skkn ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán trong đề thi đại học cao đẳng và học sinh giỏi môn toán

Lí do chọn đề tài: Trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và học sinh giỏi chúng ta thường bắt gặp các dạng toán quen thuộc như giải PT, HPT, BPT, HBPT; tìm GTLN, GTNN của hàm số; tìm điều

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013

Phần I: MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài:

Trong các kỳ thi đại học, cao đẳng và học sinh giỏi chúng ta thường bắt gặp các dạng toán quen thuộc như giải PT, HPT, BPT, HBPT; tìm GTLN, GTNN của hàm số; tìm điều kiện có nghiệm của PT, BPT, HPT, HBPT; chứng minh bất đẳng thức hay tính giới hạn hàm số Đó là những dạng toán khó đối với học sinh, có nhiều bài không thể giải được bằng phương pháp đại số thông thường, kinh điển hoặc có thể giải được nhưng gặp nhiều khó khăn, phức tạp

Hơn nữa ứng dụng của đạo hàm đối với môn Toán cấp THPT rất lớn khi mà chương trình sách giáo khoa đã giảm tải Nhiều bài toán trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng, thi tuyển sinh sau đại học, thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế có thể ứng dụng đạo hàm để giải và phương pháp đó thường cho đáp án gọn hơn phương pháp đại số Theo tác giả thống kê tại phụ lục, đáp án chính thức đề thi tuyển sinh vào Đại học môn Toán các khối A, B, D từ năm 2002 (năm bắt đầu thi theo đề chung của Bộ Giáo dục và Đào tạo) đến năm

2012 (không kể Cao đẳng, không kể bài đầu tiên về khảo sát hàm số và bài toán phụ trong bài đầu tiên) do Bộ Giáo dục và Đào tạo công bố có tới 27 bài toán có

thể sử dụng phương pháp ứng dụng đạo hàm để giải Hơn nưa với chương trình phân ban sách giáo khoa viết theo tinh thần giảm tải đa bỏ qua các nội dung so sánh một số với các nghiệm tam thức bậc hai ở chương trình đại số lớp 10 làm cho việc giải các bài toán chứa tham số gặp khó khăn

Tuy nhiên tài liệu viết chuyên sâu, hệ thống về những ứng dụng của đạo hàm

để giải các bài toán trong kỳ thi tuyển sinh vào Đại học không nhiều và học sinh thường gặp khó khăn, lúng túng trong việc nhận diện, giải quyết dạng toán Do đó việc chọn lựa một đề tài sáng kiến kinh nghiệm nhằm góp phần thực hiện chủ trương lớn đó của tỉnh, của ngành là việc làm phù hợp với thực tiễn, thể hiện tình yêu nghề và trách nhiệm của người cán bộ, giáo viên trong ngành Chính vì vậy tôi

chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: "Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán trong đề thi Đại học, Cao đẳng và học sinh giỏi môn Toán"

II Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

Tìm hiểu đối tượng học sinh trường trung học phổ thông Nguyễn Tất Thành Kết quả nghiên cứu được khảo sát trong các tiết giảng ôn luyện thi Đại học, Cao đẳng và học sinh giỏi môn Toán cho các em học sinh

Các dạng toán giải PT, BPT, HPT, HBPT; tìm GTLN, GTNN của hàm số; chứng minh bất đẳng thức; các bài toán chứa tham số trong chương trình toán phổ thông và trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, chọn học sinh giỏi các cấp

Phân loại các dạng toán thường gặp và phương pháp giải mỗi dạng

III Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh nhận dạng được các PT, HPT, BPT, HBPT; tìm GTLN, GTNN của hàm số; chứng minh bất đẳng thức; các bài toán chứa tham số có thể ứng dụng đạo hàm để giải Trang bị cho học sinh về một phương pháp mang lại hiệu quả rõ nét

Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo

Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng và khả năng giải các bài toán trong kỳ

thi tuyển sinh vào Đại học môn Toán

IV Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu: Hệ thống hoá các dạng toán, đưa ra phương pháp chung về việc ứng dụng đạo hàm để giải các dạng toán này Giúp học sinh nhận thấy hiệu quả rõ rệt của phương pháp so với phương pháp đại số thông thường Chẳng hạn như:

Với các PT, BPT, HPT, HBPT không chứa tham số, ta sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải

Với các PT, BPT, HPT, HBPT có chứa tham số, ta tìm cách cô lập tham số về một vế rồi sử dụng các mệnh đề để giải

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013

Phần II: NỘI DUNG

A CƠ SỞ LÍ LUẬN:

Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh

Quá trình dạy học với các nhiệm vụ cơ bản là hình thành tri thức, rèn luyện các

kỹ năng hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực được xây dựng trên quá trình hoạt động thống nhất giữa thầy và trò, trò và trò, tính tự giác, tích cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằm thực hiện tốt các nhiệm vụ đã được đề ra

B THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ:

Qua thực tiễn học tập và giảng dạy, tôi nhận thấy ứng dụng của đạo hàm trong giải các bài toán cấp THPT rất lớn nhưng học sinh thường không mạnh dạn, tự tin

sử dụng công cụ đắc lực này trong giải toán vì:

Đạo hàm là phần kiến thức mới với học sinh, gắn liền với toán học hiện đại, học sinh bắt đầu được làm quen ở cuối chương trình lớp 11 Trong khi đó từ cấp Trung học cơ sở đến cấp THPT học sinh đã được tiếp xúc với rất nhiều bài toán về giải PT, HPT, BPT, HBPT; tìm GTLN, GTNN của hàm số; chứng minh bất đẳng thức; các bài toán chứa tham số và đã quen sử dụng các phương pháp giải toán đại

số kinh điển để giải

Sách giáo khoa viết về ứng dụng của đạo hàm không nhiều và đa số theo chương trình cũ do đó học sinh không nhận diện được các dạng toán và chưa được hướng dẫn một cách hệ thống phương pháp để giải quyết bài toán trọn vẹn

Số lượng bài toán có thuộc các dạng toán nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, cao đẳng và học sinh giỏi những năm gần đây và phương pháp sử dụng để giải chủ yếu là sử dụng phương pháp ứng dụng của đạo hàm: Năm 2007 có 3 bài, năm 2008 có 2 bài, năm 2009 có 2 bài, năm

2010 có 3 bài, năm 2011 có 4 bài, năm 2012 có 6 bài

C CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh tôi đã giúp học sinh hệ thống dạng toán và phương pháp giải các dạng toán theo các chương như sau:

Chương 1

SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Bài toán tính giới hạn của hàm số dạng vô định 0

0, thường thực hiện theo cách phân tích thành nhân tử để khử dang vô định, như trong sách giáo khoa đã trình bày, đôi lúc còn có thể sử sụng phương pháp gọi hạng tử vắng Ở đây sẻ trình bày thêm một cách giải khác, đó là sử dụng định nghĩa đạo hàm để tính giới hạn

3 2

Đề thi vào Đại học Tài chính Kế toán năm 2001)

Phân tích và lời giải

- Bài toán này không thể khử dạng vô định bằng nhân lượng liên hợp

- Có thể giải theo phương pháp gọi hạng tử vắng

Lời giải sau trình bày theo phương pháp đạo hàm:

f x f

f x

(Đề thi vào Đại học Hàng hải TP HCM năm 1999)

Phân tích và lời giải

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013

- Bài toán này không thể khử dạng vô định bằng nhân lượng liên hợp hoặc gọi

hạng tử vắng

- Có thể áp dụng định lí

0

1lim x

x

e x

L

x x

x L

−

=

Phân tích và lời giải

- Bài toán này có thể khử dạng vô định bằng nhân lượng liên hợp;

4

( ) ( )lim

ππ

5)

2

2 0

3 coslim

Theo đó GTLN, GTNN của hàm số có thể không tồn tại

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số học sinh thường đã được làm quen với một số phương pháp như

- Phương pháp sử dụng các BĐT

- Phương pháp tam thức bậc hai

- Phương pháp sử dụng tập giá trị của hàm số

Đó là những phương pháp đại số thông thường, tuy nhiên ta có thể sử dụng một phương pháp khá hiệu quả là sử dụng đạo hàm

2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y= f x( ) trên đoạn [a b, ] với y = f x( ) là hàm số liên tục trên đoạn [a b, ] và có đạo hàm trong khoảng (a b, ) ta thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1: Tính đạo hàm ' y rồi tìm những giá trị của biến số trong khoảng (a b, )làm cho ' 0y = Giả sử ta tìm được các nghiệm là x x1, 2

3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f x( ) trên khoảng ta thực hiện theo các

bước như sau:

Bước 1: Tìm Miền xác định

Bước 2: Tính đạo hàm 'y , sau đó giải phương trình ' 0y =

Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số(thông thường trong trường hợp hàm

số không đơn điệu trên tập cần tìm)

Bước 4: Từ bảng biến thiên của hàm số ta kết luận được GTLN, GTNN

22

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013

Bài 1 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a) y=24x−cos12x−3sin8x với ,

x y x

x

= trên đoạn 1;e3

Bài 5 Câu VII.b khối D năm 2011

II Hàm hai biến

Biến đổi giả thiết và biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệ giữa chúng rồi tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức đã cho về hàm một biến để khảo sát

1 Các ví dụ minh họa

Ví dụ1 Khối D năm 2009

x 0 a2 −a 1+ a f’ - 0 +

f

a 1+

Cho các số thực không âm ,x y thay đổi và thoả mãn x+ y= Tìm GTLN và 1GTNN của biểu thức

S =(4x2 +3y)(4y2 +3x)+25xy

Phân tích:

Từ giả thiết x+y = có thể đưa bài toán về một ẩn không? 1

Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất hiện x+y để sử dụng giả thiết

Sau khi khai triển và thế vào x+ y = , ta có : 1 S=16x y2 2−2xy+12

Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc có thể đưa S về hàm một biến số nếu ta đặt : t =xy

x y

x y xy

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013

Ví dụ 2 ( ĐH Khối B – 2009) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Và (x+y)2≥4xy Khi đó điều kiện bài toán trở thành : x + ≥ y 1

Ta biến đổi được A như sau :

f t = t − t+ với 1

2

t ≥ 9

2

4'( ) 0

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013

Nếu y = 0 thì S = 0

2

2(3t 2t 1) 2(t 1)(6t 2) 2(3t 6t 1)

f ' t

( )

t -∞ t1 t2 +∞

f’(t) - 0 + 0 -

f(t) 0 2 6 2 +

2 6 2 − 0

Từ bảng biến thiên suy ra: 2 6 S 2 6

≤ ≤

Ghi chú: Bài tập này có thể dùng phương pháp điều kiện có nghiệm của phương

trình bậc hai để tìm GTLN, GTNN

2 Bài tập tương tự

Bài 1 Câu VI.2 khối B năm 2008

Cho hai số thực ,x y thay đổi và thoả mãn hệ thức x2 + y2 = 1

Tìm GTLN và GTNN của biểu thức ( 2 )

2

P

+

=

Bài 2: Câu V khối B năm 2010

Cho các số thực không âm a b c, , thay đổi và thoả mãn a+ + =b c 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M =3(a b2 2 +b c2 2 +c a2 2)+3(ab+bc+ca)+2 a2 +b2 +c2

Bài 3: Câu V khối A năm 2011

Cho các số thực không âm , ,x y zthuộc đoạn[1;4 và ] x≥ y x, ≥ z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 3: Câu V khối B năm 2011

Cho ,a b là các số thực dương thoả mãn 2(a2 +b2)+ab=(a+b ab)( +2)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 7 Cho x, y 0≥ và x+y 1= Tìm Max, Min của S 3= x +9y

Bài 8 Tìm GTLN, GTNN của y sin x cos x a sin x cos x= 6 + 6 +

Bài 9 Tìm GTLN, GTNN của y sinx cos2x sinx= + +

Bài 10 Tìm GTLN, GTNN củay 1 sin 2x (a 1)1 tgx a

Bài 11 Cho x2 +y2 +z2 = Tìm GTLN, GTNN của P1 =x y x xy yz zx+ + + + +

Bài 12 Cho x, y là các số thực thỏa mãn x+y− =1 2x−4+ y+ 1

để ta sử dụng được công cụ hiệu quả trong bài toán là đạo hàm

Sơ đồ tổng quát

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013

Giả sử tìm cực trị của biểu thức ba biến x y z, , là P x y z( , , ) với điều kiện T nào

Ví dụ 1 (ĐH Khối A-2011) Cho ba số thực x y z ∈, , [ ]1;4 và x≥ y x, ≥ Tìm z

giá trị nhỏ nhất của biểu thức

y x

P P xy

x y

++ Ta có

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013

Ví dụ 3 Cho , ,a b c là ba số thực thỏa mãn điều kiện abc a c b+ + = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 22 22 23

- Từ giả thiết abc+ + =a c b có thể đưa bài toán về ít ẩn hơn không ?

- Biến đổi giả thiết (1 ) 0

− có thể đưa P về 2 biến ( 1

a c

- Xem P là hàm theo biến a còn c là hằng số

- Khảo sát hàm biến a là f a( ) với 1

c

c c

c= a= b= thì ax 10

3

2 Bài tập tương tự :

Bài 1 Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện 21ab+2bc+8ca≤12

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 2 3

= + + Bài 2 Cho a>b>c>0 CMR: a b3 2+b c3 2+c a3 2>a b2 3+b c2 3+c a2 3

+ Chứng minh f(x)≤A nghĩa là chứng minh maxf(x)≤A, ở đây A là hằng số + Nếu phương trình h′(x)=0 không giải được thì ta tính đạo hàm cấp hai, ba

đến khi nào xét dấu được thì ta dừng

1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh các bất đẳng thức

3

2 2 ) 1 0 ) sin 0 ) sin 0 6 2 2 3 ) 4 1 x a e x khi x b x x khi x x c x x khi x x x d x R x x > + ≠ < > − < > + + ≤ ∀ ∈ + + GIẢI: Câu a: ex > + ⇔ 1 x ex− − > 1 x 0 Đặt :f(x) = e x – 1 – x D = R f’(x) = e x – 1 f x '( ) 0 = ⇔ ex− = ⇔ = 1 0 x 0 Bảng biến thiên: x - ∞ 0 +∞

f’(x) - 0 +

f(x) +∞ +∞

0

Từ bảng biến thiên suy ra: f(x) ≥ 0 ∀x ( f(x) = 0 tại x = 0) Vậy f(x) > 0 ∀x Hay ex > 1 + x, ∀x ≠ 1 Câu b: sin x < x ⇔ sin x − < x 0 khi x > 0 Đặt f(x) = sinx – x D= R f x'( ) cos= x− < ∀ ∈1 0 x R Bảng biến thiên: x - ∞ 0 +∞

f’(x) - 0 -

f(x)

0

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013

Từ bảng biến thiên suy ra f(x) < 0 khi x > 0 Vậy sinx < x khi x > 0 Câu c:

3 3 sin 0 6 sin 0 0 6 x x x khi x x x x khi x − < > ⇔ − − < > Đặt ( ) 3 sin 6 x f x = −x − x 2 '( ) 1 cos 2 ''( ) sin 0 (sin ) 0 x f x x f x x x x x khi x = − − = − + < < > Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra: f x ( ) 0 < ⇔ − x x 63 < sin x Câu d: Đặt: ( ) 2 22 2 3 1 x x f x D R x x + + = = + + 2 2 2 1 '( ) ( 1) 1 1 10 '( ) 0 2 ( ) 2 3 x f x x x f x x f + = − + + = ⇔ = ⇔ = Bảng biến thiên x - ∞ 0 +∞

f’(x) + 0 -

f(x) 10/3

2 2

x 0 +∞

f’’(x) - f’(x) 0 -

Từ bảng biếng thiên suy ra

2 2

Bài 6 Câu IV.2 khối D năm 2007

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013

Chương IV ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PT, HPT, BPT, HBPT

Để giải các PT, HPT, BPT, HBPT bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm ta cần

nắm cần nắm vững các mệnh đề (MĐ) sau:

Cho hàm số y= f x( )liên tục trên tập D

MĐ1: Phương trình ( )f x =m có nghiệm min ( ) max ( )

+ Nếu f(t) là hàm đơn điệu trên D thì f(x) = f(y) ⇔x = y

II Ví dụ minh hoạ

Do đó, phương trình (2) có nghiệm duy nhất với t = 1 ⇒log2x= ⇔1 x= 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2

Xét f(t) = 2t – t2

f’(t) = 2 -2t

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013

f’(t) = 0 ⇒ = t 1

Bảng biến thiên:

t 0 1 2 f’(t) + 0 -

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =1

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau:

Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2012-2013

Nên hàm số f(t) là hàm số đồng biến trên R

Mặt khác hệ đã cho có thể viết lại thành

( ) ( ) ( )

Từ đó suy ra x<y<z<x điều này là vô lí

+ Nếu y<x thì f(y)<f(x) ⇒ < ⇒x z f x( )< f z( )⇒ < z y

Từ đó suy ra y<x<z<y điều này là vô lí

Do đó hệ đã cho chỉ có nghiệm khi x = y = z

Thay x = y = z vào 1 phương trình của hệ ta tìm được nghiệm của hệ là