(a b− ) sin cos= a b−sin cosb a cos(a b+ ) cos cos= a b−sin sina b cos(a b− ) cos cos= a b+sin sina b

tan tan tan( )

1 tan tan

a b

+

− tan tan tan( )

1 tan tan

a b

−

+

Trang 2

2 Công thức nhân đôi

•sin 2α=2sin cosα α •cos2α =cos2α−sin2α =2 cos2α− = −1 1 2sin2α

•tan 2 2 tan2

1 tan

α α

α

=

− •cot 2 cot2 1

2 cot

α α

α

−

2

1 cos2 sin

2

1 cos2 cos

2

1 cos2 tan

1 cos2

α α

α

−

= +

=

−

= +

3 3

3 2

sin3 3sin 4sin cos3 4 cos 3cos

3tan tan tan3

1 3tan

α

−

=

−

2 Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan

2

α:

2

2 sin 1

t t

α = +

2 2

1 cos 1

t t

α = −

2 tan 1

t t

α =

−

3 Công thức biến đổi tổng thành tích

sin( ) tan tan

cos cos

a b

+

sin( ) tan tan

cos cos

a b

−

sin( ) cot cot

sin sin

a b

+

sin( ) cot cot

sin sin

b a

−

α+ α = α+ = α− 

α− α= α− = − α+ 

4 Công thức biến đổi tích thành tổng

1

c o s c o s c o s ( ) c o s ( )

2 1

s in s in c o s ( ) c o s ( )

2 1

s in c o s s in ( ) s in ( )

2

ĐẠI SỐ và GIẢI TÍCH – HÌNH HỌC 11 ĐẠI SỐ 11 – CHƯƠNG 1 : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC –

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I –HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ

sin

*Tập xác định D = R;

*Tập giá trị T= − 1, 1; hàm lẻ

*Chu kỳ T0 =2π

*y = sin(ax + b) có CK : 0 2

T a

π

=

* y = sin(f(x)) xác định

( )

f x

⇔ xác định

cos

*TXĐ : D = R

*Tập giá trị T = − 1, 1; hàm chẵn,

* Chu kỳ T0 =2π

* y = cos(ax + b) có CK : 0 2

T a

π

=

* y = cos(f(x)) xác định

⇔ f x( ) xác định

tan

2

D=R π+kπ k∈Z

*Tập giá trị T = R, hàm lẻ,

* Chu kỳ T0 =π

*y = tan(ax + b) có chu kỳ T0

a

π

=

*y = tan(f(x)) xác định

( )

f x

π π

cot

*TXĐD=R\{kπ,k∈Z};

*Tập giá trị T = R, hàm lẻ

*Chu kỳ T0 =π

*y = cot(ax + b) có chu kỳ T0

a

π

=

*y = cot(f(x)) xác định

* y = f 1 (x) có chu kỳ T1 ; y = f 2 (x) có chu kỳ T2 thì hàm số

1( ) 2( )

y= f x ± f x có chu kỳ T0 là bội chung NN của T1 và T2

Trang 3

ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1) Vẽ đồ thị hàm số lượng giác:

– Tìm tập xác định D – Tìm chu kỳ T0 của hàm số

– Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần)

– Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T0 có thể

chọn : x∈ 0,T0 hoặc 0, 0

2 2

x∈ − 

– Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ

– Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh tiến theo vectơ v=k T i .0

về bên trái và phải song song với trục hoành Ox (với i là véc tơ đơn

vị trên trục Ox)

2) Một số phép biến đổi đồ thị:

a) Từ đồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng cách

tịnh tiến đồ thị y = f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh

tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn vị nếu a < 0

b) Từ đồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thị

y = f(x) qua trục hoành

( )

f x neáu f x

 được suy từ đồ thị y = f(x)

bằng cách giữ nguyên phần đồ thị y = f(x) ở phía trên Ox và lấy đối

xứng phần đồ thị y = f(x) nằm ở phía dưới trục hoành qua Ox

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = sinx

– Tập xác định: D = R – Tập giá trị: −1, 1 

– Chu kỳ: T = 2π –Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2π

2

π

2

y

1

0

–1

– Tịnh tiến theo véctơ v=2 k iπ

ta được đồ thị y = sinx

Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

– Hàm số ĐB trên khoảng 0,

2 π

  và nghịch biến trên ,

2

π π

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cosx

– Tập xác định: D = R – Tập giá trị: −1, 1  – Chu kỳ: T = 2π – Bảng biến thiên trên 0, 2π:

– Tịnh tiến theo véctơ v=2 k iπ

ta được đồ thị y = cosx

Nhận xét:

– Đồ thị là một hàm số chẵn nên nhận Oy làm trục đối xứng

– Hàm số ĐB trên khoảng 0,

2 π

  và NB trên khoảng

3

2

π π

2

π

2

–1

0

1

3 2 π

π 0

2

2 π

π 2π 5

2 π

y = cosx

–1

y

x

1

3 2 π

−

−π 2

π 0

2

2 π

π 2π 5

2 π

y = sinx

–1

y

x

Trang 4

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = tanx

– Tập xác định: D = R\ ,

π π

  – Tập giá trị: R

– Giới hạn:

/2

lim

π

2

⇒ = ± là tiệm cận đứng

– Chu kỳ: T = π – Bảng biến thiên trên ,

2 2

π π

−

– Tịnh tiến theo véctơ v=k iπ

ta được đồ thị y = tanx

Nhận xét:

– Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định D

Ví dụ 4: Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) = cotx

– Tập xác định: D = R\{kπ,k∈Z} – Tập giá trị: R

– Giới hạn:

0

x y x xy

→ = + ∞ → = − ∞,tiệm cận đứng: x = 0, x =π

– Chu kỳ: T = π – BBT trên đoạn 0, π

x

2

π

2 π

–∞

+∞

y

0

+∞

–∞

x

y

3

2

π

2

π O

2

π π 3

2

π 2ππππ 5

2 π

y = tanx

– Tịnh tiến theo véctơ v=k iπ

ta được đồ thị y = cotx

Nhận xét:

– Hàm số luôn giảm trên tập xác định D

Ví dụ 5: Vẽ đồ thị y = – sinx

–Vẽ đồ thị y = sinx

– Từ đồ thị y = sinx, ta suy ra đồ thị y = –sinx bằng cách lấy đ/xứng qua Ox

-sin x, neu sin x < 0

x



Ví dụ 7: Vẽ đồ thị hàm số y = 1 + cosx

– Vẽ đồ thị y = cosx

– Từ đồ thị y = cosx, ta suy ra đồ thị y= +1 cosx bằng cách tịnh tiến đồ thị y=cosx lên trục hoành 1 đơn vị

x

y

2

− π 3

2

π

2

π

2

π π 3

2 π

y = cotx

y

x

–2 3

2

π

2

π 2ππππ 2

π

ππ

O

−π

−π 2

π

y = –sinx

1

–1

π

π 2

2

π 2ππππ 2

π

ππ

O

y = /sinx/

y

1

x

Trang 5

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2π :

Ví dụ 8: Vẽ đồ thị y = sin2x

– y = sin2x có chu kỳ T = π - BBT trên đoạn 0, 2π:

2

y = cosx

1

0 –1

0

1

y = 1 + cosx

2

1

0

1

2

π O

y = 1 + cosx

y

x

−π

2

π π π 3

2 π

y = cosx

2

1

–1

x

2

−π

4

−π

0

2

π

2 π

2

π

2

π

y = sin2x 0

–1

0

1

0

2

y

x π

π 4

π

4 π

1

3 2

π 2

4 π

y = sin2x

–1

Ví dụ 9: Vẽ đồ thị y = cos2x

– y = cos2x có chu kỳ T = π

– Bảng biến thiên trên đoạn 0, 2π:

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1 Phương trình sinx = sinααα

2

α



arcsin 2

π



Các trường hợp đặc biệt

• sinu= −sinv ⇔ sinu=sin( )−v

2

x= − ⇔ x= −π+k π

•sin cos sin sin

2

u= v ⇔ u= π−v

•sinx=0 ⇔ x=kπ (k∈Z)

•sin cos sin sin

2

u= − v ⇔ u= v−π

2

x= ⇔ x =π+k π k∈Z

2

O

y

x 2

π

4 π

1

2

π 4 π

y = cos2x

–1

3 4 π

x

2

π

−

4

π

4

π

2 π

2

π

2

π

y = cos2x

–1

0

1

0 –1

Trang 6

2 Phương trình cosx = cosααα

• cosx =cosα ⇔ x= ±α+k2 (π k∈Z)

• cosx =a ⇔ x = ±arccosa k+ 2 (π k∈Z)( 1− ≤a≤1)

• cosu= −cosv ⇔cosu=cos(π−v) • cosx=1 ⇔ x=k2 (π k∈Z)

• cos sin cos cos

2

u= v ⇔ u= π −v

2

x= ⇔ x=π+kπ k∈Z

•cos sin cos cos

2

u= − v⇔ u= π +v

•cosx= −1 ⇔ x=π+k2 (π k∈Z)

•cosx = ±1 ⇔cos2x=1⇔sin2x =0 ⇔sinx =0⇔ x=kπ (k∈Z)

3 Phương trình tan x = tanααα

• tanx =tanα ⇔ x=α+kπ •tanx = a ⇔ x=arctana kπ+

• tanu= −tanv ⇔tanu=tan( )−v • tanx =0 ⇔ x =kπ (k∈Z)

• tan cot tan tan

2

u= v ⇔ u= π −v

4

x = ± ⇔ x= ±π +kπ k∈Z

•tan cot tan tan

2

u= − v⇔ u= π+v

3

x = ± ⇔ x = ±π+kπ k∈Z

4 Phương trình cotx = cotααα

•cotx =cotα ⇔ x=α+kπ •cotx = a⇔ x =arccota kπ+

• cotu= −cotv ⇔cotu=cot( )−v

2

x= ⇔ x=π+kπ k∈Z

4

6

x= ± ⇔ x= ±π+kπ k∈Z

5 Một số điều cần chú ý:

a) Khi giải phương trình có chứa các hàm số tang, cotang, có mẫu số

hoặc chứa căn bậc chẵn, thì nhất thiết phải đặt điều kiện để

phương trình xác định

* Phương trình chứa tanx thì điều kiện: ( )

2

x≠π+kπ k∈Z

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x≠kπ (k∈Z)

* PT chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )

2

x≠kπ k∈Z

* Phương trình có mẫu số:

• sinx ≠0 ⇔ x ≠kπ (k∈Z)

2

x ≠ ⇔ x≠π+kπ k Z∈

2

x≠ ⇔ x k≠ π k∈Z b) Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra điều kiện Ta thường dùng

một trong các cách sau để kiểm tra điều kiện:

1.Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào điều kiện

2.Dùng đường tròn lượng giác

3.Giải các phương trình vô định

II PT BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

2

a x +b x c+ = t = cosx − ≤ ≤1 t 1

2

x≠π+kπ k∈Z

2

a x b+ x c+ = t = cotx x≠kπ (k Z∈ ) Nếu đặt: t=sin2x hay t=sinx thì 0≤ ≤t 1

III PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX

DẠNG: a sinx + b cosx = c (1)

• Điều kiện để PT có nghiệm là : a2+b2 ≥c2

Cách 1:

(1) ⇔

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

⇔

2 2

+

c x

α β ⇔ x=α β± +k2π (k∈Z)

(với sin 2a 2 , cos 2b 2 ( 0, 2 )

)

x

x =π+k π ⇔ =π+kπ có là nghiệm hay không?

2 x

Trang 7

Đặt:

2

−

ta được PT bậc hai theo t: (b c t+ )2−2at c b+ − =0 (3)

Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan 0

2

x t

=

DẠNG: a sin 2x + b sinx.cosx + c cos2x = d (1)

Cách 1:

• Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn (1) hay không?

L ưu ý: cosx = 0 sin2 1 sin 1

2

• Khi cosx ≠0, chia hai vế phương trình (1) cho cos2x ≠0 ta được:

a.tan2x b+ tanx c+ =d(1 tan )+ 2x

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

.sin 2 ( ).cos2 2

(đây là PT bậc nhất đối với sin2x và cos2x)

V PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

Dạng 1: a.(sinx ±±± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0

• Đặt: cos sin 2.cos ; 2

4

t= x± x= x π t ≤

 ∓ 

2 1 2sin cos sin cos 1(2 1).

2

• Thay vào PT đã cho, ta được PT bậc hai theo t Giải PT này tìm t thỏa

2

t ≤ Suy ra x

Dạng 2: a.|sinx ±±± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0

• Đặt: cos sin 2 cos ; : 0 2

4

2

1

2

• Tương tự dạng trên Khi tìm x cần lưu ý PT chứa dấu giá trị tuyệt đối

ĐẠI SỐ 11 – CHƯƠNG 2 : TỔ HỢP – XÁC SUẤT

I Qui tắc đếm

1 Qui tắc cộng:

Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai

phương án A hoặc B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương

án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện

2 Qui tắc nhân:

Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B Nếu

công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện

II Hoán vị

1 Giai thừa:

•n! = 1.2.3…n •Qui ước: 0! = 1 • n! = (n–1)!n

• !

!

n

p = (p+1).(p+2)…n (với n>p) •

!

n

n p− = (n–p+1).(n–p+2)…n

(với n>p)

2 Hoán vị (không lặp): Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử Số các hoán vị của n phần tử là: P n = n!

3 Hoán vị lặp : Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak Một cách sắp xếp

n phần tử trong đó gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị lặp cấp

n và kiểu (n1, n2, …, nk) của k phần tử Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1,

n2, …, nk) của k phần tử là: Pn(n1, n2, …, nk) =

1 2

!

! ! !k

n

4 Hoán vị vòng quanh : Cho tập A gồm n phần tử Một cách sắp xếp n

phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là:

Qn = (n – 1)!

III Chỉnh hợp

1 Chỉnh hợp (không lặp): Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 ≤ k ≤ n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.Số chỉnh hợp chập k

của n phần tử: ( 1)( 2) ( 1) !

k n

n

n k

−

• Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n

• Khi k = n thì Ann= Pn = n!

Trang 8

2 Chỉnh hợp lặp:

Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi

phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự

nhất định được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của tập

A Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: Ank =nk

IV Tổ hợp

1 Tổ hợp (không lặp) : Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập con gồm k (1

≤ k ≤ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

Số các tổ hợp chập k của n phần tử: !

k

k n n

C

−

• Qui ước: Cn0 =Cnn = 1

Tính chất:

0 n 1; k n k

C =C = C =C − Cnk =Cnk−−11+Cnk−1 k 1 k 1

n k

k

−

− +

=

2 Tổ hợp lặp: Cho tập A = {a a1 2; ; ;an} và số tự nhiên k bất kì Một tổ

hợp lặp chập k của n phần tử là một hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần

tử là một trong n phần tử của A Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:

1

n n k n k

C =C + − =C+ −−

3 Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:

• Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức: k ! k

A =k C

• Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: không có thứ tự

⇒ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh

hợp Ngược lại, là tổ hợp

• Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k ≤ n):

+ Không thứ tự, không hoàn lại: Cnk

+ Có thứ tự, không hoàn lại:Ank + Có thứ tự, có hoàn lại: Ank

V Nhị thức Newton

1 Công thức khai triển nhị thức Newton:

Với mọi n∈N và với mọi cặp số a, b ta có:

0

( )n n k n k k

n k

=

2 Tính chất:

1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1

2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng:

Tk+1 = C ank n k k− b ( k =0, 1, 2, …, n)

4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Cnk Cnn k−

= 5) 0 n 1

n n

C =C = , Cnk−1+Cnk =Cnk+1

Nhận xét : Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những

giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt Chẳng hạn:

(1+x)n = 0 n 1 n 1 n

C +C + +C = (x–1)n = 0 n 1 n 1 ( 1)n n

VI Biến cố và xác suất

1 Biến cố

• Không gian mẫu Ω: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử

• Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A A ⊂ Ω

• Biến cố không: ∅ • Biến cố chắc chắn: Ω

• Biến cố đối của A: A= Ω\A • Hợp hai biến cố: A ∪ B

• Giao hai biến cố: A ∩ B (hoặc A.B) • Hai biến cố xung khắc: A ∩ B = ∅

• Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia

2 Xác suất

• Xác suất của biến cố: P(A) = ( )

( )

n A

n Ω

• 0 ≤ P(A) ≤ 1; P(Ω) = 1; P(∅) = 0

• Qui tắc cộng: Nếu A ∩ B = ∅ thì P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Mở rộng: A, B bất kì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B)

• P(A) = 1 – P(A)

• Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A) P(B)

II Biến ngẫu nhiên rời rạc

1 Biến ngẫu nhiên rời rạc

• X = {x1, x2, …,xn}

• P(X=xk) = pk p1 + p2 + … + pn = 1

2 Kì vọng (giá trị trung bình) µ = E(X) =

1

n

i i i

x p

=

∑

3 Phương sai và độ lệch chuẩn

• V(X) = 2

1

n

i

=

−

1

n

i i i

=

−

• σ(X) = V X( )

Trang 9

ĐẠI SỐ 11 – CHƯƠNG 3 : DÃY SỐ - CẤP SỐ

I Phương pháp qui nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi

giá tr ị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:

• B ước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1

• B ước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ≥ 1),

ch ứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên

d ương n ≥ p thì:

+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;

+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n =

k ≥ p và ph ải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1

II Dãy số

1 Dãy số : : *

( )

u

→

D ạng khai triển: (u n ) = u 1 , u 2 , …, u n , …

2 Dãy số tăng, dãy số giảm

• (u n ) là dãy s ố tăng ⇔ u n+1 > u n v ới ∀ n ∈ N*

⇔ u n+1 – u n > 0 v ới ∀ n ∈ N* ⇔ n 1 1

n

u u

+ > v ới ∀n ∈ N* ( u n > 0)

• (u n ) là dãy s ố giảm ⇔ u n+1 < u n v ới ∀n ∈ N*

⇔ u n+1 – u n < 0 v ới ∀ n ∈ N* ⇔ n 1 1

n

u u

+ < v ới ∀n ∈ N* (u n > 0)

3 Dãy số bị chặn

• (u n ) là dãy s ố bị chặn trên ⇔∃M ∈ R: u n≤ M, ∀n ∈ N*

• (u n ) là dãy s ố bị chặn dưới ⇔∃m ∈ R: u n≥ m, ∀n ∈ N*

• (u n ) là dãy s ố bị chặn ⇔∃m, M ∈ R: m ≤ u n≤ M, ∀n ∈ N*

1 Định nghĩa u n+1 = u n + d, ∀n ∈ N*

(d: công sai)

u n+1 = u n q v ới n ∈ N*

(q: công b ội)

2 Số hạng

tổng quát un=u1+(n−1)d v ới n ≥ 2

1

1 n n

u =u q − v ới n ≥ 2

3 Tính chất

các số hạng 2ukv=ới k uk−1≥+ 2 uk+1

2

1 1

k k k

u =u − u+

v ới k ≥ 2

4 Tổng n số

2 n

n u u

S =u +u + +u = +

2

n u + n− d

1 1

1

1 1



−



−



n

n n

q

GIẢI TÍCH 11 – CHƯƠNG 4 – GIỚI HẠN

I Giới hạn của dãy số

1 Giới hạn đặc biệt:

1

n →+∞n= ; lim 1 0 ( )

k

n

+

→+∞ = ∈

→+∞ = < ; lim

n C C

→+∞ =

2 Định lí :

a) N ếu lim u n = a, lim v n = b thì

• lim (u n + v n ) = a + b

• lim (u n – v n ) = a – b

• lim (u n v n ) = a.b

• lim n n

v =b (n ếu b ≠ 0) b) N ếu u n≥ 0, ∀n và lim u n = a thì a ≥ 0 và lim un = a

c) N ếu un ≤vn,∀n và lim v n = 0 thì lim u n = 0

d) N ếu lim u n = a thì limun = a

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + … = 1

1

u q

−

(q <1)

lim n = +∞

limnk = +∞(k∈ +) limqn = +∞(q>1)

2 Định lí:

a)N ếu limu = +∞n thì lim 1 0

n

u =

b) N ếu lim u n = a, lim v n = ±∞

thì lim n

n

u

v = 0

c) N ếu lim u n = a ≠ 0, lim v n = 0 thì lim n

n

u

v =

n n

neu a v neu a v







d) N ếu lim u n = +∞, lim v n = a thì

0

neáu a neáu a





* Khi tính gi ới hạn có một trong các

d ạng vô định: 0

0,

∞

∞, ∞ – ∞, 0.∞ thì

ph ải tìm cách khử dạng vô định

Một số BÀI MẪU tìm giới hạn của dãy số:

a)

1 1

3

n

+ +

+

b)

3

1

n

+ −

−

c) lim( 2 4 1) lim 2 1 4 12

• Nhân lượng liên hợp: Dùng các h ằng đẳng thức

lim n −3n n− =

2

3 lim

3

n

−

2

−

Trang 10

• Dùng định lí kẹp: N ếu un ≤vn,∀n và lim v n = 0 thì lim u n = 0

VD : Tính limsinn

n ≤n và

1

n= nên

sin

Khi tính các g/hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:

• Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0

• Nếu bậc của từ bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số

của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu

• Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là +∞ nếu hệ số

cao nhất của tử và mẫu cùng dấu và kết quả là –∞ nếu hệ số cao nhất của tử và

mẫu trái dấu

II Giới hạn của hàm số

lim

x x x x

→ = ;

0

lim

x x c c

→ = (c: hằng số)

2 Định lí :

Nếu

0

lim ( )

x x f x L

0

lim ( )

x x g x M

0

lim ( ) ( )

x x f x g x L M

[ ]

0

lim ( ) ( )

x x f x g x L M

0

( )

lim

( )

x x

→ = (nếu M ≠ 0)

b) Nếu f(x) ≥ 0 và

0

lim ( )

x x f x L

thì L ≥ 0 và

0

lim ( )

x x f x L

c)

0

lim ( )

x x f x L

→ = =>

0

lim ( )

x x f x L

3 Giới hạn một bên :

0

lim ( )

x x f x L

<=>

lim ( ) lim ( )

x x f x x x f x L

lim k

x x

→+∞ = +∞; lim k x

neu k chan x

neu k le

→−∞

+∞

=

−∞

 lim

x c c

→±∞ = ; lim 0

k x

c x

→±∞ =

0

1 lim

x → −x = −∞;

0

1 lim

x → +x= +∞

x → − x =x → + x = +∞

2 Định lí : Nếu

0

lim ( )

x x f x L

→ = ≠ 0

và

0

lim ( )

x x g x

→ = ±∞ thì :…

* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0

0,

∞

∞, ∞ – ∞, 0.∞ thì phải tìm cách khử dạng vô định

Một số BÀI MẪU khử dạng vô định:

1 Dạng 0

0: a/

2

4

x

−

4

c/

=

0 3 2 3

lim

3 2 6

2 Dạng ∞

2

x x

b)

2

3 2

1

x

−

3 Dạng ∞∞∞ – ∞∞∞: Giới hạn này thường có chứa căn

1

2 2 4

x

x x

−

+

−

III Hàm số liên tục

1 Hàm số liên tục tại một điểm:

y = f(x) liên tục tại x0 ⇔

x x f x f x

2 Hàm số liên tục trên một khoảng:

y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó

3 Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]:

y = f(x) liên tục trên (a; b) và lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

x a f x f a x b f x f b

4 • Hàm số đa thức liên tục trên R • Hàm số phân thức, các hàm số

lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng

5 Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0 Khi đó:

• Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0

• Hàm số y = ( )

( )

f x

g x liên tục tại x0 nếu g(x0) ≠ 0

6 Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì ∃c ∈ (a; b): f(c) = 0

Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a) f(b)< 0 thì phương

trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c∈ (a; b)

Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]

Đặt m =

[ ; ]

min ( )

a b f x , M =

[ ;]

max ( )

a b f x Khi đó với mọi T ∈ (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b): f(c) = T

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	577,63 KB