I: PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH.. Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.. Gọi M và N lần lợt là các trung điểm của các cạnh SB và SC
Trang 1đề thi thử đại học - NĂM 2010 Môn Toán
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề) I: PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH .
Câu I Cho hàm số
1
1 2
−
+
=
x
x
y có đồ thị (C).
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
2 Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B
Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất
Câu II 1 Giải phơng trình: x x x sin2x
2
1 cos 2 ) 2
cos 2 (sin
2 Giải hệ phơng trình :
=
− + +
= +
− +
−
0 22 2
0 9 6 4
2 2
2 2 4
y x
y x
y y x x
.
Câu III 1.Tính tích phân sau: 2
0
3sinx cos
x
x
π
−
=
∫
2 Cho 0 x y z< ≤ ≤ : Chứng minh rằng
2
2
3
2 4 2 2
2
x y
x y
+
Câu IV Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M và N lần lợt
là các trung điểm của các cạnh SB và SC Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN, biết rằng mặt
phẳng ( AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
II, PHầN RIÊNG (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 )
Phần 1( Dành cho thí sinh theo chơng trình chuẩn )
Câu Va 1 Cho đường trũn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 và đường thẳng d: x + y + m = 0 Tỡm m để trờn đường thẳng d cú duy nhất một điểm A mà từ đú kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường trũn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giỏc ABC vuụng.
2. Viết phương trỡnh đường thẳng d đi qua điểm M(- 4; 5;3- ) và cắt cả hai
2 7 0
d
− + =
- .
.Câu VIa Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
x10 2+8x+4=m(2x+1). x2 +1.
Phần 2 ( Dành cho thí sinh theo chơng trình nâng cao )
Câu Vb 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0); Q(1;2) lần lợt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông.
2 ) Trong khụng gian Oxyz cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D” cú A(0;0;0); B(1;0;0);
D(0;1;0),A’(0;0;1) Điểm M là trung điểm của AB , N là tõm hỡnh vuụng ADD’A’ a) Viết phương trỡnh mặt cầu (S) đi qua C,D’M,N
b) Tớnh bỏn kớnh đường trũn là giao của mặt cầu (S) với mặt cầu đi qua A’,B,C’,D
CâuVII.b ( 1,0 điểm) Tớnh tổng: 0 4 8 2004 2008
2009 2009 2009 2009 2009
S C= +C +C + +C +C
******** Hết ********
Kỳ thi thử đại học- cao đẳng
năm 2010
Hớng dẫn chấm môn toán
đề chính thức
Trang 2Câu Nội dung Điểm I.1
Khảo sát hàm số y=
1
1 2
−
+
x
1 Tập xác định: R\{1}
2 Sự biến thiên:
) 1 (
3 )
1 (
) 1 2 ( ) 1 ( 2 '
−
−
=
−
+
−
−
=
x x
x x
y
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; 1) và (1;+∞)
Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị
0,25
−
+
1 2 lim
lim
1
x y
x x
= +∞
−
+
1 2 lim
lim
1
x y
x x
Do đó đờng thẳng x=1 là tiệm cận đứng
2
1
1 2 lim
−
+
=
±∞
→
±∞
x y
x x
Vậy đờng thẳng y= 2 là tiệm cận ngang
0,25
* Bảng biến thiên:
-∞ +∞ 2
3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số.
0,5
I.2 Với M bất kì ∈ (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B Tìm M để chu vi tam
Gọi M
−
+ 1
3 2
;
0 0
x
* Tiếp tuyến tại M có dạng:
1
3 2 ) (
) 1 (
3
0 0
2
−
=
x x
x x
y
Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A
−
+
1
6 2
;
1
0
x
B(2x 0 -1; 2) ; I(1; 2)
* Ta có: S∆IAB =
2
1
IA IB= 21 6 1 2 0 1 2.3 6
0
=
=
−
⋅
−
0,25
0,25
* ∆IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi ∆IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA=
Trang 3Câu Nội dung Điểm
IB (HS tự chứng minh)
−
=
+
=
⇒
−
=
3 1 1
2 1
6
0
0 0
x x
x
* Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện
M 1 (1+ 3;2+ 3)
M 2 (1− 3;2− 3)
Khi đó chu vi ∆AIB = 4 3+2 6
0,5
II.1 Giải phơng trình lợng giác
x 2 sin 2
1 x cos 2 ) 2
x cos 2
x (sin
2
x cos 2
x sin 1 2
x cos 2
x sin
+
⇔
+
=
+
⇔
2
x sin 2
x cos 2
x sin 2
x cos x sin 2 x sin 2
1 1 2
x cos 2
x sin
3
0 2
3 2
x cos 2
x sin ) x sin 2 ( 2
x sin 2
x
+
* 2+sinx=0⇔sinx=−2 (vô nghiệm)
0,5
*
2 2
3 4
x sin 2
3 4
2
x sin 2 2
3 2
x cos 2
x
+ π
⇔
−
=
+π
⇔
−
=
2
π
0,5
II.2 Giải hệ phơng trình:
=
− + +
= +
− +
−
0 22 2
0 9 6 4
2 2
2 2 4
y x y x
y y x x
* Hệ phơng trình tơng đơng với
=
− + +
=
− +
−
0 22 )
2 (
4 ) 3 ( ) 2 (
2 2
2 2
2
x y x
y
Dat
2 2 3
− =
− =
* Thay vào hệ phơng trình ta có:
2 2 4
u v
u v u v
+ =
2
0
u
v
=
=
hoặc
0 2
u v
=
=
1,00
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 4Câu Nội dung Điểm
thế vào cách đặt ta đợc các nghiệm của hệ là : 2
3
x y
=
=
3
x y
= −
=
5
x y
=
=
5
x y
= −
=
;
2
0
2 2 0 0
4
x
x x
dx x
c x
π
π π
π
π
=
−
∫
∫
2
2 0
1
2 8
dx x c
π
π
π
−
∫
2 0
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 5C©u Néi dung §iÓm
IV TÝnh thÓ tÝch khèi chãp
Ta cã c¸c tam gi¸c SMN vµ AMN c©n t¹i S vµ A Gäi I lµ trung ®iÓm cña MN suy ra SI
⊥ MN vµ AI ⊥ MN Do (SBC) ⊥ (AMN) nªn SI ⊥ (AMN)
6
1 S
SI 3
1
VS.AMN = AMN =
1,00
S
A
C B
M
N I
K
Cho 0 x y z< ≤ ≤ : Chứng minh rằng
2
2
3
2 4 2 2
2
x y
x y
+
2
z y z x
x y
+
(1)
Đặt a=(2z+y); b=2z+x; c=2x+y
c
a c b c b c a c c ab ab c
Ta có:
2 2
(3) 2
b c c b
c b c
ab
a c b c
− +
Tương tự: ( )4
2
ab
b c a c− ≤
2c ab c≤ +2 ab( )5
Cộng (3); (4); (5) ta được: a c b c( − +) b c a c( − +) 2c ab ≤2ab c+ 2 đpcm
Dấu bằng xảy ra khi: a=b=2c
a 2z+y=2z+x=4x+2y
b x=y=2
5z
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 6Câu Nội dung Điểm
Gọi K là trung điểm của BC suy ra I là trung điểm của SK, mà AI ⊥ SK nên tam giác
ASK cân tại A Do đó
2
3 a AK
0,5 0,5
MN =
4
a MN 2
1 NI , 2
a BC 2
1
=
=
4
3 a 2
SA 2
SC
4
2 a 16
a 16
a 3 NI
SN
1,00
4
10 a 8
a 4
a 3 SI
SA AI
2 2 2
96
5 a 2
a 4
10 a 4
2 a 6
1 V
3 AMN
.
0, 5
0, 5
Chú ý: Thí sinh có thể sử dụng công thức:
4
1 SC
SN SB
SM SA
SA V
V
ABC S
AMN
1,00
+ Ta có: (d 1 ) // (d 2 ) ( HS phải chứng minh đợc)
0,25
Từ phương trỡnh chớnh tắc của đường trũn ta cú tõm I(1;-2), R =
VIa
=
−
=
⇔
=
−
⇔
=
−
⇔
7
5 6
1 2
3 2
1
m
m m
Nhận xét : 10x2+8x+4= 2(2x+1)2 +2(x2 +1)
Phơng trình tơng đơng với : 2 ( ) 2 0
1
1 2 ( ) 1
1 2
2
2
+
+
− +
+
x
x m x
x
x
+
+ 1
1 2
2 Điều kiện : -2< t ≤ 5 Rút m ta có: m=
t
t 2
2 2 +
Lập bảng biến thiên của hàm số trên (−2, 5] , ta có kết quả của m để phơng
trình có hai nghiệm phân biệt là:
5
12
4<m≤ hoặc -5 < m<−4
0,25
0,75
Trang 7Câu Nội dung Điểm Vb.1 Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2;1) ; N(4; -2)
; P(2; 0); Q(1; 2) lần lợt thuộc cạnh AB; BC; CD và AD Hãy lập phơng trình các
cạnh của hình vuông trên.
1,00 + Giả sử đờng thẳng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là n ( a ; b )
(a 2 + b 2 ≠0) => véc tơ pháp tuyến của BC là:n 1( − b ; a ).Phơng trình AB có dạng:
a(x-2) +b(y-1)= 0
⇔ax + by -2a-b =0
BC có dạng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0 ⇔ - bx + ay +4b + 2a =0
Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC)
0,5
−
=
−
=
⇔ +
+
= +
−
a b
a b
b a
a b b
a
2 2 2
2
Tr
ờng hợp 1: b= -2a; Phơng trình các cạnh cần tìm là:
AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0
BC: 2x +y 6= 0; AD: 2x + y -4 =0–
Tr
ờng hợp 2: b= -a Khi đó
AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x y + 2= 0–
AD: -x y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0–
0,25 0,25
Vb
2
Cho (∆):
=
+
−
=
+
=
4
2 1 3
z
t y
t x
; (∆’)
+
=
=
+
−
=
u z
u y
u x
4 2 2
2 2
Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (∆) và (∆’)
1,0 0
+ Gọi đờng vuông góc chung của (∆) và (∆’) là d
Khi đó [ ] , ' ( 4 ; 2 ; 1 )
2
1
−
−
=
u d
+ Gọi (α) là mặt phẳng chứa (∆) và (d) thì (α) qua N(3; -1; 4) và có véc tơ pháp
tuyến: n 1 = [ u , u d] = ( − 2 ; 1 ; − 10 )
Vậy phơng trình của (α) là: 2x- y + 10z - 47 =0
+ Gọi (β) là mặt phẳng chứa (∆’) và (d) thì (β) qua M(-2; 0; 2) và có véctơ pháp
tuyến: n 2 = [ u ,' u d] = ( 6 ; 18 ; − 12 )
Vậy phơng trình của (β) là: x + 3y- 2z + 6 =0
Do đó đờng vuông góc chung của ∆ và ∆’ là giao tuyến của hai mặt phẳng:
2x y + 10z 47 = 0 và x + 3y 2z + 6 =0– – –
+Lập phơng trình tham số của (d).(HS tự làm)
0,25
0,25
0,25
0,25
2009 2009 2009
(1 )+i =C +iC + + i C
2009 2009 2009 2009 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
2
2009 2009 2009 2009 2009 2009
A C= −C +C −C + −C +C
2009 2009 2009 2009 2009 2009
B C= +C +C +C + C +C
(1 )+i = +(1 )[(1 ) ]i +i = +(1 ).2i =2 +2 i.
0,25 0,25 0,25
Trang 8Câu Nội dung Điểm
(1 )+i nờn A=21004.
2009 2009 2009 2009
2009 2009 2009 2009 2009 2009
C +C + +C =C +C + +C
2009 2009 2009 2009 2009 2009
(C +C + + C ) (+ C +C + + C ) 2= Suy ra:B=22008
+ Từ đú ta cú: S=21003+22007.
0,25
Chý ý học sinh làm cách khác kết quẩ đúng vẫn đợc điểm tối đa