a Gọi I là trung điểm đoạn BC .Tính góc giữa SI và hình chiếu của nó trên mặt phẳng ABC & tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp SABC theo a Cõu V 1điểm: Cho x, y, z > 0.. M là trung
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 MễN:TOÁN-KHỐI A&B
I: PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
CõuI (2điểm): Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 4 (C)
1: Khảo sỏt hàm số
2: Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2 ; 0) cú hệ số gúc k.Tỡm k để (d) cắt
(C) tại ba điểm phõn biệt A ; M ; N sao cho hai tiếp tuyến của (C ) tại M và N
vuụng gúc với nhau
Cõu II (2 điểm):
1: Giải phương trỡnh: x x x sin 2x
2
1 cos 2 ) 2
cos 2 (sin
3 3 − 3 = + 2: Giải bất phương trỡnh: x2 + 35 5 < x− + 4 x2 + 24
Cõu III (1điểm): Tớnh tớch phõn : I =
5
2
ln( 1 1)
x
dx
− +
∫
Cõu IV (1điểm): Cho tam giác ABC cân nội tiếp đờng tròn tâm J bán kính R=2a (a>0)
,góc BAC =1200.Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm S sao cho SA = 3.
a Gọi I là trung điểm đoạn BC Tính góc giữa SI và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (ABC) & tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp SABC theo a
Cõu V (1điểm): Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng: 32 x2 23 y2 32 z2 12 12 12
x y + y z +z x ≤ x + y + z
PHẦN RIấNG : Thớ sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B
A.Theo chương trỡnh chuẩn (2điểm)
Cõu VIa: 1) Cho ∆ABC cú diện tớch bằng 9
2; Điểm A(1;2); B(-2;3) trọng tõm G của ∆
ABC thuộc đường thẳng (d): x + y – 2 = 0.Tỡm tọa độ điểm C
2) Cho hỡnh lập phương ABCDA1B1C1D1 cú điểm A(0;0;0); B(2;0;0); D(0;2;0); A1(0;0;2)
M là trung điểm AB; N là tõm của hỡnh vuụng ADD1A1 Tớnh bỏn kớnh của đường trũn là giao tuyến của mặt cầu đi qua C ; D1 ; M ; N với mặt phẳng MNC1
Cõu VII/a: Cho n là số tự nhiờn n≥2.Tớnh
1
2 1 2 2 2 2
n
k
=
B Theo chương trỡnh nõng cao (2điểm)
Cõu VIa.1) Cho (P) y2 = x và đường thẳng (d): x – y – 2 = 0 cắt (P) tại hai điểm A và B Tỡm điểm C thuộc cung AB sao cho ∆ABC cú diện tớch lớn nhất
2) Trong khụng gian Oxyz cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D” cú A(0;0;0);
B(1;0;0);D(0;1;0),A’(0;0;1) Điểm M là trung điểm của AB , N là tõm hỡnh vuụng ADD’A’ Tớnh bỏn kớnh đường trũn là giao của mặt cầu (S) đi qua C,D’M,Nvới mặt cầu đi qua
A’,B,C’,D
Cõu VII/b: Giải hệ phương trỡnh 2010
2( 1) log
x
y x y
−
Hết
Ghi chỳ :-Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm
Trang 2ĐÁP ÁN CÂ
I/1
I/2
Khảo sát hàm số y=x3-3x2+4
1:Tập XĐ:R
2:Sự biến thiên
+Giới hạn
lim ; lim
→−∞ = −∞ →+∞ = +∞
+Bảng biến thiên
+y'=3x2-6x=0⇔x=0;x=2
Hàm số đồng biến (-∞;0) và (2;+ ∞);nghịch biến (0;2);Cực đại tại
(0;4);Cực tiểu tại (2;0)
x -∞ 0 2 +∞
y' + 0 - 0 +
y
3:Đồ thị
+y"=6x-6=0 ⇔x=1 Điểm uốn đồ thị U(1;2)
+Đồ thị
………
+PT đường thẳng d: y=k(x-2)
+Hoành độ A;M;N là nghiệm PT: x3-3x2+4=k(x-2)
⇔(x-2)(x2-x-2-k)=0 ⇔x=2=xA;f(x)=x2-x-2-k=0
+PT có 3nghiệm phân biệt⇔f(x)=0 có 2nghiệm phân biệt khác 2
f
∆ >
1 2
M N
+Tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau⇔y'(xM).y'(xN)=-1
⇔(3x M2 − 6x M)(3x2N − 6 )x N = − 1 ⇔9k2+18k+1=0 3 2 2
3
PT tương đương
0,2 5
0,2 5
025
025
025
025
Trang 31
II/
2
III
x 2 sin 2
1 x cos 2 ) 2
x cos 2
x
(sin
2
x cos 2
x sin 1 2
x cos 2
x sin
+
⇔
+
=
+
⇔
2
x sin 2
x cos 2
x sin 2
x cos x sin 2 x sin 2
1 1 2
x cos 2
x sin
3
0 2
3 2
x cos 2
x sin ) x sin 2 ( 2
x sin 2
x
+
⇔
* 2 + sin x = 0 ⇔ sin x = − 2 (v« nghiÖm)
*
2 2
3 4
x sin 2
3 4
2
x sin 2 2
3 2
x cos 2
x
⇔
−
=
⇔
−
=
cña ph¬ng tr×nh lµ: x k2 (k )
2
π
BPT tương đương
11
5 4
x
Xét:
a)Nếu x 4
5
≤ không thỏa mãn BPT
b)Nếu x>4/5: Hàm số y= (5x− 4)( x2 + 35 + x2 + 24) với x>4/5
y'=5( 2 35 2 24) (5 4)( 21 21 )
+ + >0 mọi x>4/5
Vậy HSĐB +Nếu 4/5<x≤1 thì y(x) ≤11
+Nếu x>1 thì y(x)>11 Vậy nghiệm BPT x>1
………
Đặt t= x− + 1 1
* x = 2 ⇒t = 2
*x = 5 ⇒t = 3 *dx=2(t-1)dt I=2
2
3
2 2
2
2 ln ln ln ln 3 ln 2
∫
………
05
025 025 025 025
025 025
025
025
025 025
05
Trang 4V
VI
VI
A
S
D E
+Gọi D là trung điểm BC ⇒AD⊥BC (Vì ABC cân tại A)
⇒AD⊥(SBC)
+Gọi E trung điểm SB⇒AE⊥SB (Vì SAB đều)
⇒DE⊥SB (Định lý 3 đường vuông góc)
+SC//DE (DE đường trung bình tam giác)
⇒SC⊥SB Vậy tam giác SBC vuông tại S
+AD là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.Nên tâm O mặt cầu ngoại tiếp
SABC thuộc AD.Mặt khác O cách đều A; B; C nên O là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC.Vậy bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng bán kính
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
+BC = a2 +b2 ⇒cosC=DC 2 2 sin 3 2 2
C
+ R =
2
−
………
+Mặt cầu đi qua C(2; 2; 0);D1(0; 2; 2);M(1; 0; 0);N(0; 1; 1) có phương trình:
x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0 nên
a d
+ + + =
+ + =
+ + + =
Suy ra tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu là: I(5/2;1/2;5/2); R = 35
2 +(MNC1) đi qua M(1;0;0) nhận MC NCuuuur uuuur1 ; 1 = (0;3; 3) − làm véc tơ pháp tuyến có
PT: y – z = 0
+ h = d(I;(MNC1)) = 2
+ Bán kính đường tròn giao tuyến là 2 2 3 3
2
R −h =
………
+Đặt a= x > 0;b= y > 0;c= z > 0
+VT= 6 4 6 4 6 4 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2
a b +b c +c a ≤ a b + b c + c a =a b +b c +c a
(Theo BĐT CôSi)
+VP= 4 4 4 2 2 2 2 2 2
a +b +c ≥ a b +b c +c a
(Áp dụng BĐT CôSi cho từng cặp)
ĐPCM Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1 hay x = y = z = 1
………
025
025
025
025
025
025
025 025
05
05
025
025
Trang 5VI
I/b
VI
I/a
VI
I/b
Phần riêng theo chương trình NC
+Tọa độ A;B là nghiệm hệ:
2
2 0
x y
=
− − =
A(1;-1); B(4;2)
+C(yo2;yo)∈(P); h=d(C;d)=
2
2 2
y − −y
ABC
S∆ = h AB= y o2 − −y o 2
+Xét hàm số f = y o2 − −y o 2 Với − ≤ 1 y o ≤ 2
Suy ra Max f = 9/4 Tại C(1/4;1/2)
………
1
2 1 2 2 2 2
n
k
=
=
Xét khai triển
(1+x)n=
0
n
k k n k
C x
=
∑ ; n(1+x)n-1= 1
0
n
k k n k
kC x −
=
∑ Lấy x=2 ta được
n.3n-1= 1
0
2
n
k k n k
=
0
2
n
k k n k
kC
=
∑
+n(n-1)(1+x)n-2 = 2
0
( 1)
n
k k n k
k k C x −
=
−
∑ Lấy x=2 ta được
n(n-1)3n-2= 2
0
( 1) 2
n
k k n k
=
−
∑ ⇔4n(n-1)3n-2=
0
( 1) 2
n
k k n k
=
−
∑
Vậy S=n.3n-2(2+4n)
………
Phần riêng theo chương trình
+PT đường thẳng AB: x+3y-7=0
+G∈(d)⇒G(a;2-a) Do G trọng tâm tam giác ABC nên diện tích tam giác GAB
bằng 3/2
GAB
S∆ = AB d G AB = a+ = giải tìm được a = 1; a = -2
+Nếu a = 1⇒G(1; 1) Vậy C(4; -2)
+Nếu a = -2⇒G(-2; 4) Vậy C(-5; 7)
………
+ 2 2
+Với y = -x - 2 thay PT hệ:
2010
2( 1)
log
2
x x
−
2 2
2.2010 2 2.2010 1
− + ; y =
-2 2
6.2010 2.2010 + 1 (tm đk) +Với y = x - 1 thay PT của hệ:
x = 1 log 2010 2
2
+
; y = log 2010 2 1
2
−
Không thỏa mãn điều kiện
………
025 025
025
025
025 025
025 025 025
025
05
025 025