Hai sˆo´ trong mˆo.t ho´an vi... Qua ph´ep chuyˆe’n vi... Khai triˆe’n D2 theo cˆo.t th´u.
Trang 1(DS AB = BA =
"
cos(α + β) = sin(α + β) sin(α + β) cos(α + β)
#)
4 T´ınh c´ac lu˜y th`u.a cu’a ma trˆa.n A n nˆe´u:
"
1 n
0 1
#)Chı’ dˆa˜n Su.’ du.ng phu.o.ng ph´ap quy na.p to´an ho.c
"
cos nϕ − sin nϕ sin nϕ cos nϕ
#)
Chı’ dˆa˜n Su.’ du.ng phu.o.ng ph´ap quy na.p to´an ho.c
Gia’ su.’ cho da th´u.c P (x) = a0 + a1x + · · · + a + kx k Khi d´o ma
trˆa.n vuˆong
P (A) = a0E + a1A + · · · + a k A k , x = A
du.o c go.i l`a gi´a tri cu’a da th´u.c P (x) ta.i x = A v`a biˆe’u th´u.c
P (A) = a0E + a A + · · · + a k A k
go.i l`a da th´u.c cu’a ma trˆa.n A.
6 Gia’ su.’ P (x) v` a Q(x) l`a hai da th´u.c v´o.i hˆe sˆo´ ∈ P v`a A l`a ma trˆa.n
vuˆong cˆa´p n Ch´u.ng minh r˘a`ng
Trang 21) ϕ(x) = P (x) + Q(x) ⇒ ϕ(A) = P (A) + Q(A).
2) ψ(x) = P (x)Q(x) ⇒ ψ(A) = P (A)Q(A).
3) P (A)Q(A) = Q(A)P (A).
7 T`ım gi´a tri cu’a da th´u.c ma trˆa.n
"
0 0
0 0
#)
l`a nghiˆe.m cu’a da th´u.c P (x) = x3− x2− 9x + 9.
5) Ch´u.ng minh r˘a`ng ma trˆa.n
Trang 38 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u A l`a ma trˆa.n du.`o.ng ch´eo cˆa´p n v´o.i c´ac
phˆ` n tu.a ’ trˆen du.`o.ng ch´eo ch´ınh l`a λ1, λ2, , λ n th`ı v´o.i mo.i da th´u.c
P (x) ma trˆ a.n P (A) c˜ung l`a ma trˆa.n du.`o.ng ch´eo v´o.i c´ac phˆa` n tu.’ trˆen
du.`o.ng ch´eo ch´ınh l`a P (λ1), P (λ2), , P (λ n) H˜ay x´et tru.`o.ng ho p
khi A l`a ma trˆa.n vuˆong cˆa´p 3
9 Ch´u.ng minh r˘a`ng (A n
)T = (A T)n.Chı’ dˆa˜n Ch´u.ng minh b˘a`ng phu.o.ng ph´ap quy na.p v`a su.’ du.ng hˆe
th´u.c (AB) T = B T A T
10 Ch´u.ng minh r˘a`ng mo.i ma trˆa.n vuˆong A dˆe`u c´o thˆe’ biˆe’u diˆe˜n du.´o.i
da.ng tˆo’ng mˆo.t ma trˆa.n dˆo´i x´u.ng v`a mˆo.t ma trˆa.n pha’n x´u.ng
Mo.i c´ach s˘a´p xˆe´p th´u tu n phˆa` n tu.’ cu’a tˆa.p ho p sˆo´ J = {1, 2, , n}
du.o..c go.i l`a mˆo.t ho´an vi cu’a n phˆa`n tu.’ d´o Sˆo´ c´ac ho´an vi c´o thˆe’ c´o
cu’a n phˆ` n tu.a ’ cu’a J l` a n! Hai sˆo´ trong mˆo.t ho´an vi lˆa.p th`anh mˆo.t
nghi.ch thˆe´ nˆe´u sˆo´ l´o.n ho.n d´u.ng tru.´o.c sˆo´ b´e ho.n Sˆo´ nghi.ch thˆe´ cu’a
ho´an vi (α1, , α n) du.o c k´y hiˆe.u l`a
inv(α1, α2, , α n ),
d´o ch´ınh l`a sˆo´ c˘a.p lˆa.p th`anh nghi.ch thˆe´ trong ho´an vi
Ho´an vi {α1, , α n } du.o c go.i l`a ho´an vi ch˘a˜n nˆe´u sˆo´ nghi.ch thˆe´
cu’a n´o l`a ch˘a˜n v`a go.i l`a ho´an vi le’ nˆe´u sˆo´ nghi.ch thˆe´ l`a le’
Mˆo˜i ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n (v`a chı’ c´o ma trˆa.n vuˆong !) dˆe`u tu.o.ng ´u.ng
v´o.i mˆo.t sˆo´ - go.i l`a di.nh th´u.c cu’a n´o
Trang 4Gia’ su.’ cho ma trˆa.n vuˆong cˆa´p n trˆen tru `o.ng P(R, C):
Di.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n A l`a mˆo.t sˆo´ thu du.o c t`u c´ac phˆa` n tu.’ cu’a
ma trˆa.n theo quy t˘a´c sau dˆay:
1) di.nh th´u.c cˆa´p n b˘a`ng tˆo’ng da.i sˆo´ cu’a n! sˆo´ ha.ng;
2) mˆo˜i sˆo´ ha.ng cu’a di.nh th´u.c l`a t´ıch
a i1j1a i2j2 · · · a injn (3.8)
cu’a n phˆ` n tu.a ’ cu’a ma trˆa.n m`a c´u mˆo˜i h`ang v`a mˆo˜i cˆo.t dˆe`u c´o d´ung
mˆo.t phˆa` n tu.’ trong t´ıch n`ay;
3) sˆo´ ha.ng a i1j1a i2j2· · · a injn cu’a di.nh th´u.c c´o dˆa´u cˆo.ng nˆe´u ho´an
vi lˆa.p nˆen bo’ i c´. ac sˆo´ hiˆe.u h`ang {i1, i2, , i n } v`a ho´an vi lˆa.p nˆen bo’ i.c´ac sˆo´ hiˆe.u cˆo.t {j1, j2, , j n } l`a c`ung ch˘a˜n ho˘a.c c`ung le’ v`a c´o dˆa´utr`u (“ − ”) trong tru.`o.ng ho p ngu.o c la.i
K´y hiˆe.u: Di.nh th´u.c cu’a ma trˆa.n A du.o c k´y hiˆe.u l`a
det A, |A| hay
Trang 5
2) Nˆe´u ta viˆe´t c´ac th`u.a sˆo´ cu’a t´ıch (3.8) theo th´u tu t˘ang dˆa` n cu’a
sˆo´ hiˆe.u h`ang:
Trong ma trˆa.n vuˆong (3.7) ta cˆo´ di.nh k (k < n) h`ang v`a k cˆo.t n`ao
d´o Gia’ su.’ d´o l`a c´ac h`ang v´o.i sˆo´ hiˆe.u i1 < i2 < · · · < i k v`a c´ac cˆo.t v´o.i
sˆo´ hiˆe.u j1 < j2 < · · · < j k T`u c´ac phˆ` n tu.a ’ n˘a`m trˆen giao cu’a h`ang
v`a c´ac cˆo.t du.o c cho.n ta c´o thˆe’ lˆa.p di.nh th´u.c cˆa´p k
a11 a12
a21 a22
= a11a22− a12a21; (3.11)
= a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32
− a13a22a31− a11a23a32− a12a21a33.
Khi t´ınh di.nh th´u.c cˆa´p 3 ta c´o thˆe’ su.’ du.ng quy t˘a´c Surrus “da.ng
tam gi´ac” ho˘a.c “da.ng du.`o.ng song song” sau dˆay
... cˆa´p 1, cˆa´p v`a cˆa´p du.o c t´ınh theo c´ac cˆong th´u.c
|a11 | = a11 ;
a11 a12 ...
a11 a12 a13 a11 a12
a 21< /small> a22... (3 .11 )
= a11 a22a33+ a12 a23a 31< /small>+ a13 a 21< /small>a32