SKKN "Ứng dụng đạo hàm"

MỞ ĐẦU1/ Lý do chọn đề tài: Trong chương trình môn Toán bậc THPT, các em học sinh được học đạo hàm từ cuối học kỳ II của lớp 11, nhưng đại đa số các em khi học xong những kiến thức về

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO TỈNH BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG

GIÁO VIÊN: ĐỖ MẠNH TOÀN

CHỨC VỤ: Giáo viên ( Tổ trưởng tổ Toán )

Năm học 2008 – 2009

MỞ ĐẦU

1/

Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình môn Toán bậc THPT, các em học sinh được học đạo hàm từ cuối học kỳ II của lớp 11, nhưng đại đa số các em khi học xong những kiến thức về đạo hàm thì chỉ biết vận dụng công thức để giải các bài toán về tính đạo hàm, hoặc khảo sát hàm số Cịn việc ứng dụng đạo hàm để khai thác và giải các bài tốn như: chứng minh BĐT, giải một số phương trình, bất phương trình, hệ phương trình …vv thì các em học sinh lại tỏ ra lúng túng, bỡ ngỡ Nhằm giúp các em học sinh hứng thú trong học tập, biết cách khai thác, vận dụng các kiến thức liên quan đến đạo hàm để giải quyết các bài toán cĩ chứa tham số về hàm số phương trình, bất phương trình, cũng như làm tài liệu giảng dạy …, nên tôi đã chọn viết chuyên đề này phục vụ công tác dạy và học trong nhà trường

6 /Nội dung sáng kiến kinh nghiệm :

I Phần mở đầu

II Nội dung đề tài

A Cơ sở lý luận liên quan đến đề tài nghiên cứu

B Bài tập vận dụng

III Kết quả và bài học kinh nghiệm

Đồng Xồi, ngày 10 tháng 1 năm 2009

Người viết:

Đỗ Mạnh Tồn

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

A CƠ SỞ LÝ THUY ẾT.

1) Giả sử hàm số y = f(x) tăng ( hoặc giảm) trên khoảng (a;b) ta có:

f(x1) = f(x2) ⇔ x1 = x2với x1, x2∈ (a;b)

2) Nếu y = f(x) tăng trên khoảng (a;b) và y = g(x) là hàm hằng hoặc là hàm số giảm trên

khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm x0 thuộc khoảng (a,b)

3) Giả sử y = f(x) tăng trên khoảng (a;b) : f(x1) ≤ f(x2) ⇔ x1≤ x2 với x x1; 2∈( )a b;

Giả sử y = f(x) giảm trên khoảng (a;b): f(x1) ≤ f(x2) ⇔ x1≥ x2 với x x1; 2∈( )a b;

1) Biện luận nghiệm phương trình sau theo tham số m: f(x) = g(m) (*)

Bước 1: Lập luận số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C):y=f(x)

và đường thẳng (d): y= g(m)

Bước 2: Xét hàm số y = f(x)

* Tìm tập xác định D của f

* Tính đạo hàm y’ rồi giải phương trình y’ = 0

* Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 3: Kết luận

* Phương trình có nghiệm ⇔min f(x)≤ g(m)≤max f(x)(x∈D)

* Phương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ (d) ∩ (C) tại k điểm phân biệt

* Phương trình vô nghiệm ⇔ (d) ∩ (C) = ∅

2) Tìm m để phương trình sau: f(x) = g(m) có nghiệm x∈D.

Phương pháp: Khi đó phương trình f(x) = g(m) có nghiệm x∈D khi và chỉ khi:

in ( ) ( ) Max ( )

3) Giả sử hàm số y = f(x) có giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất trên D, f liên tục trên D, khi đó :

a f(x) ≤ g(m) có nghiệm x∈D ⇔Min f x x D ( ) g m( )

b f(x) ≤ g(m) nghiệm đúng∀x∈D ⇔ ax ( ) ( )

x D

M f x g m

c f(x) ≥ g(m) có nghiệm x∈D ⇔ ax ( ) ( )

x D

M f x g m

d f(x) ≥ g(m) nghiệm đúng ∀x∈D ⇔Min f x x D ( ) g m( )

B BÀI TẬP VẬN DỤNG.

I

CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ.

Bài toán 1: Cho hàm số : y=x3 −x2 + 18mx− 2 ;(m C m)

a) Tìm m để đồ thị (C m)cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

b) Tìm m để đồ thị (C m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ :

x1 < < 0 x2 <x3.

Giải

Khi gặp dạng toán này học sinh thường có hai hướng tư duy :

• Hướng 1: Xét phương trình y = 0 và tìm nghiệm đặc biệt x0của phương trình , sau đó

0 (x x− )(ax +bx c+ = ) 0

• Hướng 2 : Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số bậc 3 :

+ Điều kiện để (C m) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt :

o ' 0 ó 2 n 0

CD CT

y y

 =

 + Điều kiện để (C m) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 < < 0 x2 <x3 :

o ' '

1 2

' '

1 2

' 0 ó 2 n ;

0

(0) 0

(0) 0

0 2

CD CT

y y

a y

a y

x x

 =







≤















• Đối với bài toán này sẽ thì rõ ràng hướng 1 không giải quyết được, còn hướng 2 thì hoàn toàn giải quyết được bài toán, nhưng vấn đề đặt ra ở đây là học sinh sẽ gặp khó khăn gì khi giải quyết bài toán theo hướng thứ 2? đó là quá trình tính toán tương đối phức tạp, hơn nữa cách này khi giải quyết xong yêu cầu học sinh phát triển mở rộng bài toán thì học sinh sẽ lúng túng và phải bắt đầu lại từ đầu

Vậy ta sẽ hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán này như thế nào là hiệu quả nhất ?

• Hướng 3: Phương trình hoành độ giao điểm của (C m) và trục hoành là :

3 2

18 2 0

x − +x mx− m= ⇔ 2 (9m x− = − + 1) x3 x2 ;(1)

9

x= không là nghiệm phương trình (1) ;chia 2 vế PT (1) cho (9x− ≠ 1) 0

9 1

x x m

x

− +

=

−

2

9 1

x x y

x

=







Ta khảo sát hàm số:

3 2

9 1

x x y

x

− +

=

−

Ta có:

(9 1)( 3 2 ) 9( ) 18 12 2 2 (9 6 1)

'

y

Suy ra

0

3

x y

x

=





= ⇔

 =



Bảng biến thiên :

x -∞ -1 0 1

9 1

3 1 +∞

y’ + + 0 - - 0 -

-y 0

−92 -∞ -∞ +∞ 0

-∞

Căn cứ vào bảng BT ta có được kết qủa

a> ĐK để (C m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt là: m<0

b> ĐK để (C m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: m <0

Nhận xét :

Rõ ràng nếu giải bài toán theo cách này học sinh không những dễ dàng tính toán để khảo sát

và lập bảng biến thiên của hàm số, hơn nữa chỉ cần dựa vào bảng biến thiên ta có ngay kết quả cần tìm, hơn nữa với cách này học sinh chỉ cần biết lập bảng biến thiên là có thể giải quyết được Bên cạnh đó giải bài toán theo cách này còn gợi ý cho chúng ta các bài toán tương tự:

Bài toán 2: Cho hàm số : 3 2

18 2 ;( m)

y=x −x + mx− m C

a) Tìm m để đồ thị (C m)cắt trục hoành tại đúng một điểm

b) Tìm m để đồ thị (C m)cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn:

x1 < − < 1 x2 <x3

c) Tìm m để đồ thị (C m)cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ

− < < < 1 x1 0 x2 < < 1 x3

Với bài toán trên chỉ cần dựa vào bảng biến thiên của bài toán 1 ta có ngay kết quả :

a) Đồ thị (C m)cắt trục hoành tại đúng một điểm khi m > 0

b) Đồ thị (C m)cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn:

x1 < − < 1 x2 <x3 là: m < -2/9

c) Đồ thị (C m) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ − < < < 1 x1 0 x2 < < 1 x3

là : -2/9 <m< 0

Bài toán 3: Cho hàm số y=x3 − 3x+ 2;( )C

a) Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm mà từ đó kẻ tới (C) đúng một tiếp tuyến

b) Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm mà từ đó kẻ tới (C) hai tiếp tuyến

c) Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm mà từ đó kẻ tới (C) ba tiếp tuyến

Giải.

Nhận xét :

• Mới nhìn thì có vẻ như bài toán không liên quan gì đến việc lập bảng biến thiên để giải quyết nhưng nếu phân tích kỹ ta sẽ thấy dùng bảng biến thiên để giải quyết bài toán này

sẽ hiệu quả

Gọi M(m;2) là các điểm cần tìm

Phương trình đường thẳng ( ) ∆ qua M là : y=k x m( − ) 2 +

Điều kiện để ( ) ∆ tiếp xúc đồ thị ( C ) là :

3

2

3 2 ( ) 2 (1)

3 3 (2)





− =

Thay (2) vào (1) ta được :

x3 − 3x+ = 2 (3x2 − 3)(x m− ) 2 + ⇔ 2x3 − 3mx2 + 3m= 0;(3)

Bài toán trở thành : Tìm m để phương trình (3) có một nghiệm, hai nghiệm phân biệt, ba nghiệm phân biệt Đây là một bài toán quen thuộc, học sinh có thể dùng bảng biến thiên giải

quyết bài toán một cách dễ dàng Nhưng điểm tối ưu hơn khi ta giải bài toán theo phương pháp lập bảng biến thiên là: Căn cứ vào bảng biến thiên ta sẽ suy ra được các kết quả khác

và từ đó có thể xác định các bài toán với những yêu cầu khác

3 (m x − = 1) 2x (4)

Với x = ± 1 không thỏa mãn PT (4), suy ra x= ± 1 không là nghiệm PT (4), nên 2

1 0

x − ≠ Khi đó từ phương trình (4) ta có:

3 2

2

3 ;(5) ( 1)

x m

x

=

− Nghiệm pt (5) là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị

( )

3 2

3 2

( ') ( 1)

x

x





1

x y x

=

−

Ta có:

6 ( 1) 2 2 2 ( 3)

'

y

3

x y

x

=





Bảng biến thiên :

x -∞ − 3 -1 0 1 3 +∞

f’(x) + 0- - 0 - - 0 +

f(x)

3 3−

-∞ -∞

+∞ +∞ +∞

−∞ 3 3

Dựa vào BBT ta có kết quả :

a) Các điểm cần tìm là M m( ; 2) với m < 3

b) Các điểm cần tìm là M m( ; 2) với m = 3

c) Các điểm cần tìm là M m( ; 2) với m > 3

Qua bài toán này ta thấy : Khi lần đầu gặp bài toán dạng này học sinh thường lúng túng

,thứ nhất : tìm điều kiện để một phương trình bậc 3 có 1 nghiệm, 2 nghiệm, hoặc 3 nghiệm

mà phương trình không có nghiệm đặc biệt, nếu áp dụng các kết quả của phần cực trị của hàm số thì bài toán sẽ có thể phức tạp, dễ sai sót; còn khi sử dụng đạo hàm lập bảng biến thiên thì sẽ có thuận lợi đối với học sinh là: Việc dùng đạo hàm khảo sát để lập bảng biến thiên của một hàm số là dạng toán quen thuộc đối với học sinh, thứ 2: dựa vào bảng biến thiên học sinh có thể suy ra các kết quả tương tự, hoặc đưa ra các bài toán toán tương tự.

Bài toán 4: Cho hàm số : y=x3 + 3(m+ 1)x2 + 6mx+ 4 ;(m C m)

a) Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên [1;+ ) ∞

b) Tìm m để hàm số luôn nghịch biến trên [-3;-2]

Giải.

Nhận xét : Với bài toán dạng này học sinh theo chương trình sách giáo khoa mới sẽ thực sự

lúng túng vì không được trang bị các kiến thức về so sánh nghiệm với một số thực αcủa

phần tam thức bậc hai, chính vì thế cần hướng dẫn học sinh đi theo 1 cách tiếp cận khác như sau :

TX Đ : D=¡

2

' 3 6( 1) 6

y = x + m+ x+ m

a) Điều kiện để hàm số đồng biến trên [1;+ ) ∞ là :y' 0;≥ ∀ ∈x [1;+ )∞

⇔ x2+2(m+1)x+2m≥ ∀ ≥0; x 1

2

2

3 6( 1) 6 0; 1

2 ( 1) 2 ;(1)

Vì x≥ ⇒ + > 1 x 1 0 nên từ (1) ta có :

2 2

( 1)

m

x

− −

≥

Xét hàm số

2 2

( 1)

f x

x

− −

= +

Ta có:

( 1)( 2 2) 2 2 2

Bảng biến thiên :

x 1 +∞

f’(x)

-f(x)

3 2

− −∞

x≥ ⇔ m≥ − ⇔ ≥m −

4

m≥−

thì hàm số luôn luôn đồng biến trên [1;+ ) ∞

b) Điều kiện để hàm số luôn nghịch biến trên [-3;-2] là y' 0; ≤ ∀ ∈x [-3;-2]

2

2 (m x 1) x 2 ;(3)x

Vì x∈ [-3;-2] ⇒ + <x 1 0

Nên từ (3) ta có :

2 2 2

( 1)

m

x

− −

≥ + Theo câu a ta có bảng biến thiên :

Bảng biến thiên :

x -3 -2

f’(x)

-f(x)

3

2 0

4

m≥ thì hàm số luôn nghịch biến trên [-3;-2]

Nhận xét : Với cách giải quyết bài toán này thì rõ ràng học sinh có thể hoàn toàn chủ động

để giải quyết các bài toán tương tự Và hơn nữa với cách giải này học sinh sẽ hạn chế được các sai sót trong quá trình tính toán Bên cạnh đó khi giải quyết các bài toán dạng này sẽ

làm nảy sinh 1 vấn đề ; Nếu tham số m không cùng bậc để có thể nhóm và đưa về bất phương trình có dạng f(x) g(m) ≥ thì cần giải quyết như thế nào ? để trả lời câu hỏi này

chúng ta xét bài toán sau :

Bài toán 5: Cho hàm số : 1 3 2 2

3 ( ) 1;( )

y= x − mx + m −m x+ C

Tìm m để hàm số luôn đồng biến x [1;+ ) ∀ ∈ ∞

Giải :

+ y' =x2 − 6mx+ (m2 −m)

Để hàm số luôn đồng biến x [1;+ ) ∀ ∈ ∞ thì y' 0; x 1 ≥ ∀ ≥

( ) 6 ( ) 0; 1

f x = x− m⇒ f x = ⇔ =x m

Bài toán đưa về dạng : Tìm m để min ( ) 0;f x ≥ ∀ ≥x 1

Bảng biến thiên :

x −∞ 3m +∞

f’(t) - 0 +

f(t) +∞ +∞

f( )3m

Dựa vào bảng biến thiên ta xét các trường hợp :

3

7 45 2 (1) 0 7 1 0

7 45 2

m

m

≥





≤



3

2

m≤ −

3

8

KL : 7 45

2

m≤ −

Qua hai bài toán trên ta thấy nếu dùng đạo hàm lập bảng biến thiên thì các dạng toán trên đều

có thể giải quyết được mà không cần sử dụng kiến thức về tam thức bậc 2 đã giảm tải trong chương trình sách giáo khoa.

II

CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bài toán 6: Cho phương trình: 2

(2m+ 1) x + + =x 1 2x− 3;(1)

a) Giải và biện luận pt (1) theo m

b) Tìm m để pt (1) có nghiệm x∈ − ( 1; 2)

Giải :

Nhận xét :

Nếu ta tư duy bài toán theo hướng lập luận rồi bình phương 2 vế thì bài toán sẽ trở nên phức tạp, mặt khác phần tam thức bạc hai theo chương trình mới của sách giáo khoa được giảm tải

nên để so sánh nghiệm của một phương trình bậc hai với 1 số thực α sẽ trở thành bài toán khó

đối với sinh, vậy ta sẽ giải quyết bài toán theo cách dùng đạo hàm lập bảng biến thiên.

1

x m

x x

− + =

+ +

1

x

f x

x x

−

= + +

2

2

2 1

2 1 (2 3).

4( 1) 4 4 3 8 7

x

x x

f x

+

+ +

⇒ '( ) 0 7;

8

f x = ⇔ =x −

Bảng biến thiên

x −∞ -1 7

8

−

2 +∞

f’(x) - 0 + +

f(x)

2

− 2

-5 38

57

− 1

7

a) Nếu :

2 38 57

m m

≥





⇔  < −



phương trình vô nghiệm

Nếu :

38 57

m m

− ≤ <





⇔  =−



phương trình có một nghiệm

57 m

⇔ − < < − phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Để phương trình (1) có nghiệm x∈ − ( 1; 2) thì 38 1

57 m 7

⇔ − < <

Nhận xét :

Dựa vào bảng biến thiên ta có thể có thêm các bài toán tương tự :

Bài toán 7 Cho phương trình: (2m+ 1) x2 + + =x 1 2x− 3;(1)

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -2.

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện : 1 2

1 0

2

x < <x < :

• Bây giờ học sinh chỉ cần căn cứ vào bảng biến thiên sẽ cho ra kết quả :

a) Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -2 là : 38 7

57 m 3

−

− < <

b) Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện : 1 2

1 0

2

x < <x < :

3 4

7

− < <

Bài tốn 8: Cho phương trình: m= 3 1 −x2 − 2 x3 + 2x2 + 1;(1)

a) Tìm m để pt (1) cĩ nghiệm.

b) Tìm m để pt (1) cĩ nghiệm duy nhất [ 1;1]

2

x∈ −

Giải :

ĐK: x ≤1

Xét hàm số :

3 1 2 2 1;

y= −x − x + x +

x

+

x

+

Bảng biến thiên :

x -1 1

2

− 0 1

f’(x) + + 0

-f(x) 1

27 22

2

−

2 2− -4

a Để pt cĩ nghiệm thì : − ≤ ≤ 4 m 1;

b Để pt cĩ nghiệm duy nhất [ 1;1]

2

2

Nhận xét :

Từ bảng biến thiên ta cĩ thể đưa ra bài tốn tương tự :

Bài tốn 9: Cho phương trình: 2 3 2

3 1 2 2 1;(1)

m= −x − x + x +

a) Tìm m để pt cĩ 2 nghiệm phân biệt

b) Tìm m để pt cĩ nghiệm ( 1 1; )

4 3

x∈ −

c) Tìm m để phương trình vơ nghiệm

Bài tốn 10:Cho bất phương trình: x x + x+12 ≤mlog (22 + 4−x) (1)

a) Tìm m để bất phương trình cĩ nghiệm x∈[ ]0; 4 .

b) Tìm m để bất phương trình cĩ nghiệm với mọi x∈[ ]0; 4 .

Giải.

ĐK: x∈[ ]0; 4

Do log 22( + 4−x) ≥log 2 12 = ⇒ (1) ⇔f(x) = 2( )

12

x x x

x

+ + + − ≤ m Xét hàm số g(x) = x x+ x+12 (0≤x≤4)

⇒ g’ (x) =

12 2

1 2

3

+

+

x

x >0 ∀x∈[ ]0; 4 ⇒ g(x) đồng biến ∀x∈[ ]0; 4 Xét hàm số h(x) = 2( )

1 log 2+ 4 x− ( 0≤x≤4)

⇒h’ (x) =

) 4 2 ( log 2 ) 4 2 ( 4 2

1 2

x

⇒h(x) đồng biến ∀ ∈x [ ]0; 4 vì g(x) và h(x) luơn dương trên [ ]0; 4

⇒ f(x) = g (x).h(x) là hàm đồng biến trên [ ]0; 4

a) Để f(x) ≤m có nghiệm 0≤x≤4⇔xmin∈[ ]0;4 f(x) ≤ m ⇔ f(0) ≤ m ⇔ 3 ≤ m.

b) Để f(x) ≤m có nghiệm với mọi 0≤x≤4 [ ]ax0;4 ( )

x

∈

⇔ ≤ ⇔ f(4) ≤ m ⇔12≤ m

Nh

ận xét.

Từ kết quả của bài tốn trên chúng ta cĩ thể khai thác và xây dựng các bài tốn tương tự:

Bài tốn 11 Cho bất phương trình: x x + x+12 ≤mlog (22 + 4−x) (1)

a) Tìm m để bất phương trình cĩ nghiệm x∈[ ]0;1 .

b) Tìm m để bất phương trình cĩ nghiệm với mọi x∈[ ]0;1 .

c) Tìm m để bất phương trình cĩ nghiệm x∈ 1; 3.

d) Tìm m để bất phương trình cĩ nghiệm với mọi 0;5

2

x  

∈   

III BÀI TẬP TH ỰC HÀNH

Bài 1: Cho hàm số: y x= −3 3(m+2)x2+2mx−4m−1

a) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt.

b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt cĩ hồnh độ dương.

c) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt cĩ hồnh độ thỏa

1 2 1 3

x <x < <x .

d) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt cĩ hồnh độ thuộc (−1;3).

Bài 2: Cho hàm số: y= − +x3 3x+2 (C)

a) Tìm trên trục hồnh các điểm mà từ đĩ kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị (C).

b) Tìm trên đường thẳng y = - 3 các điểm mà từ đĩ kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (C) c) Tìm trên đường thẳng x = 2 các điểm mà từ đĩ kẻ được ba tiếp tuyến đến (C).

Bài 3 Tìm m để phương trình: 3cos62x+sin42x+cos4x-m=2cos22x 1+3cos2 2x có nghiệm

Bài 4 Định m để :

a) x3+x2+x= m(x2+1)2 có nghiệm

b) 2cosx + mcosx= 3+ sin2x có nghiệm ∈[0; 2π] (ĐHBK TP.HCM 1991)

c) 1+2cosx + 1+2sinx= m có nghiệm (ĐHTCKT TP.HCM 1995)

Bài 5 Giải và biện luận các phương trình sau :

a) x2 −x = a+1-x

b) 4a(sin6x+ cos6x-1)= 3sin6x , x ;

4 4

π π

∈ − 

Bài 6 Cho bất phương trình: m.9 2x2 −x-( 2m +1).62x2 −x +m.4 2x2 −x ≤0

Tìm m để bất phương trình bất phương trình đúng với∀x thỏa: x ≥ 12

Bài 7 Tìm m để phương trình: x x + x+12= m( 5−x+ 4−x) có nghiệm (HVBCVT 99) Bài 8 Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm:

2

a + a ax − x+ a ax − x+ + ≤

Bài 9 Cho f(x) = (m-1) 6 x - 2 1

6

2x + m+

a) Giải bất phương trình : f( x) ≥0khi m = 32

b) Tìm m để ( x - 61-x ) f(x) ≥0 với ∀ ∈x [ ]0;1

KẾT QUẢ

Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán 12 ở trường THPT, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học Chính vì các em