Bài tập :Giải các phương trình sau: 1... PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC.
Trang 1PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1
2
x x
+ +
3) y = sin x + 4 4) y = cos 2
3 2
x − x +
5) y = 2
os2x
c 6) y = 2 sinx −
7) y = 1 osx
1-sinx
c
+
8) y = tan(x +
4
π )
9) y = cot(2x - )
3
π
10) y = 1 1
sinx − 2 osx c Chú ý : A
B có nghĩa khi B≠ 0; A có nghĩa khi A≥ 0
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
1) y = -2cosx 2) y = sinx + x
3) y = sin2x + 2 4) y = 1
2tan
2x 5) y = sin x + x2 6) y = cos 3 x
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ;
cot(-x) = -cotx ; sin2(-x) = [ ]2
sin(-x) = (-sinx)2 = sin2x
Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số
1) y = sinx trên ;
6 3
π π
2) y = cosx trên khoảng 2 3
;
3 2
π π
3) y = cotx trên khoảng 3
;
4 2
4) y = cosx trên đoạn 13 29
;
3 6
5) y = tanx trên đoạn 121 239
;
6) y = sin2x trên đoạn 3
;
4 4
π π
7) y = tan3x trên khoảng ;
12 6
π π
8) y =sin(x +
3
π
) trên đoạn 4 2
;
3 3
π π
Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng
2 k 2 k
Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng
3
Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng ( −π + π k 2 ; 2 k π )
Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng ( k 2 ; π π + π k 2 )
Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng
;
2 k 2 k
Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng ( k π π + π ; k )
Hsố y = f(x) đồng biến trên K ⇒y = A.f(x) +B Nồng biến trên K nếu A > 0 ; nghịch biến nếu A < 0
Bài 4* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn [ −π π ; ]
2) y = -2cos 2
3
x π
trên đoạn
2
;
3 3
π π
Bài 5*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y =
2sin(x-2
π
) + 3 2) y = 3 – 1
2cos2x 3) y = -1 - os (2x + )2
3
4) y = 1 + c os(4x )2 - 25) y = 2 sinx 3 +
6) y = 5cos
4
x + π
7) y = sin2 x − 4sinx + 3
8) y = 4 3 os 3 − c 2 x + 1
Chú ý :
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [ ] a b ; thì [ ]a ;ax ( ) ( ) ; min ( )[ ]a ; ( )
b b
m f x = f b f x = f a
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [ ] a b ; thì [ ]a ;ax ( ) ( ) ; min ( )[ ]a ; ( )
b b
m f x = f a f x = f b Chú ý : − ≤ 1 sinx 1 ; -1 cosx 1 ≤ ≤ ≤ ; 0 ≤sin2 x ≤1 ;
A2 + B ≥B
Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
1) y = sinx trên đoạn ;
2 3
2) y = cosx trên đoạn ;
2 2
π π
3) y = sinx trên đoạn ;0
2
π
4) y = cosπx trên đoạn 1 3
;
4 2
KIM
Trang 2PHẦN II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1) Phương trình lượng giác cơ bản:
sin u = sin v ⇔
+
−
=
+
=
π π
π 2
2
k v u
k v u
( k∈ Z) cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π ( k ∈ Z)
tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z)
cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z)
2) Phương trình bậc nhất đối với sinx & cosx:
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1)
trong đó a2 + b2≠ 0
Cách 1: acosx + bsinx = c
⇔ a2 + b2 cos( x − ϕ ) = c vớicos 2 2
b a
a
+
=
ϕ
asinx +bcosx = c ⇔ a2 + b2 sin( x + ϕ ) = c
với cos 2 2
b a
a
+
=
Cách 2 :
Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z
Với x ≠π + kπ đặt t = tan
2
x
ta được phương trình bậc hai theo t : (c + b)t2 – 2at + c – a = 0
Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a2 + b2 - c2≥ 0
Bài tập :Giải các phương trình sau:
1 3 cos x − sin x = 2 ,
2 cos x − 3 sin x = − 1
3 3 sin 3 x − 3 cos 9 x = 1 + 4 sin33 x,
4
4
1 ) 4 ( cos
sin4 x + 4 x + π =
5 cos 7 x − sin 5 x = 3 (cos 5 x − sin 7 x ), 6
tan x − 3cot x = 4(sin x + 3 cos ) x
7 3(1 cos 2 )
cos 2sin
x
x x
sin 2 sin
2
x + x =
3) Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :
Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương
trình có dạng : f[u(x)] = 0 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx
hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx
Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0
Bài tập: Giải các phương trình sau:
1 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2 2cos2x – 8cosx +5 = 0
3 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x
4 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1
5 sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x
6 x cos2 x
3
4
3 2 tan cos x = + x
8 5tan x -2cotx - 3 = 0 9 6sin 32 x + cos12 x = 4
10 4sin4x + 12cos2x = 7 4) Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx : a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai :
asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0 Cách 1 :
- Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm
- Xét cos x ≠ 0 chia hai vế của phương trình cho cos2x rồi đặt t = tanx
Cách 2: Thay sin2x =
2
1 (1 – cos 2x); cos2x =
2
1 (1+ cos 2x)
sinxcosx =
2
1 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x
b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x =
2
π
+ kπ
Bài tập :
1 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2
2 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0
3 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4
4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx
sin sin 2 2cos
2
x + x − x =
Giải các phương trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) HD : đặt t =sinx 2/ x cos2x
3
4 cos =
ĐS : x = k3π , x= ±
4
π +k3
π , x = ± 54π +k3π
3/ 1+ sin
2
x
sinx - cos
2
x
sin2x = 2cos2 ( −
4
π
2
x
) ĐS: sinx =1 v sin
2
x
= 1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x
HD : đặt t = tanx , ĐS : x = -
4
π + k
π 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 =
x
cos
1
ĐS : x = k2π , x = ±
3
π
+k2π 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x; ĐS : cosx = 0 , cos 2x =
2 1
7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x 8/ cos 3x – cos 2x = 2
KIM
Trang 39/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan
2
x
10/ sin2x+ 2tanx = 3
11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :đặt t =cos 2x
12/ tan3( x -
4
π ) = tanx - 1 ĐS : x = k
π v x =
4
π
+ kπ
13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2
HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx
14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x =
4
π 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX
,COSX.
Giải các phương trình sau :
1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0
2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ĐS : x=
4
2
π
k
5/ sin3(x -
4
π ) =
2 sinx ĐS : x =
4
π +kπ 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0
ĐS :x = ±
3
π + k
π v x=
4
π +
2
π
k
7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0
8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx
PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG
Giải các phương trình sau :
1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx
2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0
3/ 1 + sin3x + cos3x =
2
3 sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx
6/
3
10 cos sin sin
1
cos
1
= + +
x
7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6
8/
x
2
sin
2
+ 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x
10/ os3x – sin3x = - 1
11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx )
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC KHÁC
Giải các phương trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx
2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2
3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0
4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x +
4
1
5/ sin4 2
x
+ cos4 2
x
= 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x 9/ 3sin3x - 3cos 9x = 1 + 4sin3x
x
x x
sin cos
1
sin
−
+
11/ sin2 )
4 2 ( x − π
tan2x – cos2
2
x
= 0
12/ cotx – tanx + 4sinx =
x
sin
1
13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1
14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x )
2 sin 2 1
3 sin 3 cos (sin
+
+
x
x x
16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0
18/
2 4
4
(2 sin 2 )sin 3 tan 1
cos
x
x
− + =
19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan
2
x
) 20/ cotx – 1 = cos 2 2 1
sin sin 2
x
+
Trang 4KIM