Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 60 0.. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.. Gọi I là tõm của đường trũn.. Viết phương trỡnh đường thẳng AB...
Trang 1Đề thi thử đại học năm 2009
Môn toán - Khối A Thời gian 180 phút ( không kể giao đề )
Phần A : Dành cho tất cả các thi sinh
Câu I (2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (c) của hàm số : y = x3 – 3x 2 + 2
2) Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình : 2 2 2
1
m
x x
x
−
Câu II (2,0 điểm ) 1) Giải phơng trình : cos 11 5 sin 7 2 sin 3 2009
− + − = +
2) Giải hệ phương trỡnh:
2
2
3
1 4
x
Câu III(2,0 điểm ) 1) Tính tích phân : 3
1
( 4)
−
+ + + +
∫
2) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 2-x + 2-y +2-z = 1 .Chứng minh rằng :
4 4 4
x y z+ + y z x+ + z x y+
Câu IV ( 1,0 điểm ) :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 60 0 Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho
AM = 3
3
a , mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N Tính thể tích khối chóp S.BCNM
Phần B ( Thí sinh chỉ đợc làm một trong hai phần ( phần 1 hoặc phần 2)
Phần 1 ( Dành cho học sinh học theo ch ơng trình chuẩn )
Câu V.a ( 2,0 điểm ) 1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường trũn ( C) :
2 2 2 6 15 0
x +y − x+ y− = và đường thẳng (d) : mx y− −3m=0 ( m là tham số) Gọi I là tõm của
đường trũn Tỡm m để đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm phõn biệt A,B thoả món chu vi ∆IAB bằng 5(2 + 2)
2 Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đờng thẳng :
d 1: 2 1
x− = y = z+
− − ; d2 :
x− = y− = z
− & 2 điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).
1) Chứng minh rằng d 1 và d 2 song song Viết phơng trình mặt phẳng ( P) qua d 1 và d 2
Tìm điểm I trên đờng thẳng d 1 sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất
Câu VI.a (1.0điểm) Giải phơng trình : log (9 x+1)2 +log 2 log3 = 3 4− +x log (27 x+4)3
Phần 2 ( Dành cho học sinh học ch ơng trình nâng cao )
Câu V.b (2,0điểm) 1) Trong mặt phẳng Oxy cho đường trũn (C) tõm I(-1; 1), bỏn kớnh R=1, M là
một điểm trờn ( ) :d x y− + = 2 0 Hai tiếp tuyến qua M tạo với (d) một gúc 450 tiếp xỳc với (C) tại
A, B Viết phương trỡnh đường thẳng AB.
2.Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: ( ) : 1
1 1 2
x y z
d = = và
2
( ) :
2 1 1
d + = = −
Tỡm tọa độ cỏc điểm M thuộc ( )d1 và N thuộc ( )d2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt
phẳng ( )P : – 2010 0x y + z + = độ dài đoạn MN bằng 2.
Trang 2CâuVI.b ( 1,0 điểm) Cho phơng trình : 2 2
log x+2 log x+ − − =1 m 2 0 , ( m là tham số ) Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;5 3
……….Hết ………
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Hớng dẫn giải : Phần A : Dành cho tất cả các thí sinh
Câu I : 1) ( Thí sinh tự khảo sát và vẽ đồ thị )
2) Đồ thị hàm số y = (x2 − 2x− 2) x− 1 , với x ≠ 1 có dạng nh hình vẽ :
Dựa vào đồ thị ta có : *) Nếu m < -2 : Phơng trình vô nghiệm
*) Nếu m = - 2 : Phơng trình có hai nghiệm *) Nếu – 2 < m < 0 : Phơng trình có 4 nghiệm phân biệt *) nếu m ≥ 0 : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt Câu II : 1) cos 11 5 sin 7 2 sin 3 2009
( 1) ⇔ sin 5 sin 3 2 cos3
− − − =
cos cos 2 cos
x π
⇔ cos3 0
2
x = hoặc cos( ) 2
x+π = − Giải các phơng trình cơ bản tìm đợc nghiệm :
2 , x= 2 , x = k2
k
2) Đk y≠ 0
2
2
3 3
3
4
4
x
x
y y y
đặt
1
a x
y x b y
= +
=
Ta đợc
1
b
1 2
x y
y x x
x
=
+ = =
Câu III 1) Tính tích phân I = 3
1
( 4)
−
+ + + +
∫
y = m
1+
1 2
m
1 2
Trang 3Đặt t = x+1 Ta có I = 2( ) 2 2
t
t t
+
+ +
0
6
t
t t
+
+ +
∫
= - 8 +
∫ ∫ = - 8 + 28ln2 – 8 ln3 2) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 2-x + 2-y +2-z = 1 .Chứng minh rằng :
4 4 4
x y z+ + y z x+ + z x y+
Đặt 2x = a , 2y =b , 2z = c Từ giả thiết ta có : ab + bc + ca = abc
Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng : 2 2 2
4
a bc b ca c ab
+ +
4
a abc b abc c abc
+ +
a b a c b c b a c a c b
+ +
a
a b a c
+ + ( 1) ( Bất đẳng thức Cô si)
b
b c b a
c a c b
Cộng vế với vế các bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy ra điều phải chứng minh Câu IV :
Tính thể tích hình chóp SBCMN
( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD
Ta có : BC AB BC BM
BC SA
⊥
⊥
Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đờng cao
a a
MN SM MN
−
Suy ra MN = 4
3
a BM = 2
3
a Diện tích hình thang BCMN là :
4
3
a a
BM
A S
M
N
D H
Trang 4Hạ AH ⊥BM Ta có SH⊥BM và BC ⊥(SAB) ⇒ BC ⊥ SH Vậy SH ⊥( BCNM)
⇒ SH là đờng cao của khối chóp SBCNM
Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM
SB = MS = 1
2 Vậy BM là phân giác của góc SBA ⇒ ãSBH= 30 0 ⇒ SH = SB.sin300 = a
Gọi V là thể tích chóp SBCNM ta có V = 1 .( )
3SH dtBCNM = 10 3 3
27
a
Phần B (Thí sinh chỉ đợc làm phần I hoặc phần II)
Phần I (Danh cho thí sinh học chơng trình chuẩn)
Câu V.a.2) Véc tơ chỉ phơng của hai đờng thẳng lần lợt là: uur1(4; - 6; - 8)
2
u
uur ( - 6; 9; 12) +) uur1 và uuur2 cùng phơng
+) M( 2; 0; - 1) ∈ d1; M( 2; 0; - 1) ∉ d2
Vậy d1 // d2
*) Véc tơ pháp tuyến của mp (P) là nr = ( 5; - 22; 19)
(P): 5x – 22y + 19z + 9 = 0
2) uuurAB = ( 2; - 3; - 4); AB // d1
Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua d1
Ta có: IA + IB = IA1 + IB ≥ A1B
IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A1B
Khi A1, I, B thẳng hàng ⇒ I là giao điểm của A1B và d
Do AB // d1 nên I là trung điểm của A1B
*) Gọi H là hình chiếu của A lên d1 Tìm đợc H 36 33 15; ;
29 29 29
A’ đối xứng với A qua H nên A’ 43 95; ; 28
29 29 29
I là trung điểm của A’B suy ra I 65; 21; 43
29 58 29
− −
27
log 2 log = 4 − +x log (x+ 4) (1)
1
x x
− < <
≠ −
(1) ⇔ log3(x + 1) + log34 = log3(4 – x) + log3(x + 4)
⇔ log34 x+ 1 = log3(16 – x2) ⇔ 4 x+ 1 = 16 – x2
Giải phơng trình tìm đợc x = 2 hoặc x = 2 - 24
Phần II.
Câu V b.1) Dễ thấy I∈ ( )d Hai tiếp tuyến hợp với (d) một gúc 450 suy ra tam giỏc MAB vuụng cõn và tam giỏc IAM cũng vuụng cõn Suy ra: IM = 2
( ) (
M∈ d ⇒M a; a+2), uuurIM = +(a 1;a+1), 2 2 1 2 0
2
a
a
=
= ⇔ + = ⇔ = −
Suy ra cú 2 điểm thỏa món: M1(0; 2) và M2 (-2; 0)
+ Đường trũn tõm M1 bỏn kinh R1=1 là (C1): 2 2
4 3 0
x +y − y+ = .
Khi đú AB đi qua giao điểm của (C ) và (C1) nờn AB:
x +y − y+ =x +y + x− y+ ⇔ + − =x y
+ Đường trũn tõm M2 bỏn kinh R2=1 là (C2): 2 2
4 3 0
x +y + x+ =
Khi đú AB đi qua giao điểm của (C ) và (C2) nờn AB:
x +y + x+ =x +y + x− y+ ⇔ + + =x y
+ KL: Vậy cú hai đường thẳng thỏa món: x y+ − = 1 0 và x y+ + = 1 0
2) M N, ∈ ( ), ( )d1 d2 nờn ta giả sử M t t( ; ; 2 ), ( 1 2 ; ;11 1 t1 N − − t t2 2 +t2) ⇒NMuuuur= + (t1 2t2+ 1;t1−t2; 2t1− −t2 1)
+ MN song song mp(P) nờn: n NMuur uuuurP = ⇔ 0 1.(t1 + 2t2 + − 1) 1.(t1 −t2 ) 1(2 + t1 − − =t2 1) 0
I
A
B
A1
Trang 52 1 ( 1 1; 2 ;3 1 1 1)
⇔ = − ⇒uuuur= − + −
+ Ta cú:
1
1
0
2 ( 1) (2 ) (3 1) 2 7 4 0 4
7
t
t
=
=
+ Suy ra: M(0; 0; 0), ( 1; 0;1)N − hoặc ( ; ; ), ( ;4 4 8 1 4 3; )
7 7 7 7 7 7
+ Kiểm tra lại thấy cả hai trường hợp trờn khụng cú trường hợp nào M∈ ( ).P KL: Vậy cú hai cặp M, N như trờn thoả món.
b.2) Đặt t = 2
5 log x+ 1 ta thấy nếu x ∈ 1;5 3
thì t ∈ [ ]1;2 Phơng trình có dạng: t2 + 2t – m – 3 = 0; t ∈[ ]1;2
⇔t2 + 2t – 3 = m ; t ∈[ ]1;2 Lập bất phơng rình hàm f(t) = t2 + 2t – 3 trên [ ]1;2 ta đợc 0 ≤ f(t) ≤ 5
Đ K của m là: 0 ≤ m ≤ 5
