TRNG THPT MINH CHU Nm hc 2009-2010 THI TH I HC LN TH I Mụn thi: TON. Khi A Thi gian lm bi 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt Cõu I: (2,0 im). Cho hm s ( ) ( ) )1(1161232 23 ++++= xmmxmxy th (C m ) 1, Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) khi m = 0 2,Vi giỏ tr no ca m thỡ th (C m ) ca hm s cú 2 im cc tr i xng vi nhau qua ng thng y = x + 4. Cõu II (2.0 im) 1) Gii phng trỡnh lng giỏc 5 2 2 os sin 1 12 c x x = ữ . 2) Tỡm m h phng trỡnh: 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 1 3 2 0 x y y x x x y y m + = + + = cú nghim thc. Cõu III: Tớnh tớch phõn : /4 2 /4 sin 1 x I dx x x = + + Cõu IV (1.0 im)Trong khụng gian cho hỡnh chúp .S ABC cú ABC v SBC l cỏc tam giỏc u cnh a ( ) 0a > , 3 2 a SA = .Tớnh theo a khong cỏch t nh B n mt phng ( )SAC . Cõu V (1.0 im) Bin lun theo tham s thc m s nghim thc ca phng trỡnh 2 1 2m x x m+ = + . Cõu VI.a (1.0 im) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đờng thẳng 03: 1 = yxd và 06: 2 =+ yxd . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d 1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. Cõu VIaI. (1.0 im) Trong khụng gian vi h to Oxyz , cho mt cu ( ) 2 2 2 : 2 2 4 3 0S x y z x y z+ + + + = v hai ng thng ( ) ( ) 1 2 : 1 x t y t t z t = = = Ă , ( ) 2 1 : 1 1 1 x y z = = . Vit phng trỡnh tip din ca mt cu ( ) S , bit tip din ú song song vi c hai ng thng ( ) 1 v ( ) 2 . Cõu VIII.a (1.0 im) Cho x, y, z l cỏc s thc dng ln hn 1 v tho món iu kin 1 1 1 2 x y z + + Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc A = (x - 1)(y - 1)(z - 1). 1. Theo chng trỡnh nõng cao Cõu VI.b (1.0 im) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đờng thẳng 03: 1 = yxd và 06: 2 =+ yxd . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d 1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. Cõu VII.b (1.0 im) Trong khụng gian vi h to Oxyz , cho cỏc im ( ) ( ) 0;3;0 , 4;0; 3B M . Vit phng trỡnh mt phng ( )P cha ,B M v ct cỏc trc ,Ox Oz ln lt ti cỏc im A v C sao cho th tớch khi t din OABC bng 3 ( O l gc to ). Cõu VIII.b (1.0 im) Cho a, b, c l cỏc s dng tha món: abc = 8. Hóy tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: P = 62 1 62 1 62 1 ++ + ++ + ++ accbba Ht 2/. 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 (1) 1 3 2 0 (2) x y y x x x y y m  − + − − =   + − − − + =   Điều kiện: 2 2 1 0 1 1 0 2 2 0 x x y y y  − ≥ − ≤ ≤   ⇔   ≤ ≤ − ≥    0.25 Đặt t = x + 1 ⇒ t∈[0; 2]; ta có (1) ⇔ t 3 − 3t 2 = y 3 − 3y 2 . 0.25 Hàm số f(u) = u 3 − 3u 2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên: (1) ⇔ t = y ⇔ y = x + 1 ⇒ (2) ⇔ 2 2 2 1 0x x m− − + = 0.25 Đặt 2 1v x= − ⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v 2 + 2v − 1 = m. Hàm số g(v) = v 2 + 2v − 1 đạt 0;1 0;1 min ( ) 1; m ( ) 2 [ ] [ ] axg v g v= − = Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 ≤ m≤ 2 0.25 Câu 3: /4 /4 /4 2 1 2 2 /4 /4 /4 sin 1 sin sin 1 x I dx x xdx x xdx I I x x π π π π π π − − − = = + + = + + + ∫ ∫ ∫ Áp dụng hàm lẻ, đặt x=-t thì 1 0I = , tích phân từng phân 2 I được kết quả. TRƯỜNG THPT MINH CHÂU Năm học 2009-2010 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI THỬ ĐH LẦN THỨ I (Đáp án- thang điểm có 04 trang) Câu Đáp án điểm I (2đ) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): Khi m=0 ta có y=2x 3 -3x 2 +1 * TXĐ: R *Sự biến thiên: + y’= 6x 2 - 6x= 6x(x-1)= 0    =⇒= =⇒= ⇔ 01 10 yx yx + BBT: x - ∞ 0 1 + ∞ y’ + 0 - 0 + y 1 + ∞ - ∞ 0 Hs đồng biến trên ( ) 0; ∞− ; ( ) +∞ ;1 ; Hs nghịch biến trên (0;1) + Cực trị: hàm số đạt cực đại tại x=0; y CĐ =1; Hs đạt cực tiểu tại x=1; y CT = -0 + Giới hạn: lim ; lim . x x→−∞ →+∞ = −∞ = +∞ - Đồ thị hàm số không có tiệm cận. • Đồ thị: - Giao với trục Oy: (0;1) , giao với ox ( 2 31+ ;0) và ( 2 31− ;0) Ta có y’’ = 12x-6 ⇒ y’’ = 0 ⇔ x= 2 1 và y’’ đổi dấu khi x đi qua x= 2 1 ⇒ điểm ( 2 1 ; 2 1 ) là điểm uốn của đồ thị. Vậy đồ thị có tâm đối xứng là điểm ( 2 1 ; 2 1 ) đồ thị đi qua điểm ( 2;5) và (-1;-4) Ta c ó y’ = 6x 2 -6(2m+1)x+6m(m+1) y’=0    += = ⇔ 1mx mx Ta c ó m+1 ≠ m v ới ∀ m Vậy với ∀ m y’=0 luôn c ó 2 nghiệm phân biệt , nên hàm số luôn có cực đai , cực tiểu. x - ∞ m m+1 + ∞ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 1 5 21 0 x y -1 -4 TRƯỜNG THPT MINH CHÂU Năm học 2009-2010 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI THỬ ĐH LẦN THỨ I (Đáp án- thang điểm có 04 trang) \Câu Nội dung Điểm I 1) Tập xác định ¡ Sự biến thiên: ' 2 ' 3 6 , 0 0 2y x x y x x= − = ⇔ = ∨ = 0.25 y CĐ =y(0)=4, y CT =y(2)=0 0.25 Bảng biến thiên x −∞ 0 2 +∞ ' y + 0 − 0 + y 4 +∞ −∞ 0 0.25 Đồ thị 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 - 10 -5 5 10 f x ( ) = x 3 -3 ⋅ x 2 ( ) +4 0.25 2) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 1 3 4 1 2 0 2 x x x mx m x x m x m = −    − + = + ⇔ + − − = ⇔    − =   0.25 (C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt 0 9 m m >  ⇔  ≠  (d) cắt (C) tại ( ) ( ) ( ) 1;0 , 2 ;3 , 2 ;3I A m m m m B m m m m− − − + + 0.25 Yêu cầu bài toán ( ) ( ) 2 2 2 2 2 8 2 2 8 0 1AB AB m m m m⇔ < ⇔ < ⇔ + < ⇔ < < 0.5 II 1) 5 2 2 os sin 1 12 c x x π   − =  ÷   5 5 2 sin 2 sin 1 12 12 x π π     ⇔ − + =  ÷       0.25 5 5 1 5 5 sin 2 sin sin sin 2 sin sin 12 12 4 12 4 12 2 2cos sin sin 3 12 12 x x π π π π π π π π π     ⇔ − + = = ⇔ − = − =  ÷  ÷         = − = −  ÷  ÷     0.25 ( ) 5 2 2 5 6 12 12 sin 2 sin 5 13 3 12 12 2 2 12 12 4 x k x k x k x k x k π π π π π π π π π π π π   = + − = − +       ⇔ − = − ⇔ ⇔ ∈    ÷  ÷       − = + = +     ¢ 0.5 2) Tìm m để hệ PT: 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 1 3 2 0 x y y x x x y y m  − + − − =   + − − − + =   có nghiệm thực 2/. 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 (1) 1 3 2 0 (2) x y y x x x y y m  − + − − =   + − − − + =   Điều kiện: 2 2 1 0 1 1 0 2 2 0 x x y y y  − ≥ − ≤ ≤   ⇔   ≤ ≤ − ≥    0.25 Đặt t = x + 1 ⇒ t∈[0; 2]; ta có (1) ⇔ t 3 − 3t 2 = y 3 − 3y 2 . 0.25 Hàm số f(u) = u 3 − 3u 2 nghịch biến trên đoạn [0; 2] nên: (1) ⇔ t = y ⇔ y = x + 1 ⇒ (2) ⇔ 2 2 2 1 0x x m− − + = 0.25 Đặt 2 1v x= − ⇒ v∈[0; 1] ⇒ (2) ⇔ v 2 + 2v − 1 = m. Hàm số g(v) = v 2 + 2v − 1 đạt 0;1 0;1 min ( ) 1; m ( ) 2 [ ] [ ] axg v g v= − = Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi −1 ≤ m≤ 2 0.25 III Tính tích phân : /4 2 /4 sin 1 x I dx x x π π − = + + ∫ /4 /4 /4 2 1 2 2 /4 /4 /4 sin 1 sin sin 1 x I dx x xdx x xdx I I x x π π π π π π − − − = = + + = + + + ∫ ∫ ∫ 0.5 Áp dụng hàm lẻ, đặt x=-t thì 1 0I = 0.25 Tích phân từng phân 2 I được kết quả. 0.25 IV Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Từ giả thiết suy ra SAM là tam giác đều 0.5 cạnh 3 2 a ; 2 2 1 3 3 3 3 4 2 16 SMA a a S ∆   = =  ÷  ÷   . Ta có 2 3 . . 1 2 3 3 3 2 2. . . . . 3 3 2 16 16 S ABC S ABM SAM a a a V V BM S ∆ = = = = Gọi N là trung điểm của cạnh SA . Suy ra 2 2 2 2 3 13 ; 4 4 a a CN SA CN SC SN a   ⊥ = − = − =  ÷  ÷   . 2 1 1 3 13 39 . . . 2 2 2 4 16 SCA a a a S AS CN ∆ = = = . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 . 3 1 1 39 . . , . . , 16 3 3 16 S ABC SCA a a V S d B SAC d B SAC ∆ = = = ⇒ ( ) ( ) 3 , 13 a d B SAC = 0.5 V 2 1 2m x x m+ = + − 2 2 1 1 x m x + ⇔ = + + . Đặt ( ) 2 2 1 1 x f x x + = + + . Số nghiệm thực của pt đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số ( ) f x và đt y m= . Ta có : Tập xác định ¡ ; ( ) ( ) 2 ' 2 2 2 1 2 1 4 0 3 1 1 1 x x f x x x x + − + = = ⇔ = + + + 0.25 ( ) ( ) lim 1, lim 1 x x f x f x →−∞ →+∞ = − = . Bảng biến thiên của hàm số ( ) f x 0.25 N M A C B S x 4 3 + ( ) ' f x + 0 ( ) f x 5 4 1 1 Da vo bng bin thiờn suy ra: 5 1 4 m m> phng trỡnh khụng cú nghim thc; 5 1 1 4 m m= < phng trỡnh cú nghim thc duy nht; 5 1 4 m< < phng trỡnh cú hai nghim thc phõn bit. 0.5 VI.a Ta có: Idd 21 = . Toạ độ của I là nghiệm của hệ: = = =+ = 2/3y 2/9x 06yx 03yx . Vậy 2 3 ; 2 9 I Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD OxdM 1 = Suy ra M( 3; 0) 0.5 Ta có: 23 2 3 2 9 32IM2AB 22 = + == Theo giả thiết: 22 23 12 AB S AD12AD.ABS ABCD ABCD ===== Vì I và M cùng thuộc đờng thẳng d 1 ADd 1 Đờng thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d 1 nhận )1;1(n làm VTPT nên có PT: 03yx0)0y(1)3x(1 =+=+ . Lại có: 2MDMA == 0.5 Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT: ( ) =+ =+ 2y3x 03yx 2 2 ( ) ( ) = = =+ += =+ += 13x x3y 2)x3(3x 3xy 2y3x 3xy 2 2 2 2 = = 1y 2x hoặc = = 1y 4x . Vậy A( 2; 1), D( 4; -1) 0.5 Do 2 3 ; 2 9 I là trung điểm của AC suy ra: === === 213yy2y 729xx2x AIC AIC Tơng tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4) Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) 0.5 VIII.a 0.5 0.5 VI.b ( ) ( ) 2 2 2 9 16 , 5; 5 1 26 25 d F d R = = = + = 0.5 Pt đường tròn cần tìm: ( ) 2 2 3 26x y+ + = 0.5 VI.b • Gọi ,a c lần lượt là hoành độ, cao độ của các điểm ,A C . Vì ( ) 0;3;0B Oy∈ nên ( ) : 1 3 x y z P a c + + = . 0.25 • ( ) ( ) 4 3 4;0; 3 1 4 3M P c a ac a c − ∈ ⇒ − = ⇔ − = (1) • 1 1 1 . .3. 3 6 3 3 2 2 OABC OAC ac V OB S ac ac ∆ = = = = ⇔ = (2) 0.25 Từ (1) và (2) ta có hệ 4 6 6 2 3 4 3 6 4 3 6 3 2 a ac ac a c a c a c c = −  = = − =     ∨ ⇔ ∨     − = − = = = −      0.25 Vậy ( ) ( ) 1 2 2 : 1; : 1 4 3 3 2 3 3 x y z x y z P P+ − = + + = − 0.25 VIII.b 0.5 0.5 Ta có 1 1 1 2 x y z + + ≥ nên 0.25 1 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 2 (1) y z y z x y z y z yz − − − − ≥ − + − = + ≥ Tương tự ta có 1 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 2 (2) x z x z y x z x z xz − − − − ≥ − + − = + ≥ 1 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 1 2 (3) x y x y y x y x y xy − − − − ≥ − + − = + ≥ 0.25 Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được 1 ( 1)( 1)( 1) 8 x y z− − − ≤ 0.25 vậy A max = 1 3 8 2 x y z⇔ = = = 0.25 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định. Minh Châu ngày 10 tháng 03 năm 2010 Người ra đề và làm đáp án: Nguyễn Văn Phu THI THỬ ĐẠI HỌC 2009 MÔN TOÁN Đề thi số 2 Thời gian làm bài: 180 phút A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số 23 23 +−= xxy a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Biện luận số nghiệm của phương trình 1 22 2 − =−− x m xx theo tham số m. Câu II (2 điểm) a) Giải phương trình ( ) 2 3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x− = + b) Giải phương trình 2 3 16 4 2 14 40 0 x x x log x log x log x .− + = Câu III ( 2 điểm) a) Tính tích phân 3 2 3 x sin x I dx. cos x π π − = ∫ b) Cho hàm số 3 2 sin)( 2 −+−= x xexf x . Tìm giá trị nhỏ nhất của )(xf và chứng minh rằng 0)( =xf có đúng hai nghiệm. Câu IV (2 điểm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: 3 2 12 1 − + == − zyx và mặt phẳng 012:)( =−++ zyxP a) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng )(P . Viết phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm A vuông góc với d và nằm trong )(P . b) Viết phương trình mặt phẳng )(Q chứa d sao cho khoảng cách từ điểm )0,0,1(I tới )(Q bằng 3 2 . B. PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH Câu Va (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình cơ bản a) Trong mặt phẳng Oxy cho ABC ∆ có ( ) 0 5A ; . Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là 1 2 1 0 2 0d : x y ,d : x y .− + = − = Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC. b) Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển ( ) 60 3 2 3 .+ Câu Vb (2 điểm) Dành cho học sinh thi theo chương trình nâng cao a) Giải phương trình 12 9. 4 1 4.69. 3 1 4.3 ++ −=+ xxxx . [...]... dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính diện tích thi t diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp ĐÁP ÁN Câu I a) 2 điểm Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số y = x 3 − 3x 2 + 2 • Tập xác định: Hàm số có tập xác định D = R 0,25 x = 0 • Sự biến thi n: y' = 3x 2 − 6 x Ta có y' = 0 ⇔  x = 2  • yCD = y ( 0 ) = 2; yCT = y ( 2 ) = −2 • Bảng biến thi n: x −∞ 0,25 0,25 0 2 +∞ + y' y 0 2 − + 0 +∞ −∞... phương trình đã cho về dạng 3.2 + 27.3 = 6.2 − 3 x b) 2 2 3 ⇔ x = log 3 • Từ đó ta thu được  ÷ = 39 39 2 2 Cho chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác đều Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính diện tích thi t diện tạo bởi mặt phẳng (P) và hình chóp • Học sinh tự vẽ hình • Để dựng thi t diện, ta kẻ AC' ⊥ SC Gọi I = AC' ∩ SO 1 1 2 a 3 a2 3 = • Kẻ B' D' // BD Ta... nghịch biến vì y' = −1 + sin x ≤ 0,∀x Mặt khác x = 0 là nghiệm của phương trình e x = − x + cos x nên nó là nghiệm duy nhất • Lập bảng biến thi n của hàm số y = f ( x ) (học sinh tự làm) ta đi 0,5 đến kết luận phương trình f ( x) = 0 có đúng hai nghiệm • Từ bảng biến thi n ta có min f ( x ) = −2 ⇔ x = 0 Câu IV a) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P) Viết phương trình của đường thẳng . 2009 -2010 THI TH I HC LN TH I Mụn thi: TON. Khi A Thi gian lm bi 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt Cõu I: (2,0 im). Cho hm s ( ) ( ) )1(1161232 23 ++++= xmmxmxy th (C m ) 1, Kho sỏt s bin thi n. quả. TRƯỜNG THPT MINH CHÂU Năm học 2009 -2010 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI THỬ ĐH LẦN THỨ I (Đáp án- thang điểm có 04 trang) Câu Đáp án điểm I (2đ) 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C): Khi m=0 ta có. 0,25 0,5 1 5 21 0 x y -1 -4 TRƯỜNG THPT MINH CHÂU Năm học 2009 -2010 ĐÁP ÁN MÔN TOÁN THI THỬ ĐH LẦN THỨ I (Đáp án- thang điểm có 04 trang) Câu Nội dung Điểm I 1) Tập xác định ¡ Sự biến thi n: ' 2 ' 3 6 , 0 0