Hàm số bậc 2

Phần 2 Hàm số bậc hai và bậc nhất0 Phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm 1 Phơng trình đờng thẳng đi qua 1 điểm và biết hệ số góc 2 Mối quan hệ giữa các đờng thẳng : vuông góc ,song song,

Phần 2 Hàm số bậc hai và bậc nhất

0 Phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm

1 Phơng trình đờng thẳng đi qua 1 điểm và biết hệ số góc

2 Mối quan hệ giữa các đờng thẳng : vuông góc ,song song,cắt nhau

3 Điểm cố định của họ đờng thẳng

4 Viết phơng trình parabol

5 Sự tơng giao giữa đờng thẳng và Parabol

6 Điều kiện tiếp xúc

A)- Hàm số y = ax + b

BT1

Tìm các gía trị của m để :

1) y =(m+2)x−1 đồng biến

2) y =(2m−3)x+5 ngịch biến

m

m

1

+

−

= đồng biến trên R

4)

m

m x m

m

2

+ +

−

= nghịch biến trên R

2

3

−

−

m

m

y đồng biến trên R

BT2 Gọi các đờng thẳng có phơng trình là :(d1) : y= 2x+3 (d2) : y= -x -3 (d3) : y = -ax + 13 Tìm a để các đờng thẳng trên đồng quy

BT3 Tìm m để các đờng thẳng theo thứ tự là đồ thị của các hàm số

3 2

6 3

+

− +

−

=

m

m x m

m

1

2 1

1 2

−

−

−

−

+

−

=

m

m x m

m

y cắt nhau tại một điểm thuộc trục tung

BT4 Cho hàm số

2

3 1

1

−

+ +

−

=

m

m x m

m y

(m # 1, m # 2) ,Tìm m để đồ thị hàm số :

1) Đi qua gốc toạ độ

2) Song song với trục hoành

3) Cắt trục hoành tại điểm x = - 3

4) Cát trục tung tại điểm y = -1

5) Đi qua điểm ( -1;1)

6) Là đờng phân giác góc x’Oy

7) Vuông góc với y= - x +2

B)- Hàm số y = ax 2

BT1 Cho hàm số y =(2m−1).x2 −2m

0 Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm (2,-4) Vẽ đồ thị với m tìm đợc

1 CMR đờng thẳng y=x-2 luôn cắt đồ thị trên với mọi giá trị của m

BT2 (Đề thi 2001-2002) Cho hàm số y=−2 x 2 có đồ thị là (P) Các điểm A(3;−18), B( 3;−6), C(−2;8) có thuộc đồ thị (P) không Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm D(m,m-1)

BT3 (Đề thi 2001-2002)Cho các điểm A(1;1), B(3;3) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B

0 Tìm giá trị của m để đờng thẳng y =(m2 −2).x+m2 −4m+2 song song với đờng thẳng AB đồng thời đi qua điểm (1;0)

BT4 (Đề thi 2002-2003) Cho hàm số y=(2m−3).x +m+1

1) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua điểm (1,4)

2) CMR đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m, tìm điểm cố định ấy

3) Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ

BT5 (Đề thi 2002-2003) Cho hàm số y x

2

1

−

=

0 Vẽ đồ thị của hàm số

1 Gọi A, B là 2 điểm trên đồ thị có hoành độ là 1 và -2 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và B

2 Đờng thẳng y=x+m-2 cắt đồ thị trên tại hai điểm phân biệt gọi x1 và x 2 là hoành độ của hai giao

điểm ấy Tìm m để : 2

2

2 1

2 2

2

BT6 Cho hàm số (D) 3

4

y Vẽ (D) Tính diện tích tam giác tạo thành giữa đờng thẳng (D) và hai trục toạ độ Tính khoảng cách từ o đến đờng thẳng (D)

BT7 Cho hàm số y= x−1 Vẽ đồ thị của hàm số Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phơng trình

1

−

= x

m

BT8 Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng : (d1): y=(m-1)x+2 (m#1) (d2): y=3x – 1

1) Song song với nhau 2/Cắt nhau 3/Vuông góc với nhau

BT9 Với giá trị nào của m thì ba đờng thẳng : (d1): y=2x-5 (d2): y=x+ 2 (d3): y=ax -12

đồng qui tại một điểm

BT10 CMR khi m thay đổi các đờng thẳng 2x+(m-1)y=1 luôn luôn đi qua một điểm cố định

BT11 Cho parabol (P) 2

2

1

x

y= và đờng thẳng (d): y=px+q Xác định p và q để đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1,0) và tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm BT12 Cho các điểm A(0;1), B(1;2)

0 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B

1 Điểm C(-1,-4) có nằm trên đờng thẳng đó không

BT13 Cho hàm số y = x−1+ x+2 Vẽ đồ thị của hàm số

0 Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phơng trình m= x−1+ x+2

BT1 Trong mặt phẳng toạ độ Xác định a để đồ thị của hàm số Cho hàm số y= x−1+ x+2 Vẽ

đồ thị của hàm số Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phơng trình m= x−1+ x+2

BT15 Cho parabol (P) 2

4

1

x

y= và đờng thẳng (D) qua hai điểm A,B trên (P) có hoành độ là -2 và 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên Viết phơng trình của đờng thẳng (D)

0 Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ x thuộc [-2;4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất

HD Lấy M(x 0, y 0 ) thuộc cung AB

1 Viết phơng trình (D ) song song AB và tiếp xúc (P) Tìm tiếp điểm I suy ra M trùng với I’

2 Kẻ IH vuông góc AB suy ra diện tích lớn nhất

BT16 Cho parabol (P) 2

4

1

x

y=− và điểm M(1,-2) Viết phơng trình của đờng thẳng (D) qua M có hệ số góc m CMR (D) luôn luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B khi m thay đổi Gọi xA, xB lần lợt là hoành

độ của A,B Xác định m x A2.x B +x B2.x A đạt GTNN và tính giá trị này Gọi A’,B’ lần lợt là hình chiếu của A,B lên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA’B’B Tính S theo m Xác định m để

S

HD(3-4) Sử dụng công thức hình thang

4

1

4

1

5 A'B'=OA'+OB'= x A + x B = x A −x B

6

B A A

A B A

A A B A

x x x

x x x

x x x x

S

− +

+

=

− +

=

2 2

2

2 2

) (

) (

8

1

) )(

4

1 4

1

(

7 Sử dụng hệ thức đối xứng giải câu (4) đổi biến số suy ra m= 1 và m=-2

BT17 Cho parabol (P) y= x2 Vẽ (P) Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ là -1 và 2 Viết phơng trình của đờng thẳng AB Viết phơng trình của đờng thẳng (D) song song AB và tiếp xúc với (P)

BT17 Cho parabol (P) 2

4

1

x

y=− và đờng thẳng (D) : y= m.x-2.m -1 Vẽ (P) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) Chứng tỏ (D) luôn luôn qua điểm cố định A thuộc (P)

BT18 Cho parabol (P) 2

4

1

x

y =− và điểm I(0;-2) gọi (D) đờng thẳng qua I có hệ số góc là m Vẽ (P) .Chứng tỏ rằng với mọi m (D) luôn luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt Tìm giá trị của m để AB ngắn nhất BT19 Cho parabol (P) 2

4

1

x

y= và điểm 









 −; 1 2

3

I gọi (D) đờng thẳng qua I có hệ số góc là m 1) Vẽ (P) và viết phơng trình của đờng thẳng (D)

2) Tìm giá trị của m sao cho (D) tiếp xúc với (P)

3) Tìm giá trị của m sao cho (D) và (P) có hai điểm chung phân biệt

BT20 Cho parabol (P) 2

2

1

x

y= và đờng thẳng (D) 1

2

y Vẽ (P) và (D) Bằng phép toán tìm toạ

độ giao điểm A,B của (P) và (D) Gọi C là điểm trên (P) có hoành độ là 1 Tính diện tích tam giác AB

HD Gọi H,L,K lần lợt là hình chiếu của A,B, C lên trục hoành khi đó S ABC =S ABKH - (S ACLH + S CBKL )

BT21 Cho parabol (P) 2

4

1

x

y=− và đờng thẳng (D) 2

2

−

y Vẽ (P) và (D) Bằng phép toán tìm toạ

độ giao điểm A,B của (P) và (D) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó tiếp tuyến của (P) song song với (D)

BT22(HD 1998-1999) Cho parabol (P) 2

2

1

x

y= và điểm M(-1,2) CMR phơng trình đờng thẳng đi qua M

có hệ số góc là k luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B với mọi giá trị của k

Gọi xA, xB lần lợt là hoành độ của A,B Xác định k để : 2 2 2 ( )

B A B A B

x + + + đạt GTLN và tính giá trị ấy BT23(HD 1999-2000) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (2,1) và (-1,-5)

0 Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành

BT24 Cho parabol (P) y=x2 −3x+2 và đờng thẳng (D) y = x+ m Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (d)

1) Cắt (P) tại 2 điểm phân biệt 2/ Tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm

BT25Cho parabol (P) 2

2

1

x

y= và điểm I(0;−1) Tìm a,b để đờng thẳng y=ax+b đi qua I và tiếp xúc với (P) BT26Cho parabol (P) y=x2 và đờng thẳng (D)

2

2

x m









 −

= CMR (D) và (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt M,N với mọi m Tìm các giá trị của m để tam giác OMN vuông tại O(0,0)

Phần 3

Phơng trình bậc hai

Nội dung

0 Công thức nghiệm ,định lý Viét

1 ứng dụng định lý viét

2 Biểu thức đối xứng của các nghiệm

3 Hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

4 Dấu của các nghiệm

5 Lập phơng trình bậc 2 nhận 2 số a, b là nghiệm

6 Tìm giá trị tham số biết các nghiệm của phơng trình thoả mãn ĐK cho trớc

BT1

Cho phơng trình x2 −4x+m+1=0

0 Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm

1 Tìm m sao cho phơng trình có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn điều kiện

2 10

2

2

1 +x =

x

BT2

Cho phơng trình x2 −2(m−1)x+2m−5=0

0 CMR phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

1 Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì

BT3

CMR nếu các hệ số của phơng trình bậc hai x2 + p1x+q1 =0 và x2 + p2x+q2 =0

Liên hệ với nhau bởi hệ thức

p1p2 =2(q1+q2)

thì ít nhất một trong hai phơng trình trên có nghiệm

HD ttính tổng delta của hai phơng trình suy ra ĐPCM

BT4

Cho phơng trình x2 −2(m+1)x+2m+10=0

0 Giải và biện luận số nghiệm của phơng trình

1 Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc m

BT5

Gọi α , β là hai nghiệm của phơng trình

3x2 +7x−4=0

Không giải phơng trình , hãy lập phơng trình bậc hai với các hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là

1

−

β

α

và

1

− α

β

BT6

Cho phơng trình (m−1)x2 −2mx+m+1=0

0 CMR phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m # 1

1 Xác định các giá trị của m để phơng trình có tích hai nghiệm bằng 5 từ đó tính tổng hai nghiệm của phơng trình

2 Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuọc vào m

3 Tìm m để phơng trình có nghiệm x1và x2 thoả mãn hệ thức

0

2

5 1

2 2

x

x x x

BT7

Giả sử a,b,c là ba cạnh của tam giác

CMR phơng trình

b2x2 +(b2 +c2 −a2)x+c2 =0

vô nghiệm

BT8

Cho phơng trình x2 −mx+m−1=0

0 CMR phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi ; tính nghiệm kép (nếu có) và giá trị của m tơng ứng

2

2

x

0 CMR A= m 2 – 8m+8

1 Tìm m sao cho A=8

2 Tìm GTNN của A và giá trị của m tơng ứng

BT9

Cho phơng trình x2 −2mx+2m−1=0

1) CMR phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2

2

.(

 CMR A= 8.m 2 – 18.m + 9

 Tìm m sao cho A=27

3) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia

BT10

Cho phơng trình (m−1)x2 +2(m−1)x−m=0

0 Tìm m để phơng trình có nghiệm kép , tính nghiệm kép đó

1 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

BT11

Cho phơng trình x2 −(2m−3)x+m2 −3m=0

0 CMR phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt khi m thay đổi

1 Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm thoả mãn 1<x1 <x2 <6

BT12

Cho hai phơng trình

x2 +x+a =0 và x2 +ax+1=0

Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung

HD sử dụng điều kiện cần và đủ suy ra a=-2

BT13

Cho phơng trình

x2 −(2m+1)x+m2 +m−6=0

0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đều âm

1 Tìm m để phơng trình có nghiệm x1và x2 thoả mãn hệ thức

3 50

2

3

1 −x =

x

BT14

Cho f(x)=x2 −2(m+2)x+6m+1

0 CMR phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m

1 Đặt t+2 Tính f(t) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2

BT15

0 Biết rằng x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình bậc hai ax2 +bx++c=0 Viết phơng trình bậc hai nhận x13 và x2 là 2 nghiệm

1 Giải bất phơng trình

(x2 +4x−10) (2 −7 x2 +4x−11)+7<0

BT16

Cho phơng trình

x2 −2(m+1)x+m2 −4m+5=0

0 Tìm m để phơng trình có nghiệm

1 Gọi x1và x2 là hai nghiệm của phơng trình Tính theo m 2

2

2

x

BT17

Cho phơng trình

mx2 −2(m+1)x+m+2=0

0 Tìm m để phơng trình có nghiệm

1 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau

Chú ý suy ra ĐK P<0 và S=0 suy ra m =-1

BT18(HD 2002-2003)

Cho phơng trình x2 −5x+1=0 Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình Không giải phơng trình hãy tính các giá trị của các biểu thức sau :

1) 2

2

2

2) x1 x1 +x2 x2

3)

) 1 ( ) 1 (

) (

2 2

2 2

2 1

2

1

2 1 2 1

2 2

2

1

− +

−

+ +

+

x x x

x

x x x x x x

BT19(HD-96-97)

Cho phơng trình

(m−1)x2 +(m+2)x+1=0

0 Giải phơng trình khi m = 0

1 Tìm m để phơng trình có nghiệm kép

2 Tìm m để phơng trình có nghiệm bằng -3

BT20(HD-1998)

Cho phơng trình

x2 −2(m+1)x+m2 +3m+2=0

0 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

1 Tìm m để phơng trình có nghiệm x1và x2 thoả mãn hệ thức

2 12

2

2

1 +x =

x

BT21(HD 1999-2000)

Cho phơng trình

x2 −2mx+2m−3=0

0 CMR phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m

1 Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

2 Tìm m để phơng trình có nghiệm x1và x2 thoả mãn hệ thức

(1 ) (1 2) 4

1

2 2

2 2

2

x

BT22(HD 2003-2004)

Cho phơng trình 2x2 −7x+1=0 Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình

Tính x1 x2 +x2 x1

BT23

Gọi α , β là hai nghiệm của phơng trình

x2 −x−1=0

Không giải phơng trình , hãy lập phơng trình bậc hai với các hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là

1

−

β

α

và

1

− α

β

BT27

Hãy lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm x1, x2, thoả mãn x1 x2 = 4 và

4

7 1

2 2

2 1

1

−

−

=

−

−

m x

x x

x

BT28

Cho phơng trình

x2 −(2+m)x+m2 −1=0

0 Gọi x1, x2, là 2 nghiệm của phơng trình , Tìm m thoả mãn x1 −x2 =2

1 Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của m để phơng trình có 2 nghiệm khác nhau

BT29

Cho phơng trình

x2 −(2m+3)x+m2 +2m+2=0

0 Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2

1 Viết phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm là 1 ; 1 ;

2

1 x

x

2 Tìm hệ thức độc lập với m giữa các nghiệm x1, x2

3 Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm

x1 =2.x2

BT30

Cho phơng trình

x2 −2(2m+1)x+3+4m=0

0 Tìm m để phơng trình có nghiệm x1, x2

1 Tìm hệ thức độc lập với m giữa các nghiệm x1, x2

2 Tính theo m 3

2

3

x

3 Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia

4 Viết phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là 2

2

2

1; x

x

BT31

Cho phơng trình

x2 −mx+m−1=0

0 Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x1, x2 Tính giá trị

1

2 2 2

2 1

2 2

2 1

1

x x x x

x x M

+

− +

= Từ đó tìm m để M > 0

2

2

BT32

Cho phơng trình

2x2 −(1+m)x+m−1=0

0 Giải phơng trình khi m= 1

1 Tìm m để hiệu các nghiệm bằng tích của chúng

BT33

Cho phơng trình

(m2 +m+1)x2 −(m2 +8m+3)x−1=0

1) CMR x1.x2< 0

2) Gọi 2 nghiệm của phơng trình là x1.x2 Tìm GTLN, GTNN của S= x1+x2

BT34

Cho 2 phơng trình x2 +(3m+2)x−4=0 và x2 +(2m+3)x+2=0 Tìm m để 2 phơng trình có nghiệm chung

BT35

Cho 2 phơng trình mx2 −2(m+2)x+m=0 Tìm m để :

1) Phơng trình có nghiệm

2) Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm

BT36

Cho phơng trình x2 +x+m=0 và x2 +mx+1=0 Tìm m để :

3) 2 phơng trình tơng đơng

2 phơng trình có nghiệm